Archives > 2011-2012 : TB1 > Devoirs surveillés



Devoir surveillé n°1 (énoncé , corrigé)

Thèmes : équations affines à paramètre ; systèmes linéaires 2x2 et géométrie dans le plan ; résolutions de systèmes linéaires par la méthode su pivot de Gauß ; système linéaire 2x2 à paramètre ; résolution guidée d'une équation polynomiale de degré 3 ; énigmes et systèmes linéaires ; sommes et produit de racines d'un trinôme du second degré.


Devoir surveillé n°2 (énoncé , corrigé)

Thèmes : résolution guidée d'une équation polynomiale de degré 3 ; point de concours de trois droites concourantes (représentations paramétriques d'une droite, équations cartésiennes d'une droite) ; projection orthogonale d'un point sur une droite et calcul de l'aire d'un triangle ; étude d'une transformation ρ du plan donnée via une application de R2 dans R2 ; injectivité et surjectivité de ρ ; image d'une droite par ρ ; effet de ρ sur les longueurs ; image d'un cercle par ρ ; effet de ρ sur les angles (non orientés) ; conjecture sur la nature de ρ (rotation affine).


Devoir surveillé n°3 (énoncé , corrigé)

Thèmes : système linéaire à paramètre ; rang d'un système linéaire ; spectre d'un polynôme de degré 3 à coefficients réels ; décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples ; calcul d'une somme télescopique ; étude du sens de variation d'une fonction homographique ; valeur absolue ; localisation des racines entières éventuelles d'un polynôme ; étude du sens de variation d'une fonction composée de fonctions usuelles ; position d'une courbe par rapport à la première bissectrice ; suite définie par récurrence ; sens de variation d'une suite ; suite minorée (resp. majorée, bornée).


Devoir surveillé n°4 (énoncé , corrigé)

Thèmes : détermination des racines réelles d'un polynôme de degré 3 ; étude d'une suite arithmético-géométrique ; comportement asymptotique de la suite (qn)n ∈ N , où q ∈ R ; sommes partielles des termes consécutifs d'une suite arithmético-géométrique ; étude du comportement asymptotique de suites ; comportement asymptotique d'un quotient de deux polynômes en n ; croissances comparées ; comportement asymptotique de la suite ((-1)n)n ∈ N ; critère pour qu'une suite diverge via le comportement asymptotique de la sous-suite formée de ses termes d'indices pairs et le comportement asymptotique de la sous-suite formée de ses termes d'indices impairs ; preuve combinatoire de la formule de Vandermonde pour les coefficients binômiaux ; suite définie par récurrence ; étude du sens de variation d'une fonction homographique ; position d'une courbe par rapport à la première bissectrice ; inégalité de contraction ; suite bornée ; sens de variation d'une suite ; critère de convergence d'une suite ; détermination de la limite d'une suite convergente définie par récurrence ; contrôle géométrique de la convergence d'une suite définie par récurrence.


Concours blanc (énoncé , corrigé)

Thèmes : rang d'un système linéaire ; système linéaire de Cramer ; résolutions de systèmes linéaires à paramètres ; calculs de probabilités en situation d'équiprobabilité ; système complet d'événements ; formule des probabilités totales ; formule des probabilités composées ; suites géométriques ; sommes de termes consécutifs d'une suite géométrique ; théorème d'encadrement pour les suites ; suite définie par récurrence ; étude du sens de variation d'une fonction (composée d'un polynôme de degré 2 positif par la racine carrée) ; étude d'une branche infinie de courbe ; inégalité de contraction ; suite bornée ; sens de variation d'une suite ; critère de convergence d'une suite ; détermination de la limite d'une suite convergente définie par récurrence ; contrôle géométrique de la convergence d'une suite définie par récurrence ; étude du sens de variation d'un polynôme de degré 3 ; théorème de la bijection ; fonction racine cubique ; « formule explicite » pour la bijection réciproque d'un polynôme de degré 3 bijectif.


Devoir surveillé n°5 (énoncé , corrigé)

Thèmes : matrices inversibles ; inversibilité du produit de deux matrices inversibles de même format ; calcul guidé des puissances successives d'une matrice diagonalisable 2x2 ; étude d'une suite récurrente linéaire d'ordre 1 de vecteurs de R2 ; étude du sens de variation d'une fonction mettant en jeu ln, dérivable sur son intervalle de définition, après avoir étudié les variations de sa dérivée pour en déterminer le signe ; étude des limites éventuelles d'une fonction aux bornes de son ensemble de définition ; prolongement par continuité ; étude guidée de la série de terme général 1 /n!, n ∈ N (seul le langage des suites est utilisé dans l'énoncé et la correction) ; contrôle de la convergence de la série de terme général 1 /n!, n ∈ N, vers e, à l'aide du théorème des accroissements finis.

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