Archives > 2012-2013 : PTSI > Devoirs surveillés



Devoir surveillé n°1 (énoncé , corrigé)

Thèmes : démonstration d'une relation de divisibilité par récurrence ; démonstration d'une formule sommatoire par récurrence ; toute fonction définie sur R s'écrit de manière unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire ; résolution guidée d'une équation polynomiale de degré 3 à coefficients complexes ; si un entier a est somme de deux carrés d'entiers, alors il en est de même de an, pour tout n∈N* ; algorithme affichant la somme des carrés des entiers de 1 à 25000 (boucle itérative non conditionnelle).


Devoir surveillé n°2 (énoncé , corrigé)

Thèmes : racines carrées d'un nombre complexe non nul ; équation polynomiale de degré 2 à coefficients complexes ; équations trigonométriques ; relations d'Euler ; transformation d'une somme de cosinus en produit ; formule du binôme de Newton ; formule de Moivre ; linéarisation d'une expression trigonométrique ; racines septièmes de l'unité ; somme de termes consécutifs d'une suite géométrique ; cas d'égalité de deux formes trigonométriques ; sommes trigonométriques ; racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul ; angle moitié ; résolution de l'équation 1+2z+2z2+...+2zn-1+zn=0 d'inconnue z∈C, où n∈N* ; bijectivité d'une fonction homographique ; algorithme de résolution de l'équation ax+b=c d'inconnue x∈R, où a,b,c sont des paramètres réels.


Devoir surveillé n°3 (énoncé , corrigé)

Thèmes : théorème de la bijection ; théorème sur la dérivabilité et la dérivée d'une bijection réciproque ; étude de la fonction x -> xx ; équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)f(y) ; problème de Cauchy d'ordre 2 ; fonction argument cosinus hyperbolique ; simplification d'une expression mettant en jeu arcsinus et arctangente ; étude des courbes intégrales d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1.


Devoir surveillé n°4 (énoncé , corrigé)

Thèmes : changement de repère dans le plan (cas de deux ROND) ; inégalité de Cauchy-Schwarz ; équation polaire d'une droite ne passant pas par l'origine ; lieu géométrique et nombres complexes ; hauteurs et orthocentre d'un triangle (théorème de Brianchon-Poncelet) ; coordonnées du produit vectoriel de deux vecteurs dans une BOND ; intersection de deux plans sécants ; d'une représentation paramétrique de droite à une équation cartésienne (dans l'espace) ; projeté orthogonal d'un point sur un plan ; plan médiateur d'un segment ; volume d'un tétraèdre ; sphère circonscrite à un tétraèdre.


Devoir surveillé n°5 (énoncé , corrigé)

Thèmes : unicité de la limite d'une suite de nombres réels convergente ; application (linéaire) de R3 dans R3 bijective ; étude d'une loi de composition interne sur R*xR ; suite récurrente linéaire d'ordre 2 ; borne supérieure et borne inférieure de l'ensemble des termes d'une suite ; une suite qui diverge vers +∞ est minorée ; somme et produit des racines d'un polynôme de degré 2 ; étude de l'application de R2 dans R2 qui à (x,y) associe (x+y,xy) ; théorème de la limite monotone ; étude d'une suite récurrente d'ordre 1.


Devoir surveillé n°6 (énoncé , corrigé)

Thèmes : inverse du produit de deux éléments d'un groupe ; image, par un morphisme de groupes, du neutre de la source ; image inverse, par un morphisme de groupes, d'un sous-groupe du but ; critère d'injectivité pour un morphisme de groupes ; structure de l'ensemble solution d'un système linéaire homogène ; groupe des applications affines bijectives de R dans R ; description des morphismes du groupe (Z,+) dans lui-même ; égalité de deux sous-espaces vectoriels engendrés par des parties de R3 ; deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans le R-espace vectoriel de fonctions F(R,R) ; deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans R4.


Première épreuve du concours blanc : analyse (énoncé)

Thèmes : série harmonique alternée ; suites adjacentes ; sommes de termes consécutifs d'une suite géométrique ; étude de fonctions ; passage à la limite dans une inégalité ; calculs de valeurs approchées de ln(2) ; construction et propriétés de la fonction arcsinus ; vérification qu'une fonction construite à partir d'arcsinus est solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 ; simplifications d'expressions mettant en jeu arcsinus ; tangente horizontale à une courbe et annulation de la dérivée ; théorème de la bijection ; construction d'une suite définie de façon implicite et étude de son comportement asymptotique (limite, équivalent, développement asymptotique).


Deuxième épreuve du concours blanc : algèbre et géométrie (énoncé)

Thèmes : inversions du plan ; alignement de points du plan ; produit scalaire de deux vecteurs du plan ; application involutive (caractère bijectif et application réciproque) ; images de parties remarquables du plan par une inversion ; écriture complexe d'une transformation du plan ; introduction du produit matriciel dans M2(R) ; la multiplication dans M2(R) est associative, admet un neutre, n'est pas commutative ; critère d'inversibilité dans M2(R) via le déterminant ; l'inversibilité à droite implique l'inversibilité dans M2(R) ; puissances d'une matrice dont le carré est I2 ; sous-espaces vectoriels de R3 (dont un dépendant d'un paramètre) ; recherche d'une famille génératrice d'un sous-espace vectoriel de R3 défini comme étant l'ensemble solution d'une équation linéaire homogène ; détermination de l'intersection de deux sous-espaces vectoriels de R3 ; sous-espaces vectoriels de R3 en somme directe ; deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans R3.

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