Archives > 2012-2013 : PTSI > Cours
Chapitre I - Logique et raisonnement
- 1. Logique propositionnelle
- 1.1 Proposition logique
- 1.2 Opérateurs non, ou, et
- 1.3 Implication
- 1.4 Équivalence
- 2. Prédicats et quantificateurs
- 2.1 Prédicat
- 2.2 Quantificateurs et proposition quantifiée
- 3. Quelques exemples de démonstrations
- 3.1 Démonstration par disjonction de cas
- 3.2 Démonstration «directe» d'une implication
- 3.3 Démonstration d'une contraposée
- 3.4 Démonstration d'une équivalence
- 3.5 Démonstration par l'absurde
- 3.6 Démonstration par analyse-synthèse
- 3.7 Démonstration par récurrence
Chapitre II - Nombres complexes
- 1. Le corps C des nombres complexes
- 2. Interprétation géométrique de C (1ère partie)
- 3. Conjugaison complexe
- 4. Module d'un nombre complexe
- 5. Rappels de trigonométrie
- 5.1 Revêtement du cercle trigonométrique par la droite réelle
- 5.2 Cosinus et sinus
- 5.3 Tangente
- 5.4 Formules d'addition et de duplication
- 5.5 Angle moitié
- 6. La formule du binôme de Newton
- 6.1 Introduction et motivations
- 6.2 Factorielle d'un entier naturel
- 6.3 Coefficients binomiaux
- 6.4 La formule du binôme de Newton
- 7. Le groupe U des nombres complexes de module 1
- 8. Notation eiθ (θ∈R)
- 8.1 Définition et propriétés des nombres eiθ (θ∈R)
- 8.2 Relations d'Euler
- 8.3 Formule de Moivre
- 8.4 Linéarisation d'expressions trigonométriques
- 9. Formes trigonométriques d'un nombre complexe non nul
- 10. Racines carrées d'un nombre complexe non nul
- 11. Racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul (n∈N≥2)
- 11.1 Racines n-ièmes de 1
- 11.2 Rappel sur la fonction racine n-ème de R+ dans R+
- 11.3 Racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul
- 12. Racine(s) d'un polynôme de degré 2 à coefficients complexes
Chapitre III - Fonctions usuelles
- 1. Notion de fonction
- 2. Parité et imparité
- 3. Opérations sur les fonctions
- 4. Fonctions bijectives
- 5. Rappels sur les variations d'une fonction
- 6. Limites
- 6.1 Rappels sur la notion intuitive de limite
- 6.2 Exemples de limites usuelles
- 6.3 À propos des opérations sur les limites
- 6.4 Composition de limites
- 7. Rappels sur la notion de continuité
- 8. Le théorème de la bijection (PDF)
- 9. Dérivabilité et dérivée
- 10. Fonctions classiques
- 10.1 Fonctions polynômes
- 10.2 Fonctions rationnelles
- 10.3 Fonction logarithme népérien
- 10.4 Fonction exponentielle
- 10.5 Fonction sinus
- 10.6 Fonction cosinus
- 10.7 Fonction tangente
- 11. Fonctions hyperboliques
- 11.1 Définition des trois fonctions hyperboliques
- 11.2 Fonction cosinus hyperbolique
- 11.3 Fonction sinus hyperbolique
- 11.4 Fonction tangente hyperbolique
- 12. Dérivabilité et dérivée d'une bijection réciproque
- 13. Fonctions circulaires réciproques (Courbes)
- 13.1 Fonction arcsinus
- 13.2 Fonction arccosinus
- 13.3 Fonction arctangente
- 14. Fonctions hyperboliques réciproques (Courbes)
- 14.1 Fonction argument cosinus hyperbolique
- 14.2 Fonction argument sinus hyperbolique
- 14.3 Fonction argument tangente hyperbolique
- 15. Fonctions puissances
- 16. Exponentielle et logarithme de base a∈ ]0,1[ ∪ ]1,+∞[
- 17. Croissances comparées
Chapitre IV - Équations différentielles
- 1. Rappels sur le calcul intégral
- 1.1 Notion de primitive
- 1.2 Défaut d'unicité et critère d'existence d'une primitive
- 1.3 Primitives des fonctions usuelles
- 1.4 Primitives et linéarité
- 1.5 Primitives et composition
- 1.6 Notion d'intégrale d'une fonction continue sur un segment
- 1.7 Intégration par parties
- 1.8 Intégrale dépendant de sa borne supérieure
- 2. Exponentielle d'un nombre complexe
- 3. Fonctions à valeurs complexes
- 3.1 Fonction à valeurs complexes, partie réelle et partie imaginaire d'une telle
- 3.2 Dérivabilité et dérivée d'une fonction à valeurs complexes
- 4. Équations différentielles
- 4.1 Équations différentielles linéaires homogènes d'ordre 1 (EDLH-1)
- 4.2 Équations différentielles linéaires d'ordre 1 (EDL-1)
- 4.3 Équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants d'ordre 2 (EDLHCC-2)
- 4.2 Équations différentielles linéaires à coefficients constants d'ordre 2 (EDLCC-2)
Chapitre V - Géométrie élémentaire dans le plan
- 1. Rappels sur les vecteurs du plan
- 2. Repère cartésien (Projection dans un ROND)
- 3. Coordonnées polaires
- 4. Identification de l'ensemble des vecteurs du plan à C
- 5. Identification de l'ensemble des points du plan à C
- 6. Produit scalaire
- 7. Déterminant
- 8. Droites
- 8.1 Vecteurs directeurs et représentations paramétriques
- 8.2 Vecteurs normaux et équations cartésiennes
- 9. Distance d'un point à une droite
- 10. Études de lignes de niveau
- 10.1 Lignes de niveau de M -> (vecteur u).(vecteur AM)
- 10.2 Lignes de niveau de M -> det((vecteur u),(vecteur AM))
- 11. Cercles
- 12. Expressions complexes de transformations du plan
- 12.1 Interprétation géométrique de z -> conjugué de z
- 12.2 Interprétation géométrique de z -> z+b (b∈C)
- 12.3 Interprétation géométrique de z -> az (a∈C*)
- 12.4 Interprétation géométrique de z -> az+b (a∈C*,b∈C)
Chapitre VI - Géométrie élémentaire de l'espace
- 1. Rappels sur les vecteurs de l'espace
- 2. Coplanarité
- 2.1 Retour sur la définition d'une base du plan (lien avec les familles libres)
- 2.2 Coplanarité de quatre points de l'espace
- 2.3 Coplanarité de trois vecteurs de l'espace (lien avec les familles libres)
- 3. Repérage dans l'espace
- 3.1 Coordonnées cartésiennes
- 3.2 Orientation d'un plan par un vecteur normal (PDF)
- 3.3 Coordonnées sphériques
- 3.4 Coordonnées cylindriques
- 4. Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace
- 5. Produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace
- 6. Déterminant de trois vecteurs de l'espace
- 7. Plans
- 7.1 Représentations paramétriques d'un plan
- 7.2 Équations cartésiennes d'un plan
- 7.3 Distance d'un point à un plan
- 8. Droites
- 8.1 Représentations paramétriques d'une droite
- 8.2 Équations cartésiennes d'une droite
- 8.3 Distance d'un point à une droite
- 9. Sphères
- 9.1 Équation cartésienne d'une sphère
- 9.2 Intersection d'une droite et d'une sphère
- 9.3 Intersection d'un plan et d'une sphère
- 9.4 Intersection de deux sphères
Chapitre VII - Ensembles et applications
- 1. Ensembles
- 1.1 Concepts de base
- 1.2 Ensemble des parties d'un ensemble
- 1.3 Opérations sur les parties d'un ensemble
- 1.4 Produit de deux ensembles
- 2. Applications
- 2.1 Notions d'application et de famille
- 2.2 Composition
- 2.3 Restriction et prolongement d'une application
- 2.4 Injection, surjection, bijection
- 2.5 Image directe et image réciproque
- 3. Loi de composition interne (l.c.i.)
- 2.1 Définition et exemples de l.c.i.
- 2.2 Propriétés d'une l.c.i.
- 2.3 Éléments inversibles
- 4. Relation d'ordre
Chapitre VIII - L'ensemble N des entiers naturels
- 1. Opérations et relation d'ordre sur N
- 2. Bon ordre
- 3. Récurrence simple
- 4. Récurrence forte (ou avec prédécesseurs)
Chapitre IX - L'ensemble R des nombres réels
- 1. Propriétés de l'ensemble R des nombres réels
- 2. Addition ou multiplication d'inégalités membre à membre
- 3. Valeur absolue et distance
- 4. Borne inférieure et borne supérieure
- 5. La droite réelle achevée
- 6. Intervalles de R
- 7. Résultats de densité
- 8. Partie entière d'un nombre réel
- 9. Valeurs approchées d'un nombre réel
Chapitre X - Suites de nombres réels
- 1. Définition d'une suite de nombres réels
- 2. Opérations sur les suites
- 3. Ordre sur les suites
- 4. Propriétés d'une suite liées à l'ordre
- 5. Notions de convergence et de divergence
- 6. Quelques propriétés des suites convergentes
- 7. Quelques propriétés des suites convergeant vers 0
- 8. Limites usuelles et opérations algébriques sur les limites
- 9. Croissances comparées
- 10. Suites extraites
- 11. Limites et relation d'ordre
- 12. Théorèmes d'existence de limites
- 13. Notations O et o de Landau
- 14. Suites équivalentes
- 15. Suites usuelles
- 15.1 Suites arithmétiques
- 15.2 Suites géométriques
- 15.3 Suites arithmético-géométriques
Chapitre XI - Groupes
- 1. Notion de groupe
- 2. Sous-groupe d'un groupe
- 3. Morphisme de groupes
Chapitre XII - Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes
(
PDF)
- 1. Notion de courbe paramétrée
- 1.1 Application d'un intervalle I de R dans R2
- 1.2 Notion de courbe paramétrée
- 1.3 Points et support d'une courbe paramétrée
- 1.4 Exemples de tracés de supports de courbes paramétrées
- 2. Points réguliers
- 2.1 Vecteur vitesse
- 2.2 Point régulier, point stationnaire
- 2.3 Tangente en un point régulier
- 2.4 Exemple d'étude locale de courbe en un point stationnaire
- 3. Branches infinies
- 4. Points multiples
- 5. Symétries éventuelles et réduction de l'intervalle d'étude
- 6. Plan d'étude d'une courbe paramétrée
Chapitre XIII - Espaces vectoriels
- 1. Notion de K-espace vectoriel
- 2. Sous-espace vectoriel d'un K-espace vectoriel
- 3. Sous-espace vectoriel engendré par une partie d'un K-espace vectoriel
- 4. Somme de deux sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel
- 5. Sous-espaces vectoriels supplémentaires dans un K-espace vectoriel
Chapitre XIV - Limite et continuité
- 1. Vocabulaire lié aux fonctions à valeurs réelles
- 1.1 Relation d'ordre sur F(I,R), I intervalle non vide de R
- 1.2 Valeur absolue d'une fonction
- 1.3 Sup et inf de deux fonctions
- 1.4 Fonction majorée (resp. minorée, bornée)
- 1.5 Extremum (resp. extremum local) d'une fonction
- 1.6 Borne supérieure (resp. inférieure) d'une fonction
- 1.7 Fonction paire (resp. impaire)
- 1.8 Fonction T-périodique (T>0)
- 1.9 Fonction lipschitziennes
- 2. Limite éventuelle d'une fonction
- 2.1 Notion de limite
(PDF)
- 2.2 Se ramener d'un point quelconque de R à 0
- 2.3 Admettre une limite finie versus être localement bornée
- 2.4 L'espace vectoriel des fonctions admettant une limite nulle en un point fixé
- 2.5 Opérations sur les limites (PDF)
- 2.6 Limites et relation d'ordre
- 2.7 Composition de limites
- 2.8 Caractérisation séquentielle d'une limite
- 2.9 Théorème de la limite monotone
- 3. Notations O et o de Landau pour les fonctions
(PDF)
- 3.1 Fonction dominée par une autre
- 3.2 Fonction négligeable devant une autre
- 3.3 Domination versus négligeabilité
- 4. Équivalence entre fonctions
(PDF)
- 4.1 Définition et premières propriétés de l'équivalence entre fonctions
- 4.2 Fonctions équivalentes et propriétés locales
- 4.3 Quelques outils pour calculer des équivalents
- 4.4 Un lien entre équivalence et négligeabilité
- 5. Continuité
(PDF)
- 5.1 Définition de la continuité
- 5.2 Opérations sur les fonctions continues
- 5.3 Restrictions et prolongements de fonctions continues
- 5.4 Fonctions continues sur un intervalle
- 5.5 Fonctions continues sur un segment
- 5.6 Fonctions continues et monotones (resp. strictement monotones) sur un intervalle
Chapitre XV - Applications linéaires (
PDF)
- 1. Notion d'application linéaire
- 2. Opérations sur les applications linéaires
- 3. Noyau d'une application linéaire
- 4. Équations linéaires homogènes
- 5. Équations linéaires
- 6. Image d'une application linéaire
- 7. Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme
- 8. Applications linéaires remarquables
- 8.1 Homothéties
- 8.2 Rappels sur les supplémentaires
- 8.3 Projections
- 8.4 Symétries
Chapitre XVI - Calcul différentiel
- 1. Fonction dérivable en un point et nombre dérivé
- 2. Conséquences de la dérivabilité en un point
- 3. Fonctions dérivables sur un intervalle
- 3.1 Fonction dérivable sur un intervalle et fonction dérivée d'une telle
- 3.2 Dérivabilité et dérivées des fonctions usuelles
- 3.3 Opérations sur les fonctions dérivables
- 4. Dérivabilité et dérivée d'une application réciproque
- 5. Fonction de classe Cn sur un intervalle (n∈N∪{∞})
- 6. Théorèmes fondamentaux du calcul différentiel
- 6.1 Théorème de Rolle
- 6.2 Théorème des accroissements finis et inégalité des accroissements finis
- 6.3 Deux conditions suffisantes pour qu'une fonction soit lipschitzienne
- 6.4 Caractérisation des fonctions constantes sur un intervalle
- 6.5 Critère différentiel de monotonie (resp. de stricte monotonie)
- 6.6 Théorème du prolongement C1
Chapitre XVII - Arithmétique dans Z et dans les espaces de polynômes
- 1. Arithmétique dans Z
- 1.1 Divisibilité dans Z
- 1.2 Division euclidienne
- 1.3 Nombres premiers
- 2. Arithmétique dans les espaces de polynômes
- 2.1 Définition de la notion de polynômes à coefficients dans K
- 2.2 Opérations sur les polynômes
- 2.3 Degré d'un polynôme
- 2.4 Diviseur et multiple d'un polynôme
- 2.5 Division euclidienne dans K[X]
- 2.6 Fonction polynomiale associée à un polynôme
- 2.7 Polynôme scindé sur K
- 2.8 Décomposition d'un polynôme en produit de polynômes irréductibles dans K[X]
Chapitre XVIII - Dimension des espaces vectoriels
- 1. Famille de vecteurs
- 1.1 Rappels sur les combinaisons linéaires
- 1.2 Rappels sur les sous-espaces vectoriels engendrés par une famille finie de vecteurs
- 1.3 Famille génératrice d'un K-espace vectoriel
- 1.4 Famille libre
- 1.5 Base d'un K-espace vectoriel
- 1.6 Familles génératrices,
familles libres,
bases
et
applications linéaires
- 2. Dimension d'un K-espace vectoriel
- 2.1 K-espaces vectoriels de dimension finie
- 2.2 Existence et construction de bases
- 2.3 Théorème de la base incomplète
- 2.4 Théorème de la dimension
- 1.5 Dimension et isomorphisme
- 1.6 Applications linéaires et bases
- 3. Dimension d'un sous-espace vectoriel d'un K-espace vectoriel de dimension finie
- 4. Rang d'une application linéaire
Chapitre XIX - Matrices
- 1. L'espace vectoriel Mn,p(K),
où (n,p)∈(N*)2
- 2. Produit matriciel