Archives > 2013-2014 : PTSI > Devoirs surveillés



Devoir surveillé n°1 (énoncé , corrigé)

Thèmes : équations trigonométriques ; identité du parallélogramme ; majoration de la distance à l'origine des points d'un cercle ; angle moitié ; somme de nombres complexes de module 1, égale à 1 ; affectation de variables en Python.


Devoir surveillé n°2 (énoncé , corrigé)

Thèmes : calcul d'une «grande» puissance de nombre complexe ; équation trigonométrique «du type» acos(x)+bsin(x)=x, où (a,b,c)∈R3 ; linéarisation d'une expression trigonométrique ; sommes trigonométriques ; racines carrées d'un nombre complexe non nul ; solution(s) d'une équation du second degré à coefficients complexes ; racines n-ièmes de l'unité, où n∈N≥2 ; racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul, où n∈N≥2 ; exponentielle complexe ; calcul d'une somme avec Python, puis par récurrence et enfin en remarquant un télescopage.


Devoir surveillé n°3 (énoncé)

Thèmes : calcul d'une somme par récurrence ; borne supérieure et borne inférieure de l'ensemble des termes d'une suite réelle ; l'exponentielle complexe de C dans C n'est ni injective, ni surjective ; bijectivité et application réciproque d'une application dont une puissance est l'identité ; étude de la fonction x → (x2 e1/x) / (3x-2) ; étude «générale» des homographies: centre de symétrie de la courbe représentative, sens de variation, limites éventuelles aux bornes du domaine d'étude et interprétation graphique, bijectivité et application réciproque (lorsque le discriminant est non nul) ; recherche du plus petit élément figurant dans un uplet d'entiers (Python).


Devoir surveillé n°4 (énoncé)

Thèmes : simplification de arcsin(sin(x)) pour tout x appartenant à [0,2π[ ; étude des fonctions x -> arctan(ex), x -> arctan(sh(x)) et d'un lien entre icelles ; calculs de primitives.


Devoir surveillé n°5 (énoncé)

Thèmes : résolution d'un système linéaire à paramètre de 2 équations à 2 inconnues réelles: résolution par la méthode du pivot de Gauß et explication géométrique des résultats ; inversibilité d'une matrice de Vandermonde 3×3 et fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à 2 prenant des valeurs prescrites en 3 points deux à deux distincts donnés ; inversibilité et inverses éventuelles de matrices 3×3 à coefficients réels ; deux calculs du commutant ; trois calculs de puissances de matrices: l'un pour une matrice nilpotente, l'autre en appliquant la formule du binôme de Newton ; un dernier en trigonalisant ; factorisation de As-Bs par A-B, où s∈N* et A,B sont deux matrices carrées de même format à coefficients complexes qui commutent ; matrices nilpotentes: une combinaison linéaire (resp. un produit) de deux matrices nilpotentes qui commutent est une matrice nilpotente ; une matrice nilpotente n'est pas inversible ; inversibilité de In-N où N est une matrice de Mn(C) nilpotente (n∈N*) ; matrices symétriques et matrices antisymétriques: stabilité des propriétés par combinaison linéaire ; toute matrice carrée est d'une unique manière somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.


Devoir surveillé n°6 (énoncé , corrigé)

Thèmes : résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants ; étude d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 ; étude de GL2(Z) (CNS d'appartenance via le déterminant, construction de matrices de GL2(Z) via la résolution d'équations diophantiennes) ; résolution d'un problème de Cauchy linéaire d'ordre 1 ; étude d'une fonction (rationnelle, dépendant d'un paramètre) ; étude d'une suite récurrente (dépendant d'un paramètre).


Concours blanc (énoncé , corrigé partiel)

Thèmes : construction de la fonction Arcsinus ; dérivabilité et dérivée d'Arcsinus ; résolution d'une EDL1 à paramètre et développement en série entière de l'exponentielle ; suites adjacentes et irrationnalité de e ; convergence au sens de Césaro ; comportement asymptotique de ( 1 - 1/n )-n quand n tend vers +∞ ; calcul des puissances d'une matrice 2x2 ; suites imbriquées ; suites récurrentes homographiques.


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