Prépa à la Prépa
La « Prépa à la Prépa » consiste en des cours/TD
de mathématiques supplémentaires,
destinés à des élèves de Terminale S,
afin de les initier aux mathématiques de l'enseignement supérieur,
celles des Classes Préparatoires aux Grandes Écoles en particulier.
Le projet, dirigé par Caroline Biéri (enseignante de mathématiques en Terminale S),
est centré sur deux objectifs.
-
Favoriser le continuum entre l'enseignement secondaire et l'enseignement supérieur.
-
Augmenter le nombre d'étudiants des Classes Préparatoires du Lycée Chrestien de Troyes
entrant dans des Écoles très prestigieuses (Centrale, X, ...).
Le rythme est de deux heures, chaque semaine, à partir du mois de mars.
Les élèves participent sur la base du volontariat,
en accord avec leurs enseignants de Terminale S.
Toute personne ayant un goût pour les mathématiques est la bienvenue ;-).
1 - Approximation locale d'une fonction par des fonctions polynomiales
Séance du mercredi 25 mars 2020, 13h00-15h00, animée par David Blottière
Description:
Parmi les fonctions les plus courantes,
on peut considérer les fonctions polynômes.
Si celles-ci sont faciles à étudier,
elles nous permettent en outre de déterminer le comportement local d'une fonction.
On verra ainsi comment on peut utiliser les polynômes de Taylor
pour déterminer une limite en un point donné
2 - Théorèmes de convergence pour les suites réelles
Séance du mercredi 8 avril 2020, 13h00-15h00, animée par Vincent Nolot
Description:
Les suites réelles sont des collections de nombres réels indexés par un indice entier n:
u0,u1,u2,u3,u4,...,un,...
et nous nous proposons d'étudier le comportement du terme un lorsque n devient infiniment grand.
Plus précisément, nous nous intéressons à la limite éventuelle de la suite (un)n∈N.
Pour ce faire, nous présentons trois théorèmes importants d'existence de limites pour les suites réelles
et
nous les illustrons au travers d'exemples.
Dans l'exercice 3, nous verrons des polynômes de Taylor associés à la fonction sinus,
faisant ainsi un lien avec la séance du mercredi 25 mars.
3 - Du théorème d'encadrement au calcul intégral
Séance du mercredi 29 avril 2020, 13h00-15h00, animée par Antony Didier
Description:
Il existe de nombreux théorèmes fort pratiques dans l'étude des suites à valeurs réelles : théorème de convergence monotone, théorème sur les suites adjacentes, théorème d'encadrement... pourtant, tous n'ont pas la
même utilité. Si le théorème de convergence monotone peut nous permettre d'affirmer qu'une suite converge,
il ne nous donnera pas sa limite et on pourra lui préférer les autres théorèmes qui donnent par encadrement soit des valeurs approchées, soit sa valeur exacte.
Au cours de cette séance, nous poursuivrons ce qui a été vu lors de la séance précédente
et nous essaierons de comprendre l'intérêt de travailler par encadrement pour obtenir
une valeur approchée d'un réel.
4 - Calcul intégral : la formule d'intégration par parties
Séance du mercredi 6 mai 2020, 13h00-15h00, animée par John Maufrais
Description:
Le théorème fondamental de l'analyse nous permet de déterminer la valeur d'une intégrale. Malheureusement,
il repose sur la recherche d'une primitive, chose qui est loin d'être aisée.
Au cours de cette séance, nous verrons une autre façon de mettre en place le calcul d'une intégrale : la formule d'intégration par parties qui
permet de transformer une intégrale, mais aussi de retrouver quelques primitives usuelles.
5 - Étude du comportement asymptotique d’une suite
Séance du mercredi 13 mai 2020, 13h00-15h00, animée par Sébastien Parison
Description:
Quand on étudie une suite numérique, on cherche le plus souvent à déterminer son comportement asymptotique,
c’est à dire à préciser si celle-ci est convergente ou divergente.
Généralement, on ne se contentera pas de connaître la nature d’une telle suite,
mais on cherchera à en préciser une suite équivalente qui nous donnera des informations précises quant à
sa « vitesse de convergence ».
6 - Théorème des accroissements finis
Séance du mercredi 27 mai 2020, 13h00-15h00, animée par Amélie Baranger
Description:
Si f est une fonction dérivable en un point a,
alors son nombre dérivé en a, f'(a),
est par définition la limite des taux d’accroissements (f(x)−f(a))/(x−a) quand x tend vers a.
Le théorème des accroissements finis assure,
sous des hypothèses faibles,
qu’un taux d’accroissement est égal à un nombre dérivé.
Il s’agit d’une forme de « théorème retour » qui a de nombreuses applications.
L’une d’elle est un théorème de point fixe, portant sur une équation du type f(x)=x,
que nous explorons dans cette séance.