Archives > 2013-2014 : PTSI > Cours
Chapitre I - Nombres complexes et trigonométrie
- Introduction de la notion de nombre complexe
- Représentation graphique d'un nombre complexe
- Opérations sur les nombres complexes
- Conjugaison complexe
- Affixe d'un vecteur
- Module d'un nombre complexe
- Rappels de trigonométrie
- Le revêtement du cercle unité par la droite réelle
- Cosinus et sinus d'un nombre réel
- Équations et inéquations trigonométriques
- L'ensemble U des nombres complexes de module 1
- Formules d'Euler et formules de trigonométrie
- Angle moitié
- La fonction tangente
- Formule du binôme de Newton
- Factorielle d'un entier naturel
- Coefficients binomiaux
- Formule du binôme de Newton
- Linéarisation d'un polynôme en cos(θ) et sin(θ) où θ∈R
- Formule de Moivre
- Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique
- Formes exponentielles d'un nombre complexe non nul
- Transformation de a cos(t) + b sin(t) où (a,b,t)∈R3
- Racines carrées d'un nombre complexe non nul
- Équations du 2nd degré
- Forme canonique d'un trinôme du 2nd degré
- Résolution d'une équation du 2nd degré
- Somme et produit des racines d'une équation du 2nd degré
- Racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul où n∈N≥2
- Rappels sur la racine n-ième d'un nombre réel positif ou nul
- Racines n-ièmes de l'unité
- Racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul
- Exponentielle d'un nombre complexe
Chapitre II - Logique, ensembles et applications
- Éléments de logique propositionnelle et de logique des prédicats
- Propositions logiques
- Prédicats et quantificateurs
- Les connecteurs logiques ou, et, non
- Implication, contraposée et équivalence
- Trois exemples de rédactions de démonstrations
- Exemple de rédaction de preuve d'une propriété commançant par ∀
- Exemple de rédaction de preuve d'une implication
- Exemple de rédaction de preuve d'une équivalence
- Quelques modes de raisonnement
- Le raisonnement par récurrence
- Le raisonnement par contraposée
- Le raisonnement par l'absurde
- Le raisonnement par analyse-synthèse
- Ensembles
- Notions d'ensemble et d'appartenance
- Inclusion d'un ensemble dans un autre et égalité de deux ensembles
- Partie d'un ensemble et ensemble des parties d'un ensemble
- Opérations sur les parties d'un ensemble
- Produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles
- Applications
- Notion d'application
- L'application identité d'un ensemble
- Restriction d'une application
- Composition d'applications
- Injection, surjection, bijection
- Image directe et image réciproque
Chapitre III - L'ensemble R des nombres réels
- Définition géométrique de l'ensemble R des nombres réels
- Relation d'ordre ≤
- Compatibilité de la relation d'ordre avec les opérations
- Valeur absolue
- Propriété archimédienne de R
- Partie majorée (resp. minorée, resp. bornée) de R
- Maximum (resp. minimum) d'une partie de R
- Borne supérieure (resp. borne inférieure) d'une partie de R
- Partie entière d'un nombre réel
- Approximation décimale d'un nombre réel
- Intervalles de R
Chapitre IV - Fonctions réelles de la variable réelle
- Généralités sur les fonctions
- Notion de limite pour les fonctions
- Continuité d'une fonction
- Définition
- Continuité des fonctions usuelles
- Opérations sur les fonctions continues
- Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle et dérivée
- Définition
- Dérivabilité et dérivées des fonctions usuelles
- Opérations sur les fonctions dérivables
- Dérivées d'ordre supérieur
- Théorème de la bijection
- Dérivabilité et dérivée d'une fonction réciproque
- Fonctions usuelles
- La fonction logarithme népérien
- La fonction exponentielle
- Fonctions puissances
- Fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique
- Fonction tangente hyperbolique
- Fonction arcsinus
- Fonction arccosinus
- Fonction arctangente
- Croissances comparées
Chapitre V - Calcul de primitives
- Notion de primitive
- Théorèmes fondamentaux sur les primitives
- Primitives et linéarité
- Primitives usuelles
- Primitives et composition
- Résultat général
- Primitive d'une fonction de la forme x -> u(ax+b)
- Primitive d'une fonction de la forme x -> u'(x) × u(x)α où α≠-1
- Primitive d'une fonction de la forme x -> u'(x) / u(x)
- Primitive d'une fonction de la forme x -> u'(x) × exp(u(x))
- Notion d'intégrale
- Linéarité de l'intégrale
- Fonctions de classe C1 sur un intervalle
- Formule intégrale pour une primitive
- Intégration par parties
- Changement de variable
Chapitre VI - Systèmes linéaires
- Exemple introductif
- Définition du système (S)
- Définition de l'ensemble solution de (S)
- But de l'étude
- Conjecture graphique sur l'ensemble solution de (S)
- Le point de vue matriciel
- Échelonnement de (S)
- Pivots et rang
- Fin de la résolution de (S)
- Notations
- Définitions d'un système linéaire et de son ensemble solution
- Équation linéaire à p inconnues et ensemble solution d'une telle
- Équation linéaire à 2 inconnues réelles et géométrie
- Équation linéaire à 3 inconnues réelles et géométrie
- Système linéaire de n équations à p inconnues et ensemble solution d'un tel
- Système linéaire de 3 équations à 2 inconnues réelles et géométrie
- Système linéaire de 2 équations à 3 inconnues réelles et géométrie
- Systèmes linéaires homogènes
- Matrice d'un système linéaire
- Opérations élémentaires sur les lignes d'un système linéaire
- Systèmes linéaires équivalents
- Opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice
- Matrices équivalentes par ligne
- Opérations élémentaires: systèmes versus matrices
- Échelonnement d'une matrice par lignes
- Résolution d'un système linéaire dont la matrice associée est échelonnée et réduite
- Résolution d'un système linéaire quelconque
Chapitre VII - Matrices
- Notations
- Matrices de format n×p à coefficients dans K
- Structure de K-espace vectoriel sur Mn,p(K)
- Addition sur Mn,p(K)
- Multiplication d'une matrice de Mn,p(K) par un scalaire
- Combinaisons linéaires de matrices de format n×p à coefficients dans K
- Produit matriciel
- Matrices carrées
- Définition de la K-algèbre (Mn,p(K),+,×)
- Matrices identité
- Puissances d'une matrice carrée
- Formule du binôme de Newton pour deux matrices qui commutent
- Matrices diagonales
- Matrices triangulaires (supérieures)
- Matrices élémentaires
- Matrices de permutation
- Matrices de dilatation
- Matrices de transvection
- Traduction matricielle de l'algorithme de Gauß-Jordan
- Matrices carrées inversibles
- Deux méthodes pour calculer l'inverse d'une matrice inversible
- Calcul de l'inverse par la résolution d'un système linéaire à paramètres
- Calcul de l'inverse par la méthode du pivot de Gauß
- Transposition
Chapitre VIII - Équations différentielles linéaires
- Équations différentielles linéaires du premier ordre (EDL1)
- Définition des objets de l'étude et exemples
- Ensemble solution d'une EDLH1
- Structure de l'ensemble solution d'une EDL1
- Recherche de solutions particulières d'EDL1
- Stratégies pour rechercher des solutions particulières d'EDL1
- La méthode de la variation de la constante
- Exemples
- Théorème de Cauchy pour les EDL1
- Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants (EDLCC2)
- Définition des objets de l'étude et exemples
- Ensemble solution d'une EDLCCH2
- Structure de l'ensemble solution d'une EDLCC2
- Recherche de solutions particulières d'EDLCC2
- Cas où le second membre est de la forme x->Aeλx avec (λ,A)∈K2
- Cas où le second membre est de la forme x->Acos(λx) ou x->Asin(λx) avec (λ,A)∈R2
- Principe de superposition pour les EDLCC2
- Théorème de Cauchy pour les EDLCC2
Chapitre IX - Suites réelles
- Définition de la notion de suite
- Monotonie
- Suite majorée, suite minorée, suite bornée
- Suites de référence
- Suites arithmétiques
- Suites géométriques
- Suites arithmético-géométriques
- Suites récurrentes linéaires d'ordre 2
- Limite éventuelle d'une suite réelle
- Définition d'une suite convergente (resp. divergente)
- Définition d'une suite divergeant vers +∞ (resp. -∞)
- Définition de la limite éventuelle d'une suite
- Suites extraites
- Limites usuelles
- Quelques propriétés élémentaires des suites convergentes
- Opérations sur les limites
- Passage à la limite dans une inégalité large
- Théorème d'existence d'une limite
Chapitre X - Arithmétique dans N
- Divisibilité
- PGCD et PPCM de deux entiers naturels non nuls
- Nombres premiers
- Théorème fondamental de l'arithmétique
Chapitre XI - Géométrie dans le plan
- Rappels sur les vecteurs du plan
- Modes de repérage
- Bases et coordonnées d'un vecteur dans une base
- Normes et BON
- Repères et coordonnées d'un point dans un repère
- Longueurs et RON
- Coordonnées polaires d'un vecteur non nul
- Coordonnées polaires d'un point distinct de l'origine
- Produit scalaire
- Définition géométrique du produit scalaire
- Expression du produit scalaire dans une BON
- Propriétés du produit scalaire
- Produit mixte
- Définition géométrique du produit mixte
- Expression du produit mixte dans une BON
- Propriétés du produit mixte
- Étude de deux propriétés liant orthogonalité et colinéarité
- Droites
- Sous-espace vectoriel engendré par un vecteur non nul
- Somme d'un point et d'un sous-espace vectoriel engendré par un vecteur non nul
- Droites et vecteurs directeurs
- Trois modes de définition d'une droite
- Représentations paramétriques d'une droite
- Équations cartésiennes d'une droite
- Projection orthogonale sur une droite
- Cercles
Chapitre XII - Polynômes
- Définition formelle d'un polynôme
- Degré d'un polynôme
- Addition de deux polynômes
- Multiplication d'un polynôme par un scalaire
- Multiplication de deux polynômes
- Notation définitive pour un polynôme
- Fonction polynomiale associée à un polynôme
- Divisibilité et division euclidienne dans K[X]
- Dérivation formelle dans K[X]
- Racines
- Polynômes irréductibles sur K
- Décomposition en produits d'irréductibles dans C[X]
- Décomposition en produits d'irréductibles dans R[X]
- Des relations coefficients/racines pour un polynôme scindé
Chapitre XIII - Dénombrement
- Cardinal d'un ensemble fini
- Uplets sans répétition ou arrangements
- Nombre de permutations d'un ensemble fini
- Combinaisons ou parties d'un ensemble
- Trois exemples de modélisation
Chapitre XIV - Probabilités
- Expérience aléatoire et univers
- Espaces probabilisés finis
- Probabilités conditionnnelles
- Événements indépendants
Chapitre XV - Limites et continuité
- Admettre une limite pour une fonction: 15 variantes d'une même définition
- Définition de la notion de limite
- La notion de propriété locale
- Opérations sur les limites
- Limites de suites et limites de fonctions
- Limites et inégalités
- Théorèmes d'existence d'une limite pour une fonction
Chapitre XVI - Espaces vectoriels
- Notion de K-espace vectoriel
- Sous-espace vectoriel d'un K-espace vectoriel
- Sous-espace vectoriel engendré par une partie d'un K-espace vectoriel
- Somme de deux sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel
- Sous-espaces vectoriels supplémentaires dans un K-espace vectoriel
Chapitre XVII - Calcul différentiel
- Notions de dérivabilité en un point et de nombre dérivé
- La dérivabilité en un point implique la continuité en ce point
- Opérations sur les fonctions dérivables en un point
- Notions de fonction dérivable sur un intervalle et de fonction dérivée
- Dérivabilité et dérivées des fonctions usuelles - 1ère partie
- Opérations sur les fonctions dérivables sur un intervalle
- Condition nécessaire pour un extremum local
- Le théorème de Rolle
- Égalité des accroissements finis
- Inégalité des accroissements finis
- Critères différentiels de monotonie et de stricte monotonie
- Théorème de la limite de la dérivée
- Fonctions de classe Ck sur un intervalle, où k∈N∪{∞}
- Dérivabilité, dérivée et régularité d'une fonction réciproque
- Dérivabilité et dérivées des fonctions usuelles - 2ème partie
Chapitre XVIII - Analyse asymptotique pour les suites
- Définitions des trois relations de comparaison (O,o,∼)
- Liens entre les différentes relations de comparaison
- Propriétés fondamentales de la relation ∼
- Expression des croissances comparées à l'aide de o
- Règles de calcul pour O et o
- Règles de calcul pour ∼
- Équivalents usuels
- Pas de composition d'équivalents « en général »
Chapitre XIX - Analyse asymptotique pour les fonctions
- Fonction définie sur un voisinage (éventuellement épointé) d'un point et propriétés locales
- Définitions des trois relations de comparaison (O,o,∼)
- Liens entre les différentes relations de comparaison
- Propriétés fondamentales de la relation ∼
- Expression des croissances comparées à l'aide de o
- Règles de calcul pour O et o
- Règles de calcul pour ∼
- Notion de développement limité
- Unicité et troncature d'un développement limité
- Développement limité en un point à l'ordre 0 et continuité
- Développement limité en un point à l'ordre 1 et dérivabilité
- Combinaisons linéaires de développements limités
- Produit de développements limités
- Inverse d'un développement limité
- Intégration d'un développement limité
- La formule de Taylor-Young
- Les développements limités usuels en x=0
- Applications de la théorie des développements limités
- Équivalents et limites
- Étude locale d'une fonction
- Prolongement par continuité
- Asymptotes
Chapitre XX - Variables aléatoires sur un univers fini
- Notion de variable aléatoire
- Événements associés à une variable aléatoire
- Loi d'une variable aléatoire
- Image d'une variable aléatoire par une fonction
- Loi uniforme
- Loi de Bernoulli de paramètre p, où p∈[0,1]
- Loi binomiale de paramètre (n,p), où n∈N* et p∈[0,1]
- Couples, marginales et lois
- Lois conditionnelles
- Indépendance de variables aléatoires
- Espérance d'une variable aléatoire
- Variance et écart-type d'une variable aléatoire