\documentclass[12pt,french]{article}

%---Macros
\input{/home/blottiere/Enseignement/MP2122/Preambule2122/Preambule2122.tex} %Préambule

%---Références internes 
\newcommand{\ReferenceDocument}{KS13.} %Référence du document.
\newcommand{\refe}[1]{{\bf\textcolor{Rouge}{\ReferenceDocument\ref{#1}}}} %Citation

%---Format de la page
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry} %Format de la page

%---Réponses		
%\newcommand{\reponse}[1]{ \begin{mdframed}[style=Reponse] {\normalfont #1}  \end{mdframed} }
\newcommand{\reponse}[1]{}

\newcommand{\details}[1]{\textcolor{Bleu}{[#1]}}

\begin{document}

\EnTeteFirstPage{M P}{Mathématique} %1:C L A S S E , 2:Discipline

\bigskip
\TitreFirstPage{
	\\
	Programme de khôlle de la semaine 21 \\\\
	28 février -- 4 mars \\\\
	Séries entières II\\
}

\medskip
\AuteurDB

% Saut de page
\newpage
	
\section*{Déroulement de la khôlle}	
La khôlle comporte trois phases.


\begin{enumerate}
	\item
	Rédaction d'une question de cours 
	\textcolor{Or}{(6 points - 15 minutes maximum}):
	la khôlle débute par une des questions de cours listées dessous.
	
	\item
	Résolution d'un exercice CCINP listé en fin de document 
	\textcolor{Or}{(6 points - 15 minutes maximum}):		
	la deuxième partie de la khôlle est consacrée à la résolution 
	d'un des trois exercices issus de la banque CCINP listés ci-après.
	Vous aurez préalablement préparé ces exercices 
	et 
	vous mettrez en avant votre compréhension des notions en jeu, lors de l'exposé.
	
	\item
	Résolution d'exercices proposés par l'examinatrice/teur 
	\textcolor{Or}{(8 points)}:
	la khôlle se poursuit avec des exercices que vous ne connaissez pas à l'avance 
	et que vous résoudrez au tableau, sans temps de préparation sur feuille.	
\end{enumerate}	

\bigskip
\textcolor{Rouge}{N.B.} Léo Dauchez (Groupe I) est dispensé de la phase 2.
%\begin{enumerate}
%	\item
%	Rédaction d'une question de cours \textcolor{Or}{(10 points - 20 minutes maximum)}:
%	la khôlle débute par une des questions de cours listées dessous.
%	\item
%	Résolution d'exercices proposés par l'examinatrice/teur \textcolor{Or}{(10 points)}:
%	la khôlle se poursuit avec des exercices que vous ne connaissez pas à l'avance 
%	et que vous résoudrez au tableau, sans temps de préparation sur feuille.	
%\end{enumerate}	

\section*{Programme}	
\noindent			
Chapitre 14 \emph{Séries entières}
\href{http://www.dblottiere.org/mp2122/SeriesEntieres.pdf}{[PDF]}
\begin{itemize}[label={\textcolor{Or}{$\bullet$}}]
	\item 
	Notion de séries entières
	\item
	Rayon de convergence d'une série entière
	\item
	Calcul pratique du rayon de convergence
	\item
	Somme et produit de séries entières
	\item
	Suites et séries de fonctions de la variable complexe à valeurs complexes
	\item
	Modes de convergence et continuité de la somme d'une série entière
	\item
	Dérivation et intégration terme-à-terme d'une série entière de la variable réelle
	\item
	Développement d'une fonction en série entière
	\item
	Exemples fondamentaux de développements en séries entières
	\item
	Table des développements en séries entières usuels
\end{itemize}	

\section*{\`A venir}
\noindent
Chapitre 15 \emph{Probabilités}.

\section*{Questions de cours}
			
%\bigskip\QDS
%Lemme d'Abel 
%\details{C14.4 -- illustration géométrique, énoncé, démonstration}.
%Définition du rayon de convergence d'une série entière
%\details{C14.5}.
%
%\bigskip\QDS
%Caractérisation du rayon de convergence
%\details{C14.6 -- illustration géométrique, énoncé, démonstration}.
%
%\bigskip\QDS
%Détermination du rayon de convergence à partir d'un point atypique
%\details{C14.9 -- illustration géométrique, énoncé, démonstration}.
%
%\bigskip\QDS
%Série entière et relation de comparaison O sur les coefficients
%\details{C14.14 -- énoncé, démonstration}.
%Série entière dont les modules des coefficients sont équivalents
%\details{C14.15 -- énoncé, démonstration}.
%
%\bigskip\QDS
%Somme de deux séries entières
%\details{C14.26 -- énoncé, démonstration}.
%Définition du produit de Cauchy de deux séries entières
%\details{C14.28}.
%Rayon de convergence du produit de Cauchy de deux séries entières
%\details{C14.29 -- énoncé}.

\QDS
Convergence normale d'une série entière 
sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence
\details{C14.50 -- énoncé et démonstration}.
La série entière $\dsp \sum_{n \pgq 1} \dfrac{z^n}{n}$
a rayon de convergence 1,
mais elle ne converge pas uniformément sur $D(0,1)$
\details{C14.52 -- démonstration}.

\bigskip\QDS
Rayon de convergence des séries dérivées 
et 
primitives d’une série entière 
\details{C14.56 -- énoncé et démonstration}

%\item
%Détermination du rayon de convergence 
%d'une série entière à l'aide d'un point de rupture
%(énoncé et démonstration)
%[14.28] ;
%Si $\dsp \sum_{n \pgq 0} \, a_n \, z^n$
%est une série entière de rayon de convergence $R>0$
%et
%si, pour tout $n\in\N$, $f_n$ désigne la fonction $x \longmapsto a_n \, x^n$,
%alors la série de fonctions $\dsp \, f_n$ converge normalement 
%sur tout segment de $]-R,R[$
%(démonstration).
	
\bigskip\QDS
Régularité de la somme d’une série entière 
\details{C14.58 -- énoncé intégral et démonstration pour la dérivabilité et la dérivée}

\bigskip\QDS
Primitivation terme-à-terme de la somme d'une série entière
\details{C14.59 -- énoncé et démonstration}.
Calcul du DSE de la fonction $x \longmapsto \ln(1+x)$ 
avec calcul du rayon de convergence de la série entière sous-jacente.
			
\bigskip\QDS
Rayons de convergence et calculs des sommes des séries entières suivantes.
\[
	\text{(a)} \quad \dsp \sum_{n \pgq 0} n^2 \, x^n
	\qquad\qquad
	\text{(b)} \quad \dsp \sum_{n \pgq 0} \dfrac{x^n}{(n+1)(n+3)}
	\qquad\qquad
	\text{(c)} \quad \dsp \sum_{n \pgq 0} \dfrac{n^3}{n!} \, x^n					
\]

\bigskip\QDS
Si $\alpha \in \R \setminus \N$,
alors la fonction $x \longmapsto (1+x)^{\alpha}$
est DSE
\details{Démonstration à l'aide d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 1
et d'un raisonnement par analyse et synthèse}.

\bigskip\QDS
Table des développements en série entière usuels avec les rayons de convergence 
\details{Partie 12 du chapitre 14 --
énoncé intégral et démonstration pour la fonction sinus uniquement}.



\section*{Exercices issus de la banque CCINP}
\noindent
Des corrections des exercices suivants, 
proposées par la banque CCINP, 
sont disponibles 
\href{https://www.concours-commun-inp.fr/_attachment/nouvel-accordeon-2/banque%20finale%20avec%20corr%2022.pdf?download=true}{[PDF]}.
	
\bigskip
\noindent
\textcolor{Or}{{\bf Exercice CCINP n°20. ---}}
\begin{enumerate}
\item
Donner la définition du rayon de convergence d’une série entière de la variable complexe.
\item
Déterminer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes.		
\[
	\text{(a)} \quad 
	\sum \, \dfrac{ \left( n! \right)^2}{\left( 2n \right)!} \; z^{2n+1} 
	\qquad\qquad
	\text{(b)} \quad 
	\sum \, n^{(-1)^n} \; z^n
	\qquad\qquad
	\text{(c)} \quad 
	\sum \, \cos(n) \; z^n
\]
\end{enumerate}

\bigskip
\noindent
\textcolor{Or}{{\bf Exercice CCINP n°21. ---}}
\begin{enumerate}
\item
Donner la définition du rayon de convergence d’une série entière de la variable complexe.
\item 
Soit $\left( a_n \right)_{n \in \N}$ une suite bornée telle que la série 
$\displaystyle \sum \, a_n$ diverge.\\
Quel est le rayon de convergence de la série entière 
$\displaystyle \sum \, a_n \; z^n$ ? Justifier.
\item 
Quel est le rayon de convergence de la série entière
$\displaystyle 
\sum \, \left( \sqrt{n} \right)^{(-1)^n} \, 
\ln \left( 1 + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right) \; z^n$ ?
\end{enumerate}
			
\bigskip
\noindent
\textcolor{Or}{{\bf Exercice CCINP n°22. ---}}
\begin{enumerate}
	\item
	Que peut-on dire du rayon de convergence de la somme de deux séries entières ? 
	Le démontrer.
	\item
	Développer en série entière au voisinage de $0$,
	en précisant le rayon de convergence,
	la fonction:
	\[
		f \colon x \mapsto \ln \left( 1 + x \right) + \ln \left( 1 - 2x \right) \;.
	\]
	La série converge-t-elle pour 
	$x=\dfrac{1}{4}$ ? $x=\dfrac{1}{2}$ ? $x=-\dfrac{1}{2}$ ? 
\end{enumerate}	




		

	
\section*{Après la khôlle}
Vous repartirez avec les énoncés des exercices 
que vous a proposés l'examinatrice/teur.
Vous collerez cet énoncé sur une feuille {\bf simple}
et 
vous en rédigerez une solution soignée que vous me
remettrez \emph{sans faute à la fin du TD du lundi 
suivant votre khôlle}.

		
		



\end{document}