Séances de mathématiques • MPI-MPI★ • Lycée Henri Poincaré • 2526
Sa 28
Mars
DS9 (4h)
Piste verte (CCINP MPI 2025)
- inégalité d'Hadamard
- polynômes de Tchebychev
- matrices de rang 1
Piste rouge (CentraleSupélec MP-MPI 2024)
Piste noire (X-ÉNS MP 2016)
- systèmes différentiels
- équation de la chaleur
Ve 27
Mars
Cours (2h)
Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens
-
si \(a,b\) sont deux vecteurs non colinéaires d'un espace euclidien
\( ( E , ( \: \cdot \: , \: \cdot \: ) ) \)
détermination des éléments propres de
\[
\left|\begin{array}{ccc}
E
& \longrightarrow &
E \\
x &
\longmapsto &
( x , a ) \, a + ( x , b ) \, b
\end{array}\right.
\]
Calcul différentiel 2
-
extrema éventuels de la fonction
\[
\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2
& \longrightarrow &
\mathbf{R} \\
( a , b ) &
\longmapsto &
\displaystyle \int_0^1 \left( t^2 - ( a t + b ) \right)^2 \operatorname{d}t
\end{array}\right.
\]
à l'aide du calcul différentiel
-
une matrice symétrique réelle possède une valeur propre réelle,
en appliquant le théorème sur les multiplicateurs de Lagrange
(condition nécessaire d'existence d'un extremum sous contrainte)
- espace tangent à \(\mathbf{O}_n(\mathbf{R})\) au point \(I_n\)
Ve 27
Mars
TD MPI★ (2h)
Révisions sur les espaces préhilbertiens
-
exercice 7
de la feuille d'exercices
« Révisions sur les espaces préhilbertiens »
[pdf]
:
matrice de Gram,
liberté d'une famille de vecteurs
et
projeté orthogonal sur un sous-espace vectoriel de dimension finie
Révisions sur les espaces préhilbertiens
-
exercice 24
de la feuille d'exercices
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens 2 »
[pdf]
:
décomposition de Cholesky
-
exercice 7
de la feuille d'exercices
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens 2 »
[pdf]
:
si \(n\) est un entier supérieur ou égal à 2,
alors
\(\mathbf{O}_n(\mathbf{R})\) possède deux composantes connexes par arcs,
\(\mathbf{SO}_n(\mathbf{R})\) et \(\mathbf{O}_n(\mathbf{R)} \setminus \mathbf{SO}_n(\mathbf{R})\)
Calcul différentiel 2
-
exercice 3
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 2 »
[pdf]
:
extrema éventuels de la fonction
\[
\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2
& \longrightarrow &
\mathbf{R} \\
( x , y ) &
\longmapsto &
x^4 + y^4 - 4 \, x \, y
\end{array}\right.
\]
-
exercice 5
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 2 »
[pdf]
:
si \( a > 0 \),
minimum et maximum de
\[
\left\{
\sum_{i=1}^n x_i \, \ln(x_i)
\: : \:
(x_1,\ldots,x_n) \in \,]0,+\infty[^n\, \text{ et } \sum_{i=1}^n x_i = a
\right\}
\]
Je 26
Mars
Cours (2h)
Séries entières
-
si \( \beta \) est un nombre réel,
développement en série entière de
\( x \longmapsto \dfrac{1}{(1-x)^{\beta}} \)
Espaces préhilbertiens réels
- rappel sur la notion de projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie
-
calcul de
\[
\displaystyle \inf_{( a,b ) \in \mathbf{R}^2 } \int_0^1 \left( t^2 - ( a t + b ) \right)^2 \operatorname{d}t
\]
à l'aide d'un projeté orthogonal
Calcul différentiel 2
- condition nécessaire d'existence d'un extremum local sur un ouvert de \(\mathbf{R}^n\) à l'ordre 2 (démonstration)
- condition suffisante d'existence d'un extremum local strict sur un ouvert de \(\mathbf{R}^n\) à l'ordre 2 (démonstration)
- condition suffisante d'existence d'un extremum local strict sur un ouvert de \(\mathbf{R}^2\) à l'ordre 2 (démonstration)
-
étude des extrema éventuels de la fonction
\[
\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2
& \longrightarrow &
\mathbf{R} \\
( x , y ) &
\longmapsto &
x^3 - 3 \, x + x \, y^2
\end{array}\right.
\]
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
extrema éventuels de la fonction
\[
\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2
& \longrightarrow &
\mathbf{R} \\
( a , b ) &
\longmapsto &
\displaystyle \int_0^1 \left( t^2 - ( a t + b ) \right)^2 \operatorname{d}t
\end{array}\right.
\]
à l'aide du calcul différentiel
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI★ de vendredi
-
exercice 7
de la feuille d'exercices
« Révisions sur les espaces préhilbertiens »
[pdf]
:
matrice de Gram,
liberté d'une famille de vecteurs
et
projeté orthogonal sur un sous-espace vectoriel de dimension finie
-
exercice 74
du polycopié de cours
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens »
[pdf]
:
si \(a,b\) sont deux vecteurs non colinéaires d'un espace euclidien
\( ( E , ( \: \cdot \: , \: \cdot \: ) ) \)
détermination des éléments propres de
\[
\left|\begin{array}{ccc}
E
& \longrightarrow &
E \\
x &
\longmapsto &
( x , a ) \, a + ( x , b ) \, b
\end{array}\right.
\]
-
exercice 7
de la feuille d'exercices
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens 2 »
[pdf]
:
si \(n\) est un entier supérieur ou égal à 2,
alors
\(\mathbf{O}_n(\mathbf{R})\) possède deux composantes connexes par arcs,
\(\mathbf{SO}_n(\mathbf{R})\) et \(\mathbf{O}_n(\mathbf{R)} \setminus \mathbf{SO}_n(\mathbf{R})\)
-
exercice 12
de la feuille d'exercices
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens 2 »
[pdf]
:
réduction des endomorphismes normaux
-
exercice 24
de la feuille d'exercices
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens 2 »
[pdf]
:
décomposition de Cholesky
-
exercice 3
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 2 »
[pdf]
:
extrema éventuels de la fonction
\[
\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2
& \longrightarrow &
\mathbf{R} \\
( x , y ) &
\longmapsto &
x^4 + y^4 - 4 \, x \, y
\end{array}\right.
\]
-
exercice 5
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 2 »
[pdf]
:
si \( a > 0 \),
minimum et maximum de
\[
\left\{
\sum_{i=1}^n x_i \, \ln(x_i)
\: : \:
(x_1,\ldots,x_n) \in \,]0,+\infty[^n\, \text{ et } \sum_{i=1}^n x_i = a
\right\}
\]
Je 26
Mars
TD MPI (2h)
Révisions sur les espaces préhilbertiens
-
exercice 7
de la feuille d'exercices
« Révisions sur les espaces préhilbertiens »
[pdf]
:
matrice de Gram,
liberté d'une famille de vecteurs
et
projeté orthogonal sur un sous-espace vectoriel de dimension finie
Révisions sur les espaces préhilbertiens
-
exercice 14
de la feuille d'exercices
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens 2 »
[pdf]
:
les sous-espaces propres d'un endomorphime autoadjoint sont orthogonaux
-
exercice 15
de la feuille d'exercices
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens 2 »
[pdf]
:
si \(A \in \mathcal{S}_n(\mathbf{R}) \)
alors
\[
\sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} [A]_{i,j}^2
=
\sum_{\lambda\in\operatorname{Spec}(A)} \lambda^2 \, \operatorname{dim}\left(E_{\lambda}(A)\right)
\]
Calcul différentiel 2
-
exercice 56
de la banque CCINP
[pdf]
:
extrema éventuels de la fonction
\[
\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2
& \longrightarrow &
\mathbf{R} \\
( x , y ) &
\longmapsto &
2 \, x^3 + 6 \, x \, y - 3 \, y^2 + 2
\end{array}\right.
\]
-
exercice 5
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 2 »
[pdf]
:
si \( a > 0 \),
minimum et maximum de
\[
\left\{
\sum_{i=1}^n x_i \, \ln(x_i)
\: : \:
(x_1,\ldots,x_n) \in \,]0,+\infty[^n\, \text{ et } \sum_{i=1}^n x_i = a
\right\}
\]
Me 25
Mars
Cours (2h)
Calcul différentiel 2
- espace tangent à un ellipsoïde
-
extrema éventuels de la fonction
\[
\left|\begin{array}{ccc}
]0,+\infty[ \, \times \, ]0,+\infty[
& \longrightarrow &
\mathbf{R} \\
( x , y ) &
\longmapsto &
x \, y + \dfrac{4}{x} + \dfrac{2}{y}
\end{array}\right.
\]
-
minimum et maximum de
\[
\left\{
y^2 \, \left( x^2 - z^2 - 1 \right)
\: : \:
(x,y,z) \in S(0,1)
\right\}
\]
- définition de la matrice Hessienne
-
surfaces représentatives,
nature du point critique \( (0,0) \)
et
spectre de la Hessienne en \( (0,0) \)
des fonctions :
\[
\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2
& \longrightarrow &
\mathbf{R} \\
( x , y ) &
\longmapsto &
x^2 + y^2
\end{array}\right.
\qquad\qquad
\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2
& \longrightarrow &
\mathbf{R} \\
( x , y ) &
\longmapsto &
- x^2 - y^2
\end{array}\right.
\qquad\qquad
\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2
& \longrightarrow &
\mathbf{R} \\
( x , y ) &
\longmapsto &
x \, y
\end{array}\right.
\]
- conséquence du théorème de Schwarz sur la matrice Hessienne
- formule de Taylor à l'ordre 2 pour une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\)
- condition nécessaire d'existence d'un extremum local sur un ouvert de \(\mathbf{R}^n\) à l'ordre 2 (énoncé)
- condition suffisante d'existence d'un extremum local strict sur un ouvert de \(\mathbf{R}^n\) à l'ordre 2 (énoncé)
- condition suffisante d'existence d'un extremum local strict sur un ouvert de \(\mathbf{R}^2\) à l'ordre 2 (énoncé)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
étudier une démonstration
du théorème 31
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 2 »
[pdf]
:
condition nécessaire d'existence d'un extremum local sur un ouvert de \(\mathbf{R}^n\) à l'ordre 2
-
corriger l'énoncé donné en classe (il faut supposer que \(a\) est un point critique) et étudier une démonstration
du théorème 33
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 2 »
[pdf]
:
condition suffisante d'existence d'un extremum local strict sur un ouvert de \(\mathbf{R}^n\) à l'ordre 2
-
étudier une démonstration
du théorème 34
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 2 »
[pdf]
:
condition suffisante d'existence d'un extremum local strict sur un ouvert de \(\mathbf{R}^2\) à l'ordre 2
-
exercice 35
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 2 »
[pdf]
:
extrema éventuels de la fonction
\[
\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2
& \longrightarrow &
\mathbf{R} \\
( x , y ) &
\longmapsto &
x^3 - 3 \, x + x \, y^2
\end{array}\right.
\]
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI de jeudi
-
exercice 7
de la feuille d'exercices
« Révisions sur les espaces préhilbertiens »
[pdf]
:
matrice de Gram,
liberté d'une famille de vecteurs
et
projeté orthogonal sur un sous-espace vectoriel de dimension finie
-
exercice 74
du polycopié de cours
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens »
[pdf]
:
si \(a,b\) sont deux vecteurs non colinéaires d'un espace euclidien
\( ( E , ( \: \cdot \: , \: \cdot \: ) ) \)
détermination des éléments propres de
\[
\left|\begin{array}{ccc}
E
& \longrightarrow &
E \\
x &
\longmapsto &
( x , a ) \, a + ( x , b ) \, b
\end{array}\right.
\]
-
exercice 14
de la feuille d'exercices
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens 2 »
[pdf]
:
les sous-espaces propres d'un endomorphime autoadjoint sont orthogonaux
-
exercice 15
de la feuille d'exercices
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens 2 »
[pdf]
:
si \(A \in \mathcal{S}_n(\mathbf{R}) \)
alors
\[
\sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} [A]_{i,j}^2
=
\sum_{\lambda\in\operatorname{Spec}(A)} \lambda^2 \, \operatorname{dim}\left(E_{\lambda}(A)\right)
\]
-
exercice 24
de la feuille d'exercices
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens 2 »
[pdf]
:
décomposition de Cholesky
-
exercice 56
de la banque CCINP
[pdf]
:
extrema éventuels de la fonction
\[
\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2
& \longrightarrow &
\mathbf{R} \\
( x , y ) &
\longmapsto &
2 \, x^3 + 6 \, x \, y - 3 \, y^2 + 2
\end{array}\right.
\]
-
exercice 5
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 2 »
[pdf]
:
si \( a > 0 \),
minimum et maximum de
\[
\left\{
\sum_{i=1}^n x_i \, \ln(x_i)
\: : \:
(x_1,\ldots,x_n) \in \,]0,+\infty[^n\, \text{ et } \sum_{i=1}^n x_i = a
\right\}
\]
Ma 24
Mars
Cours (4h)
Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens
-
un endomorphisme
\( u \in \mathcal{S}^+(E) \)
possède une unique racine carrée dans \(\mathcal{S}^+(E) \)
- si \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbf{R})\) alors
\(\displaystyle\sup_{||X||_2=1} ||A X||_2 = \sqrt{ \max \left( \operatorname{Spec}\left( A^{\top} A \right) \right) } \)
Calcul différentiel 2
- définition d'un vecteur tangent à une partie \(X\) en un point \(x \in X \) et de l'espace tangent \(T_x X\)
- \( T_x X \) contient le vecteur nul et est stable par multiplication par un scalaire
- rappels sur les sous-espaces affines
- vecteurs tangents à un sous-espace affine
- vecteurs tangents à une sphère d'un espace euclidien
- vecteurs tangents au graphe d'une fonction numérique différentiable sur un ouvert de \( \mathbf{R}^2 \)
-
espace tangent de
\( X = \left\{ \left( x , y , 3 \, x^3 + x \, y^2 - 2 \, y^2 \right) \::\: (x,y) \in \mathbf{R}^2 \right\} \)
au point \( p = (1,1,2) \).
- vecteurs tangents à une ligne de niveau
-
espace tangent de
\( X = \left\{ (x,y,z) \in \mathbf{R}^3 \::\: z = \dfrac{x^2}{4} +\dfrac{y^2}{9} \right\} \)
au point \( p=(2,3,2) \).
- définition d'un extremum local pour une fonction numérique
- rappel du théorème de MP2I sur la condition nécessaire
pour qu'une fonction numérique de la variable réelle
atteigne un extremum local en un point intérieur
- définition d'un point critique
- points critiques de la fonction
\[
\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2
& \longrightarrow &
\mathbf{R} \\
( x , y ) &
\longmapsto & x^3 - 3 \, x + x \, y^2
\end{array}\right.
\]
-
condition nécessaire d'existence d'un extremum local sur un ouvert, à
l'ordre 1
-
la fonction cube est dérivable en \(0\),
avec une dérivée nulle en \(0\),
mais n'atteint pas un extremum local en \(0\)
-
généralisation du théorème de Rolle sur la boule unité fermée
-
condition nécessaire d'existence d'un extremum local sous contrainte
à l'ordre 1
- inclusion entre noyaux de formes linéaires et colinéarité
- théorème sur les multiplicateurs de Lagrange
- minimum et maximum de
\[
\left\{
x \, y \, z
\: : \:
(x,y,z) \in S(0,1)
\right\}
\]
- minimum et maximum de
\[
\left\{
4 \, x^2 + 12 \, x \, y - y^2
\: : \:
(x,y) \in S(0,\sqrt{13})
\right\}
\]
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- exercice 11
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 2 »
[pdf]
:
espace tangent à un ellipsoïde
- exercice 17
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 2 »
[pdf]
:
extrema éventuels de la fonction
\[
\left|\begin{array}{ccc}
]0,+\infty[ \, \times \, ]0,+\infty[
& \longrightarrow &
\mathbf{R} \\
( x , y ) &
\longmapsto &
x \, y + \dfrac{4}{x} + \dfrac{2}{y}
\end{array}\right.
\]
- exercice 25
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 2 »
[pdf]
:
minimum et maximum de
\[
\left\{
y^2 \, \left( x^2 - z^2 - 1 \right)
\: : \:
(x,y,z) \in S(0,1)
\right\}
\]
Lu 23
Mars
Cours (2h)
Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens
-
interprétation géométrique de l'endomorphisme de
de l'espace euclidien \(\mathbf{R}^2\) usuel
dont la matrice dans la base canonique est
\(\begin{pmatrix} 1/2 & \sqrt{3}/2 \\ -\sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}\)
-
interprétation géométrique de l'endomorphisme de
de l'espace euclidien \(\mathbf{R}^2\) usuel
dont la matrice dans la base canonique est
\(\begin{pmatrix} \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2 & -\sqrt{2}/2 \end{pmatrix}\)
-
interprétation géométrique de l'endomorphisme de
de l'espace euclidien \(\mathbf{R}^3\) usuel
dont la matrice dans la base canonique est
\(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
-
si une matrice
\( A \in \mathcal{S}_n(\mathbf{R}) \)
vérifie \( A^k = I_n \) pour un entier \( k \geqslant 1 \) alors \( A^2 = I_n \)
-
si une matrice
\( A \in \mathcal{S}_n^+(\mathbf{R}) \)
alors
\( \sqrt[n]{\operatorname{det}(A)} \leqslant \dfrac{\operatorname{tr}(A)}{n} \)
-
réduction de la matrice
\( A^{\top} \times A \)
où
\( A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \)
-
rappel sur l'algorithme de Gram-Schmidt
-
existence de la décomposition d'Iwasawa pour une matrice inversible à coefficients réels
-
inégalité d'Hadamard
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 7
de la feuille d'exercices
« Révisions sur les espaces préhilbertiens »
[pdf]
:
matrice de Gram,
liberté d'une famille de vecteurs
et
projeté orthogonal sur un sous-espace vectoriel de dimension finie
-
exercice 74
du polycopié de cours
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens »
[pdf]
:
si \(a,b\) sont deux vecteurs non colinéaires d'un espace euclidien
\( ( E , ( \: \cdot \: , \: \cdot \: ) ) \)
détermination des éléments propres de
\[
\left|\begin{array}{ccc}
E
& \longrightarrow &
E \\
x &
\longmapsto &
( x , a ) \, a + ( x , b ) \, b
\end{array}\right.
\]
- lier/étudier/apprendre la partie 1
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 2 »
[pdf]
:
vecteur tangent à une partie d'un espace vectoriel de dimension finie
Ve 20
Mars
Cours (2h)
Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens
- réduction d'une matrice orthogonale sur \(\mathbf{R}\) (resp. sur \(\mathbf{C}\))
- définition d'un endomorphisme autoadjoint
- stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable par un endomorphisme autoadjoint
- caractérisation des endomorphismes autoadjoints
- exemple d'endomorphisme autoadjoints de \(\mathbf{R}^2\) muni de son produit scalaire usuel
- structure de l'ensemble \(\mathcal{S}(E)\)
- caractérisation des projecteurs orthogonaux
- si \(F\) est un sous-espace vectoriel d'un espace euclidien \(E\),
alors la projection orthogonale \(p_F\) de \(F\) sur \(E\) est un endomorphisme autoadjoint
- tout endomorphisme autoadjoint possède une valeur propre réelle
- théorème spectral pour les endomorphismes autoadjoints
- théorème spectral pour les matrices symétriques à coefficients réels
- la matrice
\(\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}\)
est symétrique mais non diagonalisable (elle est nipotente)
- définition d'un endomorphisme autoadjoint positif (resp. autoadjoint défini positif)
- caractérisation spectrale d'un endomorphisme autoadjoint positif (resp. autoadjoint défini positif)
- définition d'une matrice symétrique positive (resp. symétrique définie positive)
- matrice d'un endomorphisme autoadjoint positif (resp. autoadjoint défini positif) dans une base orthonormée
- caractérisation spectrale d'une matrice symétrique positive (resp. symétrique définie positive)
- une matrice symétrique positive possède une racine carrée symétrique positive
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
étudier/apprendre la partie 6
du polycopié de cours
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens »
[pdf]
:
réduction d'une isométrie vectorielle directe d'un espace euclidien de dimension 3
-
exercice 72
du polycopié de cours
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens »
[pdf]
:
réduction d'une isométrie vectorielle directe d'un espace euclidien de dimension 3
-
exercice 85
du polycopié de cours
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens »
[pdf]
:
condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice
\( A \in \mathcal{S}_n(\mathbf{R}) \)
possède une racine carrée
-
exercice 86
du polycopié de cours
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens »
[pdf]
:
si une matrice
\( A \in \mathcal{S}_n(\mathbf{R}) \)
vérifie \( A^k = I_n \) pour un entier \( k \geqslant 1 \) alors \( A^2 = I_n \)
-
étudier la démonstration du théorème 92
rédigée dans le polycopié de cours
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens »
[pdf]
:
matrice d'un endomorphisme autoadjoint positif (resp. autoadjoint défini positif) dans une base orthonormée
-
étudier la démonstration du théorème 93
rédigée dans le polycopié de cours
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens »
[pdf]
:
caractérisation spectrale d'une matrice symétrique positive (resp. symétrique définie positive)
-
exercice 94
du polycopié de cours
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens »
[pdf]
:
si une matrice
\( A \in \mathcal{S}_n^+(\mathbf{R}) \)
alors
\( \sqrt[n]{\operatorname{det}(A)} \leqslant \dfrac{\operatorname{tr}(A)}{n} \)
-
exercice 95
du polycopié de cours
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens »
[pdf]
:
matrice
\( A^{\top} \times A \)
où
\( A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \)
-
exercice 89
du polycopié de cours
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens »
[pdf]
:
un endomorphisme
\( u \in \mathcal{S}^+(E) \)
possède une unique racine carrée dans \(\mathcal{S}^+(E) \)
-
revoir le chapitre
« Calcul différentiel 1 »
Ve 20
Mars
TD MPI (2h)
Probabilités 2
-
Si \(X\) est une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{N}\) dont la série génératrice
a un rayon de convergence strictement plus grand que 1,
alors \(X \in L^2\) et :
\[
\mathbf{V}(X)
=
\mathbf{G}_X''(1) + \mathbf{G}_X'(1) - \mathbf{G}_X'(1)^2
\]
-
exercice 5
de la feuille d'exercices
« Probabilités 2 »
[pdf]
:
tir laser sur une bactérie et loi de Pascal
-
exercice 6
de la feuille d'exercices
« Probabilités 2 »
[pdf]
:
formule de Wald
Files d'attente, équivalent de Stirling, blocs de Jordan [CCINP - PSI - 2024]
-
énoncé
[pdf]
-
un corrigé d'Isabelle Bigeard et Emmanuel Auclair
[pdf]
-
rapport de jury
[pdf]
Je 19
Mars
Cours (2h)
Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens
-
si \( A \in \mathbf{O}_n(\mathbf{R}) \)
alors
\(\displaystyle \left| \sum_{1 \leqslant i , j \leqslant n} [A]_{i,j} \right| \leqslant n \)
-
expression de la réflexion par rapport à un hyperplan \( H \),
à l'aide d'un vecteur unitaire orthogonal à \( H \)
- rappels sur les deux identités de polarisation
- caractérisation des isométries vectorielles
- le groupe orthogonal \(\mathbf{O}(E)\) de l'espace euclidien \(E\)
- déterminant d'une isométrie vectorielle
- isométrie vectorielle positive/directe (resp. négative/indirecte)
- le groupe spécial orthogonal \(\mathbf{SO}(E)\) de l'espace euclidien \(E\)
- l'application :
\[
\left|\begin{array}{ccc}
\left( \mathbf{R} , + \right)
& \longrightarrow &
\left( \mathbf{SO}_2(\mathbf{R}) , \times \right) \\
\theta & \longmapsto &
\left(\begin{array}{cc}
\cos(\theta) & - \sin(\theta) \\
\sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{array}\right)
\end{array}\right.
\]
est un morphismes de groupes surjectif, de noyau \( 2 \pi \mathbf{Z} \)
- les groupes \( \left( \mathbf{SO}_2(\mathbf{R}) , \times \right) \)
et
\( \left( \mathbf{U} , \times \right) \)
sont isomorphes
- le groupe \( \left( \mathbf{SO}_2(\mathbf{R}) , \times \right) \)
est abélien
- description en extension de \( \mathbf{0}_2(\mathbf{R}) \)
- classification des isométries d'un plan euclidien orienté
- un endomorphisme d'un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie stabilise une droite ou un plan
- exemple d'un endomorphisme de \(\mathbf{K}[X]\) qui ne stabilise aucune droite et aucun plan
- stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable par une isométrie
- théorème de réduction des isométrie d'un espace euclidien
- théorème de réduction des matrices orthogonales
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 70
du polycopié de cours
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens »
[pdf]
:
réduction d'une matrice orthogonale sur \(\mathbf{R}\) (resp. sur \(\mathbf{C}\))
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI de vendredi
-
exercice 108
de la banque CCINP
[pdf]
:
étude d'un couple de deux variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbf{N}\),
espérance, variance, probabilité que les deux variables soient égales
-
exercice 5
de la feuille d'exercices
« Probabilités 2 »
[pdf]
:
tir laser sur une bactérie et loi de Pascal
-
exercice 6
de la feuille d'exercices
« Probabilités 2 »
[pdf]
:
formule de Wald
Je 19
Mars
TD MPI★ (2h)
Probabilités 2
-
Si \(X\) est une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbf{N}\) dont la série génératrice
a un rayon de convergence strictement plus grand que 1,
alors \(X \in L^2\) et :
\[
\mathbf{V}(X)
=
\mathbf{G}_X''(1) + \mathbf{G}_X'(1) - \mathbf{G}_X'(1)^2
\]
-
exercice 6
de la feuille d'exercices
« Probabilités 2 »
[pdf]
:
formule de Wald
-
exercice 9
de la feuille d'exercices
« Probabilités 2 »
[pdf]
:
fonction génératrice d'un couple de variables aléatoires à valeurs entières
Inégalités de Khintchine [Mines Ponts - MPI - 2025]
Me 18
Mars
Cours (2h)
Probabilités 2
-
calcul d'une loi de variable aléatoire associée à un modèle d'urne,
à l'aide de la fonction génératrice
Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens
- rappels sur les matrices de permutation
- une matrice de permutation est une matrice orthogonale
- une matrice est orthogonale si et seulement si ses colonnes
(resp. lignes) forment une base orthonormée de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbf{R})\)
(resp. \(\mathbf{R}^n\))
- matrices orthogonales versus matrices de passage entre deux bases orthonormées
- définition du groupe orthogonal \(\mathbf{O}_n(\mathbf{R})\)
-
si \(\theta \in \mathbf{R}\) alors les matrices
\(\left(\begin{matrix} \cos(\theta) & - \sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{matrix}\right)\)
et
\(\left(\begin{matrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ \sin(\theta) & -\cos(\theta) \end{matrix}\right)\)
appartiennent à \(\mathbf{O}_2(\mathbf{R})\)
- construction par blocs de matrices orthogonales
- une valeur propre complexe d'une matrice orthogonale est de module 1
- compacité de \(\mathbf{O}_n(\mathbf{R})\)
- définition de deux matrices orthogonalement semblables
- définition du groupe spécial orthogonal
-
si \(\theta \in \mathbf{R}\) alors la matrice
\(\left(\begin{matrix} \cos(\theta) & - \sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{matrix}\right)\)
appartient à \(\mathbf{SO}_2(\mathbf{R})\)
- compacité de \(\mathbf{SO}_n(\mathbf{R})\)
- déterminant d'une matrice orthogonale
- matrice orthogonale positive/directe (resp. négative/indirecte)
- une relation d'équivalence sur les bases orthonormées d'un espace euclidien
- orientation d'un espace euclidien
- base directe (resp. base indirecte) d'un espace euclidien orienté
- forme volume sur un espace euclidien orienté
- définition d'une isométrie vectorielle
- une isométrie vectorielle est un automorphisme
- définition d'une symétrie orthogonale
- une symétrie orthogonale est une isométrie vectorielle
- définition d'un projecteur orthogonal
- un projecteur orthogonal distinct de l'identité n'est pas une isométrie vectorielle
- définition d'une réflexion
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 14
du polycopié de cours
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens »
[pdf]
:
si \( A \in \mathbf{O}_n(\mathbf{R}) \)
alors
\(\displaystyle \left| \sum_{1 \leqslant i , j \leqslant n} [A]_{i,j} \right| \leqslant n \)
-
étudier l'énoncé et la démonstration du théorème 65
du polycopié de cours
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens »
[pdf]
:
un endomorphisme d'un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie stabilise une droite ou un plan
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI★ de jeudi
-
exercice 3
de la feuille d'exercices
« Probabilités 2 »
[pdf]
:
espérance d'une variable aléatoire suivant la loi de Pascal
-
exercice 6
de la feuille d'exercices
« Probabilités 2 »
[pdf]
:
formule de Wald
-
exercice 9
de la feuille d'exercices
« Probabilités 2 »
[pdf]
:
fonction génératrice d'un couple de variables aléatoires à valeurs entières
Ma 17
Mars
Cours (2h)
Probabilités 2
- fonction génératrice d'une variable aléatoire suivant une loi de Poisson (resp. une loi géométrique)
- fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans \( \mathbf{N} \) et espérance
- fonction génératrice d'une somme de variables aléatoires indépendantes
-
loi de la somme de \(n\) variables indépendantes, suivant toutes de loi \(\mathcal{B}(p)\),
à l'aide des fonctions génératrices
-
loi de la somme de deux variables indépendantes, de lois \(\mathcal{P}(\lambda)\) et \(\mathcal{P}(\mu)\)
à l'aide des fonctions génératrices
- exemple de deux variables aléatoires décorrélées, qui ne sont pas indépendantes
-
si \(X\) est une variable aléatoire à valeurs réelels,
alors pour tout \( x \in \mathbf{R} \),
\( \mathbf{P}(X \geqslant x) \leqslant e^{-2x} \; \mathbf{E}\left(e^{2X}\right) \)
Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens
- théorème de Riesz sur la représentabilité des formes linéaires sur un espace euclidien
- définition de l'adjoint d'un endomorphisme
- propriétés de l'adjonction : linéarité, composition, caractère involutif
- matrice de l'adjoint d'un endomorphisme dans une base orthonormée
- calcul de l'adjoint de
\[
f
\quad
\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^3 & \longmapsto & \mathbf{R}^3 \\
(x,y,z) & \longmapsto & (x+2y-z,4x-3y+5z,-x+7y-2z)
\end{array}\right.
\]
où \( \mathbf{R}^3 \) est muni de son produit scalaire usuel
- une propriété de stabilité pour l'adjoint
- définition d'une matrice orthogonale
- les matrices de rotations sont des matrices orthogonales
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 65
du polycopié de cours
« Probabilités 2 »
[pdf]
:
calcul d'une loi de variable aléatoire associée à un modèle d'urne,
à l'aide de la fonction génératrice
-
exercice
du polycopié de cours
« Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens »
[pdf]
:
une matrice de permutation est une matrice orthogonale
Lu 16
Mars
Cours (2h)
Probabilités 2
- effet d'une transformation affine sur la variance
- réduction et centrage d'une variable \( L^2 \)
- covariance de deux variables aléatoires
- le coefficient de corrélation linéaire de deux variables appartient à \( [-1,1] \)
- que dire si le coefficient de corrélation linéaire égale \(\pm1\) ?
- formule de König-Huyghens pour la coviariance
- deux variables indépendantes sont décorrélées
- variance d'une somme de variables aléatoires
- inégalité de Markov
- inégalité de Biénaymé-Tchebychev
- loi faible des grands nombres
- définition de la série génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans \( \mathbf{N} \)
-
le rayon de convergence de la série génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans \( \mathbf{N} \)
est supérieur ou égal à 1
- la série génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans \( \mathbf{N} \) converge normalement
sur \( \overline{D(0,R)} \)
- définition de la fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans \( \mathbf{N} \)
- propriétés de régularité de la fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans \( \mathbf{N} \)
- la fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans \( \mathbf{N} \) détermine la loi
- fonction génératrice d'une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli (resp. une loi binomiale)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 2
de la feuille d'exercices
« Probabilités 2 »
[pdf]
:
si \(X\) est une variable aléatoire à valeurs réelels,
alors pour tout \( x \in \mathbf{R} \),
\( \mathbf{P}(X \geqslant x) \leqslant e^{-2x} \; \mathbf{E}\left(e^{2X}\right) \)
- si \( \lambda > 0 \) et \( X \) est une variable aléatoire de loi \( \mathcal{P}(\lambda) \),
calculer
le rayon de convergence de la série génératrice de \( X \)
et
la fonction génératrice de \( X \)
- si \( p \in \,]0,1[\, \) et \( X \) est une variable aléatoire de loi \( \mathcal{G}(p) \),
calculer
le rayon de convergence de la série génératrice de \( X \)
et
la fonction génératrice de \( X \)
-
exercice 43
du polycopié de cours
« Probabilités 2 »
[pdf]
:
exemple de deux variables aléatoires décorrélées, qui ne sont pas indépendantes
-
étudier l'énoncé et la démonstration du
théorème 48
du polycopié de cours
« Probabilités 2 »
[pdf]
:
lien entre l'espérance et la fonction génératrice
- Q35 et Q36
du DM10
« Espaces préhilbertiens réels »
sur un espace euclidien
[pdf]
:
théorème de Riesz sur la représentation des formes linéaires d'un espace euclidien
Ve 13
Mars
Cours (2h)
Probabilités 2
- \( L^1 \) est un espace vectoriel et l'espérance est une forme linéaire sur \( L^1 \)
- centrage d'une variable aléatoire \( L^1 \)
- théorème de domination pour l'espérance
- positivité, croissance et inégalité triangulaire pour l'espérance
- caractère \( L^1 \) et espérance d'un produit de variables aléatoires \( L^1 \) indépendantes
- définition de l'ensemble \( L^2 \)
- \( L^2 \) est inclus dans \( L^1 \)
- le produit de deux variables aléatoires \( L^2 \) est \( L^1 \)
- \( L^2 \) est un sous-espace vectoriel de \( L^1 \)
- une variable aléatoire presque nulle est \( L^1 \), d'espérance nulle
- inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité
- définition de la variance et de l'écart-type d'une variable \( L^2 \)
- une variable aléatoire \( L^2 \) a une variance nulle si et seulement si elle est presque sûrement constante
- définition d'une variable aléatoire réduite
- formule de König-Huyghens pour la variance
- variance d'une variable aléatoire suivant une loi usuelle
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- apprendre le début du chapitre « Probabilités 2 »
-
travailler intensément le DM10 « Espaces préhibertiens réels » avec le corrigé fourni
(nous prendrons appui dessus toute la semaine prochaine)
- étudier le corrigé de l'exercice 81
du polycopié de cours
« Équations différentielles linéaires »
:
raccordement d'une EDLS2 [CCINP MP 2014]
[pdf]
-
pour les MPI★,
étudier le corrigé de l'exercice 5
de la feuille d'exercices
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
si la fonction \( y' + y \) a limite nulle en \(+\infty\) alors la fonction \( y \) a limite nulle en \(+\infty\)
- DM12 « Matrice résolvante et applications aux équations différentielles » [CCINP PSI 2012] avec le corrigé fourni
(magnifique sujet pour faire le point sur le chapitre « Équations différentielles linéaires »)
- DM12★ « Espaces à noyau reproduisant » [CentraleSupélec MP 2020] avec le corrigé fourni
(à traiter uniquement après avoir parfaitement assimilé le contenu du DM10)
Ve 13
Mars
TD MPI★ (2h)
Équations différentielles linéaires
-
exercice 5
de la feuille d'exercices
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
si la fonction \( y' + y \) a limite nulle en \(+\infty\) alors la fonction \( y \) a limite nulle en \(+\infty\)
-
exercice 9
de la feuille d'exercices
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
résolution du SDL1
\[\left\{\begin{array}{cccccccccc}
x' & = &- x & + & 3 \, y & + & e^t \\
y' & = & - 2 \, x & + & 4 \, y
\end{array}\right.\]
-
exercice 13
de la feuille d'exercices
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
des solutions de \( 4 \, x \, y'' + 6 \, y' + y = 0 \) développables en séries entières au voisinage de 0
-
exercice 74
du polycopié de cours
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
étude qualitative d'une EDLS2 homogène
-
exercice 81
du polycopié de cours
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
étude de \( x^2 \, y'' + a(x) \, y' + b(x) \, y = 0 \) sur différents intervalles
et
problème de raccordement
Je 12
Mars
Cours (2h)
Équations différentielles linéaires
- fin de la résolution de
\( x'' - \dfrac{3}{t} \, x' + \dfrac{4}{t^2} \, x = 0 \)
- méthode de variation des constantes pour déterminer une solution particulière d'une EDLS2,
connaissant une base de l'ensemble solution de l'EDLS2 homogène associée 7
-
une démarche pour résoudre \( y'' + y = \sin^2(t) \)
-
les solutions de \( x(x-1) \, y'' + 3 \, \, x \, y' + y = 0 \)
sur \( ]0,1[ \) ne sont pas toutes des restrictions de fonctions développables en séries entières
au voisinage de \( 0 \)
Probabilités 2
- définition de l'espérance d'une variable aléatoire discrète à valeurs dans \( [0,+\infty] \)
- formule pour l'espérance d'une variable aléatoire à valeurs dans \( \mathbf{N} \,\cup\, \{+\infty\} \)
- espérance d'une variable aléatoire de loi géométrique
- de l'espérance d'une variable aléatoire discrète à valeurs complexes
- définition d'une variable aléatoire centrée
- espérance des variables aléatoires suivant une loi usuelle
- théorème de transfert
- définition de l'ensemble \( L^1 \)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- revoir le chapitre « Probabilités 1 »
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI★ de vendredi
-
exercice 9
de la feuille d'exercices
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
résolution du SDL1
\[\left\{\begin{array}{cccccccccc}
x' & = &- x & + & 3 \, y & + & e^t \\
y' & = & - 2 \, x & + & 4 \, y
\end{array}\right.\]
-
exercice 10
de la feuille d'exercices
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
les solutions de \( X' = A X \) ont toutes une limite nulle en l'infini
si et seulement si
les valeurs propres complexes de A ont toutes une partie réelle négative
-
exercice 74
du polycopié de cours
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
étude qualitative d'une EDLS2 homogène
-
exercice 15
de la feuille d'exercices
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
étude qualitative d'une EDLS2 homogène
-
exercice 81
du polycopié de cours
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
étude de \( x^2 \, y'' + a(x) \, y' + b(x) \, y = 0 \) sur différents intervalles
et
problème de raccordement
Je 12
Mars
TD MPI (2h)
Équations différentielles linéaires
-
exercice 9
de la feuille d'exercices
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
résolution du SDL1
\[\left\{\begin{array}{cccccccccc}
x' & = &- x & + & 3 \, y & + & e^t \\
y' & = & - 2 \, x & + & 4 \, y
\end{array}\right.\]
-
exercice 13
de la feuille d'exercices
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
des solutions de \( 4 \, x \, y'' + 6 \, y' + y = 0 \) développables en séries entières au voisinage de 0
-
exercice 74
du polycopié de cours
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
étude qualitative d'une EDLS2 homogène
-
exercice 81
du polycopié de cours
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
étude de \( x^2 \, y'' + a(x) \, y' + b(x) \, y = 0 \) sur différents intervalles
et
problème de raccordement
Me 11
Mars
Cours (2h)
Équations différentielles linéaires
- si \( ( f_1 , f_2 ) \) est une famille libre de fonctions de
\( \mathcal{F} \left( I , \mathcal{M}_{2,1}(\mathbf{R}) \right) \)
et \( t_0 \) est un point de l'intervalle \(I\),
la famille \( ( f_1(t_0) , f_2(t_0) ) \) de vecteurs de \( \mathcal{M}_{2,1}(\mathbf{R}) \)
n'est pas nécessairement libre.
- si \( \lambda \in \mathbf{R}^* \),
calcul d'une primitive de \( t \longmapsto t \, e^{\lambda t} \)
- méthode de variation des constantes pour obtenir une solution particulière d'un SDL1,
connaissant une base de l'ensemble solution du SDLH1 associé
-
résolution du SDL1
\[\left\{\begin{array}{cccccccccc}
x' & = & 2 \, x & + & y & + & t\\
y' & = & x & + & 2 \, y & + & 1
\end{array}\right.\]
- définition du Wronskien de deux solutions d'une EDLS2 homogène
- le Wronskien de deux solutions d'une EDLS2 homogène est solution d'une EDLS1 homogène
- caractérisation de la liberté de deux solutions d'une EDLS2 homogène grâce au Wronskien
- méthode du Wronskien pour compléter une solution d'une EDLS2 homogène en une base de l'ensemble solution d'icelle
- méthode de la variation de la constante pour compléter une solution d'une EDLS2 homogène
en une base de l'ensemble solution d'icelle
- début de la résolution de
\( x'' - \dfrac{3}{t} \, x' + \dfrac{4}{t^2} \, x = 0 \)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 72
du polycopié de cours
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
fin de la résolution de
\( x'' - \dfrac{3}{t} \, x' + \dfrac{4}{t^2} \, x = 0 \)
-
exercice 76
du polycopié de cours
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
résolution de \( y'' + y = \sin^2(t) \),
en appliquant la méthode de variation des constantes exposée dans la proposition 75
-
exercice 80
du polycopié de cours
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
les solutions de \( x(x-1) \, y'' + 3 \, \, x \, y' + y = 0 \)
sur \( ]0,1[ \) ne sont pas toutes des restrictions de fonctions développables en séries entières
au voisinage de \( 0 \)
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI de jeudi
-
exercice 9
de la feuille d'exercices
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
résolution du SDL1
\[\left\{\begin{array}{cccccccccc}
x' & = &- x & + & 3 \, y & + & e^t \\
y' & = & - 2 \, x & + & 4 \, y
\end{array}\right.\]
-
exercice 13
de la feuille d'exercices
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
des solutions de \( 4 \, x \, y'' + 6 \, y' + y = 0 \) développables en séries entières au voisinage de 0
-
exercice 74
du polycopié de cours
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
étude qualitative d'une EDLS2 homogène
-
exercice 81
du polycopié de cours
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
étude de \( x^2 \, y'' + a(x) \, y' + b(x) \, y = 0 \) sur différents intervalles
et
problème de raccordement
Ma 10
Mars
Cours (2h)
Équations différentielles linéaires
- rayon de convergence et somme de la série entière
\(\displaystyle\sum \dfrac{z^{3n}}{(3n)!}\),
à l'aide de l'EDLS3 \(y^{(3)}=y\) d'inconnue \(y\in\mathcal{C}^3(\mathbf{R},\mathbf{C})\)
- rayon de convergence et somme de la série entière
\(\displaystyle\sum \dfrac{z^{pn}}{(pn)!}\),
où \(p\) est un nombre premier
-
résolution de
\[\left\{\begin{array}{cccccccc}
x' & = & x & + & y \\
y' & = & -x & + & 3 \, y
\end{array}\right.\]
avec calcul d'une exponentielle de matrice
- continuité de l'application
\( \exp \colon \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \longrightarrow \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \)
- si \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \),
dérivabilité et dérivée de l'application :
\[
f
\quad
\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{R} & \longmapsto & \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \\
t & \longmapsto & \exp(t \, A)
\end{array}\right.
\]
- résolution d'un SDLH1 à coefficients constants à l'aide de l'exponentielle matricielle
- si la matrice \( N \in \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \) est nilpotente,
alors toute solution du SDLH1 à coefficients constants \( X' = N \, X \) est polynomiale
- résolution d'un SDLH1 à coefficients constants dans le cas où la matrice sous-jacente est diagonalisable
-
résolution de
\[\left\{\begin{array}{cccccccc}
x' & = & x & + & 2 \, y \\
y' & = & x & + & 2 \, y
\end{array}\right.\]
à l'aide des éléments propres de la matrice
\(\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} \right)\)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
étudier la démonstration complète de la proposition 55
du polycopié de cours
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
dérivabilité et dérivée de l'application :
\[
f
\quad
\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{R} & \longmapsto & \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \\
t & \longmapsto & \exp(t \, A)
\end{array}\right.
\]
- étudier la proposition 65
du polycopié de cours
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
méthode de variation des constantes pour obtenir une solution particulière d'un SDL1,
connaissant une base de l'ensemble solution du SDLH1 associé
- exercice 66
du polycopié de cours
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
résolution du SDL1
\[\left\{\begin{array}{cccccccccc}
x' & = & 2 \, x & + & y & + & t\\
y' & = & x & + & 2 \, y & + & 1
\end{array}\right.\]
en appliquant la méthode de variation des constantes pour obtenir une solution particulière d'un SDL1,
connaissant une base de l'ensemble solution du SDLH1 associé
- comprendre/apprendre la partie 12
du polycopié de cours
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
quelques méthodes pour résoudre un SDL1
Lu 9
Mars
Cours (2h)
Équations différentielles linéaires
- principe de superposition pour une EDL1
- l'ensemble solution d'une EDLH1 est un espace vectoriel
- l'ensemble solution d'une EDL1 est un espace affine
- principe de superposition pour un SDL1
- l'ensemble solution d'un SDLH1 est un espace vectoriel
- l'ensemble solution d'un SDL1 est un espace affine
- principe de superposition pour une EDLS\(n\)
- l'ensemble solution d'une EDLHS\(n\) est un espace vectoriel
- l'ensemble solution d'une EDLS\(n\) est un espace affine
- théorème de Cauchy pour une EDL1
- dimension de l'espace vectoriel solution d'une EDLH1
- description de l'espace affine solution d'une EDL1
- théorème de Cauchy pour un SDL1
- dimension de l'espace vectoriel solution d'un SDLH1
- description de l'espace affine solution d'un SDL1
- résolution du SDLH1 :
\( X ' = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \; X \)
- théorème de Cauchy pour une EDLS\(n\)
- dimension de l'espace vectoriel solution d'une EDLHS\(n\)
- description de l'espace affine solution d'une EDLS\(n\)
- résolution de l'EDLHS\(n\) : \( x^{(n)} = x + 2026 \)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- déterminer le rayon de convergence et calculer la somme de la série entière
\(\displaystyle\sum \dfrac{z^{3n}}{(3n)!}\),
à l'aide de l'EDLS3 \(y^{(3)}=y\) d'inconnue \(y\in\mathcal{C}^3(\mathbf{R},\mathbf{C})\)
- revoir le cours sur les exponentielles d'endomorphismes et de matrices,
cf. partie 5 du chapitre
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
-
exercice 40
du polycopié de cours
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
résolution de
\[\left\{\begin{array}{cccccccc}
x' & = & x & + & y \\
y' & = & -x & + & 3 \, y
\end{array}\right.\]
avec calcul d'une exponentielle de matrice
Sa 7
Mars
Cours (2h)
Équations différentielles linéaires
- résolution du problème de Cauchy
\( y' + \tan(t) \, y = \sin(2\,t \)
avec condition initiale \( y(0)=1 \)
sur \( ]-\pi/2,\pi/2[ \)
- résolution de l'EDL1
\( |t| \; x' + x = t^2 \)
sur \( \mathbf{R} \)
- définition d'une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre \(n\) (EDLS\(n\))
- définition d'une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre \(n\) homogène (EDLHS\(n\))
- définition d'une solution d'une EDLS\(n\)
- l'EDLHS\(n\) associée une DLS\(n\)
- définition d'un problème de Cauchy associé à une EDLS\(n\)
- définition d'une solution à un problème de Cauchy associé à une EDLS\(n\)
- résolution de \( x'' = - 4 \, x' + 5 \, x + 2 \, e^t \)
- résolution de \( x'' = - 2 \, x' - x + 4 \, e^t \)
- exemple d'EDLS3
- écriture de \( x'' = - 4 \, x' + 5 \, x \) sous forme d'un SDL1,
équation caractéristique versus polynôme caractéristique de la matrice sous-jacente
- écriture de \( x''' = t \, x + \operatorname{ch}(t) \, x' - t^2 \, x'' + \operatorname{arctan}(t) \)
sous forme d'un SDL1
- réduction de l'étude d'un SDL1 à une EDL1
- réduction de l'étude d'une EDLS\(n\) à une EDL1
- mise sous forme intégrale d'un problème de Cauchy, pour une EDL1
- mise sous forme intégrale d'un problème de Cauchy, pour un SDL1
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- comprendre/apprendre le début du cours sur les équations différentielles linéaires
Ve 6
Mars
Cours (2h)
Intégrales à paramètre
- caractère \(\mathcal{C}^{\infty}\) (resp. développable en série entière) de la fonction
\( \displaystyle
x \longmapsto \int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{1+tx} \;\operatorname{d}\!t \;.
\)
Équations différentielles linéaires
- une EDL1 de Sup est un cas particulier des EDL1 de Spé
- résolution de \( x' = \dfrac{1}{t} \, x + t^2 \) sur \( \, ]0,+\infty[ \, \)
- résolution de \( x \, y' + 2 \, y = \dfrac{x}{1+x^2} \) sur \( \, ]0,+\infty[ \, \)
- exemple d'EDL1 vectorielle
- définition d'un système différentiel linéaire d'ordre 1 (SDL1)
- définition d'un système différentiel d'ordre 1 homogène (SDLH1)
- définition d'une solution d'un SDL1
- le SDLH1 associé un EDL1
- définition d'un problème de Cauchy associé à un SDL1
- définition d'une solution à un problème de Cauchy associé à un SDL1
- écriture d'un SDL1 sous forme matricielle
- exemple d'un SDL1
- résolution d'un problème de Cauchy associé au SDLH1
\( X' = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \times X \)
à l'aide de la réduction de la matrice sous jacente
et
bijectivité du flot
- champ de vecteurs associé à un SDL1 et interprétation géométrique des solutions
(leurs trajectoires épousent le champ de vecteurs)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- revoir le chapitre 11 du cours de MP2I :
« Équations différentielles linéaires »
-
exercice 5
du polycopié de cours
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
résolution d'un problème de Cauchy linéaire scalaire d'ordre 1
-
exercice 6
du polycopié de cours
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
résolution guidée d'une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 1,
avec raccordement
-
exercice 16
du polycopié de cours
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
résolution de \( x'' = - 4 \, x' + 5 \, x + 2 \, e^t \) sur \( \mathbf{R} \)
-
exercice 17
du polycopié de cours
« Équations différentielles linéaires »
[pdf]
:
résolution de \( x'' = - 2 \, x' - x + 4 \, e^t \) sur \( \mathbf{R} \)
Ve 6
Mars
TD MPI (2h)
Intégrales à paramètre
-
exercice 1
de la feuille d'exercices
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
limite éventuelle de la suite de terme général
\[
\int_0^1 \dfrac{\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)}{x \left( 1+ x^2 \right)} \operatorname{d}\!x
\]
-
exercice 49 de la banque CCINP
[pdf]
:
si \(\displaystyle\sum a_n\) est une série absolument convergente,
alors :
\[
\int_0^{+\infty} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a_n \, t^n}{n!} \, e^{-t} \right) \operatorname{d}\!t
=
\sum_{n=0}^{+\infty} a_n
\]
-
exercice 17
de la feuille d'exercices
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
calcul de
\[
\int_0^1 \dfrac{t-1}{\ln(t)} t^x \operatorname{d}\!t
\]
pour \( x >-1 \),
par application du critère \( \mathcal{C}^1 \) pour les intégrales à paramètres
-
exercice 26
de la feuille d'exercices
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
démonstration du théorème de d'Alembert-Gauß
-
exercice 48
du polycopié de cours
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
calcul de la Gaussienne à l'aide d'une intégrale à paramètre
-
exercice 54
du polycopié de cours
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
étude appronfondie de la fonction \(\Gamma\) d'Euler
Je 5
Mars
Cours (2h)
Intégrales à paramètre
- critère \( \mathcal{C}^1 \) pour les intégrales à paramètre (démonstration)
-
calcul de
\( \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{\sin(t)}{t} \;\operatorname{d}\!t \),
à l'aide d'une transformée de Laplace
- critère \( \mathcal{C}^k \), où \( k \geqslant 2 \), pour les intégrales à paramètre
- si \( \alpha > 0 \) et \( k \in \mathbf{N} \), alors la fonction
\( t \longmapsto \ln^k(t) \, t^{\alpha-1} \, e^{-t} \)
est intégrable sur \( \, ] 0 , +\infty [ \, \)
- la fonction
\(\displaystyle
\Gamma \colon x \longmapsto \int_0^{+\infty} t^{x-1} \, e^{-t} \;\operatorname{d}\!t
\)
est de classe \( \mathcal{C}^{\infty} \) sur \( \,]0,+\infty[\, \) et,
pour tout \( k \in \mathbf{N}^* \),
pour tout \( x > 0 \),
\(\displaystyle
\Gamma^{(k)}(x) = \int_0^{+\infty} \ln^{k}(t) \, t^{x-1} \, e^{-t} \;\operatorname{d}\!t
\)
- la fonction
\(\displaystyle
\Gamma \colon x \longmapsto \int_0^{+\infty} t^{x-1} \, e^{-t} \;\operatorname{d}\!t
\)
est convexe sur \( \, ] 0 , +\infty [ \, \)
Équations différentielles linéaires
- Définition d'une équation différentielle d'ordre 1 (EDL1)
- Définition d'une équation différentielle d'ordre 1 homogène (EDLH1)
- Définition d'une solution d'une EDL1
- L'EDLH1 associée une EDL1
- Définition d'un problème de Cauchy associé à une EDL1
- Définition d'une solution à un problème de Cauchy associé à une EDL1
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 53
du polycopié de cours
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
caractère \(\mathcal{C}^{\infty}\) (resp. développable en série entière) de la fonction
\( \displaystyle
x \longmapsto \int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{1+tx} \;\operatorname{d}\!t \;.
\)
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI de vendredi
-
exercice 1
de la feuille d'exercices
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
limite éventuelle de la suite de terme général
\[
\int_0^1 \dfrac{\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)}{x \left( 1+ x^2 \right)} \operatorname{d}\!x
\]
-
exercice 49 de la banque CCINP
[pdf]
:
si \(\displaystyle\sum a_n\) est une série absolument convergente,
alors :
\[
\int_0^{+\infty} \left( \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{a_n \, t^n}{n!} \, e^{-t} \right) \operatorname{d}\!t
=
\sum_{n=0}^{+\infty} a_n
\]
-
exercice 17
de la feuille d'exercices
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
calcul de
\[
\int_0^1 \dfrac{t-1}{\ln(t)} t^x \operatorname{d}\!t
\]
pour \( x >-1 \),
par application du critère \( \mathcal{C}^1 \) pour les intégrales à paramètres
-
exercice 54
du polycopié de cours
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
étude appronfondie de la fonction \(\Gamma\) d'Euler
-
exercice 26
de la feuille d'exercices
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
démonstration du théorème de d'Alembert-Gauß
Je 5
Mars
TD MPI★ (2h)
Intégrales à paramètre
-
exercice 5
de la feuille d'exercices
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
limite éventuelle de la suite de terme général
\[
u_n = n \; \int_0^1 \dfrac{f(nt)}{1+t} \operatorname{d}\!t
\]
où \(f\) est une fonction continue de \(\mathbf{R}_+\) vers \(\mathbf{R}_+\)
-
exercice 14
de la feuille d'exercices
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
identité
\[
\int_0^1 x^{-x} \operatorname{d}\!x = \sum_{n=1}^{+\infty} n^{-n}
\]
-
exercice 23
de la feuille d'exercices
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
calcul de
\[
\int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-at} - e^{-bt}}{t} \, \cos(xt) \operatorname{d}\!t
\]
où \( a > 0 \) et \( b > 0 \),
par application du critère \( \mathcal{C}^1 \) pour les intégrales à paramètres
-
exercice 26
de la feuille d'exercices
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
démonstration du théorème de d'Alembert-Gauß
-
exercice 48
du polycopié de cours
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
calcul de la Gaussienne à l'aide d'une intégrale à paramètre
-
exercice 54
du polycopié de cours
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
étude appronfondie de la fonction \(\Gamma\) d'Euler
Me 4
Mars
Cours (4h)
Intégrales à paramètre
-
domaine de définition et étude en \(+\infty\) de la fonction
\(\displaystyle
f \colon x \longmapsto \int_0^{\pi/2} ( \sin(t) )^x \;\operatorname{d}\!t
\)
-
\( \displaystyle
\int_0^1 \dfrac{\ln(t)}{ 1 - t } \;\operatorname{d}\!t
=
- \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}
\)
- Théorème d'intégration de Lebesgue sur un intervalle quelconque,
dans le cas général
- \( \displaystyle
\int_0^1 \dfrac{\ln(t)}{ 1 + t^2 } \;\operatorname{d}\!t
=
\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{(2n+1)^2} \)
-
échange série-intégrale,
en appliquant le théorème de convergence dominée
à la suite de fonctions formée par les sommes partielles
-
\( \displaystyle
\int_0^1 \dfrac{1}{ 1 + t^3 } \;\operatorname{d}\!t
=
\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{3n+1}
\)
-
primitivation de la fonction \( t \longmapsto \dfrac{1}{ 1 + t^3 } \)
- critère de continuité pour les intégrales à paramètre
- la fonction
\(\displaystyle
g \colon x \longmapsto \int_0^{+\infty} \dfrac{e^{- t x^2} }{1+t^3} \;\operatorname{d}\!t
\)
est définie et continue sur \(\mathbf{R}\)
- critère \( \mathcal{C}^1 \) pour les intégrales à paramètre (énoncé)
- la fonction
\(\displaystyle
\Gamma \colon x \longmapsto \int_0^{+\infty} t^{x-1} \, e^{-t} \;\operatorname{d}\!t
\)
est de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( \,]0,+\infty[\, \) et,
pour tout \( x > 0 \),
\(\displaystyle
\Gamma'(x) = \int_0^{+\infty} \ln(t) \, t^{x-1} \, e^{-t} \;\operatorname{d}\!t
\)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 47
du polycopié de cours
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
calcul de
\( \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{\sin(t)}{t} \;\operatorname{d}\!t \),
à l'aide d'une transformée de Laplace
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI★ de jeudi
-
exercice 5
de la feuille d'exercices
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
limite éventuelle de la suite de terme général
\[
u_n = n \; \int_0^1 \dfrac{f(nt)}{1+t} \operatorname{d}\!t
\]
où \(f\) est une fonction continue de \(\mathbf{R}_+\) vers \(\mathbf{R}_+\)
-
exercice 14
de la feuille d'exercices
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
identité
\[
\int_0^1 x^{-x} \operatorname{d}\!x = \sum_{n=1}^{+\infty} n^{-n}
\]
-
exercice 23
de la feuille d'exercices
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
calcul de
\[
\int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-at} - e^{-bt}}{t} \, \cos(xt) \operatorname{d}\!t
\]
où \( a > 0 \) et \( b > 0 \),
par application du critère \( \mathcal{C}^1 \) pour les intégrales à paramètres
-
exercice 26
de la feuille d'exercices
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
démonstration du théorème de d'Alembert-Gauß
-
exercice 54
du polycopié de cours
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
étude appronfondie de la fonction \(\Gamma\) d'Euler
Lu 2
Mars
DS8 (4h)
Piste verte (CCINP MP 2017)
- calcul d'une Jacobienne
- familles sommables
- séries trigonométriques
Piste rouge (Mines-Ponts MP 2010)
- matrices avec deux 1 sur chaque ligne, chaque colonne et des 0 partout ailleurs
Piste noire (X-ÉNS MP 2012)
- caractérisation analytique des nombres de Pisot
Ve 13
Février
Cours (2h)
Intégrales à paramètre
- limite éventuelle de
\( \displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{1}{x^n + \operatorname{e}^x} \;\operatorname{d}\!x \)
lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \)
- étudier la limite éventuelle de
\( \displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{x^n}{1+x^{n+2}} \;\operatorname{d}\!x \)
lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \)
- variante continue du théorème de convergence dominée
- domaine de définition et étude en \(+\infty\) de la fonction
\[
f \colon x \longmapsto \int_0^1 \dfrac{t^{x-1}}{1+t} \;\operatorname{d}\!t
\]
- théorème d'intégration terme à terme de Lebesgue dans le cas positif
- \( \displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{t}{\operatorname{e}^t - 1} \;\operatorname{d}\!t
= \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2} \)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
apprendre la variante continue du théorème de convergence dominée,
qui sera la pierre angulaire de la suite,
cf. corollaire 11
du polycopié de cours
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
-
exercice 13
du polycopié de cours
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
domaine de définition et étude en \(+\infty\) de la fonction
\[
f \colon x \longmapsto \int_0^{\pi/2} ( \sin(t) )^x \;\operatorname{d}\!t
\]
-
exercice 17
du polycopié de cours
« Intégrales à paramètre »
[pdf]
:
\( \displaystyle
\int_0^1 \dfrac{\ln(t)}{ 1 + t^2 } \;\operatorname{d}\!t
=
\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{(2n+1)^2}
\)
Ve 13
Février
TD MPI★ (2h)
Séries entières
-
exercice 38
du polycopié de cours
« Séries entières »
[pdf]
:
pour tout \( \theta \in \, ]0,\pi[ \, \),
\( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\sin(n\theta)}{n} = \dfrac{\pi-\theta}{2} \)
-
exercice 67
du polycopié de cours
« Séries entières »
[pdf]
:
expression de la fonction
\( x \longmapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^{2n}}{4 \, n^2 - 1} \)
à l'aide de fonctions usuelles
-
exercice 14
de la feuille d'exercices
« Séries entières »
[pdf]
:
formule de Cauchy et théorème de Liouville
-
exercice 17
de la feuille d'exercices
« Séries entières »
[pdf]
:
nombre d'involutions
-
exercice 22
de la feuille d'exercices
« Séries entières »
[pdf]
:
identité de Parseval
Je 12
Février
Cours (2h)
Séries entières
- condition nécessaire, condition suffisante pour qu'une fonction soit développable en série entière
au voisinage de 0 (démonstration)
-
pour tout \( \alpha \in \mathbf{R} \),
développement en série entière de la fonction
\( x \longmapsto (1+x)^{\alpha} \)
en utilisant un problème de Cauchy
-
développement en série entière de la fonction
\( x \longmapsto \ln(1+x) + \ln(1-2x) \)
-
développement en série entière de la fonction arcsinus
Intégrales à paramètre
- rappel du théorème d'échange
« \(\displaystyle \lim \text{ vs. } \int_a^b \) »
sous convergence uniforme sur le segment \([a,b] \)
- théorème de convergence dominée
- limite éventuelle de
\( \displaystyle\int_0^{\pi/4} \tan^n(x) \;\operatorname{d}\!x \)
lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- étudier la limite éventuelle de
\( \displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{1}{x^n + \operatorname{e}^x} \;\operatorname{d}\!x \)
lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \)
- étudier la limite éventuelle de
\( \displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{x^n}{1+x^{n+2}} \;\operatorname{d}\!x \)
lorsque \( n \) tend vers \( +\infty \)
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI★ de vendredi
-
exercice 38
du polycopié de cours
« Séries entières »
[pdf]
:
pour tout \( \theta \in \, ]0,\pi[ \, \),
\( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\sin(n\theta)}{n} = \dfrac{\pi-\theta}{2} \)
-
exercice 67
du polycopié de cours
« Séries entières »
[pdf]
:
expression de la fonction
\( x \longmapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^{2n}}{4 \, n^2 - 1} \)
à l'aide de fonctions usuelles
-
exercice 14
de la feuille d'exercices
« Séries entières »
[pdf]
:
formule de Cauchy et théorème de Liouville
-
exercice 17
de la feuille d'exercices
« Séries entières »
[pdf]
:
nombre d'involutions
-
exercice 22
de la feuille d'exercices
« Séries entières »
:
identité de Parseval
Je 12
Février
TD MPI (2h)
Séries entières
- la suite de terme général \(\sin(n)\) ne converge pas vers \(0\),
à l'aide de formule de trigonométrie
- si \(x \in \,]-1,1[\,\), calcul de
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n} \)
et
\( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1} \)
-
exercice 65
du polycopié de cours
« Séries entières »
[pdf]
:
expression de la fonction
\( x \longmapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{(n+1)(n+3)} \)
à l'aide de fonctions usuelles
-
exercice 3
de la feuille d'exercices
« Séries entières »
[pdf]
:
rayon de convergence de la série entière
\( x \longmapsto \displaystyle\sum \dfrac{\sin(n)}{n} \, x^n \)
-
exercice 4
de la feuille d'exercices
« Séries entières »
[pdf]
:
développement en série entière de la fonction
\( x \longmapsto \ln\left( \dfrac{1+x}{1-x} \right) \)
-
exercice 5
de la feuille d'exercices
« Séries entières »
[pdf]
:
expression de la fonction
\( x \longmapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \, \dfrac{x^{2n}}{2n \, (2n-1)} \)
à l'aide de fonctions usuelles
-
exercice 7
de la feuille d'exercices
« Séries entières »
[pdf]
:
expression de la fonction
\( x \longmapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n^2-5n+1}{n!} \, x^n \)
à l'aide de fonctions usuelles
-
exercice 16
de la feuille d'exercices
« Séries entières »
[pdf]
:
nombre de dérangements
Me 11
Février
Cours (2h)
Séries entières
- rayon de convergence et somme de la série entière
\( \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^n}{2n+1} \, z^{2n+1} \),
puis valeur de \( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{2n+1} \)
- caractère \( \mathcal{C}^{\infty} \) de la somme d'une série entière sur son intervalle de convergence
- calcul de la somme de la série entière
\( \displaystyle \sum n \, x^{n-1} \)
sur son intervalle ouvert de convergence
- calcul de la somme de la série entière
\( \displaystyle \sum n^2 \, x^{n-1} \)
sur son intervalle ouvert de convergence
- primitivation terme à terme d'une série entière sur son intervalle ouvert de convergence
- rayon de convergence et somme de la série entière
\( \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^n}{n} \, z^{n} \),
puis valeur de \( \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n} \)
- coefficients d'une série entière versus nombres dérivés successifs en 0
- unicité des coefficients d'une série entière de rayon de convergence strictement positif
- définition d'une fonction développable en série entière
- les fonctions
\(\exp\),
\( x \longmapsto 1/(1-x) \),
\(\operatorname{ch}\),
\(\operatorname{sh}\),
\(\operatorname{cos}\),
\(\operatorname{sin}\),
\(\operatorname{atan}\),
\( x \longmapsto \ln(1+x) \)
sont développables en série entière
au voisinage de 0
- condition nécessaire, condition suffisante pour qu'une fonction soit développable en série entière
au voisinage de 0 (énoncé)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 57
du polycopié de cours
« Séries entières »
[pdf]
:
pour tout \( \alpha \in \mathbf{R} \),
développement en série entière de la fonction
\( x \longmapsto (1+x)^{\alpha} \)
en utilisant un problème de Cauchy
-
apprendre la table des 9 développements en série entière usuels de la section 8.7
du polycopié de cours
« Séries entières »
[pdf]
-
exercice 59
du polycopié de cours
« Séries entières »
[pdf]
:
développement en série entière de la fonction arcsinus
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI de jeudi
-
exercice 65
du polycopié de cours
« Séries entières »
[pdf]
:
expression de la fonction
\( x \longmapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{(n+1)(n+3)} \)
à l'aide de fonctions usuelles
-
exercice 3
de la feuille d'exercices
« Séries entières »
[pdf]
:
rayon de convergence de la série entière
\( x \longmapsto \displaystyle\sum \dfrac{\sin(n)}{n} \, x^n \)
-
exercice 4
de la feuille d'exercices
« Séries entières »
[pdf]
:
développement en série entière de la fonction
\( x \longmapsto \ln\left( \dfrac{1+x}{1-x} \right) \)
-
exercice 7
de la feuille d'exercices
« Séries entières »
[pdf]
:
expression de la fonction
\( x \longmapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n^2-5n+1}{n!} \, x^n \)
à l'aide de fonctions usuelles
-
exercice 16
de la feuille d'exercices
« Séries entières »
[pdf]
:
nombre de dérangements
Ma 10
Février
Cours (2h)
Séries entières
- invariance du rayon de convergence par multiplication par \( n^{\alpha} \)
- synthèse des différentes méthodes exposées pour calculer le rayon de convergence d'une série entière
- rayon de convergence des séries entières
\( \displaystyle \sum \dfrac{z^n}{n(n+1)} \),
\( \displaystyle \sum n^2 \, z^n \),
\( \displaystyle\sum \sqrt{n+2} \, z^n \),
\( \displaystyle \sum P(n) \, z^n \)
où \( P \in \mathbf{C}[X] \),
\( \displaystyle \sum z^{n!} \),
\( \displaystyle \sum_{\text{$n$ premier}} \dfrac{z^n}{3^n} \),
\( \displaystyle \sum \dfrac{\ln(n)}{n^2} z^{2n} \),
\( \displaystyle \sum n^{(-1)^n} \, z^n \),
\( \displaystyle \sum e^{i a_n} \, z^n \)
où \( (a_n)_{n\in\mathbf{N}}\in\mathbf{R}^{\mathbf{N}} \)
- somme de deux séries entières
- développement en série entière de \(\operatorname{cosh}\)
- développement en série entière de \(\operatorname{sinh}\)
- produit de Cauchy de deux séries entières
- rayon de convergence et somme de la série entière
\( \displaystyle \sum (n+1) \, z^n \)
- développement en série entière de la fonction \( z \longmapsto \dfrac{e^z}{1-z} \)
- continuité d'une fonction de la variable complexe
- la fonction polynomiale associée à un polynôme de \(\mathbf{C}[X]\) est continue sur \(\mathbf{C}\)
- convergence normale sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence
- il n'y a pas nécessairement convergence uniforme sur le disque ouvert de convergence
- continuité de la somme d'une série entière sur le disque ouvert de convergence
- la fonction exponentielle est continue sur \(\mathbf{C}\)
- théorème d'Abel radial
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
étudier une démonstration du théorème 35
du polycopié de cours
« Séries entières »
[pdf]
:
théorème d'Abel radial
-
exercice 36
du polycopié de cours
« Séries entières »
[pdf]
:
rayon de convergence et somme de la série entière
\( \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^n}{2n+1} \, z^{2n+1} \),
puis valeur de \( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{2n+1} \)
Lu 9
Février
Cours (2h)
Séries entières
- caractérisation du rayon de convergence, cf. cercle de rupture de comportement (démonstration)
- rayons de convergence des séries entières
\(\displaystyle
\sum \dfrac{z^n}{2^n} \,,\,
\sum \ln(n) \, z^n \,,\,
\sum n! \, z^n \,,\,
\sum n^{\alpha} \, z^n \,,\,
\sum n! \dfrac{(-1)^n}{2n+1} \, z^n
\)
- définitions du disque ouvert de convergence et de l'intervalle ouvert de convergence
- nature de la série \(\displaystyle\sum \dfrac{z^n}{n}\) en tout point \(z\) complexe
(avec la transformation d'Abel pour les points du cercle unité)
et,
pour tout \( x \in \, ]-1,1[\, \)
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n} = - \ln(1-x)
\]
- détermination du rayon de convergence à partir d'un point atypique
- règle de d'Alembert pour les séries entières
- la règle de d'Alembert pour les séries entières ne permet pas de déterminer le rayon de
convergence de la série entière \( \displaystyle \sum n^{(-1)^n} \, z^n \)
- la règle de d'Alembert pour les séries entières ne permet pas de déterminer le rayon de
convergence de la série entière \( \displaystyle \sum 2^n \, z^{2n} \)
- relations de comparaison et rayons de convergence
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
étudier le corrigé de l'exercice 55 présenté dans le polycopié de cours (en ligne)
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
une matrice \(M\) trigonalisable est diagonalisable si et seulement si \(\exp(M)\) est diagonalisable
-
rédiger une démonstration de la proposition 13
du polycopié de cours
« Séries entières »
[pdf]
:
invariance du rayon de convergence par multiplication par \( n^{\alpha} \)
-
exercice 14
du polycopié de cours
« Séries entières »
[pdf]
:
\( \displaystyle \sum \dfrac{z^n}{n(n+1)} \),
\( \displaystyle \sum n^2 \, z^n \),
\( \displaystyle\sum \sqrt{n+2} \, z^n \),
\( \displaystyle \sum P(n) \, z^n \)
où \( P \in \mathbf{C}[X] \),
\( \displaystyle \sum z^{n!} \),
\( \displaystyle \sum_{\text{$n$ premier}} \dfrac{z^n}{3^n} \),
\( \displaystyle \sum \dfrac{\ln(n)}{n^2} z^{2n} \),
\( \displaystyle \sum n^{(-1)^n} \, z^n \),
\( \displaystyle \sum e^{i a_n} \, z^n \)
où \( (a_n)_{n\in\mathbf{N}}\in\mathbf{R}^{\mathbf{N}} \)
Sa 7
Février
DS7 (4h)
Piste verte (CCINP MP-MPI 2023)
- orthogonalité dans un espace de matrices
- décomposition de Dunford
Piste rouge (X-ÉNS MP 2019)
- polynômes cyclotomiques
- nombres de Salem
Ve 6
Février
Cours (2h)
Réduction des endomorphismes et des matrices 2
- une matrice diagonalisable et nilpotente est nulle
- codiagonalisation pour deux endomorphismes (resp. pour deux matrices)
- décomposition de Jordan d'une matrice trigonalisable : existence
- décomposition de Jordan de \( M \in \mathcal{M}_7(\mathbf{C}) \) telle que
\( \chi_M = ( X - 2)^3 (X-3)^4 \)
Séries entières
- définition d'une série entière
- problématiques du chapitre
- lemme d'Abel
- définition du rayon de convergence d'une série entière
- rayons de convergence des séries entières
\(\displaystyle
\sum z^n \,,\,
\sum \dfrac{z^n}{n!} \,,\,
\sum \dfrac{z^n}{n^2}
\)
- caractérisation du rayon de convergence, cf. cercle de rupture de comportement (énoncé)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 55
du polycopié de cours (en ligne)
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
une matrice \(M\) trigonalisable est diagonalisable si et seulement si \(\exp(M)\) est diagonalisable,
avec la décomposition de Jordan de \(M\)
-
exercices 6, 7, 8, 9 et 10
du polycopié de cours
« Séries entières »
[pdf]
: rayons de convergence des séries entières
\[
\sum \dfrac{z^n}{2^n}
\quad,\quad
\sum \ln(n) \, z^n
\quad,\quad
\sum n! \, z^n
\quad,\quad
\sum n^{\alpha} \, z^n
\quad,\quad
\sum \dfrac{(-1)^n}{2n+1} \, z^n
\]
où \(\alpha\) est une constante réelle
Ve 6
Février
TD MPI (2h)
Réduction des endomorphismes et des matrices 2
-
exercice 36
du polycopié de cours
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
endomorphisme \(u\) d'un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie tel que
\(u^3+u^2+u=0\)
-
exercice 88
de la banque CCINP
[pdf]
:
réduction d'un endomorphisme de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{R})\) annulé par \( X^2 -2X + 1 \)
-
exercice 4
du polycopié de cours
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
matrice \(A\) de \(\operatorname{GL}_5(\mathbf{R})\) telle que \(A^3+A^2-2A=0\) et \(\operatorname{tr}(A)=2\)
-
exercice 14
de la feuille d'exercices
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
démonstration topologique du théorème de Cayley-Hamilton pour une matrice à coefficients complexes
Je 5
Février
Cours (2h)
Réduction des endomorphismes et des matrices 2
- théorème de Cayley-Hamilton (démonstration via les endomorphismes cycliques)
-
polynôme minimal et puissances de la matrice
\[\left(\begin{array}{ccc}
3 & 1 & -1 \\
1 & 3 & -1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right)\]
- lemme des noyaux (démonstration)
- caractérisations algébriques de la diagonalisabilité (démonstration)
-
endomorphisme \(u\) de \(\mathbf{C}^n\) tel qu'il existe un entier naturel non nul \(p\) vérifiant
\(u^p = \operatorname{id}\)
- pour un endomorphisme trigonalisable,
décomposition de l'espace en somme directe de sous-espaces caractéristiques
- dimension des sous-espaces caractéristiques
- forme de Jordan d'une matrice trigonalisable
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI de vendredi
-
exercice 36
du polycopié de cours
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
endomorphisme \(u\) d'un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie tel que
\(u^3+u^2+u=0\)
-
exercice 88
de la banque CCINP
[pdf]
:
réduction d'un endomorphisme de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{R})\) annulé par \( X^2 -2X + 1 \)
-
exercice 4
du polycopié de cours
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
matrice \(A\) de \(\operatorname{GL}_5(\mathbf{R})\) telle que \(A^3+A^2-2A=0\) et \(\operatorname{tr}(A)=2\)
-
exercice 8
du polycopié de cours
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
réduction du crochet de Lie par une symétrie
-
exercice 14
de la feuille d'exercices
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
démonstration topologique du théorème de Cayley-Hamilton pour une matrice à coefficients complexes
Je 5
Février
TD MPI★ (2h)
Réduction des endomorphismes et des matrices 2
-
exercice 36
du polycopié de cours
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
endomorphisme \(u\) d'un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie tel que
\(u^3+u^2+u=0\)
-
exercice 9
de la feuille d'exercices
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
matrices de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A^2-3A+4I_n=0\)
-
exercice 10
de la feuille d'exercices
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
matrice à coefficients complexes dont le carré est diagonalisable,
avec le critère algébrique de diagonalisabilité
-
exercice 11
de la feuille d'exercices
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
codiagonalisation,
avec le critère algébrique de diagonalisabilité
-
exercice 13
de la feuille d'exercices
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
cotrigonalisation
-
exercice 16
de la feuille d'exercices
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
décomposition de Dunford,
avec la version complète du lemme des noyaux
Me 4
Février
Cours (2h)
Réduction des endomorphismes et des matrices 2
- polynôme minimal, polynôme caractéristique et commutant d'un endomorphisme cyclique
- le noyau et de l'image d'un élément de \(\mathbf{K}[u]\) sont stables par \(u\)
- deux résultats sur la primalité relative de polynômes
- lemme des noyaux (énoncé)
- application du lemme des noyaux aux symétries (resp. aux projecteurs)
- étude d'un endomorphisme \(f\) vérifiant \( f^2 - f - 2 \, \operatorname{id} \)
- endormorphisme \(u\) de \(\mathbf{R}^n\) vérifiant \(u^3-4u^2+4u=0\) et \(\operatorname{tr}(u)=0\)
- théorème de Cayley-Hamilton (énoncé)
- le théorème de Cayley-Hamilton est connnu
pour les matrice (2,2),
pour les matrices diagonalisables
et pour les endomorphismes cycliques
- caractérisation algébrique de la diagonalisabilité (énoncé)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
étudier la démonstration du théorème 41 (Cayley-Hamilton) présentée dans le
polycopié de cours
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
extension du résultat, des endomorphismes cycliques, aux endomorphismes quelconques
-
exercice 44
du polycopié de cours
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
polynôme minimal et puissances de la matrice
\[\left(\begin{array}{ccc}
3 & 1 & -1 \\
1 & 3 & -1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right)\]
-
exercice 46
du polycopié de cours
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
endomorphisme \(u\) de \(\mathbf{C}^n\) tel qu'il existe un entier naturel non nul \(p\) vérifiant
\(u^p = \operatorname{id}\)
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI★ de jeudi
-
exercice 36
du polycopié de cours
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
endomorphisme \(u\) d'un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie tel que
\(u^3+u^2+u=0\)
-
exercice 9
de la feuille d'exercices
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
matrices de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A^2-3A+4I_n=0\)
-
exercice 10
de la feuille d'exercices
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
matrice à coefficients complexes dont le carré est diagonalisable,
avec le critère algébrique de diagonalisabilité
-
exercice 11
de la feuille d'exercices
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
codiagonalisation,
avec le critère algébrique de diagonalisabilité
-
exercice 16
de la feuille d'exercices
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
décomposition de Dunford,
avec la version complète du lemme des noyaux
Ma 3
Février
Cours (2h)
Réduction des endomorphismes et des matrices 2
- polynôme minimal d'un endomorphisme d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie
et
polynôme minimal d'une matrice (démonstration)
- idéal annulateur du shift sur \(\mathbf{R}^{\mathbf{N}}\)
- polynôme minimal de \(A := \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \),
sous-algèbre de \( \mathcal{M}_2(\mathbf{R}) \)
et
puissances de \(A\)
- polynôme minimal d'une matrice diagonale (resp. diagonalisable)
- valeurs propres et polynôme annulateur d'un endomorphisme (resp. d'une matrice)
- \( X^2 - 1 \) annule une symétrie donc les valeurs propres possibles d'une telles sont \(-1\) et \(1\)
- \( X^2 - X \) annule un projecteur donc les valeurs propres possibles d'une telles sont \(0\) et \(1\)
- \( (X-1)(X-2027) \) annule \(I_n\) mais 2027 n'est pas valeur propre de \(I_n\)
- spectre complexe d'une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \) telle que \( A^2 + I_n = 0 \)
- racines du polynôme minimal, racine du polynôme caractéristique et valeur propre
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 23
du polycopié de cours
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
polynôme minimal, polynôme caractéristique et commutant d'un endomorphisme cyclique
-
remarque 30
du polycopié de cours
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
démontrer que le noyau et de l'image d'un élément de \(\mathbf{K}[u]\) sont stables par \(u\)
Lu 2
Février
Cours (2h)
Suites et séries de fonctions 2
- existence et valeur de
\[
\sum_{n=k}^{+\infty} \dfrac{n!}{(n-k)!} x^{n-k}
\]
où \( (k,x) \in \mathbf{N} \times \,]-1,1[\,\)
en dérivant terme à terme la série géométrique
Familles sommables
- existence et valeur de
\[
\sum_{n=k}^{+\infty} \binom{n}{k} x^{n-k}
\]
où \( (k,x) \in \mathbf{N} \times \,]-1,1[\,\)
à l'aide de produit de Cauchy de séries numériques absolument convergentes
Probabilités 2
- application de l'existence et de la valeur de
\[
\sum_{n=k}^{+\infty} \binom{n}{k} x^{n-k}
\]
où \( (k,x) \in \mathbf{N} \times \,]-1,1[\,\)
à la loi de Pascal
Réduction des endomorphismes et des matrices 2
- théorème de Cayley-Hamilton pour une matrice \( M \) de format (2,2)
et sous-algèbre engendrée par \(M\)
- sous-algèbre engendrée par la matrice \( E_{1,2}+E_{2,3} \) de \( \mathcal{M}_3(\mathbf{R}) \)
- idéal annulateur d'un endomorphisme, idéal annulateur d'une matrice
- détermination du générateur unitaire de l'idéal annulateur de la matrice
\(\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbf{R}) \)
- polynôme minimal d'un endomorphisme d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie
et
polynôme minimal d'une matrice (énoncé)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 15
du polycopié de cours
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
idéal annulateur du shift sur \(\mathbf{R}^{\mathbf{N}}\)
-
exercice 20
du polycopié de cours
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
polynôme minimal de \(A := \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \),
sous-algèbre de \( \mathcal{M}_2(\mathbf{R}) \)
et
puissances de \(A\)
Ve 30
Janvier
Cours (2h)
Suites et séries de fonctions 2
- sens de variation (fin),
convexité,
équivalent en \(1^+\),
DA à précision \(\operatorname{o}\left(\dfrac{1}{2^x}\right)\) de :
\[
\zeta
\quad
\left|\begin{array}{ccc}
]1,+\infty[ & \longmapsto & \mathbf{R} \\
x & \longmapsto & \displaystyle
\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^x}
\end{array}\right.
\]
Réduction des endomorphismes et des matrices 2
- définitions d'un polynôme d'endomorphisme et d'un polynôme de matrice
- un lien entre polynôme d'endomorphisme et polynôme de matrice, via le choix d'une base
- les morphismes de \(\mathbf{K}\)-algèbres :
\[
\left|\;\begin{array}{rcl}
\mathbf{K}[X] & \longrightarrow & \mathcal{L}(E) \\
P & \longmapsto & P(u)
\end{array}\right.
\qquad\text{et}\qquad
\left|\;\begin{array}{rcl}
\mathbf{K}[X] & \longrightarrow & \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \\
P & \longmapsto & P(M)
\end{array}\right.
\]
où
\(u\) est un endomorphisme d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel \(E\)
et
\(M \in \mathcal{M}_n(\mathbf{K})\)
- deux polynômes d'un même endomorphisme commutent,
deux polynômes d'un même matrice commutent
- \(\mathbf{K}\)-algèbre engendrée par une endomorphisme,
\(\mathbf{K}\)-algèbre engendrée par une matrice
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 30
du polycopié de cours
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
convergence et valeur de
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n}
\qquad\text{et}\qquad
\sum_{n=k}^{+\infty} \dfrac{n!}{(n-k)!} x^n
\]
où \( (k,x) \in \mathbf{N} \times [0,1[\,\)
-
revoir le corollaire 7
(énoncé et démonstration)
du polycopié de cours
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
sous-algèbre engendrée par un endomorphisme/une matrice
-
exercice 10
du polycopié de cours
« Réduction des endomorphismes et des matrices 2 »
[pdf]
:
sous-algèbre engendrée par la matrice \( E_{1,2}+E_{2,3} \) de \( \mathcal{M}_3(\mathbf{R}) \)
Ve 30
Janvier
TD MPI★ (2h)
Suites et séries de fonctions 2
-
exercice 3
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
étude de la fonction
\[
S \:\colon\: x \longmapsto \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{x \, e^{-nx} }{\ln(n)}
\]
- rappels sur le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes
-
exercice 6
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
calcul de
\( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n \, e^{-nx} \)
où \( x > 0 \)
-
exercice 10
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
étude de la fonction
\[
S \:\colon\: x \longmapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n+n^2 \, x}
\]
-
exercice 11
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
développement en série indexée par \(\mathbf{Z}\) de la fonction
\[
x \longmapsto \dfrac{\pi^2}{\sin^2(\pi \, x)}
\]
Je 29
Janvier
Cours (2h)
Suites et séries de fonctions 2
-
existence et valeur de la somme
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} r^n \, n \, \cos(nt) \),
où \( r \in [0,1[\, \) et \( t \in \mathbf{R} \)
- critère \(\mathcal{C}^1\) pour les suites de fonctions (démonstration)
- ensemble de définition, dérivabilité, dérivée et limite éventuelle en \(1^-\) de la fonction
\[
f \:\colon\: x \longmapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{1+x^n}
\]
- critère \(\mathcal{C}^k\) pour les suites de fonctions où \( k \geqslant 1 \)
- critère \(\mathcal{C}^k\) pour les séries de fonctions où \( k \geqslant 1 \)
- sens de variation et caractère \(\mathcal{C}^{\infty}\) (début) de la fonction
\[
\zeta
\quad
\left|\begin{array}{ccc}
]1,+\infty[ & \longmapsto & \mathbf{R} \\
x & \longmapsto & \displaystyle
\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^x}
\end{array}\right.
\]
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
achever la résolution de l'exercice 31
du polycopié de cours
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
étude complète de la fonction
\[
\zeta
\quad
\left|\begin{array}{ccc}
]1,+\infty[ & \longmapsto & \mathbf{R} \\
x & \longmapsto & \displaystyle
\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^x}
\end{array}\right.
\]
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI★ de vendredi
-
exercice 27
du polycopié de cours
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
étant données \( r \in [0,1[\, \) et \( t \in \mathbf{R} \)
\[
\arctan\left( \dfrac{r\sin(t)}{1-r\cos(t)} \right)
=
\sum_{n=1}^{+\infty} r^n \dfrac{\sin(nt)}{n}
\]
-
exercice 3
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
étude de la fonction
\[
S \:\colon\: x \longmapsto \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{x \, e^{-nx} }{\ln(n)}
\]
-
exercice 10
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
étude de la fonction
\[
S \:\colon\: x \longmapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n+n^2 \, x}
\]
-
exercice 11
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
développement en série indexée par \(\mathbf{Z}\) de la fonction
\[
x \longmapsto \dfrac{\pi^2}{\sin^2(\pi \, x)}
\]
-
exercice 12
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
une fonction de Weierstraß continue sur \(\mathbf{R}\), mais nulle part dérivable
Je 29
Janvier
TD MPI (2h)
Suites et séries de fonctions 2
- rappels sur le théorème de la limite de la dérivée
-
exercice 2
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
étude de la fonction
\[
S \:\colon\: x \longmapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{e^{-nx}}{1+n^2}
\]
-
exercice 4
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
étude de la fonction
\[
S \:\colon\: x \longmapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n+x}
\]
- rappels sur le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes
-
exercice 6
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
calcul de
\( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n \, e^{-nx} \)
où \( x > 0 \)
Me 28
Janvier
Cours (2h)
Suites et séries de fonctions 2
- limite éventuelle de
\[
\int_0^1 \left( x^2 + 1 \right) \dfrac{ n e^x + x e^{-x} }{ n + x } \operatorname{d}x
\]
lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\)
- intégration d’une somme de série uniformément convergente de fonctions continues sur un segment
- calcul de la somme
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n \, 2^n}\)
- primitivation d’une limite uniforme de suite de fonctions continues
- primitivation terme à terme d’une série uniformément convergente de fonctions continues
- heuristique pour l'existence et valeur de la somme
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} r^n \, n \, \cos(nt) \),
où \( r \in [0,1[\, \) et \( t \in \mathbf{R} \)
- critère \(\mathcal{C}^1\) pour les suites de fonctions (énoncé)
- critère \(\mathcal{C}^1\) pour les séries de fonctions
- dérivabilité, dérivée de la fonction
\[
f
\quad
\left|\begin{array}{ccc}
[0,1] & \longmapsto & \mathbf{R} \\
x & \longmapsto & \displaystyle
\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \ln \left( 1 + \dfrac{x}{n} \right) - \dfrac{x}{n} \right)
\end{array}\right.
\]
et calcul de \(f'(1)\)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 22
du polycopié de cours
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
existence et valeur de la somme
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} r^n \, n \, \cos(nt) \),
où \( r \in [0,1[\, \) et \( t \in \mathbf{R} \)
-
exercice 26
du polycopié de cours
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
ensemble de définition, dérivabilité, dérivée et limite éventuelle en \(1^-\) de la fonction
\[
f \:\colon\: x \longmapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{1+x^n}
\]
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI de jeudi
-
exercice 2
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
étude de la fonction
\[
S \:\colon\: x \longmapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{e^{-nx}}{1+n^2}
\]
-
exercice 4
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
étude de la fonction
\[
S \:\colon\: x \longmapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n+x}
\]
-
exercice 6
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
calcul de
\( \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n \, e^{-nx} \)
où \( x > 0 \)
-
exercice 11
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
développement en série indexée par \(\mathbf{Z}\) de la fonction
\[
x \longmapsto \dfrac{\pi^2}{\sin^2(\pi \, x)}
\]
Ma 27
Janvier
Cours (2h)
Structures algébriques
- théorème de Wilson
- le cardinal d'un corps fini est une puissance de nombre premier
Suites et séries de fonctions 2
- domaine de définition et continuité de la fonction
\[
f \colon x \longmapsto
\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{\cosh(nx)}
\]
-
caractère bien défini et continuité de la fonction
\[
f
\quad
\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}_+ & \longmapsto & \mathbf{R} \\
x & \longmapsto & \displaystyle
\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n e^{-nx}}{\sqrt{n}}
\end{array}\right.
\]
- théorème de la double limite en un point du bord pour une suite de fonctions
- théorème de la double limite en un point du bord pour une série de fonctions
- continuité et limites aux bornes de la fonction
\[
\zeta
\quad
\left|\begin{array}{ccc}
]1,+\infty[ & \longmapsto & \mathbf{R} \\
x & \longmapsto & \displaystyle
\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^x}
\end{array}\right.
\]
- intégration d'une limite uniforme de suites de fonctions continues sur un segment
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 16
du polycopié de cours
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
limite éventuelle de
\[
\int_0^1 \left( x^2 + 1 \right) \dfrac{ n e^x + x e^{-x} }{ n + x } \operatorname{d}x
\]
lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\)
Lu 26
Janvier
Cours (2h)
Structures algébriques
- la loi de composition \( (a,b) \longmapsto a * b := a^b \) sur \(\mathbf{N}\) n'est pas associative
- reste de la division euclidienne de \( \displaystyle \sum_{k=1}^{12} 10^{10^k} \) par 7
- décomposition de \( X^n - 1 \) en produit d'irréductibles dans \(\mathbf{R}[X]\)
- produit et somme des racines \(n\)-ièmes de l'unité
Suites et séries de fonctions 2
- problématique du chapitre
- théorème de la double limite en un point de l’intervalle pour une suite de fonctions
- limite uniforme d’une suite de fonctions continues
- la suite de fonctions
\[
\left(
f_n
\quad
\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}_+ & \longmapsto & \mathbf{R} \\
t & \longmapsto & \displaystyle
\dfrac{1}{1+t^2+t^n e^{-t}}
\end{array}\right.
\right)_{n \in \mathbf{N}}
\]
converge simplement vers une fonction \(f\),
qui n'est pas continue sur \(\mathbf{R}_+\)
- théorème de la double limite en un point de l’intervalle pour une série de fonctions
- série uniformément convergente de fonctions continues
- continuité de la fonction
\[
f
\quad
\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}_+ & \longmapsto & \mathbf{R} \\
x & \longmapsto & \displaystyle
\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{e^{inx}}{n^2}
\end{array}\right.
\]
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 177
du polycopié de cours
« Structures algébriques »
[pdf]
:
théorème de Wilson
-
exercice 7
du polycopié de cours
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
domaine de définition et continuité de la fonction
\[
f \colon x \longmapsto
\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{\cosh(nx)}
\]
-
exercice 8
du polycopié de cours
« Suites et séries de fonctions 2 »
[pdf]
:
continuité de la fonction
\[
f
\quad
\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}_+ & \longmapsto & \mathbf{R} \\
x & \longmapsto & \displaystyle
\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n e^{-nx}}{\sqrt{n}}
\end{array}\right.
\]
Ve 23
Janvier
Cours (2h)
Structures algébriques
- PGCD d'un nombre fini de polynômes
- relation de Bézout pour un nombre fini de polynômes
- définition d'un polynôme irréductible sur un corps
- irréductibilité pour les polynômes de degrés 1, 2 et 3
- \( \left( X^2 + 1 \right)^2 \) ne possède aucune racine réelle mais est réductible sur \( \mathbf{R} \)
- primalité relative et puissances dans \( \mathbf{K}[X] \)
- décomposition d'un polynôme de \( \mathbf{K}[X] \) en produit d'irréductibles
- si \( P_1,\ldots,P_r \) sont des polynomes irréductibles unitaires distincts de \( \mathbf{K}[X] \),
diviseurs de \( P_1^{n_1} \times \ldots \times P_r^{n_r} \)
- irréductibles de \( \mathbf{C}[X] \) et de \( \mathbf{R}[X] \)
- théorème d'Euler
- petit théorème de Fermat
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
étudier et apprendre la partie 17 du polycopié de cours
« Structures algébriques »
[pdf]
:
\(\mathbf{K}\)-algèbres
-
exercice 176
du polycopié de cours
« Structures algébriques »
[pdf]
:
reste de la division euclidienne de \( \displaystyle \sum_{k=1}^{12} 10^{10^k} \) par 7
-
exercice 199
du polycopié de cours
« Structures algébriques »
[pdf]
:
décomposition de \( X^n - 1 \) en produit d'irréductibles dans \(\mathbf{R}[X]\)
- revoir le chapitre « Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
Ve 23
Janvier
TD MPI (2h)
Structures algébriques
-
exercice 1
de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
système linéaires \( (2,2) \) dans \( \mathbf{Z}/37\mathbf{Z} \)
-
exercice 2
de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
équation affine dans \( \mathbf{Z}/24\mathbf{Z} \)
- résolution d'un système de congruences à deux équations (resp. à trois équations)
-
exercice 11
de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
équation \( x^m = a \) dans un groupe fini de cardinal premier à \( m \)
-
exercice 13
de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
anneau des entiers de Gauß
Je 22
Janvier
Cours (2h)
Structures algébriques
- résolution du système de congruences originel de Sunzi
- deux méthodes pour résoudre :
\[\left\{\begin{array}{rclc}
x & \equiv & 4 & [5] \\
x & \equiv & 5 & [11] \\
\end{array}\right.\]
d'inconnue \(x\in\mathbf{Z}\)
- définition de l'indicatrice d'Euler
- théorème d'Euler
- petit théorème de Fermat
- factorisation du groupe des inversibles d'un anneau produit
- l'indicatrice d'Euler d'un entier sachant les premiers qui le divisent
- si \( A \in \mathbf{K}[X] \) alors \( A \mathbf{K}[X] \) est un idéal de \( \mathbf{K}[X] \)
- description des idéaux de \( \mathbf{K}[X] \)
- \( \left\{ P \in \mathbf{K}[X] \::\: P \left(
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\right) = 0 \right\} \)
est un idéal de \( \mathbf{K}[X] \) dont le générateur unitaire est \( X^2 \)
Je 22
Janvier
TD MPI★ (2h)
Structures algébriques
-
exercice 6
de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
sous-groupes finis de \( \mathbf{C}^* \)
-
exercice 12
de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
sous-corps de \(\mathbf{C}\) engendré par un nombre algébrique
-
exercice 14
de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
unités de l'anneau \(\mathbf{Z}\left[\,\sqrt{2}\,\right]\) et équation de Pell-Fermat
Me 21
Janvier
Cours (2h)
Structures algébriques
- \( \overline{34} \) est inversible dans \( \mathbf{Z}/43\mathbf{Z} \),
et calcul de son inverse
- si \(p\) est un nombre premier,
alors les fonctions polynomiales \( x \longmapsto x \) et \( x \longmapsto x^p \)
coïncident sur \( \mathbf{Z}/p\mathbf{Z} \)
- définition de \( \mathbf{F}_p \) pour un nombre premier \(p\)
- si \(p\) est un nombre premier il existe un unique corps à \(p\) élément,
à unique isomorphisme près
- résolution d'une équation quadratique dans \( \mathbf{Z}/34\mathbf{Z} \)
- théorème des restes chinois
- calcul de l'isomorphisme réciproque de l'isomorphisme du théorème des restes chinois
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
remarque 162 du polycopié de cours
« Structures algébriques »
[pdf]
:
résolution du problème originel de Sunzi
-
exercice 163 du polycopié de cours
« Structures algébriques »
[pdf]
:
\[\left\{\begin{array}{rclc}
x & \equiv & 4 & [5] \\
x & \equiv & 5 & [11] \\
\end{array}\right.\]
d'inconnue \(x\in\mathbf{Z}\)
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI★ de jeudi
-
exercice 6
de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
sous-groupes finis de \( \mathbf{C}^* \)
-
exercice 12
de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
sous-corps de \(\mathbf{C}\) engendré par un nombre algébrique
-
exercice 14
de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
unités de l'anneau \(\mathbf{Z}\left[\,\sqrt{2}\,\right]\) et équation de Pell-Fermat
-
exercice 16
de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
l'anneau \(\mathbf{K}[X]\) est noethérien, mais non artinien
-
exercice 17
de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
irréductibilité de \( X^4 + 4 \) sur \(\mathbf{Q}\)
-
exercice 19
de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
cardinal de \(\mathbf{GL}_n(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}) \)
où \(p\) est premier
-
exercice 20
de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
carrés de \( \mathbf{Z}/p\mathbf{Z} \)
où \(p\) est premier
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI de vendredi
-
exercice 1
de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
système linéaires \( (2,2) \) dans \( \mathbf{Z}/37\mathbf{Z} \)
-
exercice 2
de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
équation affine dans \( \mathbf{Z}/24\mathbf{Z} \)
-
exercice 6
de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
sous-groupes finis de \( \mathbf{C}^* \)
-
exercice 9
de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
sous-groupes du groupe additif de \( \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} \)
et
idéaux de l'anneau \( \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} \)
-
exercice 10
de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
\( \left( \mathbf{R} , + \right) \)
et
\( \left( \mathbf{R}^* , \times \right) \)
sont-ils isomorphes ?
-
exercice 11
de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
équation \( x^m = a \) dans un groupe fini de cardinal premier à \( m \)
-
exercice 13
de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
anneau des entiers de Gauß
Ma 20
Janvier
Cours (2h)
Structures algébriques
- le corps \(\mathbf{Q}\left[\,\sqrt{d}\,\right]\) et son groupe de Galois sur \(\mathbf{Q}\)
- l'idéal \(\{ f \in \mathcal{C}(\mathbf{R},\mathbf{R}) \::\: f(1)=0 \}\)
de \(\mathcal{C}(\mathbf{R},\mathbf{R})\) n'est pas monogène
- résolution d'une équation quadratique dans \( \mathbf{Z}/5\mathbf{Z} \)
- rappels sur le groupe des inversibles d'un anneau
- description des inversibles de \( \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} \)
- inversibilité et inverses de \( \overline{37} \) est inversible dans \( \mathbf{Z}/101\mathbf{Z} \)
- \( \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} \) est un corps si et seulement si \(n\) est premier
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- Justifier que \( \overline{34} \) est inversible dans \( \mathbf{Z}/43\mathbf{Z} \),
puis calculer son inverse
Lu 19
Janvier
Cours (2h)
Structures algébriques
- un idéal n'est pas nécessairement un sous-anneau (il ne contient pas \(1\) a priori)
- le noyau d'un morphisme d'anneaux est un idéal de la source
- définition de l'idéal engendré par un élément et propriété de minimalité
- \(\{ f \in \mathcal{C}(\mathbf{R},\mathbf{R}) \::\: f(1)=0 \}\)
est un idéal de \(\mathcal{C}(\mathbf{R},\mathbf{R})\)
- \(\{ P \in \mathbf{R}[X] \::\: P(1)=0 \}\)
est l'idéal de \(\mathbf{R}[X]\) engendré par \(X-1\)
- définition de la relation de divisibilité dans un anneau commutatif intègre
- traduction de la relation de divisibilité dans un anneau commutatif intègre en termes d'idéaux
- une partie de \(\mathbf{Z}\) est un idéal si et seulement si c'est un sous-groupe additif
- description des idéaux de \(\mathbf{Z}\)
- PGCD des entiers \(a_1,\ldots,a_r\) et générateur de l'idéal \(a_1\mathbf{Z} + \ldots + a_r\mathbf{Z}\)
- existence d'une relation de Bézout pour des entiers \(a_1,\ldots,a_r\)
- définition de la structure d'anneau sur \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\)
- calcul des inverses de \(\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}\)
dans \(\mathbf{Z}/5\mathbf{Z}\)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- démontrer que l'idéal \(\{ f \in \mathcal{C}(\mathbf{R},\mathbf{R}) \::\: f(1)=0 \}\)
de \(\mathcal{C}(\mathbf{R},\mathbf{R})\) n'est pas monogène
-
exercice 147 du polycopié de cours
« Structures algébriques »
[pdf]
:
PPCM des entiers \(a_1,\ldots,a_r\) et générateur de l'idéal \(a_1\mathbf{Z} \cap \ldots \cap a_r\mathbf{Z}\)
Sa 17
janvier
DS6 (4h)
Piste verte
- urnes de Pólya (CCINP PC 2021)
- extrema locaux et généralisation du théorème de Rolle
- autour du théorème de Darboux (CCINP MP-MPI 2025)
- sous-groupes additifs de \(\mathbf{R}\)
Piste rouge
- sous-groupes additifs de \(\mathbf{R}\)
- version faible du théorème d'inversion locale (X-ÉNS MP-MPI 2024)
- convergence d'une suite de probabilités et arithmétique (X-ÉNS MP-MPI 2022)
Ve 16
Janvier
Cours (2h)
Structures algébriques
- ordre d'un élément dans un groupe versus cardinal du sous-groupe engendré par cet élément
- dans un groupe fini, tout élément est d'ordre fini
- puissances d'un élément d'ordre fini
- propriété de divisibilité de l'ordre d'un élément dans un groupe fini
- description des sous-groupes d'un groupe cyclique
- ordre du produit de deux cycles à supports disjoints dans \(\mathfrak{S}_n\)
- produit d'un nombre fini d'anneaux
- le produit de deux anneaux intègres n'est jamais intègre
- définition d'un idéal dans un anneau commutatif
- idéaux triviaux d'un anneau
- idéal d'un anneau commutatif contenant 1
- idéal d'un anneau commutatif contenant un élément inversible
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 7 de la feuille d'exercices
« Structures algébriques »
[pdf]
:
le corps \(\mathbf{Q}\left[\,\sqrt{d}\,\right]\) et son groupe de Galois sur \(\mathbf{Q}\)
Ve 16
Janvier
TD MPI★ (2h)
Calcul différentiel 1
- l'ensemble
\[
\Omega := \left\{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \::\: x \not= y \right\}
\]
est un ouvert de \(\mathbf{R}^2\),
différentiabilité et différentielle de l'application :
\[
\left|\begin{array}{ccc}
\Omega
& \longrightarrow &
\mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto & \cos\left( \dfrac{x^2}{x-y} \right)
\end{array}\right.
\]
exercice 90
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
résolution de l'équation aux dérivées partielles
\[
c^2 \; \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}
\]
d'inconnue \( f \in \mathcal{C}^2\left(\mathbf{R}^2,\mathbf{R}\right) \)
-
exercice 11
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
fonctions homogènes
-
exercice 14
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
recherche d'une CNS pour qu'une fonction soit harmonique
Je 15
Janvier
Cours (2h)
Structures algébriques
- définition de l'ensemble \(\operatorname{Z} /n\operatorname{Z} \)
- précaution à prendre lorsqu'on définit une application de source \(\operatorname{Z} /n\operatorname{Z} \)
- loi de groupe sur \(\operatorname{Z} /n\operatorname{Z} \)
- table du groupe \( \left( \operatorname{Z} / 6 \operatorname{Z} , + \right) \)
- caractérisation des générateurs du groupe \( \left( \operatorname{Z} / n \operatorname{Z} , + \right) \)
- définition d'un groupe monogène (resp. cyclique)
- un groupe monogène est abélien
- les groupes
\( \left( \mathbf{Z} , + \right) \),
\( \left( \mathbf{U}_n , \times \right) \),
\( \left( \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} , + \right) \)
sont monogènes
- les groupe
\( \left( \mathbf{Z}^2 , + \right) \)
est n'est pas monogène
- les groupes \( \left( \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} , + \right) \) et \( \left( \mathbf{U}_n , \times \right) \)
sont isomorphes
- classification des groupes monogènes
- théorèmes de Lagrange sur les groupes finis
- sous-groupes de \( \left( \mathbf{Z}/41\mathbf{Z} , + \right) \)
- définition d'un élément d'ordre fini et de l'ordre d'un tel
- calcul de l'ordre des éléments de \( \left( \mathbf{Z}/12\mathbf{Z} , + \right) \)
Je 15
Janvier
TD MPI (2h)
Calcul différentiel 1
- l'ensemble
\[
\Omega := \left\{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \::\: x \not= y \right\}
\]
est un ouvert de \(\mathbf{R}^2\),
différentiabilité et différentielle de l'application :
\[
\left|\begin{array}{ccc}
\Omega
& \longrightarrow &
\mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto & \cos\left( \dfrac{x^2}{x-y} \right)
\end{array}\right.
\]
-
exercice 90
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
résolution de l'équation aux dérivées partielles
\[
c^2 \; \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}
\]
d'inconnue \( f \in \mathcal{C}^2\left(\mathbf{R}^2,\mathbf{R}\right) \)
-
exercice 7
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
une application différentiable dont la différentielle en tout point est 3-lipschitzienne
-
exercice 15
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
résolution d'une équation aux dérivées partielles d'ordre 2
Me 14
Janvier
Cours (2h)
Structures algébriques
- notation puissance dans un groupe
- propriétés de la notation puissance dans un groupe
- sous-groupe engendré par un élément
- définition d'une partie génératrice d'un groupe
- parties génératrices de \( \left( \mathbf{Z} , + \right) \)
- si \( a , b \) sont des entiers premiers entre eux,
alors \( \{ a , b \} \) engendre \( \left( \mathbf{Z} , + \right) \)
- parties génératrices de \( \left( \mathbf{Z}^n , + \right) \)
- les transpositions engendrent \( \left( \mathfrak{S}_n , \circ \right) \)
- les matrices de dilatation et les matrices de transvection engendrent
\( \left( \operatorname{GL}_n(\mathbf{K}) , \times \right) \)
- définition de la relation de congruence modulo \(n\) dans \( \mathbf{Z} \)
- traduction de la relation de congruence dans \( \mathbf{Z} \)
à l'aide du reste dans une division euclidienne modulo \(n\)
- compatibilié de la relation de congruence avec la somme, le produit et les puissances
- pour tout entier naturel \(n\), le nombre \(5\) divise \(2^{3n+5} + 3^{n+1}\)
- la relation de congruence modulo \(n\) est une relation d'équivalence
- classe d'équivalence d'un entier pour la relation de congruence modulo \(n\)
- \( \overline{0} , \overline{1} , \ldots , \overline{n-1} \)
est une liste exhaustive et sans répétition
des classes d'équivalences pour la relation de congruence modulo \(n\)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
étudier/apprendre le rappel 73
du polycopié de cours
« Structures algébriques »
[pdf]
:
si \( \mathcal{R} \) est une relation d'équivalence sur un ensemble \( E \),
pour tout \(x,y \in E \) :
\[
x \, \mathcal{R} \, y \;\Longleftrightarrow\; \overline{x} = \overline{y}
\]
et
\[
\overline{x} = \overline{y} \quad \text{ ou } \quad \overline{x} \cap \overline{y} = \varnothing
\]
de plus si \( E / \mathcal{R} \) est l'ensemble des classes d'équivalence pour la relation \( \mathcal{R} \) :
\[
E = \bigsqcup_{ C \in E / \mathcal{R} } C
\]
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI de jeudi
-
exercice 90
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
résolution de l'équation aux dérivées partielles
\[
c^2 \; \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}
\]
d'inconnue \( f \in \mathcal{C}^2\left(\mathbf{R}^2,\mathbf{R}\right) \)
-
exercice 7
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
une application différentiable dont la différentielle en tout point est 3-lipschitzienne
-
exercice 15
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
résolution d'une équation aux dérivées partielles d'ordre 2
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI★ de vendredi
-
exercice 90
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
résolution de l'équation aux dérivées partielles
\[
c^2 \; \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}
\]
d'inconnue \( f \in \mathcal{C}^2\left(\mathbf{R}^2,\mathbf{R}\right) \)
-
exercice 11
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
fonctions homogènes
-
exercice 14
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
recherche d'une CNS pour qu'une fonction soit harmonique
Ma 13
Janvier
Cours (2h)
Structures algébriques
- critère pour être un sous-groupe
- le groupe orthogonal \(\mathbf{O}_n(\mathbf{R})\)
- définition d'un morphisme de groupes
- propriétés d'un morphisme de groupes
- l'application :
\[
\left|\begin{array}{rcl}
\left( \operatorname{GL}_n(\mathbf{R}) , \times \right) & \longrightarrow & \left( \operatorname{GL}_n(\mathbf{R}) , \times \right) \\
M & \longmapsto & M^{\top}
\end{array}\right.
\]
n'est pas un morphisme de groupes
- structure du noyau d'un morphisme de groupes et critère d'injectivité
- le groupe spécial orthogonal \(\mathbf{SO}_n(\mathbf{R})\)
- l'application :
\[
\left|\begin{array}{ccc}
\left( \mathbf{R} , + \right)
& \longrightarrow &
\left( \operatorname{S0}_2(\mathbf{R}) , \times \right) \\
\theta & \longmapsto &
\left(\begin{array}{cc}
\cos(\theta) & - \sin(\theta) \\
\sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{array}\right)
\end{array}\right.
\]
est un morphismes de groupes surjectif, de noyau \( 2 \pi \mathbf{Z} \)
- description des sous-groupes additifs de \( \left( \mathbf{Z} , + \right) \)
- une intersection de sous-groupes est un sous-groupe
- calcul de \( a\mathbf{Z} \,\cap\, b\mathbf{Z} \), où \(a,b\) sont des entiers naturels non nuls
- définition du sous-groupe engendré par une partie et propriété de minimalité
- description du sous-groupe engendré par une partie \(A\) comme
mots sur l'alphabet \( A \,\cup\, A^{-1} \)
Lu 12
Janvier
Cours (4h)
Calcul différentiel 1
- formule de dérivation le long d'un arc pour une fonction à valeurs dans \(\mathbf{R}^p\)
- rappel de la définition d'une application de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur un ouvert
- critère \(\mathcal{C}^1\) pour les fonctions de plusieurs variables
(démonstration pour une fonction de deux variables définie sur \(\mathbf{R}^2\)
- opérations sur les fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) :
combinaison linéaire de deux fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\),
composition de fonctions de de classe \(\mathcal{C}^1\) par une application multilinéaire,
une fonction polynomiale est de classe \(\mathcal{C}^1\),
composition de deux applications de classe \(\mathcal{C}^1\),
quotient de deux fonctions numériques de classe \(\mathcal{C}^1\),
une fonction rationnelle est de classe \(\mathcal{C}^1\)
- caractère \(\mathcal{C}^1\) de la fonction
\[
f \quad \left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto & \cos \left( \dfrac{x}{y^2+1} \right)
\end{array}\right.
\]
- caractère \(\mathcal{C}^1\) de la fonction
\[
f \quad \left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto &
\left\{\begin{array}{cl}
\dfrac{x^2 y^3}{x^2+y^2} & \text{ si } (x,y) \not= (0,0) \\
0 & \text{ sinon }
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\]
- différentiabilité et différentielle de la composée des applications
\[
f \quad \left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto & \sin \left( x^2 - y^2 \right)
\end{array}\right.
\qquad\text{et}\qquad
g \quad
\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R}^2 \\
(x,y) & \longmapsto & ( x + y , x - y )
\end{array}\right.
\]
- intégration le long d'un arc
- caractérisation des fonctions constantes sur un ouvert connexe par arcs
- résolution de l'équation aux dérivées partielles
\[
\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial f}{\partial y}
\]
d'inconnue \( f \in \mathcal{C}^1\left(\mathbf{R}^2,\mathbf{R}\right) \)
- différentielle de l'inverse matricielle sur \( \operatorname{GL}_n(\mathbf{R}) \)
- dérivées partielles d'ordre \(k\)
- dérivées partielles d'ordre 2 de la fonction
\[
f \quad \left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto & \sin \left( x^2 + y^3 \right)
\end{array}\right.
\]
- définition d'une application de classe \( \mathcal{C}^k \)
- théorème de Schwarz
- pour la fonction
\[
f \quad \left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto &
\left\{\begin{array}{cl}
\dfrac{x^3 y }{x^2+y^2} & \text{ si } (x,y) \not= (0,0) \\
0 & \text{ sinon }
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\]
les dérivées partielles secondes
\(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,0)\) et \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(0,0)\)
existent mais \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,0) \not= \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(0,0)\)
- caractère \( \mathcal{C}^k \) via les applications composantes
- opérations sur les fonctions de classes \( \mathcal{C}^k \)
- changement de variable polaire pour une fonction numérique de classe \( \mathcal{C}^2 \) sur \( \mathbf{R}^2 \) :
dérivées partielles secondes et Laplacien
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 90
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
résolution de l'équation aux dérivées partielles
\[
c^2 \; \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}
\]
d'inconnue \( f \in \mathcal{C}^2\left(\mathbf{R}^2,\mathbf{R}\right) \)
- revoir les 2 chapitres de Sup :
«Structures de groupe et d'anneau»,
«Arithmétique dans \(\mathbf{Z}\)»
Ve 9
Janvier
Cours (2h)
Calcul différentiel 1
-
différentiabilité, gradient et points critiques de l'application
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
]0,+\infty[ \times \, ]0,+\infty[ \, & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto & x \, y + \dfrac{4}{x} + \dfrac{2}{y}
\end{array}\right.\]
- composée de deux applications différentiables par une application bilinéaire (démonstration)
- composée de deux applications différentiables ou règle de la chaîne
- formule de dérivation le long d'un arc
- formule de dérivation le long d'un segment
- dérivées partielles d'une composée de deux applications différentiables
- changement de variable polaire
pour une fonction numérique de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( \mathbf{R}^2 \) :
dérivées partielles premières
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 59
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
formule de dérivation le long d'un arc pour une fonction à valeurs dans \(\mathbf{R}^p\)
-
exercice 68
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
différentiabilité et différentielle de la composée des applications
\[
f \quad \left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto & \sin \left( x^2 - y^2 \right)
\end{array}\right.
\qquad\text{et}\qquad
g \quad
\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R}^2 \\
(x,y) & \longmapsto & ( x + y , x - y )
\end{array}\right.
\]
-
devoir maison n°9
[pdf]
:
dernière visite en 0 d'une marche aléatoire
Ve 9
Janvier
TD MPI (2h)
Calcul différentiel 1
-
exercice 33
de la banque CCINP
[pdf]
:
étude du caractère \(\mathcal{C}^1\) d'une fonction numérique de deux variables,
à l'aide du critère \(\mathcal{C}^1\) pour les fonctions de plusieurs variables
[pdf]
-
exercice 57
de la banque CCINP
[pdf]
:
étude du caractère \(\mathcal{C}^1\) d'une fonction numérique de deux variables,
à l'aide du critère \(\mathcal{C}^1\) pour les fonctions de plusieurs variables
[pdf]
-
exercice 6
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
lieu où une application différentiable réalise une submersion,
à l'aide du critère \(\mathcal{C}^1\) pour les fonctions de plusieurs variables
[pdf]
-
exercice 8
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
différentiabilité et différentielle du produit scalaire tordu par une application linéaire
Je 8
Janvier
Cours (2h)
Calcul différentiel 1
- différentiabilité et différentielle de fonctions d'un ouvert de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}^p\)
- expression de la différentielle d'une fonction différentiable
sur un ouvert de \(\mathbf{R}^n\) via ses dérivées partielles
- matrice Jacobienne d'une fonction différentiable sur un ouvert de \(\mathbf{R}^n\) à valeurs dans \(\mathbf{R}^p\)
- différentiabilité et matrice Jacobienne de l'application
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^3 & \longrightarrow & \mathbf{R}^2 \\
(x,y,z) & \longmapsto & \left( x^2 \, (y+1) , x \, z^2 \right)
\end{array}\right.\]
- théorème de Riesz sur la représentation des formes linéaires sur un espace euclidien
- définition du gradient
- différentielle d'une fonction dérivable sur un ouvert de \(\mathbf{R}^n\) à valeurs dans \(\mathbf{R}\) et gradient
- interprétation géométrique du gradient (propriété de maximalité)
- combinaison linéaire d'applications différentiables
- composée d'applications différentiables par une application multilinéaire (énoncé)
- différentiabilité et différentielle de l'application
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathcal{M}_n(\mathbf{R}) & \longrightarrow & \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \\
A & \longmapsto & A^3
\end{array}\right.\]
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
démontrer que l'application
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
]0,+\infty[ \times \, ]0,+\infty[ \, & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto & x \, y + \dfrac{4}{x} + \dfrac{2}{y}
\end{array}\right.\]
est différentiable sur \( ]0,+\infty[ \times \, ]0,+\infty[ \),
à l'aide du critère \(\mathcal{C}^1\) pour les fonctions de plusieurs variables
[pdf]
-
exercice 51
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
gradient et points critiques de l'application
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
]0,+\infty[ \times \, ]0,+\infty[ \, & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto & x \, y + \dfrac{4}{x} + \dfrac{2}{y}
\end{array}\right.\]
-
exercice 53
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
différentiabilité et différentielle sur \( \mathcal{M}_n(\mathbf{R})\) de l'application
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathcal{M}_n(\mathbf{R}) & \longrightarrow & \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \\
A & \longmapsto & A^2 + \operatorname{tr}(A) \,
\left(\begin{array}{ccc}
1 & \ldots & 1 \\
\vdots & & \vdots \\
1 & \ldots & 1
\end{array}\right)
\end{array}\right.\]
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI de vendredi
-
exercice 33
de la banque CCINP
[pdf]
:
étude du caractère \(\mathcal{C}^1\) d'une fonction numérique de deux variables,
à l'aide du critère \(\mathcal{C}^1\) pour les fonctions de plusieurs variables
[pdf]
-
exercice 57
de la banque CCINP
[pdf]
:
étude du caractère \(\mathcal{C}^1\) d'une fonction numérique de deux variables,
à l'aide du critère \(\mathcal{C}^1\) pour les fonctions de plusieurs variables
[pdf]
-
exercice 2
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
fonctions discontinues en \((0,0)\) possédant des dérivées dans toutes les directions en \((0,0)\)
-
exercice 6
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
lieu où une application différentiable réalise une submersion,
à l'aide du critère \(\mathcal{C}^1\) pour les fonctions de plusieurs variables
[pdf]
Je 8
Janvier
TD MPI★ (2h)
Calcul différentiel 1
-
exercice 52
de la banque CCINP
[pdf]
:
étude du caractère \(\mathcal{C}^1\) d'une fonction numérique de deux variables,
à l'aide du critère \(\mathcal{C}^1\) pour les fonctions de plusieurs variables
[pdf]
-
exercice 5
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
applications différentiables possédant les mêmes dérivées partielles
-
exercice 8
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
différentiabilité et différentielle du produit scalaire tordu par une application linéaire
-
exercice 81
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 1 »
[pdf] :
différentiabilité et différentielle de l'application déterminant sur \( \operatorname{GL}_n(\mathbf{R}) \)
Me 7
Janvier
Cours (2h)
Calcul différentiel 1
-
différentiabilité de l'application
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R} \times \, ]0,+\infty[\, & \longrightarrow & \mathbf{R}^2 \\
(x,y) & \longmapsto & \left( x^2 \, \ln(y) , e^x \, y \right)
\end{array}\right.\]
- la différentiabilité d'une fonction en un point entraîne sa continuité en ce point
- une application différentiable en un point admet des dérivées dans toutes les directions en ce point
- la fonction
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto &
\left\{\begin{array}{cl}
\dfrac{x^{5}}{(y-x^{2})^{2}+x^{4}} & \text{ si } (x,y)\neq (0,0)\\\\
\qquad 0 \hspace{1.5cm} & \text{ si } (x,y)=(0,0)
\end{array}\right.
\end{array}\right.\]
possède des dérivées directionnelles en \((0,0)\) dans toutes les directions,
mais elle n'est pas différentiable en \((0,0)\)
- différentielle en un point d'une application différentiable en ce point
- définition d'une application différentiable sur un ouvert et de sa différentielle cas échéant
- différentiabilité et différentielle de l'application
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathcal{M}_n(\mathbf{R}) & \longrightarrow & \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \\
A & \longmapsto & A^2
\end{array}\right.\]
- différentiabilité et différentielle d'une application constante
- différentiabilité et différentielle d'une application linéaire
- définition d'une application de classe \(\mathcal{C}^1\)
- critère \(\mathcal{C}^1\) pour les fonctions de plusieurs variables
[pdf] (énoncé)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
Étudier le critère \(\mathcal{C}^1\) pour les fonctions de plusieurs variables
[pdf]
-
Démontrer que l'application
\[f \; \left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^3 & \longrightarrow & \mathbf{R}^2 \\
(x,y,z) & \longmapsto & \left( x^2 \, (y+1) , x \, z^2 \right)
\end{array}\right.\]
est différentiable sur \(\mathbf{R}^3\)
et
calculer sa différentielle en tout point de \(\mathbf{R}^3\),
à l'aide du critère \(\mathcal{C}^1\) pour les fonctions de plusieurs variables
[pdf]
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI★ de jeudi
-
exercice 52
de la banque CCINP
[pdf]
:
étude du caractère \(\mathcal{C}^1\) d'une fonction numérique de deux variables,
à l'aide du critère \(\mathcal{C}^1\) pour les fonctions de plusieurs variables
[pdf]
-
exercice 5
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
applications différentiables possédant les mêmes dérivées partielles
-
exercice 8
de la feuille d'exercices
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
différentiabilité et différentielle du produit scalaire tordu par une application linéaire
Ma 6
Janvier
Cours (2h)
Calcul différentiel 1
-
dérivées directionnelles en \((0,0)\) de la fonction
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto &
\left\{\begin{array}{cl}
\dfrac{x^{5}}{(y-x^{2})^{2}+x^{4}} & \text{ si } (x,y)\neq (0,0)\\\\
\qquad 0 \hspace{1.5cm} & \text{ si } (x,y)=(0,0)
\end{array}\right.
\end{array}\right.\]
- définition d'une dérivée partielle
- une formule intégrale pour les accroissements d'une fonction
de \(\mathbf{R}^2\) dans \(\mathbf{R}\) qui admet des dérivées partielles continues en tout point
- notation de Landau \(\operatorname{o}(h)\)
- définition d'une application différentiable en un point
- différentiabilité en tout point de l'application
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathcal{M}_n(\mathbf{R}) & \longrightarrow & \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \\
A & \longmapsto & A^2
\end{array}\right.\]
- différentiabilité en un point via les applications composantes
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 29
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
différentiabilité de l'application
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R} \times \, ]0,+\infty[\, & \longrightarrow & \mathbf{R}^2 \\
(x,y) & \longmapsto & \left( x^2 \, \ln(y) , e^x \, y \right)
\end{array}\right.\]
Lu 5
Janvier
Cours (2h)
Fonctions vectorielles
Calcul différentiel 1
-
étude de la continuité de la fonction
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto & \left\{\begin{array}{rcl}
x \, y \, \dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & \text{ si } (x,y) \not= (0,0) \\
0 & \text{ si } (x,y) = (0,0)
\end{array}\right.\end{array}\right.
\]
-
étude de la continuité de la fonction
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto & \left\{\begin{array}{rcl}
x^4 & \text{ si } x^2 < y \\
y^2 & \text{ si } x^2 \geqslant y
\end{array}\right.\end{array}\right.
\]
- représentation graphique de cinq fonctions dont
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto &
\sin \left( \dfrac{\pi}{3} \, (x-4) \right)
\,
\sin \left( \dfrac{\pi}{3} \, (y-4) \right)
+
3
\end{array}\right.\]
- présentation de quelques objectifs, e.g. :
équations aux dérivées partielles (cordes vibrantes, d'Alembert),
problèmes d'optimisation pour les fonctions numériques de plusieurs variables (creux ou bosses sur une surface)
- définition d'une dérivée selon un vecteur ou dérivée directionnelle
- illustration graphique de la notion de dérivée directionnelle (geogebra)
- dérivées directionnelles en \((0,0)\) de la fonction
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto &
\left\{ \begin{array}{cl}
\dfrac{x^3-y^4}{x^2+y^2} & \text{ si } (x,y)\neq (0,0)\\
0 & \text{ si } (x,y)=(0,0)
\end{array}\right.
\end{array}\right.\]
- dérivées directionnelles en \((0,0)\) et discontinuité en \((0,0)\) de la fonction
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto &
\left\{ \begin{array}{cl}
\dfrac{y^2}{x} & \text{ si } x \neq 0 \\\\
0 & \text{ si } x = 0
\end{array}\right.
\end{array}\right.\]
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 19
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
dérivées directionnelles en \((0,0)\) de la fonction
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto &
\left\{\begin{array}{cl}
\dfrac{x^{5}}{(y-x^{2})^{2}+x^{4}} & \text{ si } (x,y)\neq (0,0)\\\\
\qquad 0 \hspace{1.5cm} & \text{ si } (x,y)=(0,0)
\end{array}\right.
\end{array}\right.\]
- revoir le DS5
(e.g. Q4, Q6, Q7, Q10, Q17, Q22, Q26) à l'aide du corrigé et du rapport
Sa 20
Décembre
DS5 (4h)
Sujet CentraleSupélec 2 PC 2025
- approximation uniforme des fonctions continues et périodiques
par des polynômes trigonométriques
- théorème de Féjer
- inégalité de Bernstein
- caractérisation des fonctions Höldériennes
Ve 19
Décembre
Cours (2h)
Fonctions vectorielles
- formule de Taylor-Lagrange avec reste intégrale (démonstration)
- inégalité de Taylor-Lagrange (démonstration)
- formule de Taylor-Young (démonstration)
- une inégalité de Kolmogorov
Calcul différentiel 1
- définition de la continuité d'une fonction
- critère séquentiel de continuité pour une fonction
- une méthode pour prouver la discontinuité d'une fonction en un point à l'aide d'une suite
judicieusement choisie
- étude de la continuité en \( (0,0) \) de la fonction
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto & \left\{\begin{array}{rcl}
\dfrac{x^2 y}{x^2+y^2} & \text{ si } (x,y) \not= (0,0) \\
0 & \text{ si } (x,y) = (0,0)
\end{array}\right.\end{array}\right.
\]
- étude de la continuité en \( (0,0) \) de la fonction
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto & \left\{\begin{array}{rcl}
\dfrac{x y}{x^2+y^2} & \text{ si } (x,y) \not= (0,0) \\
0 & \text{ si } (x,y) = (0,0)
\end{array}\right.\end{array}\right.
\]
- étude de la continuité en \( (0,0) \) de la fonction
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto & \left\{\begin{array}{rcl}
\dfrac{x^4}{y \left( y - x^2 \right)} & \text{ si } y \left( y - x^2 \right) \not= (0,0) \\
0 & \text{ si } y \left( y - x^2 \right) = (0,0)
\end{array}\right.\end{array}\right.
\]
- définition du graphe d'une fonction d'un ouvert de \(\mathbf{R}^2\) dans \(\mathbf{R}\)
et illustration géométrique
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- revoir les 5 chapitres de Sup :
«Arithmétique dans \(\mathbf{Z}\)»,
«Structures de groupe et d'anneau»,
«Polynômes»,
«Espaces préhilbertiens réels»,
«Arithmétique polynomiale»
- revoir les 3 chapitres de Spé :
«Réduction des endomorphismes et des matrices 1»,
«Intégration sur un intervalle quelconque»,
«Suites et séries de fonctions 1»
- connaître parfaitement le chapitre «Fonctions vectorielles» pour l'interrogation de cours du lundi 5 janvier
-
exercice 13
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
étude de la continuité de la fonction
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto & \left\{\begin{array}{rcl}
x \, y \, \dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & \text{ si } (x,y) \not= (0,0) \\
0 & \text{ si } (x,y) = (0,0)
\end{array}\right.\end{array}\right.
\]
-
exercice 15
du polycopié de cours
« Calcul différentiel 1 »
[pdf]
:
étude de la continuité de la fonction
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto & \left\{\begin{array}{rcl}
x^4 & \text{ si } x^2 < y \\
y^2 & \text{ si } x^2 \geqslant y
\end{array}\right.\end{array}\right.
\]
- devoir maison n°8
[lien]
:
comparaison de modes de convergence [CCINP MP 2012]
(en fonction de vos objectifs, facultatif mais recommandé)
- devoir maison n°8★
[lien]
:
la fonction de Takagi, continue et nulle part dérivable sur \([0,1]\)
(en fonction de vos objectifs, facultatif mais recommandé)
- devoir maison n°8★★
[lien]
:
borne inférieure de l'intégrale d'un polynôme variant dans un certain ensemble [X-ÉNS MP 2018 B]
(en fonction de vos objectifs, facultatif mais recommandé)
Ve 19
Décembre
TD MPI★ (2h)
Fonctions vectorielles
-
exercice 1
de la feuille d'exercices
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
chemin dérivable dans un groupe orthogonal en format impair
-
exercice 3
de la feuille d'exercices
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
calcul d'un déterminant par dérivation
-
exercice 4
de la feuille d'exercices
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
intégrale d'une fonction à valeurs dans un sous-espace vectoriel
-
exercice 6
de la feuille d'exercices
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
somme convergeant vers la moitié du nombre dérivée en 0 à droite
-
exercice 9
de la feuille d'exercices
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
\(\displaystyle
\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^n \sin\left(\dfrac{k}{n}\right) \, \sin\left(\dfrac{k}{n^2}\right)
\)
et
\(\displaystyle
\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^n \sin^2\left( \dfrac{1}{\sqrt{k+n}} \right)
\)
-
exercice 10
de la feuille d'exercices
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire pour la norme d'une intégrale de fonction vectorielle
Je 18
Décembre
Cours (2h)
Fonctions vectorielles
- théorème sur les sommes de Riemann pour une fonction vectorielle continue par morceaux (démonstration)
- propriétés de l'intégrale des fonctions vectorielles continues par morceaux :
linéarité,
relation de Chasles,
composée par une application linéaire,
inégalité triangulaire
- théorème fondamental de l'analyse pour les fonctions vectorielles continues
- théorème d'intégration par parties pour les fonctions de classe \( \mathcal{C}^1 \)
- inégalité des accroissements finis pour une fonction vectorielle de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur un segment
- pas d'égalité des accroissements finis pour une fonction vectorielle « en général »
- une fonction vectorielle de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( \mathbf{R} \) dont la dérivée est bornée est lipschitzienne
- formule de Taylor-Lagrange avec reste intégrale (énoncé)
- pour tout \( x \in \left[ 0 , \dfrac{\pi}{2} \right] \),
\( x - \dfrac{x^3}{6} \leqslant \sin(x) \leqslant x \)
- inégalité de Taylor-Lagrange (énoncé)
- formule de Taylor-Young (énoncé)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 51
du polycopié de cours
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
une inégalité de Kolmogorov
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI★ de vendredi
-
exercice 1
de la feuille d'exercices
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
chemin dérivable dans un groupe orthogonal en format impair
-
exercice 4
de la feuille d'exercices
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
intégrale d'une fonction à valeurs dans un sous-espace vectoriel
-
exercice 6
de la feuille d'exercices
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
somme convergeant vers la moitié du nombre dérivée en 0 à droite
-
exercice 10
de la feuille d'exercices
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire pour la norme d'une intégrale de fonction vectorielle
Je 18
Décembre
TD MPI (2h)
Fonctions vectorielles
-
exercice 74
de la banque CCINP
[pdf]
:
système différentiel linéaire homogène à coefficients constants
où la matrice sous-jacente est de format \( (3,3) \) et diagonalisable
-
exercice 2
de la feuille d'exercices
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
dérivabilité et dérivée de la norme d'une fonction qui ne s'annule pas
-
exercice 3
de la feuille d'exercices
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
calcul d'un déterminant par dérivation
-
exercice 5
de la feuille d'exercices
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
majoration de la norme d'une intégrale de fonction vectorielle de classe \(\mathcal{C}^1\),
qui s'annule en la borne inférieure de l'intégrale
-
exercice 7
de la feuille d'exercices
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
minoration de la norme infinie de la dérivée secondre,
dans le cas où \( (E,||\:\cdot\:||) = (\mathbf{R},|\:\cdot\:|) \),
en appliquant une formule de Taylor
-
exercice 9
de la feuille d'exercices
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
\(\displaystyle
\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^n \sin\left(\dfrac{k}{n}\right) \, \sin\left(\dfrac{k}{n^2}\right)
\)
Me 17
Décembre
Cours (2h)
Fonctions vectorielles
-
si \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbf{R})\),
la fonction
\[
\varphi \colon t \longmapsto \operatorname{det}( I_n + t \, A )
\]
est dérivable sur \(\mathbf{R}\) et \( \varphi'(0) = \operatorname{tr}(A) \)
-
résolution guidée du système différentiel linéaire homogène
\( X ' = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \; X \)
- formule de Leinniz pour les fonctions vectorielles (démonstration)
- définition d'une fonction vectorielle continue par morceaux
- continuité par morceaux d'une fonction vectorielle via ses fonctions coordonnées
- combinaison linéaire de fonctions continues par morceaux
- lemme clé pour la définition de l'intégrale d'une fonction vectorielle continue par morceaux
ou
l'indépendance en le choix de la base
- définition de l'intégrale d'une fonction vectorielle continue par morceaux
- \(\displaystyle\int_0^1 \left( \dfrac{1}{4-t^2} , \dfrac{1}{1+t^2} \right) \operatorname{d}\!t \)
- théorème sur les sommes de Riemann pour une fonction vectorielle continue par morceaux (énoncé)
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI de jeudi
-
exercice 74
de la banque CCINP
[pdf]
:
système différentiel linéaire homogène à coefficients constants
où la matrice sous-jacente est de format \( (3,3) \) et diagonalisable
-
exercice 2
de la feuille d'exercices
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
dérivabilité et dérivée de la norme d'une fonction qui ne s'annule pas
-
exercice 3
de la feuille d'exercices
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
calcul d'un déterminant par dérivation
-
exercice 7
de la feuille d'exercices
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
minoration de la norme infinie de la dérivée secondre,
dans le cas où \( (E,||\:\cdot\:||) = (\mathbf{R},|\:\cdot\:|) \),
en appliquant une formule de Taylor
Ma 16
Décembre
Cours (2h)
Fonctions vectorielles
-
si \(f_1,\ldots,f_n\) sont des fonctions d'un intervalle \(I\) dans \(\mathbf{R}\),
dérivables sur \(I\),
et
\(P\in\mathcal{M}_n(\mathbf{R})\)
alors la fonction vectorielle :
\[\left|\;\begin{array}{rcl}
I & \longrightarrow & \mathcal{M}_{n,1}(\mathbf{R}) \\
t & \longmapsto & P \times \begin{pmatrix} f_1(t) \\ \vdots \\ f_n(t) \end{pmatrix}
\end{array}\right.\]
est dérivable
-
résolution guidée du système différentiel linéaire homogène
\( X ' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \; X \)
- composition de deux fonctions vectorielles dérivables par une application bilinéaire (continue)
- propriété d'orthogonalité de la dérivée d'une fonction vectorielle dérivable
prenant ses valeurs sur une sphère d'un espace euclidien
- composition de fonctions vectorielles dérivables par une application multilinéaire (continue)
- si \(C_1,\ldots,C_n\) sont des fonctions de \(I\) dans \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbf{R})\),
dérivables sur \(I\), dérivabilité et dérivée de la fonction
\[\left|\;\begin{array}{rcl}
I & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
t & \longmapsto & \operatorname{det}(C_1(t),\ldots,C_n(t))
\end{array}\right.\]
- calcul du déterminant de \( x \, J_n + \operatorname{diag}(a_1-x,\ldots,a_n-x) \)
- composition d'une fonction numérique dérivable par une fonction vectorielle dérivable
- définition d'une fonction vectorielle de classe \(\mathcal{C}^k\)
- caractère \(\mathcal{C}^k\) d'une fonction vectorielle via ses fonctions coordonnées
- caractère \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbf{R}\) et dérivée seconde de la fonction
\[
t \longmapsto ( 2 \sin(t) + \sin(2t) , -2 \cos(t) - \cos(2t) )
\]
- \( \mathcal{C}^k(I,E) \) est un sous-espace vectoriel de \(E^I\)
- formule de Leinniz pour les fonctions vectorielles (énoncé)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 19
du polycopié de cours
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
résolution guidée du système différentiel linéaire homogène
\( X ' = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \; X \)
-
exercice 27
du polycopié de cours
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
si \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbf{R})\),
la fonction
\[
\varphi \colon t \longmapsto \operatorname{det}( I_n + t \, A )
\]
est dérivable sur \(\mathbf{R}\) et \( \varphi'(0) = \ldots \)
Lu 15
Décembre
Cours (2h)
Suites et séries de fonctions 1
- que dire d'une fonction qui est limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales sur \( \mathbf{R} \) ?
Fonctions vectorielles
- définition de la dérivabilité d'une fonction vectorielle en un point et du vecteur dérivé en ce point, cas échéant
- la fonction \( f \colon t \longmapsto ( \cos(t) , \sin(t) ) \) est dérivable sur \( \mathbf{R} \)
et,
pour tout \( a \in \mathbf{R} \),
\( f'(a) = ( - \sin(a) , \cos(a) ) \)
- notations de Landau pour les fonctions vectorielles
- caractérisation de la dérivabilité d'une fonction vectorielle en un point par l'existence d'un DL1 en ce point
- la dérivabilité implique la continuité
- dérivabilité d'une fonction vectorielle via ses fonctions coordonnées
- dérivabilité et dérivée de la fonction
\( t \longmapsto \left( t^3 - t^2 + 1 , t^4 + 7 t \right) \)
- dérivabilité et dérivée de la fonction
\( t \longmapsto \begin{pmatrix} \cos(t) & - \sin(t) \\ \sin(t) & \cos(t) \end{pmatrix} \)
- notation \( \mathcal{D}(I,E) \)
- définition de la fonction vectorielle dérivée d'une fonction vectorielle dérivable
- combinaison linéaire de fonctions vectorielles dérivables
- composition d'une fonction vectorielle dérivable par une application linéaire (continue)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
étudier et apprendre la définition 13
du polycopié de cours
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
dérivabilité à droite (resp. à gauche) d'une fonction vectorielle en un point
-
exercice 17
du polycopié de cours
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
dérivabilité et dérivée de la composée d'une fonction vectorielle dérivable par une application linéaire (continue)
-
exercice 18
du polycopié de cours
« Fonctions vectorielles »
[pdf]
:
résolution guidée du système différentiel linéaire homogène
\( X ' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \; X \)
Ve 12
Décembre
Cours (2h)
Suites et séries de fonctions 1
- CS, CU, non CN
de la suite de fonctions
\( \left( f_n \colon x \longmapsto (-1)^n \, \ln \left( 1 + \dfrac{x}{n\,(1+x)} \right) \right)_{n \in \mathbf{N}^*} \)
sur
\( [0,+\infty[\, \)
- approximation uniforme d'une fonction continue par morceaux sur un segment par des fonctions en escalier
- lemme de Riemann-Lebesgue
pour une fonction de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur un segment
- lemme de Riemann-Lebesgue
pour une fonction en escalier sur un segment
- lemme de Riemann-Lebesgue
pour une fonction continue par morceaux sur un segment
- lemme de Riemann-Lebesgue
pour une fonction intégrable sur \( \mathbf{R}_+ \),
cf. partie 4 du DS3 carmin
[pdf]
- théorème d'approximation polynomiale de Weierstraß pour les fonctions continues sur un segment
- l'ensemble des fonctions polynomiales sur un segment \( [a,b] \)
est dense dans \( \left( \mathcal{C}^0( [a,b] , \mathbf{R} ) , || \: \cdot \: ||_{\infty} \right) \)
- théorème des moments pour une fonction continue sur un segment
- si \( N \) est un entier naturel
et
\(f\) est une limite uniforme de suite de fonctions polynomiales de degrés majorés par \( N \) sur un segment \( [a,b] \),
alors
\(f\) est une fonction polynomiale de degré majoré par \( N \)
Fonctions vectorielles
- on souhaite développer un calcul différentiel et un calcul intégral pour des
fonctions « de la forme » :
\[\left|\;\begin{array}{ccc}
I & \longrightarrow & \mathbf{R}^n \\
t & \longmapsto & ( f_1(t) , \ldots , f_n(t) )
\end{array}\right.
\]
où
\( I \) est un intervalle de \(\mathbf{R}\)
et
\(n\) est un entier naturel non nul
(voire supérieur à 2 pour la nouveauté)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
étudier une démonstration du théorème 69
du polycopié de cours
« Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
:
approximation uniforme d'une fonction continue par morceaux sur un segment par des fonctions en escalier
-
étudier une correction de l'exercice 14
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
:
démonstration du théorème d'approximation polynomiale de Weierstraß
pour les fonctions continues sur un segment,
à l'aide des polynômes de Bernstein
-
exercice 75
du polycopié de cours
« Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
:
que dire d'une fonction qui est limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales sur \( \mathbf{R} \) ?
Ve 12
Décembre
TD MPI (2h)
Suites et séries de fonctions 1
-
exercice 12
de la banque CCINP
[pdf]
:
la convergence uniforme préserve la continuité
-
exercice 14
de la banque CCINP
[pdf]
:
la convergence uniforme sur un segment \([a,b]\) autorise l'échange des symboles
\(\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}\) et \(\displaystyle\int_a^b\)
et
des symboles
\(\displaystyle\sum_{n = 0}^{+\infty}\) et \(\displaystyle\int_a^b\)
-
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n \, 2^n} = \ln(2) \)
-
exercice 2
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
:
étude de la CS, CU de la suite de fonctions
\( \left( f_n \colon x \longmapsto \arctan\left( \dfrac{n+x}{1+nx} \right) \right)_{n \in \mathbf{N}} \)
sur \( [0,+\infty[\, \)
Je 11
Décembre
Cours (2h)
Suites et séries de fonctions 1
- la série de fonctions de terme général
\( f_n \colon x \longmapsto n \, x^n \)
ne converge pas uniformément sur \( \,]0,1[\, \)
-
CU de la série de fonctions de terme général
\( f_n \colon x \longmapsto \dfrac{(-1)^{n+1} \, x^n}{n} \)
sur
\( [0,1] \)
- définition de la convergence normale d'une série de fonctions bornées
- pour tout nombre complexe \(z\), \( | \exp(z) | = \exp( \operatorname{Re}(z) ) \)
- la série de fonctions de terme général
\( f_n \colon s \longmapsto \dfrac{1}{n^s} \)
converge normalement sur
\( \{ s \in \mathbf{C} \;:\; \operatorname{Re}(s) \geqslant \alpha \} \)
où \( \alpha \geqslant 1 \)
- la convergence normale implique la convergence simple absolue donc la convergence simple
- la série de fonctions de terme général
\( f_n \colon x \longmapsto x^n \)
converge simplement absolument sur \(\,]-1,1[\,\),
mais elle ne converge pas normalement sur \(\,]-1,1[\,\)
- la convergence normale implique la convergence uniforme
-
la série de fonctions de terme général
\( f_n \colon x \longmapsto \dfrac{(-1)^{n+1} \, x^n}{n} \)
converge uniformément sur \( [0,1] \),
mais elle ne converge pas normalement sur \( [0,1] \)
-
CNK de la série de fonctions de terme général
\( f_n \colon x \longmapsto \dfrac{x^n}{1+x^n} \)
sur \(\,]-1,1[\,\)
-
CN de la série de fonctions de terme général
\( f_n \colon x \longmapsto \dfrac{1}{x\,(x+1)\,\ldots\,(x+n)} \)
sur \( [\alpha,+\infty[\,\),
où \( \alpha \geqslant 0 \)
- synthèse sur les modes de convergence (CS, CSAbs, CUK, CU, CNK, CN) pour les séries de fonctions
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 65
du polycopié de cours
« Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
:
CS, CU, non CN
de la suite de fonctions
\( \left( f_n \colon x \longmapsto (-1)^n \, \ln \left( 1 + \dfrac{x}{n\,(1+x)} \right) \right)_{n \in \mathbf{N}^*} \)
sur
\( [0,+\infty[\, \)
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI de vendredi
-
exercice 12
de la banque CCINP
[pdf]
:
la convergence uniforme préserve la continuité
-
exercice 14
de la banque CCINP
[pdf]
:
la convergence uniforme sur un segment \([a,b]\) autorise l'échange des symboles
\(\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}\) et \(\displaystyle\int_a^b\)
-
exercice 2
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
:
étude de la CS, CU de la suite de fonctions
\( \left( f_n \colon x \longmapsto \arctan\left( \dfrac{n+x}{1+nx} \right) \right)_{n \in \mathbf{N}} \)
sur \( [0,+\infty[\, \)
-
exercice 4
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
:
étude de la CS, CUK, CU de la série de fonctions de terme général
\( f_n \colon x \longmapsto n \, e^{-n^2 \, x^2} \)
sur \( \,]0,+\infty[\, \)
Je 11
Décembre
TD MPI★ (2h)
Suites et séries de fonctions 1
-
exercice 9
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
:
la convergence uniforme préserve la continuité
-
exercice 10
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
:
la convergence uniforme sur un segment \([a,b]\) autorise l'échange des symboles
\(\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}\) et \(\displaystyle\int_a^b\)
-
exercice 13
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
:
premier théorème de Dini
-
exercice 6
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
:
domaine de définition de la série de fonctions de terme général
\( f_n \colon x \longmapsto x^{n^2} \)
et
équivalent de sa somme en \( 1^- \)
-
exercice 14
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
:
polynômes de Bernstein et théorème d'approximation polynomiale de Weierstraß
Me 10
Décembre
Cours (2h)
Réduction des endomorphismes et des matrices 1
- Une seule matrice est à la fois diagonalisable et nilpotente : la matrice nulle
Suites et séries de fonctions 1
- rappel sur la technique de l'angle moitié
et
la factorisation de \( e^{ip} - e^{iq} \) où \(p,q\) sont des réels
- rappel sur l'inégalité des accroissements finis
-
CS, CUK, non CU
de la suite de fonctions
\( \left( f_n \colon x \longmapsto \cos\left(\dfrac{ n x }{ n + 1 }\right) \right)_{n \in \mathbf{N}} \)
sur
\( \,]0,+\infty[\, \)
-
CS de la série de fonctions de terme général
\( f_n \colon \theta \longmapsto \dfrac{e^{i n \theta}}{n^2} \)
sur
\( \mathbf{R} \)
-
CS de la série de fonctions de terme général
\( f_n \colon x \longmapsto n \, x^n \)
sur
\( \,]-1,1[\, \)
et :
\[\sum_{n=1}^{+\infty} f_n \; \left| \; \begin{array}{rcl}
\,]-1,1[\, & \to & \mathbf{R} \\
x & \longmapsto & \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} n \, x^n = \dfrac{x}{(1-x)^2}
\end{array}\right.\]
-
CS de la série de fonctions de terme général
\( f_n \colon x \longmapsto \dfrac{(-1)^{n+1} \, x^n}{n} \)
sur
\( \,]-1,1] \)
et :
\[\sum_{n=1}^{+\infty} f_n \; \left| \; \begin{array}{rcl}
\,]-1,1] & \to & \mathbf{R} \\
x & \longmapsto & \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n+1} \, x^n}{n} = \ln(1+x)
\end{array}\right.\]
- définition de la convergence uniforme d'une série de fonctions
- la convergence uniforme d'une série de fonctions implique sa convergence simple
- CU d'une série de fonction qui CS versus CU de la suite des restes vers la fonction nulle
- la série de fonctions de terme général
\( f_n \colon x \longmapsto n \, x^n \)
converge uniformément sur \( [-a,a] \), où \( a \in \,]0,1[\, \)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
question 2 de l'exercice 51
du polycopié de cours
« Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
:
non CU de la série de fonctions de terme général
\( f_n \colon x \longmapsto n \, x^n \)
sur
\( \,]-1,1[\, \)
-
question 1 (modifiée) de l'exercice 52
du polycopié de cours
« Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
:
CU de la série de fonctions de terme général
\( f_n \colon x \longmapsto \dfrac{(-1)^{n+1} \, x^n}{n} \)
sur
\( [0,1] \)
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI★ de jeudi
-
exercice 9
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
:
la convergence uniforme préserve la continuité
-
exercice 10
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
:
la convergence uniforme sur un segment \([a,b]\) autorise l'échange des symboles
\(\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}\) et \(\displaystyle\int_a^b\)
-
exercice 13
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
:
premier théorème de Dini
-
exercice 6
de la feuille d'exercices
« Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
:
domaine de définition de la série de fonctions de terme général
\( f_n \colon x \longmapsto x^{n^2} \)
et
équivalent de sa somme en \( 1^- \)
Ma 9
Décembre
Cours (2h)
Suites et séries de fonctions 1
- la suite de fonctions
\( \left( f_n \colon x \longmapsto x^n \right)_{n \in \mathbf{N}} \)
converge simplement,
mais pas uniformément sur \( [0,1] \)
- si une suite de fonction
\( (f_n)_{n \in \mathbf{N}} \) converge uniformément vers une fonction \(f\)
alors les fonctions \( f_n - f \) sont bornées à partir d'un certain rang
- rappel sur la norme \( ||\:\cdot\:||_{\infty,X} \) sur l'espace
\( \mathcal{B}(X,\mathbf{K}) \)
des fonctions bornées d'un ensemble non vide \(X\) dans \(\mathbf{K}\),
en particulier de la description géométrique des boules
- expression de la convergence uniforme d'une suite de fonctions
au moyen de la norme \( ||\:\cdot\:||_{\infty,X} \)
- une méthode pour prouver la convergence uniforme à l'aide d'une suite numérique auxiliaire
- CU de la suite de fonctions
\( \left( f_n \colon x \longmapsto \dfrac{\cos(x)}{n} \right)_{n \in \mathbf{N}^*} \)
sur
\( \mathbf{R} \)
- CU de la suite de fonctions
\( \left( f_n \colon x \longmapsto \sqrt{n} \; x \; e^{-nx} \right)_{n \in \mathbf{N}^*} \)
sur
\( \mathbf{R}_+ \)
- un critère séquentiel de non convergence uniforme
- CS de la suite de fonctions
\( \left( f_n \colon x \longmapsto \dfrac{nx}{1+nx} \right)_{n \in \mathbf{N}^*} \)
sur
\( [0,1] \)
- CUK mais non CU de la suite de fonctions
\( \left( f_n \colon x \longmapsto \dfrac{nx}{1+nx} \right)_{n \in \mathbf{N}^*} \)
sur
\( \,]0,1] \)
- CU de la suite de fonctions
\( \left( f_n \colon x \longmapsto \dfrac{nx}{1+nx} \right)_{n \in \mathbf{N}^*} \)
sur
\( [1,+\infty[\, \)
- passage du local au global pour la CS, mais pas pour la CU
- synthèse sur les modes de convergence (CS, CUK, CU) pour les suites de fonctions
- définition de la CS d'une série de fonctions
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 21
du polycopié de cours
« Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
:
CS, CUK, non CU
de la suite de fonctions
\( \left( f_n \colon x \longmapsto \cos\left(\dfrac{ n x }{ n + 1 }\right) \right)_{n \in \mathbf{N}} \)
sur
\( \,]0,+\infty[\, \)
-
exercice 16
du polycopié de cours
« Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
:
CU de la suite de fonctions
\( \left( f_n \colon x \longmapsto \left( 1 - \dfrac{x}{n} \right)^n \; \mathbf{1}_{[0,n]}(x) \right)_{n \in \mathbf{N}} \)
sur
\( [0,+\infty[\, \),
à l'aide de deux études de fonctions
Lu 8
Décembre
Cours (2h)
Probabilités 1
- l'absence de mémoire caractérise les variables aléatoires suiavnt une loi géométrique parmi les variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbf{N}^*\)
Suites et séries de fonctions 1
- définition de la convergence simple d'une suite de fonctions
- convergence simple de la suite de fonctions
\( \left( f_n \colon x \longmapsto x^n \right)_{n \in \mathbf{N}} \)
sur
\( [0,1] \)
- la convergence simple seule ne permet pas l'échange des symboles
\( \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \)
et
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \)
- convergence simple de la suite de fonctions
\( \left( f_n \colon x \longmapsto e^{(x-n)^2} \right)_{n \in \mathbf{N}} \)
sur
\( \mathbf{R} \)
- la convergence simple seule ne permet pas l'échange des symboles
\( \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \)
et
\( \displaystyle \int_{\mathbf{R}} \)
- convergence simple de la suite de fonctions
« des échelles montantes »
sur
\( [0,1] \)
- la convergence simple seule ne permet pas l'échange des symboles
\( \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \)
et
\( \displaystyle \int_0^1
\)
- définition de la convergence uniforme d'une suite de fonctions
- justification de la terminologie « uniforme » dans la définition précédente
- la convergence uniforme d'une suite de fonctions implique sa convergence simple
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
début de la résolution de l'exercice 16
du polycopié de cours
« Suites et séries de fonctions 1 »
[pdf]
:
convergence simple de la suite de fonctions
\( \left( f_n \colon x \longmapsto \left( 1 - \dfrac{x}{n} \right)^n \; \mathbf{1}_{[0,n]}(x) \right)_{n \in \mathbf{N}} \)
sur
\( [0,+\infty[\, \)
Ve 5
Décembre
Cours (2h)
Probabilités 1
- définition de l'égalité en loi de deux variables aléatoires discrètes
- exemple de deux variables aléatoires discrètes différentes, mais égales en loi
- variable aléatoire discrète image
- images de deux variables aléatoires discrètes égales en loi par une même fonction
- loi conditionnelle d'une variable aléatoire discrète
- conditionnement d'une loi binomiale par une loi binomiale
- couples de variables aléatoires
- la loi d'un couple détermine ses lois marginales (la réciproque est fausse)
- étude d'un couple \( (X,Y) \) de variables aléatoires à valeurs dans \( \mathbf{N}^2 \) :
lois marginales,
indépendance,
probabilités que les variables \(X\) et \(Y\) prennent la même valeur
- loi conjointe d'un nombre fini de variables aléatoires
- notion d'indépendance pour les variables aléatoires
- lemme des coalitions
- théorème d'extension de Kolmogorov
- définition de la loi de Poisson
- définition de la loi géométrique
- situation de reconnaissance d'une loi géométrique
- loi du minimum de deux variables aléatoires indépendantes, de même loi géométrique
- probabilité que deux variables aléatoires indépendantes aident la même valeur,
lorsque l'une suit une loi géométrique,
l'autre une loi de Poisson
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
partie 8
« Indépendance de variables aléatoires »
du polycopié de cours
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
étudier/comprendre/apprendre
-
exercice 109
du polycopié de cours
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
la loi exponentielle est une loi limite
-
exercice 115
du polycopié de cours
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
absence de mémoire pour la loi géométrique
-
devoir maison n°7
[pdf]
:
nombre de dérangements d'une permutation,
formule d'inversion de Pascal,
asymptotique du nombre de cycles d'une permutation,
asymptotique du nombre de diviseurs d'un entier
Ve 5
Décembre
TD MPI★ (2h)
Probabilités 1
-
exercice 4
de la feuille d'exercices
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
rang d'apparition du motif Pile Pile dans une sucession de lancers de pièce
-
exercice 5
de la feuille d'exercices
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
loi \( \zeta \) et indépendance
-
exercice 8
de la feuille d'exercices
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
deuxième lemme de Borel-Cantelli
et
loi du 0-1 de Borel
-
exercice 119
du polycopié de cours
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
probabilité qu'une matrice aléatoire soit diagonalisable
Je 4
Décembre
Cours (2h)
Probabilités 1
- si \( x \in \,]-1,1[\, \),
convergence et somme de la série
\(\displaystyle\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{x^n}{n}\)
- exercice sur une urne à composition variable et temps d'attente
- définition d'une variable aléatoire discrète
- événements associés à une variable aléatoire discrète
- loi d'une variable aléatoire discrète
- la distribution de probabilités d'une variable aléatoire discrète caractérise sa loi
- système quasi-complet d'événements associé à une variable aléatoire discrète
- définition d'une variable aléatoire discrète suivant la loi de Poisson
- loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes,
suivant toutes deux une loi de Poisson
- heuristique pour la loi géométrique
- définition d'une variable aléatoire discrète suivant la loi géométrique
- loi du rang du premier Pile dans une série de lancers infinie d'une pièce équilibrée
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 117
du polycopié de cours
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
loi du minimum de deux variables aléatoires indépendantes,
de même loi géométrique
-
exercice 118
du polycopié de cours
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
probabilité que deux variables aléatoires indépendantes aient la même valeur,
lorsque l'une suit une loi géométrique,
l'autre une loi de Poisson
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI★ de vendredi
-
exercice 4
de la feuille d'exercices
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
rang d'apparition du motif Pile Pile dans une sucession de lancers de pièce
-
exercice 5
de la feuille d'exercices
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
loi \( \zeta \) et indépendance
-
exercice 8
de la feuille d'exercices
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
deuxième lemme de Borel-Cantelli
-
exercice 119
du polycopié de cours
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
probabilité qu'une matrice aléatoire soit diagonalisable
Je 4
Décembre
TD MPI (2h)
Probabilités 1
-
exercice 82
du polycopié de cours
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
loi hypergéométrique
-
exercice 1
de la feuille d'exercices
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
temps d'attente
-
exercice 97
de la banque CCINP
[pdf]
:
lois marginales d'un couple de variables aléatoires à valeurs dans \( \mathbf{N}^2 \),
indépendance
-
exercice 102
de la banque CCINP
[pdf]
:
minimum d'un nombre fini de variables aléatoires indépendantes,
toutes de même loi géométrique
-
exercice 103
de la banque CCINP
[pdf]
:
conditionnement d'une loi de Poisson par une loi binomiale
Me 3
Décembre
Cours (2h)
Probabilités 1
- lemme de Borel-Cantelli
- une probabilité conditionnelle est une probabilité
- formule des probabilités composées
- une urne contient une boule rouge et une boule noire,
on tire une boule de l'urne,
puis on la remet en ajoutant une boule supplémentaire de la même couleur,
on répète indéfiniment le jeu,
« au moins une boule rouge est tirée »
est presque sûr
- définition d'un système quasi-complet d'événements
- formule des probabilités totales
- on lance un dé non truqué,
si le dé amène \(k\) on lance \(k\) fois une pièce équilibrée,
quelle est la probabilité d'avoir au moins un Pile ?
- formule de Bayes
- définition d'une distribution de probabilités
sur un ensemble au plus dénombrable
- distribution de probabilités versus probabilité
sur un ensemble au plus dénombrable
- définition de la distribution de Poisson sur \(\mathbf{N}\)
- définition de la distribution géométrique sur \(\mathbf{N}^*\)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
partie 5
« événements indépendants »
du polycopié de cours
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
étudier/comprendre/apprendre,
connaître un exemple de famille d'événements deux à deux indépendants mais non mutuellement indépendants,
cf. exercice 66
-
Soit \( x \in \,]-1,1[\, \).
Démontrer que la série numérique
\(\displaystyle\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{x^n}{n}\)
converge et calculer sa somme.
On pourra observer que,
pour tout \( k \geqslant 1 \),
\(\displaystyle \dfrac{x^k}{k} = \int_0^x t^{k-1} \;\operatorname{d}t\)
-
exercice 60
du polycopié de cours
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
urne à composition variable et temps d'attente
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI de jeudi
-
exercice 82
du polycopié de cours
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
loi hypergéométrique
-
exercice 1
de la feuille d'exercices
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
temps d'attente
Ma 2
Décembre
Cours (2h)
Probabilités 1
- définition d'une probabilité sur un espace probabilisable
- définition d'un espace probabilisé
- propriétés élémentaires d'une probabilité
- probabilité d'une union disjointe finie d'événements
- croissance d'une probabilité
- probabilité d'une union finie d'événements
- continuité croissante (resp. décroissante) d'une probabilité
- probabilité d'une union (resp. intersection) dénombrable
- sous-additivité de la probabilité d'une union dénombrable
- définition d'un événement négligeable (resp. presque sûr)
- un événement négligeable n'est pas nécessairement \( \varnothing \),
cf. « ne jamais obtenir Pile dans une infinité de lancers d'une pièce équilibrée »
- opérations sur les ensembles négligeables (presque sûrs)
- définition d'une probabilité conditionnelle.
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 47
du polycopié de cours
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
lemme de Borel-Cantelli
Lu 1er
Décembre
Cours (2h)
Analyse asymptotique
- si \( u_n \thicksim v_n \) et \( w_n = \operatorname{o}(u_n) \) alors \( w_n = \operatorname{o}(v_n) \)
- \( u_n \thicksim v_n \) si et seulement si \( u_n = v_n + \operatorname{o}(v_n) \)
- \( \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{1}{n} + \operatorname{o}\left(\dfrac{1}{n}\right) \)
et
\( \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n^2} + \operatorname{o}\left(\dfrac{1}{n^2}\right) \)
Probabilités 1
- le support d'une famille sommable est dénombrable (démonstration)
- théorème de Cantor : un ensemble et l'ensemble de ses parties ne sont pas équipotents
- \( \mathcal{P}(\mathbf{N})\) n'est pas dénombrable
- \(\{0,1\}^{\mathbf{N}}\) n'est pas dénombrable
- \(\{0,1\}^{\mathbf{N}}\) et \([0,1[\,\) sont équipotents (CentraleSupélec-MP-2019)
- \(\mathbf{R}\) et \(\mathbf{R} \setminus \mathbf{Q}\) ne sont pas débombrables
- l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable
- l'ensemble des nombres transcendants n'est pas dénombrable
- définition d'une tribu
- définition d'un espace probabilisable
- concepts associés à un espace probabilisable
- propriétés d'une tribu
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- étudier les parties
II « Écriture binaire »
et
V « Dénombrabilité »
de l'épreuve n°2 du concours CentraleSupélec, pour la filière MP, en 2019
• énoncé [pdf]
• un corrigé de Gaël Benabou [pdf]
Sa 29
Novembre
DS4 (4h)
Piste turquoise
- natures et sommes éventuelles de séries
- autour du théorème de comparaison avec une intégrale (CCINP MP-MPI 2025)
- règle de Raabe-Duhamel
- transformée d'Abel
Piste vermillon
- natures et sommes éventuelles de séries
- règle de Raabe-Duhamel
- transformée d'Abel
- lemme de Cesàro (ÉNS MP-MPI 2024)
- surjectivité de l'application
\( \exp \colon \mathcal{M}_2(\mathbf{C}) \longrightarrow \mathcal{GL}_2(\mathbf{C}) \)
Ve 28
Novembre
Cours (2h)
Processus sommatoires discrets
-
sommabilité de la famille
\( \left( \dfrac{1}{ n^{\alpha} + m^{\alpha} } \right)_{(n,m)\in\mathbf{N}^* \times \mathbf{N}^*} \)
où \(\alpha>0\)
- développement en série entière de la série
\(\displaystyle\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{z^n}{1-z^n} \)
et
nombre de diviseurs d'un entier
Probabilités 1
- définition d'un ensemble dénombrable
- énumération des éléments d'un ensemble dénombrable
- toute partie infinie de \(\mathbf{N}\) est dénombrable
- définition d'un ensemble au plus dénombrable
- un ensemble est au plus dénombrable si et seulement s'il est équipotent à une partie de \(\mathbf{N}\)
- l'ensemble \(\mathbf{Z}\) est dénombrable
- l'ensemble \(\mathbf{N}^2\) est dénombrable
- un produit cartésien fini d'ensemble au plus dénombrables est au plus dénombrable
- l'ensemble \(\mathbf{N}^{2025} \times \mathbf{Z}^{2026} \) est dénombrable
- une union au plus dénombrable d'ensembles au plus dénombrables est au plus dénombrable
- l'ensemble \(\mathbf{Q}\) est dénombrable
- le support d'une famille sommable est dénombrable (énoncé)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
apprendre toute la partie 1
« Ensembles dénombrables »
du polycopié de cours
« Probabilités 1 »
[pdf]
-
exercice 26
du polycopié de cours
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable
Ve 28
Novembre
TD MPI (2h)
Devoir maison n°6
- exercice 1 : nature d’une série dépendant de trois paramètres [oral Mines-Télécom]
- exercice 2 : réorganisation des termes de la série harmonique alternée [oral Mines-Télécom]
Processus sommatoires discrets
-
exercice 97
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
convergence et calcul de la somme de la série \(\displaystyle\sum_{ n\geqslant 2} \left( \zeta(n) - 1 \right) \)
-
\( \displaystyle \cos(1) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{(2n)!} \)
Je 27
Novembre
Cours (2h)
Processus sommatoires discrets
- théorème de Fubini dans le cas complexe
- produit d'un nombre fini de familles sommables de complexes
- produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes
- \( \exp \colon \left( \mathbf{C} , + \right) \to \left( \mathbf{C}^* , \times \right) \)
est un morphisme de groupes
- si \(q\) est un nombre complexe de module strictement plus petit que 1,
alors la série
\(\displaystyle\sum_{n \geqslant 0} (n+1) \, q^n\)
converge et a pour somme
\(\dfrac{1}{(1-q)^2}\)
- les nombres
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \sum_{\substack{m=1 \\ m \not= n}}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2-m^2}\)
et
\(\displaystyle\sum_{m=1}^{+\infty} \sum_{\substack{n=1 \\ n \not= m}}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2-m^2}\)
sont bien définis et distincts
- sommabilité de la famille
\( \left( \dfrac{1}{a^n+b^m} \right)_{(n,m)\in\mathbf{N}^2} \)
où \(a>1\) et \(b>1\)
-
sommabilité de la famille
\( \left( \dfrac{1}{(n+m)^{\alpha}} \right)_{(n,m)\in\mathbf{N}^* \times \mathbf{N}^*} \)
où \(\alpha>0\)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 117
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
développement en série entière de la série
\(\displaystyle\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{z^n}{1-z^n} \)
et
nombre de diviseurs d'un entier
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI de vendredi
-
exercice 56
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
\(\cos(1)\) est irrationnel,
en exploitant les inégalités du critère des séries alternées
-
exercice 97
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
convergence et calcul de la somme de la série \(\displaystyle\sum_{ n\geqslant 2} \left( \zeta(n) - 1 \right) \)
Je 27
Novembre
TD MPI★ (2h)
Devoir maison n°6
- le résultant \(\operatorname{Res}(P,Q)\) de deux polynômes \(P,Q\in\mathbf{C}[X]\)
détecte si ces deux polynômes ont une racine complexe commune
- le polynôme \(\operatorname{Res}(\chi_M,\chi_M')\) détecte si le polynôme
caractéristique d'une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C}\) a un polynôme caractéristique
scindé à racines simples dans \(\mathbf{C}\)
- exercice 4 : raffinement de la formule de Stirling [oral Mines-Ponts]
- exercice 5 : une condition suffisante pour qu’une suite réelle converge vers 0 [oral Mines-Ponts]
Processus sommatoires discrets
-
exercice 62
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
\(\displaystyle\sum_{k = 1}^n \, \dfrac{1}{k}
\;\underset{n \rightarrow +\infty}{=}\;
\ln(n) + \gamma + \dfrac{1}{2n} - \dfrac{1}{12 n^2} + \operatorname{o}\left( \dfrac{1}{n^2} \right) \)
Me 26
Novembre
Cours (2h)
Processus sommatoires discrets
- opérations sur les familles sommables réels positifs
- partition horizontale (resp. verticale, diagonale) de \(\mathbf{N}^2\)
- théorème de sommation par paquets dans le cas réel positif
- famille de réels positifs indexée par \(\mathbf{Z}\)
- sommabilité de la famille
\( \left( q^n \right)_{ n \in \mathbf{Z} } \)
où \( q > 0 \)
- théorème de Fubini dans le cas réel positif
- somme de la famille
\( \left( \dfrac{1}{2^n \, 3^m} \right)_{(n,m)\in\mathbf{N}^2} \)
- sommabilité de la famille
\( \left( \dfrac{1}{4^n + 5^m} \right)_{(n,m)\in\mathbf{N}^2} \)
- sommabilité de la famille
\( \left( \dfrac{1}{(n+m)^4} \right)_{(n,m)\in\mathbf{N}^* \times \mathbf{N}^*} \)
- définition de la sommabilité d'une famille de nombres complexes
- l'espace vectoriel (normé) \(\ell^1(I,\mathbf{K})\)
- sommabilité d'une famille de nombres complexes indexée par \(\mathbf{N}\) et lien avec les séries
- sommabilité d'une sous-famille d'une famille sommable de complexes
- invariance de la somme d'une famille sommable de complexes par permutation
- linéarité de la somme d'une famille sommable de complexes
- théorème de sommation par paquets dans le cas complexe
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
démonstration du théorème 83
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
étudie, comprendre
-
exercice 94
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
sommabilité de la famille
\( \left( \dfrac{1}{a^n+b^m} \right)_{(n,m)\in\mathbf{N}^2} \)
où \(a>1\) et \(b>1\)
-
exercice 95
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
sommabilité des familles
\( \left( \dfrac{1}{(n+m)^{\alpha}} \right)_{(n,m)\in\mathbf{N}^* \times \mathbf{N}^*} \)
et
\( \left( \dfrac{1}{n^{\alpha}+m^{\alpha}} \right)_{(n,m)\in\mathbf{N}^* \times \mathbf{N}^*} \)
où \(\alpha>0\)
-
partie 1 « Ensembles dénombrables »
du polycopié de cours
« Probabilités 1 »
[pdf]
:
étudier, comprendre, apprendre
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI★ de jeudi
-
exercice 62
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
\(\displaystyle\sum_{k = 1}^n \, \dfrac{1}{k}
\;\underset{n \rightarrow +\infty}{=}\;
\ln(n) + \gamma + \dfrac{1}{2n} - \dfrac{1}{12 n^2} + \operatorname{o}\left( \dfrac{1}{n^2} \right) \)
-
remarque 37
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
matrice de l'exponentielle
d'un endomorphisme d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie dans une base
(justifier l'assertion)
Ma 25
Novembre
Cours (2h)
Processus sommatoires discrets
- exponentielle d'une matrice diagonale (démonstration)
- exponentielle de la matrice
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\)
- exponentielle de deux matrices semblables
- spectre de l'exponentielle d'une matrice
- exponentielle d'une somme d'endomorphismes (resp. de deux matrices) qui commutent
- inversibilité et inverse de l'exponentielle d'une matrice
- apport de la décomposition de Dunford dans le calcul de l'exponentielle d'une matrice
- somme d'une famille finie de réels positifs vue comme borne supérieure
- somme d'une sous-famille de réels positifs
- invariance de la somme d'une famille de réels positifs par permutation
- somme d'une famille de nombres réels positifs indexée par \(\mathbf{N}\) et lien avec les séries
- définition d'une famille sommable de réels positifs
- famille sommable de réels positifs indexée par \(\mathbf{N}\)
Lu 24
Novembre
Cours (2h)
Processus sommatoires discrets
-
nature de la série
\(\displaystyle\sum\, \ln\left( 1 + \dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha}} \right) \)
où \(\alpha\) est un réel positif
-
il existe une constante réelle \(C\) telle que
\(\displaystyle\sum_{k = 1}^n \, \dfrac{\ln(k)}{k}
\;\underset{n \rightarrow +\infty}{=}\;
\dfrac{\ln^2(n)}{2} + C + \operatorname{o}(1) \)
et
raffinement
- théorème de Cesàro
- étude d'une suite réelle
\( (u_n)_{n\in\mathbf{N}} \)
vérifiant la relation de récurrence
\( u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{u_n^{\alpha}} \)
pour tout \(n \in \mathbf{N} \),
où \(\alpha\) est un réel fixé
- définition de l'exponentielle
d'un endomorphisme d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie,
d'une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbf{K})\)
- exponentielle d'une homothétie, d'un projecteur, d'une symétrie
- exponentielle d'une matrice diagonale (énoncé)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 41
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
réduction et exponentielle de la matrice
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\)
Ve 21
Novembre
Cours (2h)
Processus sommatoires discrets
- convergence et calcul de la somme de
\(\displaystyle\sum_{n \geqslant 0} \dfrac{(-1)^n}{4n+1} \)
- rappels sur les sommes de Riemann pour une fonction continue sur un segment
- équivalents des sommes partielles des séries de Riemann divergentes
-
nature de la série
\(\displaystyle\sum\, \dfrac{x^n}{n^2} \)
où \(x\) est un nombre réel fixé
-
nature de la série
\(\displaystyle\sum\, n! \times x^{n^2} \)
où \(x\) est un nombre réel fixé
- critère des séries alternées
- la série
\(\displaystyle\sum\,\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n} \)
diverge
- sommation des relations de comparaison
- équivalent de \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{\sqrt{k}+5}{k+3} \),
lorsque \(k\) tend vers \(+\infty\)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- étudier/apprendre la démonstration
du théorème 58
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
sommation des petits o
- étudier/apprendre la démonstration
du corollaire 60
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
sommation des équivalents
-
exercice 55
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
nature de la série
\(\displaystyle\sum\, \ln\left( 1 + \dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha}} \right) \)
où \(\alpha\) est un réel positif
- sachant que
\(\displaystyle\sum_{k = 1}^n \, \dfrac{\ln(k)}{k}
\;\underset{n \rightarrow +\infty}{\thicksim}\;
\dfrac{\ln^2(n)}{2}
\),
résultat qui peut être établi à l'aide d'une comparaison série-intégrale,
démontrer qu'il existe une constante réelle \(C\) telle que
\(\displaystyle\sum_{k = 1}^n \, \dfrac{\ln(k)}{k}
\;\underset{n \rightarrow +\infty}{=}\;
\dfrac{\ln^2(n)}{2} + C + \operatorname{o}(1) \)
-
devoir maison n°6
[pdf]
:
nature d’une série dépendant de trois paramètres,
réorganisation des termes de la série harmonique alternée,
topologie matricielle,
raffinement de la formule de Stirling,
une condition suffisante pour qu’une suite réelle converge vers 0
Ve 21
Novembre
TD MPI★ (2h)
Processus sommatoires discrets
-
exercice 27
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
équivalent de fonction \(\zeta\) de Riemann en \(1^+\)
-
exercice 1
de la feuille d'exercices
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
3 études de natures de séries numériques (les séries numérotées de 7 à 9)
- équivalent du reste
\(\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^3} \)
lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\)
-
exercice 3
de la feuille d'exercices
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
2 études de natures de séries numériques
-
exercice 8
de la feuille d'exercices
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
convergence et calcul de la somme de la série
\(\displaystyle\sum_{n \geqslant 1} (-1)^n \, \dfrac{\ln(n)}{n} \)
Jeu 20
Novembre
Cours (2h)
Processus sommatoires discrets
- critère de convergence des séries de Riemann
- étude de la nature de la série
\(\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^{\alpha} \, \ln^{\beta}(n)}\),
où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des réels strictement positifs
- une série absolument convergente d'un espace vectoriel normé de dimension finie \((E,||\:\cdot\:||)\)
est convergente dans \(E\)
- la série de vecteurs \(\displaystyle\sum\,\dfrac{X^n}{2^n}\) de l'espace vectoriel normé
\( \left( \mathbf{R}[X] , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \)
est absolument convergente mais diverge dans
\( \left( \mathbf{R}[X] , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \)
- nature de la série numérique \(\displaystyle\sum \dfrac{\sin(n)}{n^2}\)
- théorème de comparaison pour les séries numériques
- bien que,
\( \dfrac{1}{n}
\underset{n \rightarrow +\infty}{=}
\operatorname{O}\left(\dfrac{(-1)^n}{n}\right)\)
et
que
la série \(\displaystyle\sum \dfrac{(-1)^n}{n} \) converge,
la série \(\displaystyle\sum \dfrac{1}{n} \) diverge
- nature de la série numérique \(\displaystyle\sum \dfrac{\ln(n)}{n^2}\)
- règle de d'Alembert
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 51
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
nature de la série
\(\displaystyle\sum\, \dfrac{x^n}{n^2} \)
où \(x\) est un nombre réel fixé
-
exercice 52
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
nature de la série
\(\displaystyle\sum\, n! \times x^{n^2} \)
où \(x\) est un nombre réel fixé
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI★ de vendredi
-
exercice 27
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
équivalent de fonction \(\zeta\) de Riemann en \(1^+\)
-
exercice 3
de la feuille d'exercices
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
2 études de natures de séries numériques
-
exercice 4
de la feuille d'exercices
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
3 études de natures de séries numériques à paramètre
-
exercice 8
de la feuille d'exercices
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
convergence et calcul de la somme de la série
\(\displaystyle\sum_{n \geqslant 1} (-1)^n \, \dfrac{\ln(n)}{n} \)
Je 20
Novembre
TD MPI (2h)
Intégration sur un intervalle quelconque
-
exercice 55
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
convergence et calcul de la somme de la série
\(\displaystyle\sum_{n \geqslant 0} \dfrac{(-1)^n}{3n+1} \)
-
exercice 26
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
équivalents des restes des séries de Riemann convergentes
-
exercice 1
de la feuille d'exercices
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
6 études de natures de séries numériques (les séries numérotées de 1 à 6)
Me 19
Novembre
Cours (2h)
Processus sommatoires discrets
- nature de la série numérique \(\displaystyle\sum \ln\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right) \)
- critère de convergence pour les séries à termes réels positifs ou nuls
- la série \(\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^2} \) converge
- théorème de domination pour les séries à termes positifs
- bien que,
pour tout \( n \in \mathbf{N}^* \),
\( -\dfrac{1}{n} \leqslant \dfrac{1}{n^2} \)
et
que
la série \(\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^2} \) converge,
la série \(\displaystyle\sum -\dfrac{1}{n} \) diverge
- théorème de comparaison pour les séries à termes positifs
- bien que,
\( \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}
\underset{n \rightarrow +\infty}{\thicksim}
\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \dfrac{1}{n} \)
et
que
la série \(\displaystyle\sum \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \) converge,
la série \(\displaystyle\sum \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \dfrac{1}{n} \) diverge
- nature de la série
\(\displaystyle\sum \ln\left( 1 + \dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha}}\right)\),
où \( \alpha \in \mathbf{R}_+ \)
- théorème de comparaison série-intégrale
- critère de convergence des séries de Riemann
- équivalent de la somme
\( 1 + 2 \, \sqrt{2} + 3 \, \sqrt{3} + \ldots + n \, \sqrt{n} \)
lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\),
à l'aide d'une comparaison série-intégrale
- définition d'une série absolument convergente d'un espace vectoriel normé
- la série \(\displaystyle\sum \dfrac{(-1)^n}{n} \) converge mais ne converge pas absolument
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance, i.e. pour le cours de jeudi
-
apprendre l'énoncé du corollaire 23
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
critère de convergence des séries de Riemann
-
apprendre l'énoncé du théorème 31
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
une série absolument convergente d'un espace vectoriel normé de dimension finie \((E,||\:\cdot\:||)\)
est convergente dans \(E\)
-
apprendre l'énoncé du théorème 34
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
théorème de comparaison pour les séries numériques
-
apprendre/comprendre l'énoncé et la démonstration du théorème 48
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
règle de d'Alembert
-
apprendre l'énoncé du théorème 53
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
critère des séries alternées
-
exercice 55
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
convergence et calcul de la somme de la série
\(\displaystyle\sum_{n \geqslant 0} \dfrac{(-1)^n}{3n+1} \)
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI de jeudi
-
exercice 26
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
équivalents des restes des séries de Riemann convergentes
et
équivalents des sommes partielles des séries de Riemann convergentes
-
exercice 1
de la feuille d'exercices
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
19 études de natures de séries numériques
Ma 18
Novembre
Cours (2h)
Processus sommatoires discrets
- \( \displaystyle
H_n
:= \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} \underset{n \rightarrow +\infty}{=} \ln(n) + \gamma + \operatorname{o}(1)
\) où \(\gamma\) est une constante réelle
et
un premier exemple de comparaison série-intégrale
- définition de la somme (resp. du reste d'ordre \(n\)) d'une série convergente
- la suite des restes d'une série convergente converge vers le vecteur nul
- somme et reste d'ordre \(n\) de la série \(\displaystyle\sum_{n \geqslant 2} \dfrac{1}{n(n-1)} \)
- rappel sur la formule de Taylor avec reste intégrale
- convergence et somme de la série harmonique alternée (deux solutions,
l'une avec une somme de termes en progression géométrique,
l'autre avec la formule de Taylor avec reste intégrale
- somme de termes en progression géométrique
- résultats sur les suites et les séries géométriques dont la raison est complexe
- résultat sur la série exponentielle
- linéarité de la somme d'une série convergente
- convergence et somme de la série \(\displaystyle\sum_{n \geqslant 1} \dfrac{n^2}{n!} \),
grâce à l'identité \( X^2 = X(X-1) + X \)
- le terme général d'une série convergente tend vers le vecteur nul
- définition d'une série grossièrement divergente
- la série de polynômes \(\displaystyle\sum X^n \) diverge grossièrement dans
\( \left( \mathbf{R}[X] , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \)
- lien entre suites et séries (séries télescopiques)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 16
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
nature de la série numérique \(\displaystyle\sum \ln\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right) \)
-
exercice 25
du polycopié de cours
« Procédés sommatoires discrets »
[pdf]
:
équivalent de la somme
\( 1 + 2 \, \sqrt{2} + 3 \, \sqrt{3} + \ldots + n \, \sqrt{n} \)
lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\),
à l'aide d'une comparaison série-intégrale
Lu 17
Novembre
Cours (2h)
Retour sur le devoir maison n°5
- si \(f \colon [0,+\infty[ \to \mathbf{R}\) est une fonction par morceaux,
alors les assertions
« la fonction \(f\) est intégrable sur \([0,+\infty[\) »
et
« l'intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty} f(t) \;\operatorname{d}\!t \) converge »
ne sont pas nécessairement équivalentes
- notation \( t^x \) pour \(x\) un réel et \(t\) un réel strictement positif
- domaine de définition de la fonction \(\Gamma\) d'Euler
- équation fonctionnelle vérifiée par la fonction \(\Gamma\) d'Euler
ou rédaction d'une intégration par parties sur un intervalle ouvert
Espaces vectoriels normés 3
-
continuité et norme subordonnée de
\( f \in \mathcal{C}([0,1],\mathbf{R}) \mapsto f(1)-f(0) \in \mathbf{R} \)
pour la norme \(||\:\cdot\:||_{\infty}\),
étude de la continuité de \(f\) pour la norme \(||\:\cdot\:||_1\)
-
convergence vers la matrice nulle de la suite des puissances d'une matrice diagonalisable
de \( \mathcal{M}_{n}(\mathbf{C}) \)
dont toutes les valeurs propres complexes sont dans le disque unité ouvert
-
si
\( (E,N) \) est un \( \mathbf{R} \)-espace vectoriel normé de dimension finie et
\( u \colon (E,N) \to (E,N) \)
un endomorphisme de \( E \),
alors il existe \( s \in S(0_E,1) \) tel que \( |||u||| = N(s) \),
i.e. la norme subordonnée est atteinte en un point de la sphère unité
- continuité des applications polynomiales sur un espace de dimension finie
- continuité de l'application déterminant, qui est polynomiale sur \(\mathcal{M}_n(\mathbf{K})\)
- applications multilinéaires sur un produit d'espaces de dimension finie
- continuité de la multiplication matricielle
- continuité de la composition d'applications linéaires entre espaces de dimension finie
Processus sommatoires discrets
- sommes partielles, convergence et divergence d'une série à valeurs dans un espace vectoriel normé
- la série numérique \(\displaystyle\sum \dfrac{1}{n(n-1)} \) converge
- la série numérique \(\displaystyle\sum \dfrac{1}{n} \) diverge
- la série de polynômes \(\displaystyle\sum \dfrac{X^n}{n} \) diverge dans
\( \left( \mathbf{R}[X] , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- démontrer qu'il existe un réel \(\gamma\), nommé constante d'Euler, tel que :
\[
H_n
:= \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}
\underset{n \rightarrow +\infty}{=}
\ln(n) + \gamma + \operatorname{o}(1)
\]
Ve 14
Novembre
Cours (2h)
Analyse asymptotique
- développement asymptotique de
\( u_n := \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^{n+1}}\)
lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\),
à précision \(\operatorname{o}\left(\dfrac{1}{n}\right)\),
et
nature de la série numérique \( \displaystyle \sum u_n \)
Espaces vectoriels normés 3
- convergence des suites dans un espace de dimension finie (démonstration)
- caractérisation des compacts dans un espace de dimension finie
- condition nécessaire et suffisante pour qu'une suite bornée converge dans un espace de dimension finie
- caractère fermé d'un sous-espace vectoriel de dimension finie
- continuité des applications linéaires dont la source est un espace de dimension finie
- si \(E\) et \(F\) sont des espaces de dimension finie, alors
\(\mathcal{L}_c(E,F)=\mathcal{L}(E,F)\)
- la forme linéaire :
\[ \varphi \quad \left| \quad \begin{array}{ccc}
( \mathbf{R}[X] , ||\:\cdot\:||_{\infty} ) & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
P & \longmapsto & P'(1)
\end{array}\right. \]
est discontinue (donc son noyau est un hyperplan dense de \( ( \mathbf{R}[X] , ||\:\cdot\:||_{\infty} ) \)),
mais sa restriction à \(\mathbf{R}_n[X]\) est contine,
où \(n\) est un entier naturel
- définition de la norme subordonnée d'une matrice carrée
- inégalités pour les normes subordonnées des matrices carrées
- si \( \mathcal{M}_{n,1}(\mathbf{C}) \) est muni de la norme
\( ||\:\cdot\:||_{\infty} \)
et
si \( A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbf{C}) \) alors :
\[
|||A|||
=
\max_{1 \leqslant k \leqslant n} \; \sum_{\ell=1}^n | a_{k,\ell} |
\]
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 49
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 3 »
[pdf]
:
convergence vers la matrice nulle de la suite des puissances d'une matrice diagonalisable de \( \mathcal{M}_{n}(\mathbf{C}) \)
dont toutes les valeurs propres complexes sont dans le disque unité ouvert
-
soient
\( (E,N) \) est un \( \mathbf{R} \)-espace vectoriel normé de dimension finie et
\( u \colon (E,N) \to (E,N) \)
un endomorphisme de \( E \).
Démontrer qu'il existe \( s \in S(0_E,1) \) tel que \( |||u||| = N(s) \),
i.e. que la norme subordonnée est atteinte en un point de la sphère unité
-
revoir le chapitre 35 « Séries numériques » de MP2I
Je 13
Novembre
Cours (2h)
Espaces vectoriels normés 3
- les normes
\(||\:\cdot\:||_1\), \(||\:\cdot\:||_2\) et \(||\:\cdot\:||_{\infty}\)
sur \(\mathbf{R}^n\) sont équivalentes
-
les normes
\(||\:\cdot\:||_1\) et \(||\:\cdot\:||_{\infty}\)
sur \( \mathcal{C} \left( [a,b] , \mathbf{R} \right) \)
ne sont pas équivalentes
-
les normes
\(||\:\cdot\:||_1\) et \(||\:\cdot\:||_2\)
sur \( \mathcal{C} \left( [a,b] , \mathbf{R} \right) \)
ne sont pas équivalentes
- interprétation géométrique de l'équivalence entre normes (boules imbriquées)
- caractérisation séquentielle de l'équivalence entre normes
- une méthode pour établir que deux normes ne sont pas équivalentes
-
les normes
\(||\:\cdot\:||_1\) et \(||\:\cdot\:||_2\)
sur \( \mathbf{R}[X] \)
ne sont pas équivalentes
- invariance des notions topologiques par passage à une norme équivalente
- si \(f \colon E \to F \) est une application,
\(N_E,||\:\cdot\:||_E\) sont des normes équivalentes sur \(E\)
et
\(N_F,||\:\cdot\:||_F\) sont des normes équivalentes sur \(F\)
alors
\(f \colon (E,N_E) \to (F,N_F) \) est continue
si et seulement si
\(f \colon (E,||\:\cdot\:||_E) \to (F,||\:\cdot\:||_F) \) est continue
- toutes les normes sur \(\mathbf{K}^n\) sont équivalentes
- toutes les normes sur un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie sont équivalentes
- caractère intrinsèque des notions topologiques sur un espace de dimension finie
- convergence des suites dans un espace de dimension finie (énoncé)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 8
de la feuille d'exercices
« Espaces vectoriels normés 3 »
[pdf]
:
continuité et norme subordonnée de
\( f \in \mathcal{C}([0,1],\mathbf{R}) \mapsto f(1)-f(0) \in \mathbf{R} \)
pour la norme \(||\:\cdot\:||_{\infty}\),
étude de la continuité de \(f\) pour la norme \(||\:\cdot\:||_1\)
Je 13
Novembre
TD (2h)
Espaces vectoriels normés 3
-
exercice 7
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 3 »
[pdf]
:
l'alternative topologique pour le noyau d'une forme linéaire
-
exercice 14
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 3 »
[pdf]
:
continuité et norme subordonnée d'un endomorphisme
\( u \colon \left( \mathbf{R}^n \, ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \to \left( \mathbf{R}^n \, ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \),
continuité et norme subordonnée d'un endomorphisme
\( u \colon \left( \mathbf{R}^n \, ||\:\cdot\:||_1 \right) \to \left( \mathbf{R}^n \, ||\:\cdot\:||_1 \right) \)
-
exercice 6
de la feuille d'exercices
« Espaces vectoriels normés 3 »
[pdf]
:
comparaison de deux normes sur \(\mathbf{R}[X]\)
-
exercice 10
de la feuille d'exercices
« Espaces vectoriels normés 3 »
[pdf]
:
produit hermitien sur \( \ell^2(\mathbf{N},\mathbf{C}) \) et calcul de la norme subordonnée d'une forme
linéaire continue sur \( \ell^2(\mathbf{N},\mathbf{C}) \)
Me 12
Novembre
Cours (2h)
Analyse asymptotique
- équivalent de \( u_n := \operatorname{sh}\left(\dfrac{1}{n}\right) - \sin\left(\dfrac{1}{n}\right) \)
lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\),
signe de \(u_n\) au voisinage de \(+\infty\)
et
nature de la série numérique \( \displaystyle \sum u_n \)
Espaces vectoriels normés 3
-
continuité de l'application \(\displaystyle\int_a^b\)
de source \(\mathcal{C}([a,b],\mathbf{R})\),
muni de la norme
\(||\:\cdot\:||_1\) (resp. \(||\:\cdot\:||_2\) , \(||\:\cdot\:||_{\infty}\) )
-
les trois définitions de la norme subordonnée d'une application linéaire continue coïncident
(démonstration de l'égalité des trois bornes supérieures)
-
continuité et norme subordonnée de l'application \(\operatorname{eval}_0\)
de source \(\mathcal{C}([a,b],\mathbf{R})\),
muni de la norme
\(||\:\cdot\:||_{\infty}\)
-
deux inégalités pour les normes subordonnées d'applications linéaires continues
-
si \( ( E , ||\:\cdot\:|| ) \) est un espace vectoriel normé,
\( u \in \mathcal{L}_c(E) \)
et
\( n \in \mathbf{N} \)
alors
\( ||| u^n ||| \leqslant |||u|||^n \)
- critère de continuité des applications bilinéaires
- si \( ( E , \langle \:\cdot\: \,,\, \:\cdot\: \rangle ) \) est un espace préhilbertien,
alors
\( \langle \:\cdot\: \,,\, \:\cdot\: \rangle \colon E \times E \to \mathbf{R} \)
est continue,
si l'on munit \(E\) de la norme associée au produit scalaire
- critère de continuité pour les applications multilinéaires
- l'application déterminant
\( \operatorname{det} \colon \left( \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \to \mathbf{K} \)
est continue
- définition d'une norme équivalente à une autre
- la relation « être équivalentes » pour deux normes est réflexive, symétrique et transitive
- les normes
\(||\:\cdot\:||_1\) et \(||\:\cdot\:||_{\infty}\)
sur \(\mathbf{R}^n\) sont équivalentes
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 27
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 3 »
[pdf]
:
comparaison des normes
\(||\:\cdot\:||_1\), \(||\:\cdot\:||_2\) et \(||\:\cdot\:||_{\infty}\)
sur \( \mathcal{C} \left( [a,b] , \mathbf{R} \right) \)
☞
Travaux à réaliser pour le TD de jeudi
-
exercice 7
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 3 »
[pdf]
:
l'alternative topologique pour le noyau d'une forme linéaire
-
exercice 14
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 3 »
[pdf]
:
continuité et norme subordonnée d'un endomorphisme
\( u \colon \left( \mathbf{R}^n \, ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \to \left( \mathbf{R}^n \, ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \),
continuité et norme subordonnée d'un endomorphisme
\( u \colon \left( \mathbf{R}^n \, ||\:\cdot\:||_1 \right) \to \left( \mathbf{R}^n \, ||\:\cdot\:||_1 \right) \)
-
exercice 6
de la feuille d'exercices
« Espaces vectoriels normés 3 »
[pdf]
:
comparaison de deux normes sur \(\mathbf{R}[X]\)
-
exercice 10
de la feuille d'exercices
« Espaces vectoriels normés 3 »
[pdf]
:
produit hermitien sur \( \ell^2(\mathbf{N},\mathbf{C}) \) et calcul de la norme subordonnée d'une forme
linéaire continue sur \( \ell^2(\mathbf{N},\mathbf{C}) \)
Lu 10
Novembre
Cours (2h)
Analyse asymptotique
- DL en \(0\) à l'ordre 2 de \( x \longmapsto \dfrac{\ln(1+x)}{\sin(x)} \) et interprétation géométrique
Espaces vectoriels normés 2
- \(\mathbf{R}\) et \(\mathbf{R}^2\) ne sont pas homéomorphes
Espaces vectoriels normés 3
- Toute application linéaire
\(u
\colon
\left( \mathbf{K}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right)
\longrightarrow
\left( \mathbf{K}^p , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right)
\)
est continue.
- Si \( \left( E , \langle\:\cdot\:,\:\cdot\:\rangle\right) \) est un espace préhilbertien
et \(x_0 \in E\) alors l'application linéaire :
\[ \langle x_0,\:\cdot\:\rangle \quad \left| \quad \begin{array}{ccc}
( E , ||\:\cdot\:|| ) & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
x & \longmapsto & \langle x_0,x \rangle
\end{array}\right. \]
est continue.
-
L'application linéaire :
\[ \operatorname{eval}_2 \quad \left| \quad \begin{array}{ccc}
( \mathbf{R}[X] , ||\:\cdot\:||_{\infty} ) & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
P & \longmapsto & P(2)
\end{array}\right. \]
est discontinue.
-
L'application linéaire :
\[ \operatorname{eval}_0 \quad \left| \quad \begin{array}{ccc}
( \mathcal{C}([0,1],\mathbf{R}) , ||\:\cdot\:||_1 ) & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
f & \longmapsto & \displaystyle \int_0^1 f(t) \;\operatorname{d}\!t
\end{array}\right. \]
est discontinue.
- Définition de l'espace vectoriel
\( \mathcal{L}_c(E,F) \)
où \( (E,N_E) \) et \( (F,N_F) \) sont des espaces vectoriels normés
- Opérations sur les applications linéaires continues
- Définition de la norme subordonnée d'une application linéaire continue
- Définition de la norme \(|||\:\cdot\:|||\) sur l'espace vectoriel
\( \mathcal{L}_c(E,F) \)
où \( (E,N_E) \) et \( (F,N_F) \) sont des espaces vectoriels normés
- Calcul de la norme subordonnée de l'application linéaire :
\[ u \quad \left| \quad \begin{array}{ccc}
( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} ) & \longrightarrow & ( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} ) \\
(x,y) & \longmapsto & (x+2y,3x+4y)
\end{array}\right. \]
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 5
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 3 »
[pdf]
:
continuité de l'application \(\displaystyle\int_a^b\)
de source \(\mathcal{C}([a,b],\mathbf{R})\),
muni de la norme
\(||\:\cdot\:||_1\) (resp. \(||\:\cdot\:||_2\) , \(||\:\cdot\:||_{\infty}\) )
-
remarque 11
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 3 »
[pdf]
:
les trois définitions de la norme subordonnée d'une application linéaire continue coïncident
(démonstration de l'égalité des trois bornes supérieures)
-
exercice 13
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 3 »
[pdf]
:
continuité et norme subordonnée de l'application \(\operatorname{eval}_0\)
de source \(\mathcal{C}([a,b],\mathbf{R})\),
muni de la norme
\(||\:\cdot\:||_{\infty}\)
-
proposition 17
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 3 »
[pdf]
:
critère de continuité d'une application bilinéaire
(comprendre et apprendre l'énoncé et la démonstration)
-
corollaire 20
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 3 »
[pdf]
:
continuité du déterminant où \(\mathcal{M}_n(\mathbf{R})\)
est muni de la norme \(||\:\cdot\:||_{\infty}\)
(comprendre et apprendre l'énoncé et la démonstration)
Sa 8
Novembre
DS3 (4h)
Piste bleue
- intégrales de Wallis et de Gauß
- groupe orthogonal
- toutes les normes sur \(\mathbf{R}^n\) sont équivalentes
- fonction dilogarithme
Piste carmin
- intégrales de Wallis et de Gauß
- groupe orthogonal
- lemme de Riemann-Lebesgue
- fonction dilogarithme
- theorème du point fixe de Markov-Kakutani (Mines MP 2017)
Ve 7
Novembre
Cours (2h)
Espaces vectoriels normés 2
-
\(\mathbf{C}^*\) et \(\operatorname{GL}_n(\mathbf{C})\) sont connexes par arcs
-
\(\operatorname{GL}_n(\mathbf{R})\) n'est pas connexe par arcs
- définition d'une partie étoilée
- une partie étoilée est connexe par arcs
- rappels sur les relations d'équivalence : définition, classes d'équivalence, partition, ensemble quotient
- définition des composantes connexes
- une partie connexe par arcs possède une unique composante connexe
- composantes connexes de \(\mathbf{R}^*\)
- une partie de \(\mathbf{R}\) est connexe par arcs si et seulement si elle est un intervalle
- image continue d'une partie connexe par arcs
- \(\operatorname{SO}_2(\mathbf{R})\) est connexe par arcs
- généralisation du théorème des valeurs intermédiaires
Espaces vectoriels normés 3
- caractérisation des applications linéaires continues
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
exercice 62
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 2 »
[pdf]
:
\(\mathbf{R}\) et \(\mathbf{R}^2\) ne sont pas homéomorphes
Ve 7
Novembre
TD MPI★ (2h)
Analyse asymptotique
- limite éventuelle de \( \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{\tan(x)^2} \) lorsque \(x\) tend vers \(0\)
Intégration sur un intervalle quelconque
- convergence de l'intégrale
\( \displaystyle \int_0^{+\infty} \sin\left( x^{\alpha} \right) \;\operatorname{d}\!x\),
pour tout \( \alpha \in \,]1,+\infty[\, \)
- nature de l'intégrale
\( \displaystyle \int_{2/\pi}^{+\infty} \ln \left( \cos \left( \dfrac{1}{t} \right) \right) \;\operatorname{d}\!t\)
Espaces vectoriels normés 2
-
exercice 27
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 2 »
[pdf]
:
distance entre deux compacts disjoints
- exercice 8 de la feuille d'exercices
« Espaces vectoriels normés 2 »
[pdf]
:
une dilatation d'un compact dans lui-même est continue et bijective
Je 6
Novembre
Cours (2h)
Espaces vectoriels normés 2
- une fonction d'un compact de \(\mathbf{R}^n\) à valeurs dans \(\mathbf{R}_+^*\),
qui est continue,
est minorée
par un réel strictement positif
- définition d'une fonction coercive
- une fonction de \(\mathbf{R}^n\) vers \(\mathbf{R}\) qui est continue et coercive possède un minimum
- la fonction
\[ f \quad \left| \quad \begin{array}{ccc}
\mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y) & \longmapsto & x^4 + y^4 - 4 \, x \, y
\end{array}\right. \]
possède un minimum global
- théorème de Heine
- définition d'un arc joignant deux points dans une partie
- exemple d'arc joignant deux points dans une boule
- opérations sur les arcs :
arc joignant un point à lui-même,
renversement du sens de parcours,
concaténation d'un arc se terminant par un point \(a\) avec un autre débutant au point \(a\)
- définition d'une partie connexe par arcs
- discussion sur
l'intersection, la réunion, le produit de deux parties connexes par arcs
- un convexe est connexe par arcs
- une boule est connexe par arcs
- un sous-espace vectoriel est connexe par arcs
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
\(\mathbf{C}^*\) et \(\operatorname{GL}_n(\mathbf{C})\) sont connexes par arcs,
cf. exercice 43
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 2 »
[pdf]
-
\(\operatorname{GL}_n(\mathbf{R})\) n'est pas connexe par arcs,
cf. exercice 44
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 2 »
[pdf]
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI★ de vendredi
- convergence de l'intégrale
\( \displaystyle \int_0^{+\infty} \sin\left( x^{\alpha} \right) \;\operatorname{d}\!x\),
pour tout \( \alpha \in \,]1,+\infty[\, \)
-
exercice 27
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 2 »
[pdf]
:
distance entre deux compacts disjoints
-
exercice 5 de la feuille d'exercices
« Espaces vectoriels normés 2 »
[pdf]
:
compacité de l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite réelle bornée
- exercice 8 de la feuille d'exercices
« Espaces vectoriels normés 2 »
[pdf]
:
une dilatation d'un compact dans lui-même est continue et bijective
Je 6
Novembre
TD MPI (2h)
Analyse asymptotique
- limite éventuelle de \( \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{\tan(x)^2} \) lorsque \(x\) tend vers \(0\)
- DL en \(0\) à l'ordre 3 de \( x \longmapsto \exp(\sin(x)) \) et interprétation géométrique
Intégration sur un intervalle quelconque
-
nature de l'intégrale
\(\displaystyle \int_2^{+\infty} \dfrac{\ln^{\beta}(x)}{x^{\alpha}} \;\operatorname{d}\!x\),
pour tout \( \alpha , \beta \in \mathbf{R}_+^* \)
Espaces vectoriels normés 2
-
exercice 26
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 2 »
[pdf]
:
compacité de la sphère unité versus compacité de la boule unité fermée
-
exercice 2 de la feuille d'exercices
« Espaces vectoriels normés 2 »
[pdf]
:
compacité de parties de \(\mathbf{R}^2\)
-
exercice 7 de la feuille d'exercices
« Espaces vectoriels normés 2 »
[pdf]
:
théorème de point fixe pour une application presque contractante sur un compact
Me 5
Novembre
Cours (2h)
Espaces vectoriels normés 2
- la partie \( \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \::\: x^2 + 4y^2 \leqslant 4 \} \) est une partie compacte de
\( \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \)
- \(\operatorname{O}_n(\mathbf{R})\) est un sous-groupe compact de \(\operatorname{GL}_n(\mathbf{R})\)
- un fermé relatif d'un compact est compact
- \(\operatorname{SO}_n(\mathbf{R})\) est un sous-groupe compact de \(\operatorname{O}_n(\mathbf{R})\)
- si une suite d'éléments d'un compact possède une unique valeur d'adhérence, alors elle converge
- un produit d'un nombre fini de compacts est compact
- l'image continue d'un compact est compacte
- théorème des bornes atteintes
- la fonction
\[ f \quad \left| \quad \begin{array}{ccc}
[-1,1]^3 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\
(x,y,z) & \longmapsto & x \sin(y) + y \cos(z) + z^3
\end{array}\right. \]
est bornée et atteint ses bornes
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
une fonction d'un compact de \(\mathbf{R}^n\) à valeurs dans \(\mathbf{R}_+^*\),
qui est continue,
est minorée
par un réel strictement positif,
cf. exercice 31
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 2 »
[pdf]
-
fonctions coercives,
cf. exercice 33
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 2 »
[pdf]
☞
Travaux à réaliser pour le TD MPI de jeudi
-
nature de l'intégrale
\(\displaystyle \int_2^{+\infty} \dfrac{\ln^{\beta}(x)}{x^{\alpha}} \;\operatorname{d}\!x\),
pour tout \( \alpha , \beta \in \mathbf{R}_+^* \)
-
exercice 26
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 2 »
[pdf]
:
compacité de la sphère unité versus compacité de la boule unité fermée
-
exercice 2 de la feuille d'exercices
« Espaces vectoriels normés 2 »
[pdf]
:
compacité de parties de \(\mathbf{R}^2\)
-
exercice 7 de la feuille d'exercices
« Espaces vectoriels normés 2 »
[pdf]
:
théorème de point fixe pour une application presque contractante sur un compact
Ma 4
Novembre
Cours (2h)
Espaces vectoriels normés 2
- définition de la propriété de Bolzano-Weierstraß
- définition d'une partie compacte dans un espace vectoriel normé
- un segment de \( \mathbf{R} \) est compact
- un compact est fermé et borné
- un fermé borné n'est pas nécessairement compact,
cf. suite des monômes dans \( \left( \mathbf{R}[X] , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \)
- toute suite bornée de \( \left( \mathbf{K}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \) possède une valeur d'adhérence
- caractérisation des parties compactes de \( \left( \mathbf{K}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \)
- caractérisation des parties compactes de \( \left( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- la partie \( \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \::\: x^2 + 4y^2 \leqslant 4 \} \) est une partie compacte de
\( \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \),
cf. exercice 16
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 2 »
[pdf]
- \(\operatorname{O}_n(\mathbf{R})\) est un sous-groupe compact de
\(\operatorname{GL}_n(\mathbf{R})\)
cf. exercice 19
du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 2 »
[pdf]
Lu 3
Novembre
Cours (2h)
Intégration sur un intervalle quelconque
- rappels sur les vraies définitions des notations de Landau (sans quotient)
- si
\( f(x) \underset{x \rightarrow +\infty}{=} \operatorname{o}(g(x)) \)
et si l'intégrale
\(\displaystyle\int_a^{+\infty} g(x) \;\operatorname{d}\!x\)
converge, alors on ne peut rien dire de la nature de l'intégrale
\(\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x) \;\operatorname{d}\!x\),
cf.
\( \dfrac{1}{x^2} \underset{x \rightarrow +\infty}{=} \operatorname{o}\left(\dfrac{1}{x}\right) \)
et
\( \dfrac{1}{x \ln(x)} \underset{x \rightarrow +\infty}{=} \operatorname{o}\left(\dfrac{1}{x}\right) \)
- intégration des relations de comparaison
- étude de la fonction
\(\varphi \colon x \longmapsto \displaystyle\int_x^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{t} \;\operatorname{d}\!t\)
Espaces vectoriels normés 2
- interprétation géométrique de la notion de limite d'une suite dans un espace vectoriel normé
- rappel de la définition de la notion de valeur d'adhérence d'une suite dans un espace vectoriel normé
- caractérisations de la notion de valeur d'adhérence d'une suite dans un espace vectoriel normé (énoncé)
- interprétation géométrique de la notion de valeur d'adhérence d'une suite dans un espace vectoriel normé
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- étudier la démonstration de la proposition 2 du polycopié de cours
« Espaces vectoriels normés 2 »
[pdf]
portant sur
des caractérisations de la notion de valeur d'adhérence d'une suite dans un espace vectoriel normé
(on portera une attention particulière à la construction d'une extractrice par récurrence).
Ve 17
Octobre
Cours (2h)
Intégration sur un intervalle quelconque
- si \(\alpha\in\mathbf{R}\),
alors l'intégrale
\(\displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{1}{x^{\alpha}}\;\operatorname{d}\!x\)
diverge
-
l'intégrale
\(\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{\sin(t)}{t^{1/4}}\;\operatorname{d}\!t\)
converge,
\(\dfrac{\sin(t)}{t^{1/4}}\)
et
\(\ln \left( 1 + \dfrac{\sin(t)}{t^{1/4}} \right)\)
sont équivalents lorsque \(t\) tend vers \(+\infty\), mais l'intégrale
\(\displaystyle\int_1^{+\infty} \ln \left( 1 + \dfrac{\sin(t)}{t^{1/4}} \right)\;\operatorname{d}\!t\) diverge
- théorème d'intégration par parties sur un intervalle ouvert
- convergence et valeur de
\(\displaystyle\int_0^1 t \, \ln(t)\;\operatorname{d}\!t\)
- pour \(n \in \mathbf{N}\),
convergence et valeur de
\(\displaystyle\int_0^{+\infty} t^n \, e^{-t}\;\operatorname{d}\!t\)
- un lemme sur les bijections croissantes d'un intervalle ouvert dans un autre
- théorème de changement de variables sur un intervalle ouvert
- convergence et valeur de
\(\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{\ln(t)}{t^2}\;\operatorname{d}\!t\)
- extension des résultats obtenus pour un intervalle \([a,+\infty[\) (\(a\in\mathbf{R}\)) à un intervalle quelconque
- définition des espaces \(L^1\)
- intégrale de Riemann en un point réel
- nature de
\(\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{t(1-t)}}\;\operatorname{d}\!t\)
- convergence et valeurs de
\(\displaystyle\int_{0}^{\pi /2} \ln (\sin (t) )\;\operatorname{d}\!t\)
et
\(\displaystyle\int_{0}^{\pi /2} \ln (\cos (t) )\;\operatorname{d}\!t\)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- connaître par cœur la table des dix développements limités usuels
- étudier/apprendre la partie « Intégration des relations de comparaison » du polycopié de cours
«Intégration sur un intervalle quelconque»
- étudier de la fonction
\(\varphi \colon x \longmapsto \displaystyle\int_x^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{t} \;\operatorname{d}\!t\)
- devoir maison n°5 :
fonction Gamma d'Euler,
fonction Bêta d'Euler,
espaces \(\mathcal{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(L^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\)
Ve 17
Octobre
TD MPI (2h)
Intégration sur un intervalle quelconque
- calcul de
\(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \ln(\sin(t)) + \ln(\cos(t)) \;\operatorname{d}\!t\),
après justification de la convergence
- intégrabilité de
\(\displaystyle f \colon t \longmapsto \dfrac{1}{t^{3/2}} \, \sqrt{ \sin \left( t^{2} \right)} \)
sur \(I = \;]0,1]\)
- intégrabilité de
\(\displaystyle f \colon t \longmapsto \dfrac{1}{t^2} \, e^{-1/t} \, \sin \left( \dfrac{1}{t} \right) \)
sur \(I = \;]0,1]\)
-
intégrabilité de
\(\displaystyle f \colon x \longmapsto \frac{e^{-x}}{\sqrt{x-1}} \)
sur \(I = \;]1,+\infty [\)
- intégrabilité de
\(\displaystyle f \colon t \longmapsto \dfrac{\sin^{2}(t)}{t} \)
sur \(I = \;]0,+\infty[\)
- intégrabilité de
\(\displaystyle f \colon t \longmapsto t \, \left( \dfrac{1}{t} - \sin \left( \dfrac{1}{t} \right) \right) \)
sur \(I = \; ]0,+\infty[\)
- intégrabilité de
\(\displaystyle f \colon t \longmapsto \dfrac{ \ln (\sin(t))}{t} \)
sur \(I = \;]0,1]\)
- intégrabilité de
\(\displaystyle f \colon t \longmapsto e^{1/\sqrt{t}} \)
sur \(I = \;]0,1]\)
Je 16
Octobre
Cours (2h)
Intégration sur un intervalle quelconque
- une fonction intégrable en \(+\infty\) n'a pas nécessairement de limite en \(+\infty\)
- si une fonction est intégrable en \(+\infty\) et possède une limite \(\ell\) en \(+\infty\) alors \(\ell=0\)
- convergence et valeur de \(\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x}} \;\operatorname{d}\!x\)
- convergence et valeur de \(\displaystyle\int_0^1 \ln(t) \;\operatorname{d}\!t\)
- convergence de \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{\sqrt{t}} \;\operatorname{d}\!t\)
- définition d'une fonction intégrable sur un intervalle quelconque
- propriétés de l'intégrale d'une fonction convergente
- la linéarité ne permet pas de séparer l'intégrale
\(\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{1}{t} - \dfrac{1}{t+1} \;\operatorname{d}\!t\)
- somme d'une intégrale convergente et d'une intégrale divergente
- intégrabilité du logarithmé népérien en \(0^+\)
- critère de Riemann en \(0^+\)
- le faux problème de convergence en une extrémité réelle
- convergence de \(\displaystyle\int_0^1 \dfrac{\sin(t)}{t} \;\operatorname{d}\!t\)
Je 16
Octobre
TD MPI★ (2h)
Intégration sur un intervalle quelconque
- intégrabilité de
\( \displaystyle f \colon t \longmapsto \dfrac{\ln (1+t)}{t^{3/2}} \)
sur \(I = \;]0,+\infty[\)
- intégrabilité de
\( \displaystyle f \colon t \longmapsto \ln (t) \, e^{-t} \)
sur \(I = \;]0,+\infty[\)
- intégrabilité de
\( \displaystyle f \colon t \longmapsto \dfrac{\sin^{3}(t)}{t^{2}} \)
sur
\( I = \;]0,+\infty[ \)
- intégrabilité de
\( \displaystyle f \colon t \longmapsto \dfrac{ \arctan \left( t^2 + 1 \right) }{ t^2 + 1 }\)
sur \(I = [1,+\infty[\)
- intégrabilité de
\( \displaystyle f \colon t \longmapsto \arctan \left( \sin \left( \dfrac{1}{t^{2}} \right) \right)\)
sur \(I = [1,+\infty[\)
- intégrabilité de
\( \displaystyle f \colon t \longmapsto \frac{1}{(1-t)\,\sqrt{t}} \)
sur \(I = \;]0,1[\)
- intégrabilité de
\( \displaystyle f \colon t \longmapsto \ln(t) \, \ln(1-t)\)
sur \(I = \;]0,1[\)
- intégrabilité de
\( \displaystyle f \colon t \longmapsto \dfrac{1}{x^x} \)
sur \(I = \;]0,+\infty[\)
- intégrabilité de
\( \displaystyle f \colon t \longmapsto \dfrac{1}{t} \, \sin \left ( \ln \left( 1 + \dfrac{1}{t} \right) \right)\)
sur \(I = \;]0,+\infty[\)
- intégrabilité de
\( \displaystyle f \colon t \longmapsto e^{\sin(t)}\)
sur \(I = [1,+\infty[\)
- intégrabilité de
\( \displaystyle f \colon t \longmapsto (t+1)^{\frac{1}{t+1}} - 1 - \frac{\ln (t)}{t} \)
sur \(I = [1,+\infty [\)
- les intégrales
\(\displaystyle\int_{0}^{\pi /2} \ln (\sin (t) ) \;\operatorname{d}\!t\;\)
et
\(\displaystyle\int_{0}^{\pi /2} \ln (\cos (t) ) \;\operatorname{d}\!t\;\)
convergent et ont même valeur
Me 15
Octobre
Cours (2h)
Intégration sur un intervalle quelconque
- nature des intégrales
\( \displaystyle \int_1^{+\infty} \dfrac{\sin(t)}{t} \;\operatorname{d}\!t\)
et
\( \displaystyle \int_1^{+\infty} \left| \dfrac{\sin(t)}{t} \right| \;\operatorname{d}\!t\)
- théorème de comparaison sur \([a,+\infty[\,\)
- nature de \( \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \;\operatorname{d}\!t\)
- nature de \( \displaystyle \int_0^{+\infty} t^2 \, e^{-t^2} \;\operatorname{d}\!t\)
- nature de
\( \displaystyle \int_1^{+\infty} \operatorname{atan}\left(\dfrac{1}{t}\right) - \dfrac{1}{t} \;\operatorname{d}\!t\)
- pour \(\alpha\in\mathbf{R}\), nature de \( \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^{\alpha}} \;\operatorname{d}\!x\)
- définition d'une intégrale convergente sur un intervalle quelconque
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- étudier la partie 6.4
« Du comportement asymptotique d'une fonction intégrable en \(+\infty\) »
du polycopié de cours «Intégration sur un intervalle quelconque»
- une fonction intégrable en \(+\infty\) n'a pas nécessairement de limite en \(+\infty\)
- si une fonction est intégrable en \(+\infty\) et possède une limite \(\ell\) en \(+\infty\) alors \(\ell=0\)
- convergence et valeur de
\( \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x}} \;\operatorname{d}\!x\)
- convergence et valeur de
\( \displaystyle \int_0^1 \ln(t) \;\operatorname{d}\!t\)
- convergence de \( \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{\sqrt{t}} \;\operatorname{d}\!t\)
Ma 14
Octobre
Cours (2h)
Intégration sur un intervalle quelconque
- convergence et valeur de l'intégrale
\( \displaystyle \int_0^{+\infty} t \, e^{-t^2} \;\operatorname{d}\!t\)
- critère de Riemann en \(+\infty\) (démonstration)
- critère de convergence pour
\( \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-at} \;\operatorname{d}\!t\)
où \(a \in \mathbf{R}\)
- queue d'une intégrale convergente sur \( [a,+\infty[\,\)
- rappels sur le théorème de la limite monotone
- critère de convergence pour les intégrales de fonctions positives sur \( [a,+\infty[\,\)
- définition de l'intégrale d'une fonction positive dans \(\overline{\mathbf{R}}\)
- théorème de domination pour les fonctions positives sur \( [a,+\infty[\, \)
- nature de \( \displaystyle \int_1^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{t} \;\operatorname{d}\!t\)
- nature de \( \displaystyle \int_1^{+\infty} \dfrac{\ln(t)}{t} \;\operatorname{d}\!t\)
- définition d'une fonction intégrable sur \([a,+\infty[\,\)
- la convergence absolue sur \( [a,+\infty[\,\) implique la convergence
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- nature des intégrales
\( \displaystyle \int_1^{+\infty} \dfrac{\sin(t)}{t} \;\operatorname{d}\!t\)
et
\( \displaystyle \int_1^{+\infty} \left| \dfrac{\sin(t)}{t} \right| \;\operatorname{d}\!t\)
Lu 13
Octobre
Cours (2h)
Espaces vectoriels normés 1
- caractère 1-lipschitzien de la fonction « distance à une partie non vide »
Révisions sur les fonctions de la variable réelle à valeurs réelles
- une fonction continue sur \(\mathbf{R}\) de limite nulle en \(\pm\infty\) admet un minimum
- rappel sur le théorème de la limite de la dérivée
- exemple de fonction plate
Intégration sur un intervalle quelconque
- convergence et valeur de l'intégrale
\( \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-2t} \;\operatorname{d}\!t\)
- divergence de l'intégrale
\( \displaystyle \int_0^{+\infty} \sin(t) \;\operatorname{d}\!t\)
- convergence et valeur de l'intégrale
\( \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{1}{1+t^2} \;\operatorname{d}\!t\)
- critère de Riemann en \(+\infty\) (énoncé)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- convergence et valeur de l'intégrale
\( \displaystyle \int_0^{+\infty} t \, e^{-t^2} \;\operatorname{d}\!t\)
- démontrer le critère de Riemann en \(+\infty\)
- devoir maison n°3 :
matrices semblables dans \(\mathcal{M}_n(\mathbf{R})\) versus matrices semblables dans \(\mathcal{M}_n(\mathbf{C})\),
codiagonalisation,
comparaison de normes sur \(\mathcal{C}^1([0,1],\mathbf{R})\),
caractérisation de la convexité par les milieux des cordes
Ve 10
Octobre
Cours (2h)
Espaces vectoriels normés 1
- applications uniformément continues
- théorème de Heine sur un segment de \(\mathbf{R}\)
- l'application « élévation au carré » est continue sur \(\mathbf{R}\),
mais non uniformément continue sur \(\mathbf{R}\)
- applications lipschitziennes
- l'application « racine carrée » est uniformément continue sur \([0,1]\),
mais non lipschitzienne sur \([0,1]\)
- caractérisation des fonctions lipschitziennes parmi les fonctions dérivables
Révisions sur les fonctions de la variable réelle à valeurs réelles
- fonctions continues sur un intervalle telles que \(|f|=|g|\) sans annulation
- une fonction continue et périodique est bornée
- généralisation du théorème des accroissements finis en \(n\) points
- inégalité de Jensen intégrale
Intégration sur un intervalle quelconque
- définition de l'une fonction continue par morceaux sur un segment
- structure de l'ensemble des fonctions continues par morceaux sur un segment
- définition d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle
- exemple d'une fonction continue par morceaux (densité de la loi exponentielle de paramètre 1)
- exemple d'une fonction définie sur \(\mathbf{R}\), continue sur \(\mathbf{R}^*\),
mais qui n'est pas continue par morceaux sur \(\mathbf{R}\)
- structure de l'ensemble des fonctions continues par morceaux sur un intervalle
- la composée d'une fonction continue par une fonction continue mar morceaux (à gauche)
n'est pas nécessairement continue par morceaux
- définition de la convergence d'une intégrale de fonction continue par morceaux sur \([a,+\infty[\,\)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- caractère 1-lipschitzien de la fonction « distance à une partie non vide »
- une fonction continue sur \(\mathbf{R}\) de limite nulle en \(\pm\infty\) admet un minimum
- exemple de fonction plate
Ve 10
Octobre
TD MPI★ (2h)
Espaces vectoriels normés 1
- exercice 113 du polycopié de cours « Espaces vectoriels normés 1 » :
intérieur et adhérence de parties de \(\mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R})\) muni de la norme infini
- exercice 17 de la feuille d'exercices « Espaces vectoriels normés 1 » :
convexité de l'adhérence et de l'intérieur d'un convexe
- exercice 24 de la feuille d'exercices « Espaces vectoriels normés 1 » :
caractère fermé d'une application polynomiale
- exercice 27 de la feuille d'exercices « Espaces vectoriels normés 1 » :
norme jauge
Ma 3
Septembre
Cours (2h)
Dénombrement et révisions de probabilités
- étude de l'injectivité/la surjectivité d'une fonction polynomiale de degré 2 (forme canonique, propriétés de la courbe)
- propriétés de l'application réciproque d'une application bijective
- étude de l'application "élévation au carré" de \(\mathbf{C}\) dans \(\mathbf{C}\)
- racines carrées complexes de \(-1+i\) et \(2-3i\)
- fonction argch et calcul d'une primitive de \(x \longmapsto \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- étude de la bijectivité d'un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) à paramètre
- étude de la bijectivité d'une application de \(\mathbf{R}_n[X]\) dans \(\mathbf{R}^{n+1}\) et polynômes de Lagrange
Lu 2
Septembre
Cours (1h)
Dénombrement et révisions de probabilités
- définition d'une application
- concepts d'application injective, surjective, bijective
- formalisation du concept de non-injectivité
- définition de l'application réciproque d'une application bijective
☞
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- étude de l'injectivité/la surjectivité d'une fonction polynomiale de degré 2 (forme canonique, propriétés de la courbe)