Archives > 2014-2015 : PTSI > Devoirs surveillés



Devoir surveillé n°1 (énoncé , corrigé)

Thèmes : système linéaire 2x2 à coefficients complexes ; somme de termes en progression géométrique ; puissances de j ; conjugaison complexe ; formules d'Euler ; angle moitié. inégalité triangulaire ; relation fonctionnelle pour les nombres e, où θ∈R ; formule d'addition pour cosinus ; transformation d'un produit de cosinus en somme et application au calcul de primitives ; équations trigonométriques ; résolution de |z|=|1/z|=|1-z| d'inconnue z∈C* ; si a,b,c sont trois nombres complexes de module 1, alors |a+b+c|=|ab+ac+bc|.


Devoir surveillé n°2 (énoncé , corrigé)

Thèmes : formes exponentielles d'un nombre complexe: application au calcul de cos(π/12) et sin(π/12) ; résolution d'une équation trigonométrique de la forme acos(x)+bsin(x)=c où a,b,c sont des paramètres réels et x est l'inconnue dans ]-π,π] ; linéarisation d'un polynôme trigonométrique: application au calcul d'une primitive de x ↦ sin4(x) ; écriture de sin(5x) comme un polynôme en cos(x), où x∈R: application au calcul de cos(π/5) ; calcul d'une somme trigonométrique ; calcul d'une somme mettant en jeu les racines n-ièmes de l'unité (n∈N≥2) ; racines carrées d'un nombre complexe non nul ; racines cinquièmes d'un nombre complexe non nul ; résolution d'une équation de degré 2 à coefficients complexes ; inégalité de Bernoulli ; condition nécessaire et suffisante pour que A∪B=A, où A et B sont des parties d'un ensemble.


Devoir surveillé n°3 (énoncé , corrigé)

Thèmes : inéquation trigonométrique ; étude de l'injectivité et de la surjectivité d'une application ; application (linéaire) bijective de R2 dans R2 et calcul de son application réciproque ; application involutive ; alignement de trois points du plan et nombres complexes ; étude d'une similitude: interprétation géométrique, caractère bijectif, application réciproque, image directe d'un disque ; image réciproque d'une partie du but d'une application ; étude du minimum, de la borne inférieure, du maximum, de la borne supérieure de l'ensemble des termes d'une suite homographique ; inégalités et preuve de la continuité d'une fonction en un point en revenant à la définition formelle ; informatique: calcul de la factorielle d'un entier et maximum d'une liste d'entiers positifs.


Devoir surveillé n°4 (énoncé)

Thèmes : calcul d'une somme de cosinus hyperboliques ; calculs de primitives: primitives usuelles, formule intégrale pour une primitive ; calculs d'intégrales: intégration par parties, changement de variable ; calculs de limites: limites usuelles, opérations sur les limites, croissances comparées ; fonction arctangente: reconstruction guidée, calculs de quelques images, fonction Python calculant une valeur approchée de Arctan(1/2) par dichotomie, imparité, résultats sur la dérivabilité et la dérivée, courbe représentative ; étude de la dérivabilité et de la dérivée d'une fonction rationnelle: d'abord en revenant à la définition, puis à l'aide d'opérations sur les fonctions dérivables ; simplification d'une expression mettant en jeu arctangente: d'abord à l'aide du calcul différentiel, puis à l'aide de la formule de duplication pour tangente.


Devoir surveillé n°5 (énoncé , corrigé)

Thèmes : problème de Cauchy linéaire d'ordre 1 ; puissances de matrices ; commutant d'une matrice diagonale, à coefficients diagonaux deux à deux distincts ; affaiblissement de la condition d'inversibilité pour les matrices: l'inversibilité à droite (resp. à gauche) implique l'inversibilité ; produit de matrices carrées inversible(s) ; CNS pour qu'une matrice triangulaire soit inversible ; calcul de l'inverse d'une matrice 3×3 inversible.


Devoir surveillé n°6 (énoncé , corrigé)

Thèmes : suite arithmético-géométrique issue des probabilités: expression explicite du terme général et comportement asymptotique ; autour de la définition du nombre e: étude de deux suites adjacentes dont la limite commune est, par définition, e et calculs de valeurs approchées de e avec Python ; étude d'une fonction: variations, limites éventuelles, branches infinies, position de la courbe par rapport à la première bissectrice, représentation graphique, caractère lipschitzien (sans l'utilisation de l'inégalité des accroissements finis) ; étude d'une suite récurrente (où la fonction sous-jacente est celle déjà étudiée): caractère borné, croissance, convergence vers √2, contrôle géométrique de la vitesse de convergence, recherche d'un terme de la suite situé à distance inférieure ou égale à 10-6 de √2.


Concours blanc (énoncé)

Thèmes : suites réelles: série harmonique, convergence versus convergence au sens de Cesàro, suite récurrente, suite (sin(nα)) où α est un paramètre réel, suite arithmético-géométrique ; matrices: inversibilité d'une matrice, calcul de l'inverse d'une matrice inversible par l'algorithme du pivot de Gauß, calcul des puissances d'une matrice via une suite arithémico-géométrique ; probabilités: chaîne de Markov (marelle sur les sommets d'un triangle), système complet d'événements, formule des probabilités totales, calcul de l'état à l'infini de la chaîne de Markov considérée à l'aide des puissances de la matrice de transition.


Devoir surveillé n°7 (énoncé)

Thèmes : irréductibilité d'un polynôme de R[X] de degré 2 sur R ; relation de divisibilité dans K[X] et division euclidienne dans K[X] ; décomposition d'un polynôme de C[X] en produit d'irréductibles dans C[X] ; décomposition d'un polynôme de R[X] en produit d'irréductibles dans R[X].


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