Cahier de texte - Mathématique - MP2I - 2022-2023
[472] - Séance du Vendredi 30 juin (4h)
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Complément sur le chapitre 28 - Espaces préhilbertiens réels
- C28.75 - Calcul d'une distance d'une matrice de \( \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \) à un plan de \( \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \)
- TD28.4 - Distance à une droite (resp. à l'orthogonal de cette droite) dans un espace euclidien
- Si \( \mathcal{B_1} \) et \( \mathcal{B_2} \) sont deux bases orthonormées d'un espace euclidien
alors la transposée de \( P_{ \mathcal{B_1} \rightarrow \mathcal{B_2} } \) est \( P_{ \mathcal{B_2} \rightarrow \mathcal{B_1} } \).
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Chapitre 29 - Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles
- C29.20 - Ensemble des diviseurs d'un polynôme
- C29.21 - Ensembles des diviseurs de \( 0 \) et de \(X \)
- C29.22 - Lemme clé pour la définition d'un PGCD de deux polynômes
- C29.23 - Définition d'un PGCD de deux polynômes
- C29.25 - PGCD de deux polynômes dont l'un divise l'autre
- C29.26 - Lemme clé pour l'algorithme d'Euclide
- C29.27 - Algorithme d'Euclide pour le calcul du PGCD de deux polynômes
- C29.28 - Analyse de l'algorithme d'Euclide
- C29.29 - PGCD de \( X^7 - X - 1 \) et de \( X^5 - 1 \)
- C29.30 - Comparaison de deux PGCD
- C29.31 - Définition du PGCD de deux polynômes
- C29.32 - Relation de Bézout pour deux polynômes
- C29.34 - Calcul d'une relation de Bézout pour les polynômes \( X^7 - X - 1 \) et \( X^5 - 1 \)
- C29.35 - Définition de deux polynômes premiers entre eux
- C29.36 - Deux polynômes de \( \mathbb{C}[X] \) sont premiers entre eux si et seulement s'ils n'ont aucune racine commune dans \( \mathbb{C} \).
- Les polynômes \( X^4 + 2 X^2 + 1 \) et \( X^2+1 \) n'ont pas de racine commune dans \( \mathbb{R} \) mais ne sont pas premiers entre eux.
- C29.37 - Théorème de Bézout
- C29.38 - Lemme de Gauß
- C29.39 - Définition d'un polynôme de \( \mathbb{K}[X] \) irréductible sur \( \mathbb{K} \)
- C29.43 - Irréductibilité des polynômes de degré 1
- C29.44 - Un polynôme de \( \mathbb{K}[X] \) de degré 2 est irréductible sur \( \mathbb{K} \) si et seulement s'il ne possède pas de racine dans \( \mathbb{K} \).
- Le polynôme \( X^4 + 2 X^2 + 1 \) n'a aucune racine dans \( \mathbb{R} \) mais est réductible sur \( \mathbb{R} \).
- C29.48 - Deux polynômes irréductibles distincts sont premiers entre eux.
- C29.49 - Décomposition d'un polynôme en produit d'irréductibles
- C29.51 - Description des irréductibles de \( \mathbb{C}[X] \)
- C29.53 - Description des irréductibles de \( \mathbb{R}[X] \)
- C29.54 - Décomposition d'un polynôme en produit d'irréductibles dans \( \mathbb{C}[X] \)
- C29.56 - Décomposition d'un polynôme en produit d'irréductibles dans \( \mathbb{R}[X] \)
- C29.57 - Des racines complexes conjuguées d'un polynôme à coefficients réels
- C29.61 - Décomposition de \( X^n-1 \) en produit d'irréductibles
- C29.63 - Ensemble \( \operatorname{Frac}(A) \) des fractions d'un anneau commutatif intègre \( A \)
- C29.64 - \( \operatorname{Frac}( \mathbb{Z} ) = \mathbb{Q} \)
- C29.65 - Structure de corps sur \( \operatorname{Frac}(A) \) où \( A \) est un anneau commutatif intègre.
- C29.68 - Défintion du corps des fractions rationnelles en une indéterminée
- C29.73 - Calcul de la somme et du produit de \( \dfrac{X+1}{X^2+1} \) et de \( \dfrac{X-1}{X^3+1} \)
- C29.74 - Définition d'une forme irréductible d'une fraction rationnelle
- C29.75 - Construction d'une forme irréductible de fraction rationnelle
- C29.76 - Calcul d'une forme irréductible de \( \dfrac{ X^3+X^2+X}{X^4+X^3-X-1} \)
- C29.77 - Lemme clé pour la définition du degré d'une fraction rationnelle
- C29.78 - Définition du du degré d'une fraction rationnelle
- C29.79 - Degré de \( \dfrac{X^5+X-3}{X^2+2} \)
- C29.81 - Lemme clé pour la définition de la partie entière d'une fraction rationnelle
- C29.82 - Définition de la partie entière d'une fraction rationnelle
- C29.83 - Partie entière de \( \dfrac{X^5+X-3}{X^2+2} \)
- C29.85 - Lemme clé pour la définition de fonction rationnelle, zéros, pôles et multiplicités
- C29.86 - Définition de fonction rationnelle, zéros, pôles et multiplicités
- C29.87 - Fonction rationnelle, zéros, pôles et multiplicités pour \( \dfrac{X^4-1}{X^2-3X+4} \)
- C29.88 - Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle
- C29.92 - Décomposition en éléments simples de \( \dfrac{X^2}{(X-1)(X-2)(X-3)} \) dans \( \mathbb{R}[X] \)
- C29.93 - Décomposition en éléments simples de \( \dfrac{2X^2+1}{(X+1)^2(X^2+X+1)} \) dans \( \mathbb{R}[X] \)
[468] - Séance du Mercredi 28 juin (4h)
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Chapitre 28 - Espaces préhilbertiens réels (fin)
- C28.42 - Calcul d'une base orthonormée de \( \mathbb{R}_2[X] \) muni d'un produit scalaire défini grâce aux valeurs d'un polynôme aux points 0,1,2
- C28.45 - Définition de l'orthogonal d'une partie
- C28.46 - Orthogonal du singleton vecteur nul et de l'espace tout entier
- C28.47 - Inclusion de deux sous-espaces versus intersection de leurs orthogonaux
- C28.48 - Une méthode pour calculer l'orthogonal d'un sous-espace engendré
- C28.49 - Calcul de l'orthogonal d'un plan de \( \mathbb{R}^4 \) muni de son produit scalaire usuel
- C28.50 - Structure de l'orthogonal d'une partie
- C28.52 - Un sous-espace est inclus dans l'orthogonal de son orthogonal
- C28.54 - Un sous-espace n'égale pas nécessairement l'orthogonal de son orthogonal : contre-exemple dans un espace de fonctions
- C28.57 - Définition d'un espace euclidien
- C28.58 - Existence d'une base orthonormée dans un espace euclidien
- C28.59 - Expression des coordonnées d'un vecteur dans une base orthonormée
- C28.60 - Espression du produit scalaire dans une base orthonormée
- C28.61 - Expression de la norme dans une base orthonormée
- C28.62 - Théorème de la base orthonormée incomplète
- C28.65 - Projeté orthogonal d'un vecteur sur un sous-espace de dimension finie
- C28.66 - Projection orthogonale d'un espace préhilbertien sur un sous-espace de dimension finie
- C28.67 - Un espace de dimension finie et son orthogonal sont supplémentaires dans un espace préhilbertien
- C28.68 - Calcul d'une projection orthogonale de \( \mathbb{R}^3 \) muni de son produit scalaire usuel sur un hyperplan
- C28.69 - Un sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace préhilbertien égale l'orthogonal de son orthogonal.
- C28.71 - Distance d'un vecteur à une partie non vide d'un espace préhilbertien
- C28.72 - Exemples géométriques de distance d'un vecteur à une partie de \( \mathbb{R}^2 \) muni de son produit scalaire usuel
- C28.74 - Distance d'un vecteur à un sous-espace de dimension finie d'un espace préhilbertien
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Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C28.75 - Calcul d'une distance d'une matrice de \( \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \) à un plan de \( \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \)
- TD28.4 - Distance à une droite (resp. à l'orthogonal de cette droite) dans un espace euclidien
- Si \( \mathcal{B_1} \) et \( \mathcal{B_2} \) sont deux bases orthonormées d'un espace euclidien
alors la transposée de \( P_{ \mathcal{B_1} \rightarrow \mathcal{B_2} } \) est \( P_{ \mathcal{B_2} \rightarrow \mathcal{B_1} } \).
[464] - Séance du Mardi 27 juin (2h)
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Compléments sur le chapitre 26 - Groupe symétrique et déterminant
- TD26.29 - Rang de la comatrice
- TD26.27 - Déterminant circulant pour une matrice de format (3,3)
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Complément sur le chapitre 27 - Séries numériques
- TD27.17 - Séries de Bertrand
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Chapitre 28 - Espaces préhilbertiens réels (suite)
- C28.37 - Définition du vecteur normalisé d'un vecteur non nul
- C28.38 - Algorithme de Gram-Schmidt
- C28.39 - Une méthode pour appliquer l'algorithme de Gram-Schmidt en chassant certains radicaux
- C28.40 - Calcul d'une base orthonormée d'un hyperplan de \( \mathbb{R}^4 \) muni de son produit scalaire usuel
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Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C28.42 - Calcul d'une base orthonormée de \( \mathbb{R}_2[X] \) muni d'un produit scalaire défini grâce aux valeurs d'un polynôme aux points 0,1,2
[462] - Séance du Lundi 26 juin (6h)
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Complément sur le chapitre 27 - Séries numériques
- TD27.1 - Étude de 21 séries
(solutions rédigées au propre, présentées avec soin, théorèmes appliqués soulignés, résultats encadrés)
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Chapitre 28 - Espaces préhilbertiens réels (suite)
- C28.6 - Produit scalaire canonique sur \( \mathbb{R}^n \)
- C28.8 - Produit scalaire canonique sur \( \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) \)
- C28.9 - Produit scalaire canonique sur \( \mathcal{C}^0([a,b],\mathbb{R}) \)
- C28.10 - Un exemple de produit scalaire sur \( \mathbb{R}_n[X] \)
- C28.11 - Norme d'un vecteur et distance entre deux vecteurs
- C28.12 - Carré de la norme d'une somme
- C28.13 - Homogénéité de la norme
- C28.14 - Inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité
- C28.15 - Inégalité de Cauchy-Schwarz dans \( \mathbb{R}^n \)
muni de son produit scalaire usuel
- C28.16 - Inégalité de Cauchy-Schwarz dans \( \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) \)
muni de son produit scalaire usuel
- C28.17 - Inégalité de Cauchy-Schwarz dans \( \mathcal{C}^0([a,b],\mathbb{R}) \)
muni de son produit scalaire usuel
- C28.18 - Si \( x_1 > 0 , \ldots x_n >0 \) alors
\[
n^{2} \leqslant \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}}
\]
- C28.19 - Minoration de \( \displaystyle \int_0^1 f \) où \( f \) est une fonction continue, strictement positive et d'intégrale 1 sur \( [0,1] \)
- C28.21 - Inégalité triangulaire et cas d'égalité
- C28.22 - Identité de polarisation
- C28.24 - Identité du parallélogramme
- C28.25 - Interprétation géométrique de l'identité du parallélogramme
- C28.27 - Définition de deux vecteurs orthogonaux
- C28.28 - Notation \( \perp \)
- C28.29 - Définition d'une famille orthogonale (resp. orthonormale)
- C28.30 - La base canonique de \( \mathbb{R}^n \) est orthgonale pour le produit scalaire usuel
- C28.32 - Une famille orthogonale dans \( \mathcal{C}_{2 \pi}^0([a,b],\mathbb{R}) \) muni de son produit scalaire usuel
- C28.33 - Une famille orthonormale de vecteurs non nuls est libre
- C28.34 - Théorème de Pythagore
- C28.35 - Interprétation géométrique du théorème de Pythagore
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Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD26.27 - Déterminant circulant
- TD27.17 - Séries de Bertrand
[456] - Séance du Vendredi 23 juin (4h)
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Compléments sur le chapitre 26 - Groupe symétrique et déterminant
- Déterminant d'une matrice diagonale par blocs
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Chapitre 27 - Séries numériques (fin)
- C27.37 - Équivalent de \( \ln(n!) \)
- C27.41 - Si \( f \) est une fonction continue de \( [0,1] \) dans \( \mathbb{R} \)
alors la série \( \displaystyle \sum \dfrac{1}{n} \, \int_0^1 t^n f(t) \operatorname{d} t \)
converge.
- C27.43 - Critère de convergence absolue avec un O
- C27.44 - Règle \( n^{\alpha} \)
- C27.45 - Nature des séries
\[
\sum \dfrac{\cos(n^2 \pi)}{n^2 \cdot \ln(n)}
\qquad \qquad
\sum \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^{n^2}
\qquad \qquad
\sum \dfrac{1}{(\ln(n))^{\ln(n)}}
\]
- Rappels sur les suites adjacentes
- C27.46 - Critère des séries alternées
- Nature de la série
\( \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n} \)
- C27.48 - Nature des séries
\[
\sum \dfrac{(-1)^n}{n+1}
\qquad\qquad
u_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}
\qquad\qquad
u_n=\ln\left( 1 + \dfrac{(-1)^n}{n+1} \right)
\]
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Chapitre 28 - Espaces préhilbertiens réels (début)
- C28.1 - Définition d'un produit scalaire sur un espace vectoriel réel
- C28.2 - La linéarité à gauche et la symétrie entraînent la linéarité à droite.
- C28.3 - Définition d'un espace préhilbertien réel
- C28.4 - Développement d'un carré scalaire de somme
- C28.5 - Produit scalaire contre le vecteur nul
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Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD26.29 - Rang de la comatrice
- TD27.1 - Étude de 21 séries
(solutions rédigées au propre, présentées avec soin, théorèmes appliqués soulignés, résultats encadrés)
- TD27.20* - Sommation des équivalents
[452] - Séance du Jeudi 22 juin (2h)
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Compléments sur le chapitre 26 - Groupe symétrique et déterminant
- TD26.9 - Déterminant de la multiplication à gauche par une matrice
- Retour sur le lien fondamental entre une matrice et sa comatrice
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Chapitre 27 - Séries numériques (suite)
- C27.31 - Nature de \( \displaystyle \sum \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n - e \)
- C27.34 - Nature des séries
\[
\sum \dfrac{n+\cos(n)}{n^3+1}
\qquad\qquad
\sum \dfrac{(-1)^n}{n+(-1)^n \sqrt{n}}
\]
- C27.36 - Équivalent de \( \displaystyle \sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2} \)
- C27.38 - Définition d'une série absolument convergente
- C27.39 - Une série absolument convergente est convergente
- La série harmonique alternée est convergente, mais non absolument convergente.
- C27.40 - Nature des séries
\[
\sum \dfrac{(-1)^n}{2^n+\sqrt{n}}
\qquad\qquad
\sum \dfrac{e^{i n \theta}}{n^2} \; \left[\theta \in \mathbb{R} \right]
\qquad\qquad
\sum \dfrac{\cos(n)}{n \cdot \ln^2(n)}
\]
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Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- Déterminant d'une matrice diagonale par blocs
- C27.37 - Équivalent de \( \ln(n!) \)
[450] - Séance du Mardi 20 juin (2h)
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Chapitre 27 - Séries numériques (suite)
- Nature de \( \displaystyle \sum \dfrac{1}{n \cdot \cos^2(n)} \)
- C27.28 - Développement décimal d'un réel de [0,1]
- C27.29 - Séries à termes réels positifs dont les termes généraux sont équivalents
- L'hypothèse sur le signe est essentielle dans C27.30 : contre-exemple
- C27.30 - Nature des séries
\[
\sum \dfrac{n+2^n}{\sqrt{n}+3^n}
\qquad\qquad
\sum \ln\left( 1 + \dfrac{(-1)^n}{n}\right)
\qquad\qquad
\sum \dfrac{1}{\sqrt{n^2-1}} - \dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}}
\]
- C27.32 - Lemme clé pour la comparaison série-intégrale
- C27.33 - Critère de Riemann
- Nature de \( \displaystyle \sum \dfrac{3n^2+5n}{8n^3+4} \)
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Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD26.9 - Déterminant de la multiplication à gauche par une matrice
- C27.31 - Nature de \( \displaystyle \sum \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n - e \)
[448] - Séance du Lundi 19 juin (6h)
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Compléments sur le chapitre 26 - Groupe symétrique et déterminant
- TD26.4 - \( A_n \) est engendré par les 3-cycles
- TD26.8 - Endomorphismes dont le carré est \( - \operatorname{id} \)
- TD26.18 - Déterminant de la somme de l'identité et du carré d'une matrice réelle
- TD26.22 - Polynôme caractéristique de la matrice dont tous les coefficients valent 1
- TD26.23 - Déterminant d'une matrice tridiagonale
- TD26.25 - Déterminant d'une matrice dont les coefficients sont les coefficients binomiaux
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Chapitre 27 - Séries numériques (début)
- C27.2 - Définition des sommes partielles, d'une série convergente/divergente
- C27.3 - Précisions sur différentes notations liées aux séries
- C27.4 - Convergence et somme de \( \displaystyle \sum \dfrac{1}{2^n} \)
- C27.5 - Convergence et somme de \( \displaystyle \sum \dfrac{1}{n(n+1)} \)
- C27.6 - Convergence et somme de \( \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^n}{n} \)
- C27.7 - Condition nécessaire, non suffisante pour qu'une série converge
- C27.8 - Divergence de la série harmonique
- C27.9 - Définition d'une série grossièrement divergente
- C27.10 - Nature des séries
\[
\sum \dfrac{3n+1}{2n+5}
\quad \text{ et } \quad
\sum n \cdot \ln \left( 1 + \dfrac{(-1)^n}{n} \right)
\]
- C27.11 - Opérations sur les séries convergentes
- C27.12 - Attention : l'identité suivante n'a pas de sens.
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n(n+1)}
=
\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n} - \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n+1}
\quad \text{[identité vide de sens]}
\]
- C27.13 - Somme d'une série convergente et d'une série divergente
- Si \( q \in \mathbb{C} \) alors \( q^n = o\left( n! \right) \)
- Rappel sur le comportement asymptotique de la suite \( \left( q^n \right)_{n \in \mathbb{N}} \) où \( q \in \mathbb{C} \)
- C27.14 - Théorème sur les séries géométrique
- C27.15 - Nature et somme de la série \( \displaystyle \sum \dfrac{2}{3^n} - \dfrac{3}{2^n} \)
- C27.16 - Définition du reste d'une série convergente
- C27.17 - Calcul du reste d'ordre \( n \) d'une série géométrique convergente
- C27.18 - La suite des restes d'une série convergente converge vers 0
- C27.19 - D'une suite à une série
- C27.21 - Développement en série de l'exponentielle d'un nombre complexe
- C27.22 - CNS de convergence pour une série à termes réels positifs
- C27.23 - Convergence de la série \( \displaystyle \sum \dfrac{1}{n^2} \)
- C27.24 - Théorème de domination pour les séries à termes réels positifs
- C27.27 - Natures des séries
\[
\sum \dfrac{1}{n^2+n+1}
\qquad\qquad
\sum \dfrac{1-\sin(n)}{2^n}
\qquad\qquad
\sum \dfrac{1}{n^2\ln(n)}
\qquad\qquad
\sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}
\qquad\qquad
\]
- Convergence et somme de la série \( \displaystyle \sum \dfrac{n}{3^n} \)
[442] - Séance du Samedi 17 juin (4h)
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Devoir surveillé n°13
- Stricte convexité et espérance
- Groupe des permutations et une symétrie de \( \mathbb{R}^n \)
- Trigonalisabilité d'une matrice de \( \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \)
[438] - Séance du Vendredi 16 juin (4h)
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Compléments sur le chapitre 24 - Matrices
- TD24.21 - De la classe de similitude d'une matrice de trace nulle.
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Chapitre 26 - Groupe symétrique et déterminant (fin)
- TD26.8 - Deux matrices semblables ont même déterminant
- C26.85 - Définition d'un mineur et d'un cofacteur
- C26.86 - Cofacteurs de la matrice
\[ \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix} \]
- C26.87 - Lemme clé pour le développement d'un déterminant par rapport à une ligne/colonne
- C26.88 - Développement d'un déterminant par rapport à une ligne/colonne
- C26.89 - Calcul du déterminant de
\[ \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1 \\
2 & 3 & 1
\end{pmatrix} \]
- C26.90 - Déterminant d'une matrice triangulaire
- C26.92 - Polynôme caractéristique de la matrice
\[ \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix} \]
- C26.93 - Déterminant de Vandermonde
- C26.94 - Un lien entre les déterminants de Vandermonde et les polynômes interpolateurs de Lagrange
- C26.95 - Définition de la comatrice d'une matrice
- C26.96 - Lien fondamental entre une matrice et sa comatrice
- C26.97 - Expression de l'inverse d'une matrice inversible à l'aide de son déterminant et de sa comatrice
- Inversibilité et inverse de la matrice
\[ \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{pmatrix} \]
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Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD26.4 - \( A_n \) est engendré par les 3-cycles
- TD26.11 - Polynôme caractéristique de la matrice dont tous les coefficients valent 1
[436] - Séance du Jeudi 15 juin (2h)
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Chapitre 26 - Groupe symétrique et déterminant (suite)
- C26.74 - Déterminant d'une matrice vs. déterminant de l'application linéaire canoniquement associée
- C26.75 - Déterminant du produit de deux matrices carrées
- C26.76 - Caractérisation des matrices inversibles par le déterminant
- C26.77 - Morphisme de groupes de \( \left( \operatorname{GL}_n(\mathbb{K}) , \times \right) \) vers \( \left( \mathbb{K}^* , \times \right) \) vers induit par le déterminant
- C26.78 - Groupe spécial linéaire
- C26.79 - Déterminant d'une transposée
- C26.80 - Le déterminant est linéaire par rapport à chaque ligne et alterné par rapport aux lignes
- C26.81 - Calcul du déterminant de
\[ \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
7 & 8 & 9 \\
2 & 4 & 6
\end{pmatrix} \]
- C26.82 - Effet d'une opération élémentaire sur le déterminant
- C28.84 - Calcul du déterminant de la matrice
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 3 & 1 \\
2 & -1 & 2 & 0 \\
1 & 2 & -3 & 3
\end{pmatrix}
\]
[434] - Séance du Mercredi 14 juin (4h)
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Compléments sur le chapitre 24 - Matrices
- TD24.20 - Trace d'une matrice \( A \) vs. trace de la multiplication à droite par \( A \)
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Chapitre 26 - Groupe symétrique et déterminant (suite)
- C26.40 - Cardinal du groupe alterné et description en extension de \( A_3 \) et \( A_4 \)
- C26.51 - Définition du déterminant d'une famille de vecteurs dans une base
- C26.52 - Une forme \( n \)-linéaire alternée est proportionnelle à \( \operatorname{det}_{\mathcal{B}} \)
- C26.53 - Si \( E \) est un \( \mathbb{K} \)-espace vectoriel de dimension \( n \geqslant 1 \),
\( \displaystyle \bigwedge^n E \) est une droite vectorielle.
- C26.54 - Comparaison des déterminants associés à deux bases
- C26.55 - Deuxième interprétation géométrique de la forme bilinéaire alternée canonique de \( \mathbb{R}^2 \)
- C26.57 - Caractérisation d'une base via le déterminant
- C26.58 - Détermination des scalaires \( \lambda \) tels que
\[
\left( \;
u_1 = (\lambda,1,1)
\;,\;
u_2 = (1,\lambda,1)
\;,\;
u_3 = (1,1,\lambda)
\; \right)
\]
est une base de \( \mathbb{R}^3 \).
- C26.60 - Lemme clé pour la définition du déterminant d'un endomorphisme
- C26.61 - Définition du déterminant d'un endomorphisme
- C26.62 - Déterminant de l'application identité
- C26.63 - Caractérisation des automorphisme via le déterminant
- C26.64 - Déterminant d'une composée d'endomorphismes
- C26.65 - Déterminant de la réciproque d'un automorphisme
- C26.66 - Si \( E \) est un \( \mathbb{K} \)-espace vectoriel de dimension \( n \geqslant 1 \), alors l'application
\[ \left| \; \begin{array}{rcl}
( \operatorname{GL}(E),\circ) & \longrightarrow & \left( \mathbb{K}^*,\times \right) \\
u & \longmapsto & \det(u)
\end{array} \right. \]
est un morphisme de groupes bien défini.
- C26.67 - Description en extension des automorphismes de \( \mathbb{R}^2 \)
- C26.70 - Définition du déterminant d'une matrice carrée
- C26.71 - Le déterminant d'une matrice est une expression polynomiale en ses coefficients
- C26.72 - Calcul du déterminant des matrices
\(
A = \begin{pmatrix}
j & i \\
1 & j^2
\end{pmatrix}
\)
- C26.73 - Calcul des déterminants des matrices
\[
A = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 4
\end{pmatrix}
\qquad\qquad
B = \begin{pmatrix} %C3 = 2C1 + C2
1 & 1 & 3 \\
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\qquad\qquad
C= \begin{pmatrix}
1 & 2 & 5 \\
3 & 4 & 1 \\
2 & 2 & -4
\end{pmatrix}
\]
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD24.9 - Matrice d'une symétrie de \( \mathbb{R}^3 \) dans la base canonique
- TD24.21 - De la classe de similitude d'une matrice de trace nulle.
Indication : prouver tout d'abord le résultat pour \( n = 2 \) et \( n = 3 \) et, enfin,
établir le résultat général en raisonnant par récurrence sur \(n \geqslant 1 \)
[430] - Séance du Mardi 13 juin (2h)
-
Chapitre 26 - Groupe symétrique et déterminant (suite)
- C26.37 - Signature d'un \(p\)-cycle
- C26.38 - Une méthode pour calculer la signature d'une permutation
- C26.39 - Exemple de calcul d'une permutation de \( S_6 \)
- C26.42 - Exemple de calcul d'une permutation de \( S_{12} \)
- C26.44 - Définition d'une forme \( n \)-linéaire alternée
- C26.46 - Propriétés d'une application \( n \)-linéaire alternée
- C26.47 - Première interprétation géométrique de la forme bilinéaire alternée canonique de \( \mathbb{R}^2 \)
- C26.48 - Expression de l'image d'un \(n\)-uplet par une forme \(n\)-linéaire alternée \( f \),
en fonction de la valeur de \( f \) sur une base :
apparition du groupe symétrique et de la signature.
- C26.49 - Si \( E \) est un \( \mathbb{K} \)-espace vectoriel de dimension \( n \geqslant 1 \),
\( \displaystyle \bigwedge^n E \) est naturellement un est un \( \mathbb{K} \)-espace vectoriel.
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD24.20 - Trace d'une matrice \( A \) vs. trace de la multiplication à droite par \( A \)
- C26.40 - Cardinal du groupe alterné et description en extension de \( A_3 \) et \( A_4 \)
[430] - Séance du Lundi 12 juin (2h)
-
Compléments sur le chapitre 24 - Matrices
- TD24.5 - Matrice inversible, système de Cramer et changement de base
- TD24.11 - Endomorphisme nilpotent, de nilindice 2, d'un \( \mathbb{K} \)-espace vectoriel de dimension 3
- TD24.10 - Calcul des puissances d'une matrice
- TD24.15 - Matrice non inversible versus matrice équivalente à une matrice nilpotente
- TD24.19 - De l'existence d'un crochet de Lie égal à \( I_n \)
[428] - Séance du Vendredi 9 juin (2h)
-
Chapitre 26 - Groupe symétrique et déterminant (suite)
- C26.22 - Exemple de décomposition d'une permutation en produit de cycles à supports disjoints
- C26.23 - Décomposition d'une permutation en produit de cycles à supports disjoints
- C26.24 - Exemple de décomposition d'une permutation \( \sigma \) en produit de cycles à supports disjoints,
calcul de l'ordre de \( \sigma \) et de \( \sigma^{2023} \)
- C26.26 - Définition d'une transposition
- C26.28 - Si \( n \geqslant 3 \) alors le groupe \( (S_n , \circ) \) est anabélien
- C26.29 - Décomposition d'un cycle en produit de transpositions
- C26.30 - Exemple de décomposition d'un cycle en produit de transpositions
- C26.31 - Les transpositions engendrent le groupe \( (S_n , \circ) \)
- C26.32 - Définition d'une inversion pour une permutation fixée
- C26.34 - Définition du morphisme signature
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD24.5 - Matrice inversible, système de Cramer et changement de base
- TD24.11 - Endomorphisme nilpotent, de nilindice 2, d'un \( \mathbb{K} \)-espace vectoriel de dimension 3
[426] - Séance du Jeudi 8 juin (2h)
-
Compléments sur le chapitre 24 - Matrices
- C24.83 - Pour un projecteur d'un \( \mathbb{K} \)-espace vectoriel de dimension finie, la trace et le rang
coïncident.
-
Chapitre 26 - Groupe symétrique et déterminant (suite)
- C26.8 - Définition du support d'une permutation
- C26.9 - Exemple de calcul de support
- C26.10 - Le support d'une permutation ne peut être de cardinal 1
- C26.11 - Deux permutations à supports disjoints commutent
- C26.12 - Ordre d'une permutation de \( (S_n , \circ) \)
- C26.13 - Exemple de calcul de l'ordre d'une permutation
- C26.14 - Si la puissance \(k\)-ième d'une permutation \( \sigma \) égale l'identité
alors l'ordre de \( \sigma \) divise \( k \).
- C26.16 - Ordre du produit de deux permutations à supports disjoints
- C26.17 - Exemple du calcul de l'ordre du produit de deux permutations à supports disjoints
- C26.18 - Définition d'un cycle
- C26.19 - Dénombrement des \(p\)-cycles de \( (S_n , \circ) \)
- C26.20 - Inverse, puissances et ordre d'un cycle
[424] - Séance du Mercredi 7 juin (2h)
-
Chapitre 24 - Matrices (fin)
- C24.66 - Endomorphisme associé à une matrice extraite et rang d'une matrice extraite
- TD24.2 - Factorisation d'une matrice de rang 1
- TD24.4 - Endomorphisme d'un espace de polynômes
- C24.79 - Deux matrices carrées semblables sont équivalentes, donc ont même rang
- Exemple de deux matrices carrées ayant même rang, sans être semblables
- C24.80 - Exemple de deux matrices non semblables car de rangs différents
- C24.81 - Définition de la trace d'un endomorphisme d'un \( \mathbb{K} \)-espace vectoriel de dimension finie
- C24.82 - Propriétés de la trace d'un endomorphisme d'un \( \mathbb{K} \)-espace vectoriel de dimension finie
-
Chapitre 26 - Groupe symétrique et déterminant (début)
- C26.2 - Définition du groupe des permutations de \( \{ 1 , \ldots , n \} \)
- C26.3 - Tout groupe fini de cardinal \( n \) est isomorphe à un sous groupe de
\( \left( S_n , \circ \right) \).
- C26.4 - Écriture d'une permutation de \( \{ 1 , \ldots , n \} \) comme une matrice de format \( (2,n) \)
- C26.5 - Description en extension de \( S_3 \)
- C26.6 - Exemples de calculs dans \( ( S_4 , \circ ) \)
- Calcul d'un cube dans \( ( S_9 , \circ ) \)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C24.83 - Pour un projecteur d'un \( \mathbb{K} \)-espace vectoriel de dimension finie, la trace et le rang
coïncident.
Indication : représenter le projecteur par sa matrice dans une base agréable.
[422] - Séance du Mardi 6 juin (2h)
-
Chapitre 24 - Matrices (suite)
- C24.64 - Rang d'une matrice et suppresion de colonnes/lignes
- C24.68 - Caractérisation du rang d'une matrice par ses matrices extraites
- C24.70 - Définition de deux matrices carrées semblables
- C24.71 - Une matrice de \( \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) \) semblable à \( I_n \) égale \( I_n \)
- C24.72 - La relation \( \sim \) sur \( \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) \) est une relation d'équivalence
- C24.73 - Deux matrices carrées distinctes sont semblables
si et seulement si
elles représentent le même endomorphisme dans des bases différentes.
- C24.74 - Réduction d'une matrice carrée dont le carré égale la matrice identité
- C24.76 - Définition de la trace d'une matrice carrée
- C24.77 - Propriétés de la trace d'une matrice carrée
- C24.78 - Exemple de deux matrices non semblables car de traces différentes
- Exemple de deux matrices non semblables mais de même trace
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C24.66 - Endomorphisme associé à une matrice extraite et rang d'une matrice extraite
- TD24.2 - Factorisation d'une matrice de rang 1
- TD24.4 - Endomorphisme d'un espace de polynômes
[420] - Séance du Lundi 5 juin (6h)
-
Chapitre 24 - Matrices (suite)
- C24.46 - Fin de la diagonalisation et calcul des puissances de la matrice
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
- C24.47 - Diagonalisation guidée de la matrice
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\]
- C24.51 - Représentation d'une application linéaire par une matrice de Jordan
- C24.52 - Représentation de l'application linéaire
\[ \left| \; \begin{array}{rcl}
\mathbb{R}^4 & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\
(x_1,x_2,x_3,x_4) & \longmapsto & (x_1 + x_2 , 2x_1+2x_2-x_3-x_4 , x_3+x_4)
\end{array} \right. \]
par une matrice de Jordan
- C24.53 - Définition de deux matrices équivalentes
- C24.54 - La relation \( \equiv \) est une relation d'équivalence sur
\( \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \)
- C24.55 - Deux matrices distinctes de même format sont équivalentes
si et seulement si
elles représentent la même application linéaire dans des couples de bases différents.
- C24.56 - Rang d'une matrice et classe d'équivalence d'une matrice de Jordan
- C24.57 - Caractérisation des matrices équivalentes par le rang
- C24.58 - Les classes des matrices de Jordan
forment une liste exhaustive et sans répétition
des classes d'équivalence pour la relation \( \equiv \)
sur \( \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \)
- C24.59 - Les matrices
\[
A := \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 0 & 2 & 2 \\
3 & 8 & 5 & 7
\end{pmatrix}
\quad \text{ et } \quad
B := \begin{pmatrix}
4 & 0 & 1 & 1 \\
3 & 3 & 4 & 2 \\
1 & 2 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\]
sont équivalentes.
- C24.60 - Le rang d'une matrice égale celui de la transposée.
- C24.61 - Définition d'une matrice extraite d'une matrice
- C24.62 - Exemples de matrices extraites de format (2,2) de la matrice
\[ \begin{pmatrix}
1 & 2 & 7 & -1 \\
5 & -3 & 4 & 6 \\
9 & 0 & -2 & 8
\end{pmatrix} \]
- C24.63 - Si \( A_{\alpha,\beta} \) est une matrice extraite d'une matrice \( A \),
alors \( \operatorname{rg} \left( A_{\alpha,\beta} \right) \leqslant \operatorname{rg}(A) \).
- C24.64 - Caractérisation des matrices dont le rang est strictement inférieur à \( r \)
par les matrices extraites
-
Devoir surveillé n°12
- Formule de Wald
- Inégalités de Hölder et de Young
- Une condition suffisante de diagonalisabilité
[414] - Séance du Vendredi 2 juin (4h)
-
Compléments sur le chapitre 23 - Probabilités
- TD23.45 - Bornes pour l'espérance et la variance (fin de résolution)
-
Chapitre 24 - Matrices (suite)
- C24.26 - Invariance du rang d'une matrice par multiplication par une matrice inversible
- C24.27 - Calcul du rang d'une matrice par l'algorithme du pivot de Gauß
- C24.28 - Rang et une base de l'image de la matrice
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -7 & 8 & 9 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 7 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
- C24.29 - Rang et une base de l'image de la matrice
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
\]
- C24.30 - Critères d'inversibilités d'une matrice
- C24.31 - La somme de la matrice identité et d'une matrice nilpotente est inversible
- Exemple d'un endomorphisme nilpotent de \( \mathbb{R}^3 \) de nilindice 3, à l'aide d'une matrice
- Exemple d'endomorphisme de \( \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \) inversible à gauche mais pas à droite
- C24.32 - Inversibilité à droite, inversibilité à gauche et inversibilité pour une matrice
- C24.33 - Détermination des éléments propres de la matrice
\[
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]
- C24.39 - Définition de la matrice de passage d'une base à une autre
- C24.40 - Calcul des deux matrices de changement de base entre deux bases de \( \mathbb{R}^3 \)
- C24.41 - Inversibilité et inverse d'une matrice de passage
- C24.42 - Inversibilité et inverse de la matrice
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & -1 \\
-1 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\]
- C24.43 - Effet d'un changement de base sur la matrice d'un vecteur
- C24.44 - Effet d'un changement du couple de bases sur la matrice d'une application linéaire
- C24.45 - Effet du changement de base sur la matrice d'un endormorphisme
- C24.46 - Diagonalisation guidée et calcul des puissances de la matrice
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
(début de résolution)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C24.46 - Achever la résolution à l'aide des indications
- C24.47 - Diagonalisation guidée de la matrice
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\]
[410] - Séance du Jeudi 1er juin (2h)
-
Chapitre 24 - Matrices (suite)
- C24.13 - Étude d'une application linéaire de \( \mathbb{R}_2[X] \) dans \( \mathbb{R}^4 \) donnée par sa matrices dans les bases canoniques
- C24.14 - Composée d'applications linéaires versus produit de matrices
- C24.15 - Isomorphisme fondamental de \( \mathcal{L}(E) \) sur \( \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \)
- C24.16 - Puissance d'une matrice de symétrie vectorielle dans une base
- C24.18 - Lien entre matrices inversibles et isomorphismes
- C24.19 - L'application
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{R}_n[X] & \to & \mathbb{R}_n[X] \\
P & \longmapsto & P + P'
\end{array} \right. \]
est un automorphisme.
- C24.21 - Application linéaire canoniquement associée à une matrice
- C24.22 - Noyau d'une matrice
- C24.23 - Image d'une matrice
- C24.24 - Rang d'une matrice
- C24.25 - Rappel sur l'invariance du rang d'une application linéaire lorsqu'on la compose à droite ou à gauche par un isomorphisme
[408] - Séance du Mercredi 31 mai (2h)
-
Chapitre 24 - Matrices (suite)
- C24.5 - Exemples de calculs de matrices de vecteurs de \( \mathbb{R}_n[X] \) dans des bases, où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C24.6 - Définition de la matrice d'une application linéaire dans un couple de bases
- C24.7 - Calcul des matrices d'une application linéaire de \( \mathbb{R}^3 \) dans \( \mathbb{R}^2 \) dans des couples de bases
- C24.8 - Définition de la matrice d'un endomorphisme dans une base
- C24.9 - Calcul de la matrice d'une similitude de \( \mathbb{C} \) vu comme \( \mathbb{R} \)-espace vectoriel dans la base \( (1,i) \)
- C24.10 - Calcul des matrices d'une projection de \( \mathbb{R}^3 \) dans des bases
- C24.11 - Coordonnées de l'image d'un vecteur par une application linéaire
- C24.12 - Isomorphisme fondamental de \( \mathcal{L}(E,F) \) sur \( \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- Étudier les démonstrations de C24.11 et C24.12, écrites dans le polycopié de cours
[406] - Séance du Mardi 30 mai (2h)
-
Compléments sur le chapitre 23 - Probabilités
- TD23.43 - Matrice des covariances
- TD23.45 - Bornes pour l'espérance et la variance (début de résolution)
-
Compléments sur le chapitre 25 - Fonctions convexes
- C25.41 - Inégalité de Hölder
- C25.39 - Matrices bistochastiques
- TD25.1 - Inégalité de Jensen pour les intégrales
- TD25.6 - De la convexité de la fonction \( x \longmapsto x \cdot \ln \left( 1 + e^x \right) \)
- TD25.8 - Fonction convexe de limite nulle en \( + \infty \)
- TD25.9 - Encadrement de l'intégrale d'une fonction convexe sur un segment
[404] - Séance du Vendredi 26 mai (2h)
-
Chapitre 25 - Fonctions convexes (fin)
- C25.24 - Une fonction définie sur \( \mathbb{R} \), convexe et bornée est constante.
- C25.31 - \( \exp \) est convexe sur \( \mathbb{R} \),
\( \ln \) est concave sur \( \mathbb{R} \)
et
\( \sin \) est concave sur \( \left[ 0 , \dfrac{\pi}{2} \right] \).
- C25.32 - Position du graphe d'une fonction dérivable convexe par rapport à ses tangentes
- C25.26 - Une fonction convexe sur un intervalle \( I \) est dérivable à droite et à gauche en tout point \( a \in \overset{\circ}{I} \),
donc continue en tout point \( a \in \overset{\circ}{I} \).
- C25.27 - Une fonction convexe sur \( \mathbb{R} \) n'est pas nécessairement dérivable sur \( \mathbb{R} \) (cf. valeur absolue).
- C25.28 - Une fonction convexe sur un segment n'est pas nécessairement continue sur le segment (cf. contre-exemple graphique).
- C25.34 - Inégalité de convexité pour \( \exp \)
- C25.35 - Inégalité de concavité pour \( \ln \)
- C25.36 - Inégalité de concavité pour \( \sin \)
- C25.37 - Inégalité arithmético-géométrique
- C25.40 - Inégalité de Young
-
Chapitre 24 - Matrices (début)
- C24.2 - Matrice d'un vecteur dans une base
- C24.3 - Isomorphisme entre \( \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}) \) et \( E \),
où \( E \) est un \( \mathbb{K} \)-espace vectoriel de dimension \( n \geqslant 1 \) muni d'une base \( \mathcal{B} \)
- C24.4 - Exemples de calculs de matrices de vecteurs de \( \mathbb{R}^3 \) dans des bases
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- Revoir le chapitre 14 - Calcul matriciel et systèmes linéaires
- Revoir le chapitre 18 - Espaces vectoriels
- Revoir le chapitre 19 - Espaces vectoriels de dimension finie
- Revoir le chapitre 20 - Applications linéaires
- TD23.43 - Matrice des covariances
- C25.41 - Inégalité de Hölder
- TD23.45 - Bornes pour l'espérance et la variance
- C25.39 - Matrices bistochastiques
- C25.22 - Argmax d'une fonction continue et convexe sur un segment
- C25.25 - Fonction convexe sur un intervalle atteignant un minimum local en un point intérieur
- TD25.1 - Inégalité de Jensen pour les intégrales
- TD25.6 - De la convexité de la fonction \( x \longmapsto x \cdot \ln \left( 1 + e^x \right) \)
- TD25.8 - Fonction convexe de limite nulle en \( + \infty \)
- TD25.9 - Encadrement de l'intégrale d'une fonction convexe sur un segment
- TD25.14 - Fonction concave et sous-additivité
- TD25.18* - Caractérisation de la continuité à l'aide des milieux
[402] - Séance du Jeudi 25 mai (2h)
-
Complément sur le chapitre 23 - Probabilités
- Démonstration de l'inégalité de Markov à l'aide d'une fonction indicatrice
- C23.106 - Une application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
-
Chapitre 25 - Fonctions convexes (suite)
- C25.12 - La fonction inverse est convexe sur \( ] 0 , + \infty [ \)
- C25.15 - Si \( n \geqslant 2 \) et
\( (x_1,\ldots,x_n) \in \left( \mathbb{R}_{>0} \right)^n \) alors
\[
\left(\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{x_i} \right)
\cdot
\left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \geqslant n^2
\]
- C25.13 - Une propriété de stabilité des intervalles
- C25.17 - Caractérisation de la convexité d'une fonction par l'inégalité des trois pentes
- C25.28 - Caractérisation de la convexité d'une fonction par la croissance de toutes les fonctions pentes
- C25.19 - Position d'une courbe de fonction convexe par rapport à ses sécantes
- C25.20 - Caractérisation des fonctions dérivables convexes (resp. deux fois dérivables convexes)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C25.24 - Une fonction définie sur \( \mathbb{R} \), convexe et bornée est constante.
[400] - Séance du Mercredi 24 mai (4h)
-
Chapitre 23 - Probabilités (fin)
- TD23.37 - Calcul de l'indicatrice d'Euler par voie probabiliste
- Calcul de \( E \left( \dfrac{1}{1+X} \right) \)
si \( X \) suit la loi de binomiale de paramètre
\( (n,p) \in \mathbb{N}^* \times \, ]0,1[ \)
- C23.93 - Définition de la covariance de deux variables aléatoires réelles
- C23.94 - La covariance est une forme bilinéaire, symétrique, positive, non définie en général
- C23.95 - Inégalité de Cauchy-Schwarz pour la covariance
- C23.96 - Définition de deux variables aléatoires décorrélées
- C23.97 - Formule de Koenig-Huygens pour la covariance
- C23.98 - L'indépendance entraîne la décorrélation, mais la réciproque est fausse.
- C23.99 - Variance d'une somme d'un nombre fini de variables aléatoires
- C23.100 - Détermination de l'espérance et de la variance
d'une variable aléatoire \( X \) suivant la loi binomiale de paramètre \( (n,p) \in \mathbb{N}^* \times \, ]0,1[ \)
en écrivant \( X \) comme une somme d'un nombre fini de variables
indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre \( p \)
- C23.101 - Inégalité de Markov
- C23.103 - Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
- C23.104 - Loi faible des grands nombres
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C25.12 - La fonction inverse est convexe sur \( ] 0 , + \infty [ \)
- C25.15 - Si \( n \geqslant 2 \) et
\( (x_1,\ldots,x_n) \in \left( \mathbb{R}_{>0} \right)^n \) alors
\[
\left(\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{x_i} \right)
\cdot
\left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \geqslant n^2
\]
- C23.106 - Une application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
[396] - Séance du Mardi 23 mai (2h)
-
Chapitre 23 - Probabilités (suite)
- C23.77 - Propriétés de l'espérance
- C23.78 - Si \( X \) est variable aléatoire réelle
telle que \( X \geqslant 0 \) et \( E(X) = 0 \) alors l'événement \( (X=0) \)
est presque sûr.
- C23.79 - Formule de transfert
- C23.80 - Si \( X, Y \) sont deux variables aléatoires à valeurs complexes,
alors expression de \( E(XY) \) en fonction de la loi conjointe du couple
\( (X,Y) \)
et
cas particulier où \( X , Y \) sont indépendantes.
- C23.81 - Espérance de l'image d'un uplet de variables aléatoires
- C23.82 - Espérance du produit d'un nombre fini de variables aléatoires complexes indépendantes
- C23.83 - Exemple de deux variables aléaroires décorrélées, mais non indépendantes
- C23.85 - Définition de la variance et de l'écart type d'une variable aléatoire réelle
- C23.86 - Variance et écart type sont des indicateur de dispersion autour de la moyenne
- C23.87 - Si \( X \) est une variable aléatoire réelle de variance nulle,
alors l'événement \( (X=E(X)) \) est presque sûr.
- C23.88 - Définition d'une variable aléatoire réduite
- C23.89 - Effet d'une transformation affine sur la variance
- C23.90 - Si \( X \) est une variable aléatoire d'écart type strictement positif,
alors \( \dfrac{X - E(X)}{\sigma(X)} \) est centrée réduite.
- C23.91 - Formule de Koenig-Huygens pour la variance
- C23.92 - Variances des lois usuelles
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD23.37 - Calcul de l'indicatrice d'Euler par voie probabiliste
[394] - Séance du Lundi 22 mai (6h)
-
Devoir surveillé n°11
- Calcul de \( \zeta(2) \) à l'aide du lemme de Riemann-Lebesgue
- Formule d'inversion de Pascal et applications aux nombres de surjections et de dérangements
- Loi hypergéométrique
-
Chapitre 25 - Fonctions convexes (début)
- C25.1 - Traduction formelle de l'assertion
« la courbe d'une fonction définie sur un intervalle est au-dessous de toutes ses cordes »
- C25.2 - Définitions d'une fonctions convexes et d'une fonction concave
- C25.3 - Représentations graphiques de fonctions convexes (resp. concaves, ni concaves ni convexes)
- C25.4 - Une fonction est convexe si et seulement si son opposé est concave
- C25.5 - La fonction carrée est convexe sur \( \mathbb{R} \)
- C25.6 - Inégalité de Jensen
- C25.7 - Pour tout \( n \geqslant 2 \), pour tout \( (x_1,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n \)
\[
\left( \sum_{k=1}^n x_i \right)^2
\leqslant
n \cdot \sum_{k=1}^n x_k^2
\]
- C25.8 - Inégalité des 3 pentes
- Inégalité arithmético-géométrique en supposant \( \ln \) concave sur \( \mathbb{R}_{>0} \)
[388] - Séance du Mercredi 17 mai (4h)
-
Chapitre 23 - Probabilités (suite)
- C23.56 - Conditionnnement d'une loi binomiale par une autre loi binomiale
- C23.57 - Définition de la loi conjointe et des lois marginales d'un couple de variables aléatoires
- C23.58 - Méthode pour déterminer la loi d'un couple
- C23.59 - Tableau de la loi conjointe du couple \( ( D_1 , D_2 ) \), où \( D_1 , D_2 \) égalent les chiffres amenés par le lancer de deux dés équilibrés à 4 faces
- C23.60 - La loi conjointe détermine les lois marginales
- C23.61 - Définition de la loi conjointe d'un uplet de variables aléatoires
- C23.63 - Définition de l'indépendance de deux variables aléatoires
- C23.64 - Critère pour l'indépendance de deux variables aléatoires
- C23.65 - Les images de deux variables aléatoires indépendantes restent indépendantes.
- C23.66 - Indépendance d'une famille finie de variables aléatoires
- C23.67 - Critère pour l'indépendance d'une famille finie de variables aléatoires
- C23.68 - Somme d'un nombre fini de variables aléatoires indépendantes, de même loi de Bernoulli
- C23.69 - Lemme des coalitions
- C23.70 - Définition de l'espérance d'une variable aléatoire finie
- C23.71 - Expression de l'espérance à l'aide de la probabilité de l'univers fini
- C23.72 - Définition d'une variable aléatoire centrée
- C23.73 - Espérance d'une variable aléatoire de loi uniforme sur \( [[a,b]] \) où
\(a,b\) sont des entiers tels que \( a < b \)
- C23.74 - Espérance d'une variable aléatoire finie suivant une loi usuelle
- C23.75 - Espérance d'une indicatrice d'événement
- C23.76 - Si \( X \) est une variable aléatoire à valeurs dans \( [[0,n]] \)
où \( n \in \mathbb{N}^* \) alors
\[
E(X) = \sum_{k=0}^{n-1} P(X>k)
\]
[384] - Séance du Lundi 15 mai (4h)
-
DL17
- Théorème de Lagrange pour les groupes finis
- Si \( g \) est un élément d'un groupe fini \( G \), alors l'ordre de \( g \) divise \( \operatorname{card}(G) \).
- Ouverture sur un théorème de Cauchy et un des théorèmes de Sylow pour les groupes finis.
-
Chapitre 23 - Probabilités (suite)
- C23.50 - Loi du nombre de succès lors de \( n \) répétitions indépendantes d'une expérience de Bernoulli de probabilité de succès \( p \),
où \( (n,p) \in \mathbb{N}^* \times \, ]0,1[ \)
- C23.51 - Définition de la loi de binomiale de paramètre \( (n,p) \in \mathbb{N}^* \times \, ]0,1[ \)
- C23.52 - La loi \( \mathcal{B}(1,p) \) est la loi \( \mathcal{B}(p) \), où \( p \in ]0,1[ \)
- C23.53 - Situation de reconnaissance d'une loi binomiale
- C23.54 - Loi du nombre de Face obtenus lors de 100 lancers d'une pièce équilibrée
- C23.55 - Loi du nombre de boules rouges obtenues lors de 10 tirages avec remise d'une boule dans une urne contenant un boule rouge et cinq boules noires
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C23.56 - Conditionnnement d'une loi binomiale par une autre loi binomiale
- C23.59 - Tableau de la loi conjointe du couple \( ( D_1 , D_2 ) \), où \( D_1 , D_2 \) égalent les chiffres amenés par le lancer de deux dés équilibrés à 4 faces
[380] - Séance du Samedi 13 mai (4h)
-
Complément sur le chapitre 22 - Dénombrement
- TD22.13 - Nombre de \(p\)-uplets de \([[1,n]] \) croissants,
où \( (n,p) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^* \)
-
Chapitre 23 - Probabilités (suite)
- C23.26 - Lois de la somme et du maximum des chiffres amenés par deux dés équilibrés à 4 faces numérotées de 1 à 4
- C23.27 - Définition de l'égalité en loi de deux variables aléatoires
- C23.28 - Exemple de deux variables aléatoires distinctes bien qu'egales en loi
- C23.29 - La loi d'une variable aléatoire image d'une variable aléatoire \( X \) est entièrement déterminée par la loi de \( X \).
- C23.30 - Si deux variables aléatoires sont égales en loi alors leurs images par une même applications sont également égales en loi.
- C23.32 - Définition de la loi uniforme sur un ensemble fini non vide
- C23.33-34 - Deux exemples de variables aléaloires suivant une loi uniforme sur un ensemble fini non vide
- C23.35 - Définition d'une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre \( p \in \, ]0,1[ \)
- C23.36 - Terminologie associée à une loi de Bernoulli (succès et échec)
- C23.37 - Situation de reconnaissance d'une loi de Bernoulli
- C23.38 - Probabilité de l'échec pour une variable aléatoire de loi \( \mathcal{B}(p) \), où \( p \in \, ]0,1[ \)
- C23.39 - Exemple d'une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli
- C23.41 - Si \( A \) est un événement d'un espace probabilisé fini \( ( \Omega , P ) \) tel que \( 0 < P(A) < 1 \)
alors l'indicatrice de \( A \) suit la loi \( \mathcal{B}(P(A)) \).
- C23.42 - Définition de deux événements indépendants
- C23.43 - Traduction de l'indépendance de deux événements en termes de probabilités conditionnelles
- C23.44 - Indépendance de deux événements et événements contraires
- C23.45 - Définition d'une famille finie d'événements indépendants
- C23.46 - Exemple de trois événements d'un espace probabilisé fini qui sont deux-à-deux indépendants mais non indépendants
- C23.47 - Famille finie d'événements indépendants et événements contraires
- C23.49 - Un pas vers les lois binomiales:
probabilité d'avoir 4 Pile lorsqu'on lance 10 fois une pièce ayant probabilité \( p \in \, ]0,1[ \) de donner Pile
-
Interrogation de cours n°27
- Définition d'une probabilité sur un univers fini non vide
- Quatre propriétés d'une probabilité
- Formule des probabilités composées
- Formule des probabilités totales
-
Devoir libre
- DL17 :
Théorème de Lagrange pour les groupes finis,
ordre d'un élément dans un groupe fini
[376] - Séance du Vendredi 12 mai (2h)
-
Complément sur le chapitre 22 - Dénombrement
- TD22.13 - Nombre de \(p\)-uplets de \([[1,n]] \) strictement croissants (resp. dont la somme des composantes vaut \( n \)),
où \( n \in \mathbb{N}^* \) et \( p \in [[1,n]] \)
-
Chapitre 23 - Probabilités (suite)
- TD23.1 - Produit des chiffres d'un nombre à huit chiffres
- TD23.2 - Parité dans deux classes prépa
- C23.23 - Qualité d'un test de dépistage d'une maladie
- C23.24 - Loi d'une variable aléatoire
- C23.25 - Protocole pour déterminer la loi d'une variable aléatoire
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD22.13 - Nombre de \(p\)-uplets de \([[1,n]] \) croissants,
où \( (n,p) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^* \)
- C23.26 - Lois de la somme et du maximum des chiffres amenés par deux dés équilibrés à 4 faces numérotées de 1 à 4
[374] - Séance du Jeudi 11 mai (2h)
-
Complément sur le chapitre 22 - Dénombrement
- TD22.2 - Cardinal de la réunion de trois parties d'un ensemble fini
-
Chapitre 23 - Probabilités (suite)
- C23.12 - Modélisation d'une expérience aléatoire mettant en jeu une urne et calcul d'une probabilité
- C23.13 - Définition d'une probabilité conditionnelle
- C23.14 - Justification de la définition d'une probabilité conditionnelle
- C23.15 - Une probabilité conditionnelle est une probabilité
- C23.16 - Convention pour une probabilité conditionnelle relativement à un événement négligeable
- C23.17 - Formule des probabilités composées
- C23.18 - Modèle d'urne à composition variable
- C23.19 - Formule des probabilités totales relativement à un système complet d'événements
- C23.20 - Lancer d'une pièce suivi d'un tirage d'une boule dans une urne parmi deux
- C23.21 - Lancer d'un dé suivi d'une répétition de lancers de pièce
- C23.22 - Formule de Bayes
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD23.1 - Produit des chiffres d'un nombre à huit chiffres
- TD23.2 - Parité dans deux classes prépa
[372] - Séance du Mercredi 10 mai (2h)
-
Complément sur le chapitre 22 - Dénombrement
- TD22.12 - Formule de Vandermonde ou des comités pour les coefficients binomiaux
- TD22.15 - Formule du capitaine pour les coefficients binomiaux
- TD22.16 - Formule des colonnes pour les coefficients binomiaux
-
Chapitre 23 - Probabilités (suite)
- C23.2 - Système complet d'événements canoniquement associé à une variable aléaroire \( X \colon \Omega \longrightarrow E \),
où \( \Omega \) est un ensemble fini et \( E \) un ensemble quelconque
- C23.6 - Définition d'une distribution de probabilités sur un ensemble fini non vide
- C23.7 - Distribution de probabilités uniforme sur un ensemble fini non vide
- C23.8 - Probabilité versus distribution de probabilités sur un ensemble fini non vide
- C23.9 - Exemple de calcul de la probabilité d'un événement dans le cas où la probabilité provient d'une distribution de probabilités
et sommes géométriques
- C23.10 - Propriétés d'une probabilité
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD22.2 - Cardinal de la réunion de trois parties d'un ensemble fini
- C23.12 - Modélisation d'une expérience aléatoire mettant en jeu une urne et calcul d'une probabilité
[370] - Séance du Mardi 9 mai (2h)
-
Complément sur le chapitre 21 - Intégration
- TD21.25 - Changement de variable et intégration d'une fonction rationnelle
- TD21.27 - Étude d'une fonction définie par une intégrale
- TD21.36 - Sommes de Riemann et restes de divisions euclidiennes.
-
Complément sur le chapitre 22 - Dénombrement
- TD22.7 - Somme des cardinaux de toutes les parties et variante
- TD22.11 - Anagrammes
-
Chapitre 23 - Probabilités (début)
- C23.1 - Vocabulaire des probabilités
- C23.3 - Définition d'une probabilité sur un ensemble fini et d'un espace probabilisé fini
- C23.4 - Définition de la probabilité uniforme sur un ensemble fini
- C23.5 - Propriétés immédiates d'un espace probabilisé fini
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD22.12 - Formule de Vandermonde ou des comités pour les coefficients binomiaux
- C23.2 - Système complet d'événements canoniquement associé à une variable aléaroire \( X \colon \Omega \longrightarrow E \),
où \( \Omega \) est un ensemble fini et \( E \) un ensemble quelconque
[368] - Séance du Vendredi 5 mai (2h)
-
Complément sur le chapitre 21 - Intégration
- TD21.29 - Développement asymptotique de \( u_n := \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{1+x^n} \operatorname{d} x \)
avec précision \( \dfrac{1}{n} \)
-
Chapitre 22 - Dénombrement (fin)
- C22.30 - Définition d'une \( p \)-combinaison d'un ensemble, où \( p \in \mathbb{N}^* \)
- C22.31 - Nombre de \( p \)-combinaisons d'un ensemble fini, où \( p \in \mathbb{N}^* \)
- C22.21 - Preuve combinanoire de
\[
\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n
\]
où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C22.22 - Preuve combinatoire de la formule du binôme de Newton dans un anneau
- TD22.3 - Nombre de partitions à deux éléments d'un ensemble fini
- TD22.9 - Formule du multinôme avec preuve combinatoire
-
Interrogation de cours n°26
- Définition d'un ensemble fini et du cardinal d'un tel
- Cardinal d'une partie d'un ensemble fini
- Ensemble des applications entre deux ensembles finis
- Cardinal d'une réunion de deux parties d'un ensemble fini
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD21.25 - Changement de variable et intégration d'une fonction rationnelle
- TD21.27 - Étude d'une fonction définie par une intégrale
- TD21.36 - Sommes de Riemann et restes de divisions euclidiennes.
Attention: la fonction
\[
f
\quad
\left|
\begin{array}{ccc}
[0,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto &
x \cdot E(1/x)
\end{array}
\right.
\]
n'est pas Riemann-intégrale sur \( [0,1] \). Pourquoi ?
- TD22.7 - Somme des cardinaux de toutes les parties et variante
- TD22.11 - Anagrammes
[366] - Séance du Jeudi 4 mai (2h)
-
Complément sur le chapitre 21 - Intégration
- TD21.32 - Convergence et somme de la série harmonique alternée
-
Chapitre 22 - Dénombrement (suite)
- C22.24 - Finitude et cardinal de l'ensemble des applications d'un ensemble fini dans un autre
- C22.25 - Finitude et cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini
- C22.26 - Nombre de \(p\)-uplets sans répétition d'éléments d'un ensemble fini, où \( p \in \mathbb{N}^* \)
- C22.27 - Nombre d'injections d'un ensemble fini dans un autre
- C22.28 - Nombre de permutation d'un ensemble fini
- C22.29 - Nombre de surjections de \( [[1,n+1]] \) dans \( [[1,n]] \), où \( n \in \mathbb{N}^* \)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD21.29 - Développement asymptotique de \( u_n := \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{1+x^n} \operatorname{d} x \)
avec précision \( \dfrac{1}{n} \)
[364] - Séance du Mercredi 3 mai (4h)
-
Complément sur le chapitre 21 - Intégration
- TD21.20 - Une inégalité de Kolmogorov
- TD21.34 - Équivalent de
\[
\sum_{k=1}^n \sqrt{k}
\]
lorsque \( n \) tend vers \( + \infty\)
- TD21.35 - Limites éventuelles de
\[
u_n := \left( \prod_{k=1}^n \left( 1 + \dfrac{k}{n} \right) \right)^{1/n}
\quad \text{ et } \quad
v_n := \left( \prod_{k=1}^n \left( 1 + \dfrac{k}{n^2} \right) \right)^{1/n}
\]
lorsque \( n \) tend vers \( + \infty\)
-
Chapitre 22 - Dénombrement (suite)
- C22.4 - Énumération d'un ensemble fini non vide
- C22.5 - Finitude et cardinal de \( [[a,b]] \) où \(a,b\) sont des entiers relatifs tels que \( a \leqslant b \)
- Paradoxe de Russel en théorie des ensembles
- C22.6 - Ensembles équipotents
- C22.8 - Finitude et cardinal de deux ensembles équipotents
- C22.9 - Inégalités entre cardinaux d'ensembles finis
- C22.10 - Principe des tiroirs et une application en arithmétique
- C22.11 - Finitude et cardinal d'une partie de \([[1,n]]\), où \( n \) est un entier naturel non nul
- C22.12 - Si \( f \colon E \rightarrow F \) est une application injective alors pour toute partie \( A \) de \( E \),
\( f^{-1}(f(A)) = A \)
- C22.13 - Finitude et cardinal d'une partie d'un ensemble fini
- C22.14 - Caractérisation des bijections entre deux ensembles finis de même cardinal
- C22.15 - Une application injective \([[1,n]]\) dans \([[1,n]]\)
est une permutation de \([[1,n]]\),
où \( n \) est un entier naturel non nul
- C22.16 - Cardinal d'une réunion disjointe de parties d'un ensemble fini
- C22.17 - Si \( E \) est un ensemble fini non vide, \( F \) est un ensemble, \( f \colon E \rightarrow F \) est une application surjective
dont toutes les fibres ont même cardinal alors \( F \) est fini et \( |F| \) divise \( |E| \).
- C22.19 - Cardinal du complémentaire d'une partie d'un ensemble fini
- C22.20 - Cardinal de la différence de deux parties d'un ensemble fini
- C22.21 - Cardinal d'une réunion de deux parties d'un ensemble fini
- C22.22 - Formule du crible de Poincaré
- C22.23 - Finitude et cardinal du produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles finis
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD21.32 - Convergence et somme de la série harmonique alternée
[360] - Séance du Mardi 2 mai (2h)
-
Retour sur l'interrogation de cours n°24
- Lien entre injectivité et surjectivité pour une application linéaire entre deux espaces vectoriels de même dimension finie
-
Retour sur le DL16
- Correction de l'exercice 1 - Étude d'une fonction définie par une intégrale
-
Complément sur le chapitre 21 - Intégration
- TD21.38 - Intégrale d'une fonction continue, séparation et point fixe
- TD21.47 -
\(
\displaystyle \int_x^{2x} \dfrac{e^t}{t} \; \operatorname{d}t
\underset{x \rightarrow 0}{\longrightarrow}
\ln(2)
\)
-
Chapitre 22 - Dénombrement (début)
- C22.1 - Existence d'une injection/surjection/bijection entre \( [[ 1 , n ]] \) et \( [[ 1 , m ]] \)
où \( n , m \) sont des entiers naturels non nuls.
- C22.3 - Définition d'un ensemble fini et du cardinal d'un tel
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD21.20 - Une inégalité de Kolmogorov
[358] - Séance du Samedi 15 avril (4h)
-
Chapitre 21 - Intégration (fin)
- C21.74 - Formule de Taylor avec reste intégral
- C21.75 - Comportement asymptotique de la suite
\[
\left( u_n := \sum_{k=1}^n
\sin \left( \dfrac{k}{n} \right)
\cdot
\sin \left( \dfrac{k}{n^2} \right)
\right)_{n\in\mathbb{N}^*}
\]
- C21.76 - Inégalité de Taylor-Lagrange
- C21.77 - Pour tout \( x \in \mathbb{R} \)
\[ \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}
\underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \exp(x)
\]
- C21.79 - Définition d'une fonction continue par morceaux sur un segment
- C21.80 - La fonction
\[
f
\quad
\left|
\begin{array}{ccc}
[-1,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto &
\left\{\begin{array}{rcl}
1 & \text{ si } x=-1 \\
x & \text{ si } -1 < x < 0 \\
2 & \text{ si } x=0 \\
\sin(x) & \text{ si } 0< x <1 \\
-1 & \text{ si } x = 1
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
\]
est continue par morceaux.
- C21.81 - La fonction
\[
f
\quad
\left|
\begin{array}{ccc}
[-1,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto &
\left\{\begin{array}{rcl}
e^x & \text{ si } -1 \leqslant x \leqslant 0 \\
1/x & \text{ si } 0 < x \leqslant 1
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
\]
n'est pas continue par morceaux.
- C21.82 - Caractérisation des fonctions continues par morceaux
- C21.83 - La restriction de la fonction continue par morceaux à un segment \( S \) est continue par morceaux.
- C21.84 - La valeur absolue d'une fonction continue par morceaux est continue par morceaux.
- C21.87 - L'ensemble
\( \mathcal{C}\mathcal{M}([a,b],\mathbb{R}) \)
des fonctions continues par morceaux sur \( [a,b] \) est une sous-\( \mathbb{R} \)-algèbre de
\( \left( \mathcal{F}([a,b],\mathbb{R}) , + , \times , \cdot \; \right) \)
- C21.88 - Une composée de fonctions continues par morceaux n'est pas nécessairement continue par morceaux
- C21.89 - Riemann-intégrabilité et intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment
- C21.90 - Calcul de
\[ \int_{-2}^1 x \cdot \lfloor x \rfloor \;\operatorname{d}x \]
- C21.91 - Définition d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle
- C21.92 - La fonction partie entière est continue par morceaux sur \( \mathbb{R} \)
- C21.93 - L'intégrale des fonctions continues par morceaux sur un segment vérifie
- la relation de Chasles
- la linéarité
- la positivité
- la croissance
- l'inégalité triangulaire
- la propriété liant intégration et parité
- la propriété liant intégration et imparité
- la propriété liant intégration et périodicité
- la propriété sur les sommes de Riemann à gauche
- la propriété sur les sommes de Riemann à droite
- C21.94 - La fonction
\[
f
\quad
\left|
\begin{array}{ccc}
[-1,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto &
\left\{\begin{array}{rcl}
1 & \text{si} & x = 0 \\
0 & \text{si} & x \not= 0
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
\]
est continue par morceaux sur \( [-1,1] \),
positive sur sur \( [-1,1] \),
d'intégrale nulle sur \( [-1,1] \),
mais elle n'est pas identiquement nulle sur sur \( [-1,1] \).
- C21.95 - La fonction
\[
f
\quad
\left|
\begin{array}{ccc}
[-1,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto &
\left\{\begin{array}{rcl}
1 & \text{si} & x \geqslant 0 \\
-1 & \text{si} & x < 0
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
\]
est continue par morceaux sur \( [-1,1] \),
mais la fonction
\[
F
\quad
\left|
\begin{array}{ccc}
[-1,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto &
\displaystyle \int_0^x f(t) \;\operatorname{d}t = |x|
\end{array}
\right.
\]
n'est pas dérivable en 0.
-
Interrogation de cours n°25
- Définition d'une fonction Riemann-intégrable
- Propriétés fondamentales de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment
- Théorème sur les sommes de Riemann
- Propriété de séparation de l'intégrale pour les fonctions continues
-
Devoir libre
- DL16 :
Étude d'une fonction définie par une intégrale,
primitivation d'une fonction polynôme-exponentielle,
lemme de Riemann-Lebesgue,
lemme de Farkas,
transposée d'une application linéaire
[354] - Séance du Vendredi 14 avril (2h)
-
Chapitre 21 - Intégration (suite)
- C21.60 -
Comportement asymptotique de
\[
\left( u_n := \dfrac{1}{n} \cdot \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{k}{\sqrt{4n^2-k^2}} \right)_{n \in \mathbb{N}^*}
\]
- C21.64 - Une formule de la moyenne pour les intégrales
- Nouvelle démonstration de la propriété de séparation pour les intégrales de fonctions continues
via le théorème fondamental de l'analyse
- C21.65 - Lien entre primitives et intégrales
- C21.67 - Intégration par parties
- C21.68 - Changement de variables
- C21.69 - Équivalent de
\[
\sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac{1}{\sqrt{k}}
\]
- C21.70 - Étude de la fonction
\[
f
\quad
\left|
\;
\begin{array}{ccc}
\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto &
\displaystyle \int_x^{2x} e^{-t^2} \;\operatorname{d}t
\end{array}
\right.
\]
- C21.70 - Intégration et parité
- C21.71 - Intégration et périodicité
- C21.72 - Rappels sur la formule de Taylor exacte pour les polynômes
et la formule de Taylor-Young pour les fonctions.
[352] - Séance du Jeudi 13 avril (2h)
-
Chapitre 21 - Intégration (suite)
- C21.52 - Si \( f \in \mathcal{C}^0([a,b],\mathbb{R}) \) alors
\[
\left| \int_a^b f(x) \;\text{d}x \right|
=
\int_a^b \left|f(x)\right| \;\text{d}x
\quad
\Longleftrightarrow
\quad
\left( \; f \geqslant 0 \quad \text{ ou } \quad f \leqslant 0 \; \right)
\]
- C21.56 - Pour tout \( n \in \mathbb{N} \)
\[
W_n := \displaystyle \int_0^{\pi / 2} \cos^n(t) \;\operatorname{d}t > 0
\]
- C21.57 - Théorème sur les sommes de Riemann pour les fonctions continues sur un segment
- C21.58 - Comportement asymptotique de
\[
\displaystyle \left( u_n := \sum_{k=1}^n \dfrac{n}{n^2+k^2} \right)_{n \in \mathbb{N}^*}
\]
- C21.60 - Équivalent de
\[
u_n := \sum_{k=1}^n \sin \left( \dfrac{k}{n} \right)
\]
- C21.61 - Théorème fondamental de l'analyse
- C21.62 - Condition suffisante d'existence de primitive
- C21.63 - Valeur moyenne d'une intégrale
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C21.60 -
Comportement asymptotique de
\[
\left( u_n := \dfrac{1}{n} \cdot \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{k}{\sqrt{4n^2-k^2}} \right)_{n \in \mathbb{N}^*}
\]
- C21.64 - Une formule de la moyenne pour les intégrales
[350] - Séance du Mercredi 12 avril (4h)
-
Complément sur le chapitre 20 - Applications linéaires
- TD20.16 - Représentation d'une forme linéaire sur \( \mathbb{R}_n[X] \) où \( n \in \mathbb{N} \)
-
Chapitre 21 - Intégration (suite)
- C21.36 - La fonction racine carrée est uniformément continue mais non lipschitzienne sur \( \mathbb{R}_+ \)
- C21.39 - Théorème de Heine
- C21.42 - Définitions de
l'intégrale inférieure et de l'intégrale supérieure
d'une fonction bornée sur un segment
- C21.43 - Définition d'une fonction Riemann-intégrable et de l'intégrale d'une telle
- C21.44 - Cohérence des deux définitions d'intégrale pour une fonction en escalier
- C21.45 - Théorème d'approximation uniforme des fonctions continues sur un segment
par des fonctions en escalier
- C21.46 - Si \( x \in \mathbb{R} \) alors
\[
\left( \; \forall \, \varepsilon > 0 \quad | x | \leqslant \varepsilon \; \right)
\quad\Longrightarrow\quad
x=0
\]
- C21.47 - Une fonction continue continue sur un segment est Riemann-intégrable.
- La fonction
\[
f
\quad
\left|
\begin{array}{ccc}
[0,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto &
\left\{\begin{array}{rcl}
1 & \text{si} & x \in \mathbb{Q} \\
0 & \text{si} & x \in [0,1] \setminus \mathbb{Q}
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
\]
n'est pas Riemann-intégrable sur \( [0,1] \).
- C21.49 - Calcul des intégrales
\[
\int_0^1 x \;\operatorname{d}x
\quad,\quad
\int_0^1 x^2 \;\operatorname{d}x
\quad,\quad
\int_0^1 x^3 \;\operatorname{d}x
\]
à l'aide de la définition.
- C21.50 - Propriétés fondamentales de l'intégrale des fonctions continues sur un segment
- C21.21 - Propriété de séparation de l'intégrale des fonctions continues
- C21.53 - Extension de la définition d'intégrale lorsque la borne du bas est plus grande que la borne du haut
- C21.54 - Relation de Chasles et linéarité de l'intégrale de Riemann orientée
- C21.55 - Signe de la fonction
\[
f
\quad
\left|
\;
\begin{array}{ccc}
]0,1[ \; \cup \; ]1,+\infty[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto &
\displaystyle \int_x^{x^2} \dfrac{1}{\ln(t)} \;\operatorname{d}t
\end{array}
\right.
\]
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C21.52 - Si \( f \in \mathcal{C}^0([a,b],\mathbb{R}) \) alors
\[
\left| \int_a^b f(x) \;\text{d}x \right|
=
\int_a^b \left|f(x)\right| \;\text{d}x
\quad
\Longleftrightarrow
\quad
\left( \; f \geqslant 0 \quad \text{ ou } \quad f \leqslant 0 \; \right)
\]
[346] - Séance du Mardi 11 avril (2h)
-
Chapitre 21 - Intégration (début)
- C21.23 - Définition de l'intégrale d'une fonction en escalier
- C21.24 - Si \(a,b\) sont des réels tels que \( a < b \) alors \( \displaystyle \int_a^b 1 \;\operatorname{d}t = b-a \)
- C21.25 - Si \(a,b\) sont des réels tels que \( a < b \) et \( f \colon [a,b] \longrightarrow \mathbb{R} \) est nulle sauf en un nombre fini de points,
alors \( f \in \mathcal{E} \left([a,b] , \mathbb{R} \right) \) et \( \displaystyle \int_a^b f = 0 \).
- C21.26 - De la nullité de \( \displaystyle \int_a^b f \) pour une fonction \( f \in \mathcal{E} \left([a,b] , \mathbb{R} \right) \)
- C21.28 - Relation d'ordre partielle usuelle sur \( \mathcal{F} \left([a,b] , \mathbb{R} \right) \)
- C21.29 - Propriétés fondamentales de l'intégrale d'une fonction en escalier:
relation de Chasles,
linéarité,
positivité,
croissance,
inégalité triangulaire
- C21.30 - Définition d'une fonction uniformément continue sur un intervalle
- C21.31 - Comparaison des définitions formelles de continuité et d'uniforme continuité
- C21.32 - Une fonction uniformément continue est continue.
- C21.33 - La fonction carré est continue sur \( \mathbb{R} \) mais non uniformément continue sur \( \mathbb{R} \).
- C21.34 - Rappel sur la définition d'une application lipschitzienne
- C21.35 - Une fonction lipschitzienne est uniformément continue.
- C21.37 - Une fonction dérivable à dérivée bornée sur un intervalle est lipschitzienne.
- C21.38 - Raffinement du théorème de Bolzano-Weierstraß
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD20.16 - Représentation d'une forme linéaire sur \( \mathbb{R}_n[X] \) où \( n \in \mathbb{N} \)
- C21.36 - La fonction racine carrée est uniformément continue mais non lipschitzienne sur \( \mathbb{R}_+ \)
[344] - Séance du Vendredi 7 avril (4h)
-
Chapitre 20 - Applications linéaires (fin)
- C20.97 - Sous-espaces vectoriels et intersection d'hyperplans
- C20.98 - Si
\[
u_1
:=
(1,2,3,2,1)
\quad,\quad
u_2
:=
(1,-1,1,-1,1)
\quad,\quad
u_3
:=
(3,2,1,2,3)
\]
et \( F = \operatorname{Vect} ( u_1 , u_2 ,u_3 ) \),
détermination d'un système linéaire homogène dont \( F \) est l'ensemble solution
à l'aide d'une base duale d'une base de \( \mathbb{R}^5 \)
obtenue en complétant la famille libre \( ( u_1 , u_2 ,u_3 ) \)
- C21.99 - Si \( x_0 , x_1 , \ldots , x_n \) est une famille de réels deux-à-deux distincts
alors
\[
\left(
f_i
\;
\left|
\;
\begin{array}{ccc} \mathbb{R}_n[X] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ P & \longmapsto & \widetilde{P}(x_i) \end{array} \right. \right)_{0 \leqslant i \leqslant n}
\]
est une base de \( \mathbb{R}_n[X]^* \)
et
détermination de sa base antéduale.
-
Chapitre 21 - Intégration (début)
- C21.2 - Définition d'une subdivision d'un segment
- C21.4 - Subdivision régulière à \( n \) pas de \( [a,b] \)
- C21.5 - Parties finies de \( [a,b] \) contenant \(a,b\) versus subdivision de \( [a,b] \)
- C21.7 - Relation d'ordre partielle « plus fine » sur l'ensemble des subdivisions de \( [a,b] \)
- C21.9 - Existence d'une subdivision de \( [a,b] \) plus fine que deux données
- C21.10 - Définition d'une fonction en escalier et d'une subdivision adaptée à une telle
- C21.11 - Une subdivision d'un segment \( S \) plus fine qu'une subdivision de \( S \) adaptée à une fonction en escalier \( f \) sur \( S \) est encore adaptée à \( f \).
- C21.12 - Une fonction en escalier sur un segment ne prend qu'un nombre fini de valeurs.
- C21.13 - La restriction de la fonction partie entière à un segment \( S \) est en escalier.
- C21.15 - La valeur absolue d'une fonction en escalier est en escalier.
- C21.17 - L'ensemble
\( \mathcal{E}([a,b],\mathbb{R}) \)
des fonctions en escalier sur \( [a,b] \) est une sous-\( \mathbb{R} \)-algèbre de
\( \left( \mathcal{F}([a,b],\mathbb{R}) , + , \times , \cdot \; \right) \)
- C21.19 - Définition de l'intégrale \( I(f,\sigma) \) d'une fonction en escalier \( f \) relativement à une subdivision \( \sigma \)
- C21.20 - Si \( f \) est une fonction en escalier sur \( [a,b] \) et \( \sigma \) est une subdivision adaptée à \( f \)
alors pour toute subdivision \( \sigma'\) de \( [a,b] \) plus fine que \( \sigma \) on a
\( I(f,\sigma) = I(f,\sigma') \)
-
Interrogation de cours n°24
- CNS pour que deux sous-espaces vectoriels de dimension finie soient isomorphes
- Critère de surjectivité/injectivité/bijecivité d'une application linéaire via une base de sa source
- Définition d'un hyperplan d'un espace vectoriel
- Lien entre injectivité et surjectivité pour une application linéaire entre deux espaces vectoriels de même dimension finie
-
Devoir libre
- DL15 :
Un hyperplan de \( \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \) contient une matrice inversible ( \( n \geqslant 1 \) )
[340] - Séance du Jeudi 6 avril (2h)
-
Chapitre 20 - Applications linéaires (suite)
- \( \mathbb{C} \) est un \( \mathbb{C} \)-espace de dimension 1 et un \( \mathbb{R} \)-espace vectoriel de dimension 2
- Si \( \left( e_1 , \ldots , e_n \right) \) est une base d'un \( \mathbb{C} \)-espace vectoriel \( E \),
alors \( \left( e_1 , \ldots , e_n , i \cdot e_1 , \ldots , i \cdot e_n \right) \) est une base du \( \mathbb{R} \)-espace vectoriel \( E \).
- C20.89 - Caractérisation géométrique des hyperplans
- C20.90 - L'ensemble
\[
H := \set{ f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R}) \;:\; f(1)=0 }
\]
est un hyperplan de \( \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R}) \)
et
détermination de plusieurs de ses supplémentaires
- C20.92 - Caractérisation des hyperplans d'un espace de dimension finie
- C20.93 - Le noyau de la trace
\[
\operatorname{Tr} \colon \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}
\]
est un hyperplan
de \( \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \),
détermination d'une de ses bases et de supplémentaires.
- C20.94 - Critère pour que deux formes linéaires non nulles soient colinéaires
- C20.95 - Des équations d'un hyperplan dans une même base
[338] - Séance du Mercredi 5 avril (2h)
-
Chapitre 20 - Applications linéaires (suite)
- C20.74 - Dimension d'un espace d'applications linéaires
- C20.75 - Sous-espaces supplémentaires et construction d'applications linéaires
- C20.78 - Définition d'une forme linéaire
- C20.79 - Définition de l'espace dual d'un espace vectoriel
- C20.80 - Base duale d'une base d'un espace de dimension finie
- C20.82 - Base duale de la base
\[
\underline{u} :=
\left( \,
u_1 := (1,0,0)
\, , \,
u_2 := (1,1,0)
\, , \,
u_3 := (1,1,1)
\, \right)
\]
de \( \mathbb{R}^3 \).
- C20.84 - Surjectivité d'une forme linéaire non nulle
- C20.85 - Définition d'un hyperplan d'un espace vectoriel
- C20.86 - L'ensemble
\[
H := \set{ (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \;:\; x-2y+3z-4t=0 }
\]
est un hyperplan de \( \mathbb{R}^4 \).
- C20.87 - Équation d'un hyperplan dans une base en dimension finie
- C20.88 - Équation de l'hyperplan
\[
H := \operatorname{Vect}\left( \,
u_1 := (1,0,1,1)
\,,\,
u_2 := (1,1,0,1)
\,,\,
u_3 := (1,1,1,0)
\, \right)
\]
dans la base canonique de \( \mathbb{R}^4 \).
[336] - Séance du Mardi 4 avril (2h)
-
Chapitre 20 - Applications linéaires (suite)
- C20.60 - Construction d'une application linéaire via une base de sa source
- C20.61 - Étude de l'application linéaire
\( u \) de \( \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \) dans \( \mathbb{R}_2[X] \) telle que
\[
u\left( E_{1,1} \right) = 1 + X
\quad,\quad
u\left( E_{1,2} \right) = X + X^2
\quad,\quad
u\left( E_{2,1} \right) = 0
\quad,\quad
u\left( E_{2,2} \right) = 1 - X^2
\]
- C20.62 - Critère pour qu'une application linéaire soit injective/surjective/bijective
- C20.63 - L'application linéaire \( u \) de \( \mathbb{R}^3 \) dans \( \mathbb{R}_2[X] \)
définie par
\[
u(e_1) = 7 \cdot X^2 - 3 \cdot X + \sqrt{2}
\quad,\quad
u(e_2) = \pi
\quad,\quad
u(e_3) = \sqrt{13} \cdot X - \cos\left( \dfrac{7 \cdot \pi}{19} \right)
\]
est un isomorphisme.
- C20.64 - Définition de deux espaces vectoriels isomorphes
- C20.65 - Propriétés de la relation « être isomorphes » entre espaces vectoriels
- C20.66 - Caractérisation des espaces de dimension finie \( n \geqslant 1 \)
- C20.67 - Critère d'isomorphie entre deux espaces de dimension finie
- C20.68 - Critère pour qu'une application linéaire entre deux espaces de même dimension finie soit un isomorphisme
- C20.69 - L'application linéaire
\( u \) de \( \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \) dans \( \mathbb{R}^4 \) telle que
\[
u \left( E_{1,1} \right) = (0,1,1,1)
\qquad,\qquad
u \left( E_{1,2} \right) = (1,0,1,1)
\qquad,\qquad
u \left( E_{2,1} \right) = (1,1,0,1)
\qquad,\qquad
u \left( E_{2,2} \right) = (1,1,1,0)
\]
est un isomorphisme.
- C20.70 - Définition d'un endomorphisme inversible à gauche (resp. à droite)
- C20.71 - L'application linéaire
\[ \left| \, \begin{array}{rcl}
\mathbb{R}[X] & \longrightarrow & \mathbb{K} \\
P & \longmapsto & \displaystyle \sum_{k \in \mathbb{N} } \dfrac{1}{k+1} \cdot [P]_k \cdot X^{k+1}
\end{array} \right. \]
est inversible à gauche mais non inversible à droite.
- C20.73 - Inversibilité à droite vs.inversibilité à gauche et dimension finie
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD20.6 - Forme linéaire non nulle et supplémentaire du noyau d'une telle
[334] - Séance du Lundi 3 avril (2h)
-
Chapitre 20 - Applications linéaires (suite)
- C20.41 - Nilindice d'un endomorphisme nilpotent
- C20.46 - Si
\[
F := \set{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;:\; x + y + z = 0}
\quad\text{et}\quad
G := \set{ (a,2a,3a) \;:\; a \in \mathbb{R}
}
\]
calcul de la symétrie de \( \mathbb{R}^3 \) par rapport à \( F \) parallèlement à \( G \)
- TD20.4 - Polynôme annulateur d'un endomorphisme de \( \mathbb{R}^2 \) et inversibilité
- TD20.5 - Noyau et image d'une composée
- TD20.9 - Endomorphisme de \( \mathbb{R}^2 \) annulé par \( X^2 - 7 \cdot X + 12 \)
[332] - Séance du Samedi 1er avril (4h)
-
Devoir surveillé n°10
- Supplémentaires d'un hyperplan de \( \mathbb{R}^4 \) et projection
- Supplémentaires d'un plan de \( \mathbb{R}^4 \) et symétrie
- Matrice de Vandermonde et liberté d'une famille de fonctions
- Suites des noyaux itérés/images itérées et lemme de Fitting
[328] - Séance du Vendredi 31 mars (2h)
-
Complément sur le chapitre 19 - Espaces vectoriels de dimension finie
- TD19.15 - Noyau et image d'une matrice
-
Chapitre 20 - Applications linéaires (suite)
- C20.43 - Si
\[
F := \set{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \;:\; x + y = 0}
\quad\text{et}\quad
G := \set{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \;:\; x - 2 y = 0}
\]
calcul de la projection de \( \mathbb{R}^2 \) sur \( F \) parallèlement à \( G \)
- C20.45 - Si
\[
F := \set{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \;:\; x + y = 0}
\quad\text{et}\quad
G := \set{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \;:\; x - 2 y = 0}
\]
calcul de la symétrie de \( \mathbb{R}^2 \) par rapport à \( F \) parallèlement à \( G \)
- C20.47 - Définition d'un projecteur (abstrait)
- C20.48 - Interprétation géométrique et éléments caractéristiques d'un projecteur
- C20.49 - Définition d'une symétrie (abstraite)
- C20.50 - Interprétation géométrique et éléments caractéristiques d'une symétrie
- C20.51 - Définition d'un automorphisme
- C20.53 - Rappel sur le groupe des permutations d'un ensemble non vide
- C20.54 - Le groupe linéaire
- C20.55 - Théorème du rang (forme géométrique)
- C20.56 - Isomorphisme et dimension
- C20.57 - Formule du rang pour un endomorphisme dont la source est de dimension finie
- C20.58 - Il n'existe aucune application injective de \( \mathbb{K}^3 \) dans \( \mathbb{K}^2 \)
- C20.59 - Noyau, puis surjectivité de l'application
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{R}^4 & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\
(x,y,z,t) & \longmapsto & (x+y,z+t)
\end{array} \right. \]
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C20.41 - Nilindice d'un endomorphisme nilpotent
- C20.46 - Si
\[
F := \set{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \;:\; x + y + z = 0}
\quad\text{et}\quad
G := \set{ (a,2a,3a) \;:\; a \in \mathbb{R}
}
\]
calcul de la symétrie de \( \mathbb{R}^3 \) par rapport à \( F \) parallèlement à \( G \)
[326] - Séance du Jeudi 30 mars (2h)
-
Retour sur le DS9
- Ne pas chercher à imaginer un énoncé d'après son nom,
mais apprendre les formulations précises du cours.
- Si une condition d'un énoncé indique une condition sur \( f' \),
il est nécessaire auparavant d'avoir supposé \( f \) dérivable.
- Dans un raisonnement par récurrence,
il faut définir un prédicat soigné.
- Les indentations dans les codes Python doivent être indiquées par
des traits verticaux tirés à la règle.
- Si \( a,b,c \) sont des réels,
combien de fois obtient-on le terme
\( a b^2 \) dans le développement de \( (a+b+c)^3 \) ?
- La formule de Taylor-Young n'est efficace pour calculer des DL que lorsque les dérivées itérées de la fonction sont aisées à calculer.
- On ne compose pas un DL par la fonction \( \ln \)
- Une fonction \( f \) est équivalente à \( 0 \) au voisinage d'un point \( a \) de \( \overline{ \mathbb{R} } \)
si et seulement si
elle est identiquement nulle au voisinage de \( a \).
Obtenir un équivalent nul doit questionner.
- Calcul du \( \operatorname{DL}_6(0) \) de la fonction \( \tan \) à l'aide de \( \tan' = 1 + \tan^2 \)
-
Chapitre 20 - Applications linéaires (suite)
- C20.31 - Image de l'application linéaire
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{K}_n[X] & \longrightarrow & \mathbb{K}_n[X] \\
P & \longmapsto & n \cdot P - X \, P'
\end{array} \right. \]
- C20.36 - Définition d'un endomorphisme d'un espace vectoriel
- Notation \( \mathcal{L} ( E ) \) pour l'ensemble des endomorphisme d'un espace vectoriel \(E\)
- C20.18 - Bilinéarité du produit de composition des applications linéaires
- C20.37 - La \( \mathbb{K} \)-algèbre \( \left( \mathcal{L} ( E ) , + , \circ , \cdot \; \right) \),
si \( E \) est un \( \mathbb{K} \)-espace vectoriel
- C20.38 - Si \( E \) est un \( \mathbb{K} \)-espace vectoriel de dimension finie \( n \geqslant 2 \),
alors les \( \mathbb{K} \)-algèbres
\( \left( \mathcal{L} ( E ) , + , \circ , \cdot \; \right) \)
et
\( \left( \mathcal{M}_n( \mathbb{K} ) , + , \times , \cdot \right) \)
sont (non canoniquement) isomorphes,
en particulier
\( \left( \mathcal{L} ( E ) , + , \circ , \cdot \; \right) \)
n'est pas commutative.
- C20.39 - Définition d'une homothétie d'un espace vectoriel
- C20.40 - Définition des puissances d'un endomorphisme d'un espace vectoriel
- Exemple géométrique d'une projection de \( \mathbb{R}^2 \) sur une droite \( D_1 \) parallèlement à une droite supplémentaire \( D_2 \) de \( D_1 \)
- C20.42 - Définition et propriétés d'une projection d'un espace vectoriel \( E \) sur un sous-espace \( F \) parallèlement à un supplémentaire \( G \) de \( F \)
- Exemple géométrique d'une symétrie de \( \mathbb{R}^2 \) par rapport à une droite \( D_1 \) parallèlement à une droite supplémentaire \( D_2 \) de \( D_1 \)
- C20.44 - Définition et propriétés d'une symétrie d'un espace vectoriel \( E \) par rapport à un sous-espace \( F \) parallèlement à un supplémentaire \( G \) de \( F \)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C20.43 - Si
\[
F := \set{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \;:\; x + y = 0}
\quad\text{et}\quad
G := \set{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \;:\; x - 2 y = 0}
\]
calcul de la projection de \( \mathbb{R}^2 \) sur \( F \) parallèlement à \( G \)
[324] - Séance du Mercredi 29 mars (2h)
-
Chapitre 20 - Applications linéaires (suite)
- C20.23 - Image directe et image réciproque de sous-espace par une application linéaire
- C20.24 - Définition et structure du noyau et de l'image d'une application linéaire
- C20.25 - Détermination du noyau et de l'image de l'application linéaire
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{K}^3 & \longrightarrow & \mathbb{K}^3 \\
(x,y,z) & \longmapsto & (x+2y+z,2x+y+2z,x+y+z)
\end{array} \right. \]
- C20.26 - Critère d'injectivité et de surjectivité pour une application linéaire
- C20.27 - Détermination du noyau et de l'image de l'application linéaire
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{K}^3 & \longrightarrow & \mathbb{K}^3 \\
(x,y,z) & \longmapsto & (x+y,y+z)
\end{array} \right. \]
et étude de son injectivité/surjectivité
- C20.28 - Si \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \),
noyau, image, injectivité/surjectivité de
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathcal{M}_2 ( \mathbb{K} ) & \longrightarrow & \mathcal{M}_2 ( \mathbb{K} ) \\
M & \longmapsto & A \, M
\end{array} \right. \]
- C20.30 - Famille génératrice de l'image d'une application linéaire
- C20.32 - Application de rang fini et rang d'une telle
- C20.33 - Application linéaire dont la source est de dimension finie
- C20.34 - L'application linéaire
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{K}^3 & \longrightarrow & \mathbb{K}^4 \\
(x,y,z) & \longmapsto & (x+y,y+z,x+z,x+y+z)
\end{array} \right. \]
est de rang fini et calcul de son rang
- C20.35 - Rang d'une composée d'applications linéaires
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C20.31 - Image de l'application linéaire
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{K}_n[X] & \longrightarrow & \mathbb{K}_n[X] \\
P & \longmapsto & n \cdot P - X \, P'
\end{array} \right. \]
[322] - Séance du Mardi 28 mars (2h)
-
Chapitre 20 - Applications linéaires (début)
- C20.2 - Définition d'une application linéaire
- C20.3 - Notation \( \mathcal{L} ( E , F ) \) pour l'ensemble des applications linéaires
d'un espace vectoriel \(E\) dans un espace vectoriel \(F\)
- C20.4 - Image du vecteur nul de la source d'une application linéaire
- C20.5 - L'application
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{K}^3 & \longrightarrow & \mathbb{K}^2 \\
(x,y,z) & \longmapsto & (2x-3y+3t,x+7t-8t)
\end{array} \right. \]
est linéaire.
- C20.6 - Application linéaire canoniquement associée à une matrice
- C20.7 - L'application
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathcal{M}_{n,p} ( \mathbb{K} ) & \longrightarrow & \mathcal{M}_{p,n} ( \mathbb{K} ) \\
M & \longmapsto & M^{\top}
\end{array} \right. \]
est linéaire.
- C20.8 - L'application
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathcal{M}_n ( \mathbb{K} ) & \longrightarrow & \mathbb{K} \\
M & \longmapsto & \displaystyle \sum_{ i = 1 }^n [M]_{ i , i }
\end{array} \right. \]
est linéaire.
- C20.9 - Si \( a \in \mathbb{K} \) alors l'application
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{K}[X] & \longrightarrow & \mathbb{K} \\
P & \longmapsto & \widetilde{P}(a)
\end{array} \right. \]
est linéaire.
- C20.10 - L'application
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{K}[X] & \longrightarrow & \mathbb{K}[X] \\
P & \longmapsto & \displaystyle \sum_{ k \in \mathbb{N} } (k+1) \cdot [P]_{k+1} \cdot X^k
\end{array} \right. \]
est linéaire.
- C20.11 - Si \( I \) est un intervalle de \( \mathbb{R} \) alors l'application
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathcal{C}^1 ( I , \mathbb{R} ) & \longrightarrow & \mathcal{C}^0 ( I , \mathbb{R} ) \\
f & \longmapsto & f'
\end{array} \right. \]
est linéaire.
- C20.12 - Si \( a,b \) sont des réels tels que \( a < b \) alors l'application
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathcal{C}^0 ( [ a , b ] , \mathbb{R} ) & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
f & \longmapsto & \displaystyle \int_a^b f(t) \; \operatorname{d} t
\end{array} \right. \]
est linéaire.
- C20.13 - Pour \( A \in \mathcal{M}_n ( \mathbb{K} ) \) fixée,
étude de la linéarité des applications
\[
\left| \begin{array}{ccc}
\mathcal{M}_n ( \mathbb{K} ) & \longrightarrow & \mathcal{M}_n ( \mathbb{K} ) \\
M & \longmapsto & \displaystyle A \, M \, A
\end{array} \right.
\qquad\text{et}\qquad
\left| \begin{array}{ccc}
\mathcal{M}_n ( \mathbb{K} ) & \longrightarrow & \mathcal{M}_n ( \mathbb{K} ) \\
M & \longmapsto & \displaystyle M \, A \, M^{\top}
\end{array} \right.
\]
est linéaire.
- C20.14 - Combinaison linéaire d'applications linéaires
- C20.15 - Structure d'espace vectoriel sur
\( \mathcal{L} ( E , F ) \)
pour l'ensemble des applications linéaires
d'un espace vectoriel \(E\) dans un espace vectoriel \(F\)
- C20.17 - Composition d'applications linéaires
- C20.19 - Définition d'un isomorphisme
- C20.20 - L'application
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\
(x,y) & \longmapsto & (2x-y,x+y)
\end{array} \right. \]
est un isomorphisme et détermination de son application réciproque
- C20.21 - L'application réciproque d'un isomorphisme est elle-même un isomorphisme.
- C20.22 - L'application
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{K}_2[X] & \longrightarrow & \mathbb{K}_2[X] \\
P & \longmapsto & P + P'
\end{array} \right. \]
est un isomorphisme et détermination de son application réciproque
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD19.15 - Image et noyau d'une matrice
[320] - Séance du Lundi 27 mars (4h)
-
Chapitre 19 - Sous-espaces de dimension finie (fin)
- C18.111 - Les sous-espaces
\[
F := \set{ (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \;:\; x - y = z + t = 0 }
\qquad\text{et}\qquad
G = \operatorname{Vect} \left( u := (1,1,1,1) \,,\, v := ( 1 , 2 ,3 , 4 ) \right)
\]
sont supplémentaires dans \( \mathbb{R}^4 \).
- C19.38 - Sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie
- C19.40 - Si \( n \in \mathbb{N}^* \) la famille
\[ \left( \;
f_k \;
\left| \, \begin{array}{ccc}
\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto & \cos( kx )
\end{array}\right.
\;\right)_{1 \leqslant k \leqslant n}
\]
est libre et conséquence pour \( \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \).
- C19.43 - Dimension de l'intersection de deux hyperplans distincts d'un espace de dimension finie
- C19.45 - Détermination d'un supplémentaire du sous-espace vectoriel de \( \mathbb{R}^4 \) suivant
\[
F := \set{ (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4
\;:\;
x - 2 y + 3z - 4 t = 4 x + 3 y + 2 z + t = 0
}
\]
- C19.25 - Dimension d'un produit d'espaces de dimension finie
- C19.26 - Dimension de \( \mathbb{K}_5[X] \times \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{K}) \times \mathbb{K}^7 \)
- C19.27 - Définition du rang d'une famille finie de vecteurs
- C19.28 - Majoration du rang d'une famille finie de vecteurs
- C19.29 - Calcul du rang de la famille \( \left( u_1 , u_2 , u_3 , u_4 \right) \) où
\[
u_1 := (1,2,-1,1)
\quad,\quad
u_2 := (-3,-2,3,2)
\quad,\quad
u_3 := (-1,0,1,1)
\quad , \quad
u_4 := (2,3,-2,1)
\]
- TD19.5 - Intersection, somme de deux sous-espaces de \( \mathbb{R}^4 \) et recherche de supplémentaires
- TD19.6 - Équations cartésiennes et supplémentaires d'un hyperplan de \( \mathbb{R}^4 \)
[316] - Séance du Vendredi 24 mars (2h)
-
Chapitre 19 - Sous-espaces de dimension finie (suite)
- C19.38 - Sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie
- C19.39 - Si
\[
F := \set{
(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \;:\;
x + 2 x + 3 z + 4t = 0
}
\quad,\quad
u_1 := ( 1 , 0 , 1 , -1 )
\quad,\quad
u_2 := ( 2 , -1 , 4 , -3 )
\quad,\quad
u_3 := ( 1 , 2 , 1 , -2 )
\]
alors \( F = \operatorname{Vect} \left( u_1 , u_2 , u_3 \right) \).
- C19.41 - Somme directe de deux sous-espaces vectoriels de dimension finie et base adaptée
- Si \( n \geqslant 2 \),
base et \( \dim \left( \mathcal{A}_n(\mathbb{R}) \right) = \dfrac{n(n-1)}{2} \)
- C19.42 - Formule de Grassmann
- C19.44 - Existence d'un supplémentaire d'un sous-espace dans un espace de dimension finie
- C19.46 - Caractérisation dimensionnelle des couples de sous-espaces supplémentaires
-
Interrogation de cours n°23
- Énoncer le théorème de la base incomplète
- Énoncer le théorème sur le cardinal d'une famille libre d'un espace de dimension finie
- Énoncer le résultat intégral du cours sur
\[ F := \left\{ f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R},\mathbb{R}) \;:\; f'' + a f' + b f = 0 \right\} \]
où \( (a,b) \in \mathbb{R}^2 \) est tel que \( a^2-4b<0 \).
- CNS pour qu'une famille libre augmentée d'un vecteur reste libre.
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C19.40 - Si \( n \in \mathbb{N}^* \) la famille
\[ \left( \;
f_k \;
\left| \, \begin{array}{ccc}
\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto & \cos( kx )
\end{array}\right.
\;\right)_{1 \leqslant k \leqslant n}
\]
est libre et conséquence pour \( \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \).
- C19.43 - Dimension de l'intersection de deux hyperplans distincts d'un espace de dimension finie
- C19.45 - Détermination d'un supplémentaire du sous-espace vectoriel de \( \mathbb{R}^4 \) suivant
\[
F := \set{ (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4
\;:\;
x - 2 y + 3z - 4 t = 4 x + 3 y + 2 z + t = 0
}
\]
[314] - Séance du Jeudi 23 mars (2h)
-
Chapitre 19 - Sous-espaces de dimension finie (suite)
- C19.17 - Dimension de
\[
F := \left\{ (x,y,z,t) \in \mathbb{K}^4 \;:\; x+z=y-t=0 \right\}
\]
- C19.18 - Si \( n \geqslant 2 \),
base et \( \dim \left( \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \right) = \dfrac{n(n+1)}{2} \)
- C19.20 - Dimension et carfinal d'une famille libre
- C19.21 - Dimension et carfinal d'une famille génératrice
- C19.22 - Que dire d'une famille de 4 polynômes de \( \mathbb{K}_2[X] \) ?
- C19.24 - La famille
\[
A := \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\quad,\quad
B := \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\quad,\quad
C := \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\quad,\quad
D := \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\]
est une base de \( \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \).
- C19.33 - Base du plan vectoriel formé par l'ensemble solution d'une EDLHCC2 dans le cas où \( \mathbb{K} = \mathbb{R} \)
- C19.34 - L'ensemble des suites réelles arithmétiques indexées par \( \mathbb{N} \)
est un plan vectoriel de \( \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \)
dont
\( \left( (1)_{n \in \mathbb{N}} \,,\, (n)_{n \in \mathbb{N}} \right) \) est une base.
- C19.36 - Base du plan vectoriel formé par l'ensemble des suites réelles indexées par \( \mathbb{N} \) vérifiant une relation de récurrence
linéaire d'ordre 2
- C19.37 - Un critère de liberté
[312] - Séance du Mercredi 22 mars (4h)
-
Complément sur le chapitre 18 - Espaces vectoriels
-
C18.115 - Supplémentaires de
\[\left\{
f \in \mathcal{C}^0( [0,1] , \mathbb{R} )
\;:\;
\displaystyle \int_0^1 f(t) \operatorname{d} t = 0
\right\}\]
dans
\( \mathcal{C}^0( [0,1] , \mathbb{R} ) \).
-
-
Chapitre 19 - Sous-espaces de dimension finie (suite)
- C19.5 - Diminution du nombre de vecteurs d'une famille génératrice
- C19.6 - Théorème de la base intermédiaire (pierre angulaire du chapitre)
entre une famille génératrice et une sous-famille libre.
- C19.7 - Théorème de la base incomplète
- C19.8 - Si
\[
u_1 := \left( 1 , -3 , 2 , -1 \right)
\qquad
u_2 := \left( 1, 7, -2, 9 \right)
\qquad
u_3 := \left( 2 , -1 , 2 , 3 \right)
\qquad
u_4 := \left( 3, -14, 8, -8 \right)
\]
extraction d'une base de la famille génératrice
\( \left( u_1 , u_2 , u_3 , u_4 \right) \)
de \( F := \operatorname{Vect}\left(u_1,u_2,u_3,u_4 \right) \).
- C19.9 - Existence d'une base finie pour un espace de dimension finie
- C19.10 - Théorème de la base incomplète
- C19.11 - Si
\[
F = \set{ (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \;:\; x+y+z+t=0}
\quad,\quad
u_1 := ( 1 , 1 , 1 , -3 )
\quad\text{et}\quad
u_2 := ( 3 , -1 , -1 , -1 )
\]
détermination d'un système linéaire homogène dont \( \operatorname{Vect}(u_1,u_2) \) est solution
et
complétion de la famille libre \( (u_1,u_2) \) de vecteurs de \( F \) en une base de \( F \).
- C19.12 - Rappel : si une matrice a strictement moins de lignes que de colonnes,
alors son noyau est non trivial
(conséquence du cours sur l'algorithme du pivot de Gauß).
- C19.13 - Majoration du nombre de vecteurs dans une famille libre d'un espace de dimension finie
- C19.14 - Nombre de vecteurs d'une base finie
- C19.16 - Définition de la dimension d'un espace de dimension finie
- C19.19 - Si \( (n,p) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^* \)
\[
\dim \left( \mathbb{K}^n\right) = n
\quad,\quad
\dim \left( \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \right) = np
\quad,\quad
\dim \left( \mathbb{K}_n[X] \right) = n +1
\]
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C19.17 - Dimension de
\[
F := \left\{ (x,y,z,t) \in \mathbb{K}^4 \;:\; x+z=y-t=0 \right\}
\]
- C19.27 - Rang de la famille de vecteurs
\[
\left( \;
u_1 := (1,2,-1,1)
\;,\;
u_2 := (-3,-2,3,2)
\;,\;
u_3 := (-1,0,1,1)
\;,\;
u_4 := (2,3,-2,1)
\;\right)
\]
[308] - Séance du Mardi 21 mars (2h)
-
Chapitre 18 - Espaces vectoriels (fin)
- C18.102 - Si \( n \in \mathbb{N}^* \) alors
\( \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) = \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R}) \oplus \mathcal{A}_{n}(\mathbb{R}) \)
- C18.103 - Critère pour que deux sous-espaces vectoriels soient en somme directe
- C18.106 - Définition de deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans un espace vectoriel
- C18.109 - Critère pour que deux sous-espaces vectoriels soient supplémentaires dans un espace vectoriel
- C18.110 - Détermination de toutes les droites supplémentaires de la deuxième bissectrice dans le plan usuel
- C18.114 - Plusieurs supplémentaires de
\( \operatorname{Vect} \left( 1 , X^2 , X^4 \right) \)
et théorème des degrés échelonnés.
-
Chapitre 19 - Sous-espaces de dimension finie (début)
- Introduction :
ensembles finis,
cardinaux,
inclusion et égalité des cardinaux,
formule du crible
versus
espaces vectoriels possédant une famille génératrice finie,
dimension,
inclusion et égalité des dimensions,
formule de Grasmann.
- C19.2 - Définition d'un espace vectoriel de dimension finie.
- C19.3 - Si \( (n,p) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^* \),
alors les espaces vectoriels
\( \mathbb{K}^n \),
\( \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \)
\( \mathbb{K}_n[X] \)
sont de dimension finie.
- C19.4 - L'espace vectoriel \( \mathbb{K}[X] \) n'est pas de dimension finie.
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C18.111 - Les sous-espaces
\[
F := \set{ (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \;:\; x - y = z + t = 0 }
\qquad\text{et}\qquad
G = \operatorname{Vect} \left( u := (1,1,1,1) \,,\, v := ( 1 , 2 ,3 , 4 ) \right)
\]
sont supplémentaires dans \( \mathbb{R}^4 \).
-
C18.115 - Supplémentaires de
\[\left\{
f \in \mathcal{C}^0( [0,1] , \mathbb{R} )
\;:\;
\displaystyle \int_0^1 f(t) \operatorname{d} t = 0
\right\}\]
dans
\( \mathcal{C}^0( [0,1] , \mathbb{R} ) \).
-
[306] - Séance du Lundi 20 mars (2h)
-
Chapitre 18 - Espaces vectoriels (suite)
- C18.87 - Construction d'une base \( \mathcal{B} \) de \( \mathbb{R}^3 \)
et coordonnées d'un vecteur \( (x,y,z) \) de \( \mathbb{R}^3 \)
dans \( \operatorname{Can}_{\mathbb{R}^3} \) et dans \( \mathcal{B} \)
- TD18.3 - Comparaison de deux sous-espaces de \( \mathbb{R}^3 \)
- TD18.4 - Familles génératrices d'un hyperplan de \( \mathbb{R}^3 \)
- TD18.5 - Supplémentaires d'un hyperplan de \( \mathbb{R}^n \)
- TD18.8 - Commmutant d'une matrice
- TD18.12 - Famille formée par un polynôme et ses polynômes dérivés itérés non nuls
- TD18.21 - Applications linéaires bornées
- TD18.22 - Applications lipschitziennes
- TD18.24 - Démontrer que
\[
F := \left\{ f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R},\mathbb{R}) \; : \; f'' + \sqrt{3} \cdot f' + f = 0 \right\}
\]
est un sous-espace vectoriel de \( \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \)
et
en déterminer une base.
- TD18.30 - Réunion de deux sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel
- TD18.33 - Somme directe induite
[304] - Séance du Vendredi 17 mars (2h)
-
Chapitre 18 - Espaces vectoriels (suite)
- C18.76 - Famille libre et matrice de Vandermonde
- Retour sur la notion de sous-espace vectoriel engendré:
si \( A \) est une partie d'un espace vectoriel \( E \) alors
\[ \operatorname{Vect}(A) = \operatorname{min} \left\{ F \in \mathcal{P}(E) \;:\; F \text{ s.e.v. de } E \text{ et } A \subset F \right\} \]
où \( \mathcal{P}(E) \) est partiellement ordonné par la relation d'inclusion \( \subset \).
- C18.77 - Sous-famille d'une famille libre
- C18.78 - Un critère de liberté pour une famille de polynômes
- C18.79 - La famille \( \left( ( X - a )^n \right)_{n \in \mathbb{N} } \) est une famille libre
- C18.80 - Définition d'une base d'un espace vectoriel
- C18.82 - Base canonique de \( \mathbb{K}^n \), où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C18.83 - Base canonique de \( \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \), où \( (n,p) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^* \)
- C18.84 - Base canonique de \( \mathbb{K}_n[X] \), où \( n \in \mathbb{N} \)
- C18.85 - Base canonique de \( \mathbb{K}[X] \)
- C18.86 - Coordonnées d'un vecteur dans une base
- C18.88 - Coordonnées d'un vecteur de \( \mathbb{K}^n \) dans la base canonique, où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C18.90 - Coordonnées d'un polynôme de \( \mathbb{K}_n[X] \) dans la base canonique, où \( n \in \mathbb{N} \)
- C18.92 - Théorème des degrés échelonnés dans \( \mathcal{K}_n[X] \)
- C18.95 - Si \( a_0 , a_1 , \ldots , a_n \) sont des éléments deux-à-deux distincts de \( \mathbb{K} \) alors
les interpolateurs de Lagrange associés \( L_0 , L_1 , \ldots , L_n \) forment une base de \( \mathbb{K}_n[X] \)
et
détermination des coordonnées d'un polynôme de \( \mathbb{K}_n[X] \) dans la base \( \left( L_0 , L_1 , \ldots , L_n \right) \).
- C18.97 - Définition de la somme de deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel
- C18.99 - Si
\[
F_1 := \left\{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \;:\; x_1+x_2+x_3=0 \right\}
\qquad \text{et} \qquad
F_2 :=\left\{ (a,a,a) \in \mathbb{R}^3 \;:\; a \in \mathbb{R} \right\}
\]
alors \( F_1 \oplus F_2 = \mathbb{R}^3 \).
- C18.100 - Somme de deux sous-espaces vectoriels engendrés
- C18.101 - Définition de deux sous-espaces vectoriels en somme directe
-
Interrogation de cours n°22
- Critère pour être un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel
- Définition du sous-espace engendré par une partie d'un espace vectoriel
- Définition d'une famille génératrice
- Critère pour qu'une famille de vecteurs d'un espace vectoriel soit liée
-
Devoir libre
- DL14 (pour le 24/3) :
Développement asymptotique d'une suite définie de manière implicite
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C18.87 - Construction d'une base \( \mathcal{B} \) de \( \mathbb{R}^3 \)
et coordonnées d'un vecteur \( (x,y,z) \) de \( \mathbb{R}^3 \)
dans \( \operatorname{Can}_{\mathbb{R}^3} \) et dans \( \mathcal{B} \)
- TD18.24 - Démontrer que
\[
F := \left\{ f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R},\mathbb{R}) \; : \; f'' + \sqrt{3} \cdot f' + f = 0 \right\}
\]
est un sous-espace vectoriel de \( \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \)
et
en déterminer une base.
[302] - Séance du Jeudi 16 mars (2h)
-
Chapitre 18 - Espaces vectoriels (suite)
- C18.57 -
Comparer
\( \operatorname{Vect}\left( (-1,1,2,-2) , (1,2,3,-6) \right) \)
et
\( \left\{ (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \;:\; x+y+z+t=0 \right\} \)
- C18.41 - Si \( I \) est un ensemble non vide,
alors \( \mathbb{K}^{(I)} \) est un sous-espace vectoriel de \( \mathbb{K}^{I} \)
- C18.59 - Description de \( \operatorname{Vect}(A) \) lorsque \( A \) est une partie quelconque d'un espace vectoriel
- C18.60 - Famille génératrice de
\( \left\{ P \in \mathbb{K}[X] \;:\; P(X)=P(-X) \right\} \)
- C18.67 - Sur-famille d'une famille génératrice
- C18.68 - Définitions d'une famille libre et d'une famille liée
- C18.70 - Exemple d'une famille libre dans \( \mathcal{M}_2(\mathbb{K}) \)
- C18.71 - Trois CS pour qu'une famille soit liée
- C18.72 - Définition de deux vecteurs colinéaires
- C18.73 - Deux vecteurs \( u \) et \( v \) sont colinéaires si et seulement si la famille \( (u,v) \) est liée.
- C18.74 - La famille \( ( (1,0) , (0,1) , (1,1) ) \) est liée.
- C18.75 - Une famille de vecteurs est liée si et seulement si un des vecteurs est combinaison linéaire des autres.
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C18.76 - Famille libre et matrice de Vandermonde
[300] - Séance du Mercredi 15 mars (2h)
-
Compléments sur le chapitre 17 - Analyse asymptotique
- C17.116 - DA à deux termes d'une suite définie de manière implicite
-
Chapitre 18 - Espaces vectoriels (suite)
- C18.49 - Une intersection de sous-espaces vectoriels de \( E \)
est
un sous-espace vectoriel de \( E \)
- C18.50 - La réunion de deux sous de sous-espaces vectoriels de \( E \)
n'est pas nécessairement
un sous-espace vectoriel de \( E \)
- C18.53 - Définition d'un sous-espace vectoriel engendré par une partie de \( E \)
- C18.55 - Description du sous-espace vectoriel engendré par une partie finie de \( E \)
- C18.56 -
\( \operatorname{Vect}\left( (1,1,1) , (2,1,-1) \right)
= \operatorname{Vect}\left( (0,1,3) , (9,4,-6) \right) \)
- C18.58 - Écriture de \( \left\{ P \in \mathbb{R}_5[X] \;:\; P(0)=P(1)=0 \right\} \)
comme un sous-espace engendré par 4 polynômes
- C18.62 - Définition d'une famille génératrice d'un espace vectoriel
- C18.63 - Détermination d'une famille génératrice de
\( \left\{ (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \;:\; x+y+z+t=0 \right\} \)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C18.57 -
Comparer
\( \operatorname{Vect}\left( (-1,1,2,-2) , (1,2,3,-6) \right) \)
et
\( \left\{ (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \;:\; x+y+z+t=0 \right\} \)
[298] - Séance du Mardi 14 mars (2h)
-
Chapitre 18 - Espaces vectoriels (suite)
- C18.16 - Le vecteur \( u = (1,1,1,1) \)
est-il combinaison linéaire des vecteurs
\( u_1 = (3,2,2,2) \),
\( u_2 = (1,0,1,1) \),
\( u_3 = (1,1,0,1) \)
et
\( u_4 = (1,1,1,0) \) ?
- C18.22 - Définition d'une famille presque nulle de scalaires
- C18.23 - Combinaison linéaire d'une famille quelconque de vecteurs
- C18.24 - Si \( a \in \mathbb{K} \),
tout polynôme de \( \mathbb{K}[X] \) est combinaison linéaire de la famille \( \left( (X-a)^n \right)_{n \in \mathbb{N} } \)
- C18.26 - Définition d'un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel
- C18.27 - Sous-espaces vectoriels triviaux d'un espace vectoriel
- C18.28 - Structure naturelle d'espace vectoriel sur un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel
- C18.30 - Critère pour être un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel
- C18.31 - Droite vectorielle
- C18.32 - Droite vectorielle du plan
- C18.33 - La parabole n'est pas un sous-espace vectoriel du plan.
- C18.34 - Description (admise) des sous-espaces vectoriels du plan
- C18.37 - Une réunion de trois plans vectoriels de l'espace n'est pas un sous-espace vectoriel de l'espace.
- C18.38 - Description (admise) des sous-espaces vectoriels de l'espace
- C18.39 - Le noyau d'une matrice de format \( (n,p) \) est un sous-espace vectoriel de \( \mathcal{M}_{p,1}( \mathbb{K} ) \)
- C18.40 - L'ensemble solution d'un système linéaire homogène à \( n \) équations et \( p \) inconnues est un sous-espace vectoriel de \( \mathbb{K}^p \)
- C18.42 - L'ensemble des polynômes de degré égal à \( p \), où \( p \in \mathbb{N} \), n'est pas un sous-espace vectoriel de \( \mathbb{K}[X] \)
- C18.43 - \( \mathbb{K}[X] \) est un sous-espace vectoriel de \( \mathbb{K}[X] \)
- C18.45 - L'ensemble des suites arithmétiques de \( \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \) est un sous-espace vectoriel de \( \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \),
contrairement à l'ensemble des suites géométriques de \( \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \).
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C17.116 - DA à deux termes d'une suite définie de manière implicite
[296] - Séance du Lundi 13 mars (2h)
-
Compléments sur le chapitre 17 - Analyse asymptotique
- C17.108 - Équivalent de \( \sqrt[n\;\;]{n} - \sqrt[n\;\;]{n+1} \)
- C17.115 - DA d'une suite définie de manière implicite
- TD17.12 - Composée de deux DL
- TD17.44 - Développement asymptotique d'une fonction
- TD17.55 - DL d'une fonction réciproque
- TD17.57 - Développement asymptotique d'une suite d'intégrales
- TD17.59 - Développement asymptotique d'une suite récurrente
- TD17.63 - Équivalent de \( \displaystyle \sum_{k=1}^n k! \)
-
Chapitre 18 - Espaces vectoriels (début)
- C18.1 - \( \mathbb{K} \) désigne \( \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \)
- C18.2 - Définition d'un espace vectotiel
- C18.4 - Conséquences des axiomes de structures d'espace vectoriel
- C18.6 - Exemple d'espaces vectoriels: \( \mathbb{K}^n \) où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C18.7 - Exemple d'espaces vectoriels: \( \mathbb{K}^{\Omega} \) où \( \Omega \) est un ensemble non vide
- C18.8 - Exemple d'espaces vectoriels: \( \mathbb{K}^{\mathbb{N}} \)
- C18.9 - Exemple d'espaces vectoriels: \( \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \) où \( n,p \in \mathbb{N}^* \)
- C18.10 - Exemple d'espaces vectoriels: \( \mathbb{K}[X] \)
- C18.12 - Produit d'un nombre fini d'espaces vectoriels
- C18.12 - Définition d'une combinaison linéaire d'un nombre fini de vecteurs
- C18.13 - Exemple d'un vecteur combinaison linéaire de trois autres dans \( \mathbb{R}^2 \)
- C18.14 - Exemple d'un vecteur qui n'est pas combinaison linéaire de deux autres dans \( \mathbb{R}^3 \)
- C18.17 - Exemple d'un polynôme qui est combinaison linéaire de quatre autres dans \( \mathbb{R}[X] \)
et formule de Taylor exacte
- C18.18 - Exemple d'un polynôme qui est combinaison linéaire de \( n + 1 \) autres dans \( \mathbb{R}[X] \)
et interpolateurs de Lagrange
- C18.19 - \( \cos^5 \) est combinaison linéaire de
\( x \longmapsto \cos(x) \),
\( x \longmapsto \cos(3x) \),
\( x \longmapsto \cos(5x) \)
dans \( \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \)
- C18.22 - Exemple d'une suite qui est combinaison linéaire de deux suites géométriques dans \( \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \)
et suites récurrentes linéaires d'ordre 2
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C18.16 - Le vecteur \( u = (1,1,1,1) \)
est-il combinaison linéaire des vecteurs
\( u_1 = (3,2,2,2) \),
\( u_2 = (1,0,1,1) \),
\( u_3 = (1,1,0,1) \)
et
\( u_4 = (1,1,1,0) \) ?
[290] - Séance du Samedi 11 mars (4h)
-
Devoir surveillé n°9
- Étude locale d'une fonction
- DL de tangente et d'arctangente à l'ordre 6 en 0
- Une équation polynomiale (E3A PSI 2011)
- Interpolation polynomiale et phénomène de Runge (CCINP MP 2018)
- Équations algébriques réciproques (Mines-Ponts MP 2012)
[286] - Séance du Vendredi 10 mars (2h)
-
Complément sur le chapitre 16 - Polynômes
- Correction de l'exercice 4 du DL13 -
Polynômes à ceofficients prenant des valeurs entières aux entiers
-
Chapitre 17 - Analyse asymptotique (suite et fin)
- C17.96 - La fonction
\( x \longmapsto \ln(1+x) - e^x \)
atteint-elle un extremum local en 0 ?
- C17.98 - La fonction
\( x \longmapsto x \cdot \sqrt{1+x} - \ln(1+x) + 2 \cdot \cos(x) - 2 \)
atteint-elle un extremum local en 0 ?
- C17.99 - Définition des notations de Landau pour les suites
- C17.100 - Suite équivalente à la suite nulle
- C17.101 - Expression des relations de Landau à l'aide de quotients
- C17.102 - Exemples
d'une suite dominée par une autre,
d'une suite négligeable devant une autre,
d'une suite équivalente à une autre
- C17.103 - Vrai-Faux sur les équivalents
- C17.104 - Les propriétés des notations O, o et \( \sim \) énoncées dans le cadre des fonctions
s'étendent mutatis mutandis aux suites.
- C17.106 - DA à deux termes de \( \left( \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \right)_{n \in \mathbb{N}^* } \)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C17.108 - Équivalent de \( \sqrt[n\;\;]{n} - \sqrt[n\;\;]{n+1} \)
- C17.115 - DA d'une suite définie de manière implicite
[284] - Séance du Jeudi 9 mars (2h)
-
Complément sur le chapitre 16 - Polynômes
- Correction de l'exercice 2 du DL13 - Théorème de Lucas dans \( \mathbb{R} \)
-
Chapitre 17 - Analyse asymptotique (suite)
- C17.90 - Du prolongement par continuité en 0 de la fonction \( x \longmapsto \dfrac{1}{\sin(x)} - \dfrac{1}{x} \)
- C17.92 - Asymptote en \( + \infty \) de la fonction \( x \longmapsto \sqrt{1+x+x^2} \)
- C17.93 - Asymptote en \( + \infty \) de la fonction \( x \longmapsto x^4 \cdot \left( \operatorname{Arctan} \left( \dfrac{1}{x} \right) - \dfrac{1}{x} \right) \)
- C17.95 - CN et CS d'extremum local en un point intérieur
[282] - Séance du Mercredi 8 mars (4h)
-
Chapitre 17 - Analyse asymptotique (suite)
- C17.62 - \(\operatorname{DL}_4(0)\) de \( x \longmapsto \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \)
- C17.68 - \(\operatorname{DL}_4(0)\) de \( x \longmapsto \ln^2(1+x) \)
- C17.69 - Composition de deux DL en 0 (démonstration)
- C17.71 - \(\operatorname{DL}_5(0)\) de \( x \longmapsto ( \cos(x) )^{ \sin(x) } \)
- C17.74 - \(\operatorname{DL}_4(0)\) de \( x \longmapsto \dfrac{1}{\cos(x)} \)
- \(\operatorname{DL}_4(1)\) de \( x \longmapsto \sqrt{3+x} \)
- C17.75 - \(\operatorname{DL}_4(0)\) de \( x \longmapsto \dfrac{\sin(x) - 1}{\cos(x) + 1} \)
- C17.77 - Équivalent de \( \ln(1+x) - \sin(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( 0 \)
- C17.78 - Équivalent de \( \operatorname{ch}(x) + \cos(x) - 2 \) lorsque \( x \) tend vers \( 0 \)
- C17.79 - Équivalent de \( \sqrt{1+x} - \dfrac{2}{2-x} \) lorsque \( x \) tend vers \( 0 \)
- C17.80 - Limite éventuelle de \( \dfrac{\sin(x)-x}{x^3} \) lorsque \( x \) tend vers \( 0 \)
- C17.81 - Limite éventuelle de \( \dfrac{1+\ln(1+x)-e^x}{1-\cos(x)} \) lorsque \( x \) tend vers \( 0 \)
- C17.84 - Limite éventuelle de \( \dfrac{e^{\sin(x)} - e^{\tan(x)}}{\sin(x) - \tan(x)} \) lorsque \( x \) tend vers \( 0 \)
- C17.87 - Limite éventuelle de \( \dfrac{\sin(x)-\cos(x)}{1-\tan(x)} \) lorsque \( x \) tend vers \( \dfrac{\pi}{4} \)
- C17.88 - Étude locale en 0 de la fonction \( x \longmapsto \dfrac{1}{1+e^x} \)
-
Interrogation de cours n°21
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C17.90 - Du prolongement par continuité en 0 de la fonction \( x \longmapsto \dfrac{1}{\sin(x)} - \dfrac{1}{x} \)
[278] - Séance du Mardi 7 mars (2h)
-
Chapitre 17 - Analyse asymptotique (suite)
- Partie 4 - Table des 10 DL usuels
- C17.59 - Combinaison linéaire de deux DL
- C17.60 - \(\operatorname{DL}_4(0)\) de \( x \longmapsto \ln(1+x) - \cos(x) \)
- C17.61 - \(\operatorname{DL}_3(0)\) de \( x \longmapsto \sqrt{1+x} - 2\operatorname{Arctan}(x) \)
- C17.65 - Multiplication de deux DL
- C17.66 - \(\operatorname{DL}_3(0)\) de \( x \longmapsto \sin(x) \cdot e^x \)
- C17.67 - \(\operatorname{DL}_4(0)\) de \( x \longmapsto \ln(1+x) \cdot \operatorname{ch}(x) \)
- C17.69 - Composition de deux DL en 0 (énoncé)
- C17.70 - \(\operatorname{DL}_4(0)\) de \( x \longmapsto \ln \left( \dfrac{\sin(x)}{x} \right) \)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C17.62 - \(\operatorname{DL}_4(0)\) de \( x \longmapsto \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \)
- C17.68 - \(\operatorname{DL}_4(0)\) de \( x \longmapsto \ln^2(1+x) \)
- C17.71 - \(\operatorname{DL}_5(0)\) de \( x \longmapsto ( \cos(x) )^{ \sin(x) } \)
- C17.72 - \(\operatorname{DL}_4(0)\) de \( x \longmapsto x \cdot \left( \operatorname{ch}(x) \right)^{1/x} \)
[276] - Séance du Lundi 6 mars (2h)
-
Complément sur le chapitre 16 - Polynômes
- TD16.17 - Théorème des degrés échelonnés
- TD16.20 - Prescription des valeurs des dérivés itérés d'un polynôme en un point
- TD16.21 - Une famille de polynômes liée aux polynômes de Tchebychev
-
Chapitre 17 - Analyse asymptotique (suite)
- TD17.1 - \(\operatorname{DL}_n(0)\) d'une fonction polynomiale
- TD17.2 - Composition d'un DL par la droite: fondements
- TD17.3 - \(\operatorname{DL}_3(0)\) de \( x \longmapsto e^{\sin(x)} \)
- TD17.4 - \(\operatorname{DL}_n(0)\) de la fonction arcsinus
-
Interrogation de cours n°20
[274] - Séance du Vendredi 3 mars (2h)
-
Chapitre 17 - Analyse asymptotique (suite)
- C17.42 - \(\operatorname{DL}_1\) et dérivabilité
- C17.43 - \(\operatorname{DL}_1(0)\) de \( x \longmapsto \ln(x+\cos(x)) \)
- C17.44 - Prolongement par continuité et dérivabilité d'un tel à l'aide d'un développement asymptotique sur un voisinage épointé
- C17.46 - Fonction possédant un \(\operatorname{DL}_2(0)\), qui n'est pas deux fois dérivable en \( 0 \)
- C17.47 - DL et signe
- C17.48 - \(\operatorname{DL}_2(a)\) avec un coefficient d'ordre 2 non nul et allure locale d'une courbe
- C17.49 - Inégalité des accroissements finis généralisée
- C17.50 - Primitivation d'un DL
- \(\operatorname{DL}_n(0)\) de \( x \longmapsto \ln(1+x) \)
-
Interrogation de cours n°19
- Définition de la notation de Landau \( \operatorname{o} \)
- Propriétés de la relation \( \underset{x \to a}{\sim} \)
- Définition d'une fonction possédant un \(\operatorname{DL}_n(a)\)
- Unicité d'un DL
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C17.54 -
Étudier, comprendre et apprendre
l'énoncé et la démonstration proposée de la formule de Taylor-Young.
- Partie 4 du chapitre 17 -
Étudier, comprendre et apprendre par coeur (i.e. avec amour et passion)
l'énoncé et la démonstration des dix développements limités usuels.
- TD16.17 - Théorème des degrés échelonnés
- TD16.20 - Prescription des valeurs des dérivés itérés d'un polynôme en un point
- TD16.21 - Une famille de polynômes liée aux polynômes de Tchebychev
[272] - Séance du Jeudi 2 mars (2h)
-
Chapitre 17 - Analyse asymptotique (suite)
- Équivalent de
\(
\dfrac{3^x - \operatorname{sh}(x) + x^3}{\sqrt{x}-\ln\left(x^2+1\right)}
\)
lorsque
\( x \) tend vers \( + \infty \)
- C17.33 - Définition d'un développement limité à l'ordre \( n \) en un point \( a \)
- C17.34 - \(\operatorname{DL}_1\) de \( \ln \) en 1
- C17.35 - \(\operatorname{DL}_n(0)\) de \( x \longmapsto \dfrac{1}{1-x} \)
- C17.36 - Unicité d'un DL
- C17.37 - Troncature d'un DL
- C17.38 - Parité et DL
- C17.39 - Translation d'un DL en un point réel \( a \) au point \( 0 \)
- C17.40 - Être un \( \operatorname{o}(1) \) versus tendre vers 0
- C17.41 - \(\operatorname{DL}_0\) et continuité
- C17.45 - \(\operatorname{DL}_2(0)\) de \( \cos \)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C17.46 - Fonction possédant un DL2 en \( 0 \), qui n'est pas deux fois dérivable en \( 0 \)
[270] - Séance du Mercredi 1er mars (2h)
-
Complément sur le chapitre 16 - Polynômes
- TD16.18 - Polynôme divisible par son polynôme dérivé
-
Chapitre 17 - Analyse asymptotique (suite)
- C17.21 - \( f_1 \underset{a}{\sim} g_1 \) et \( f_2 \underset{a}{\sim} g_2 \)
n'entraîne pas nécessairement
\( f_1+f_2 \underset{a}{\sim} g_1+g_2 \)
- C17.23 - Étudier une fonction \( f \) au voisinage d'un point \(a \in \mathbb{R} \)
revient à étudier la fonction
\( h \longmapsto f(a+h) \)
au voisinage de 0
- C17.24 -
Équivalent simple de
\( \cos(x) \)
lorsque \( x \) tend vers \( \dfrac{\pi}{2} \)
- C17.25 -
Équivalent simple de
\( \ln\left( x^2 - 2 x - 2 \right) \)
lorsque \( x \) tend vers \( 3 \)
- C17.26 - Reformulation des croissances comparées avec les notations de Landau
- C17.27 -
Équivalent simple de
\( \dfrac{\ln^6(x) - 2 \sqrt{x}}{\operatorname{ch}(2x) - x^3} \)
lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \)
- C17.28 -
Équivalent simple de
\( \ln(\operatorname{ch}(x)) - 2\sqrt{x} \)
lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \)
- C17.31 -
Deux propriétés conservées par équivalences:
limite et signe local
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD16.17 - Théorème des degrés échelonnés
- Équivalent de
\(
\dfrac{3^x - \operatorname{sh}(x) + x^3}{\sqrt{x}-\ln\left(x^2+1\right)}
\)
lorsque
\( x \) tend vers \( + \infty \)
[268] - Séance du Mardi 28 février (2h)
-
Complément sur le chapitre 16 - Polynômes
- Factorisation d'un polynôme \( P \) connaissant certaines de ses racines et leurs multiplicités
-
Chapitre 17 - Analyse asymptotique (suite)
- C17.13 - Expression des relations de Landau à l'aide de quotients
- C17.14 - Équivalent d'une fonction polynomiale en 0 et en \(+\infty\)
- C17.15 - DL de \( x \longmapsto \dfrac{1}{1-x} \) au voisinage de 0
- C17.16 - Propriétés de la notation \( \operatorname{O} \)
- C17.17 - \( f_1 \underset{a}{=} \operatorname{O}(g_1) \) et \( f_2 \underset{a}{=} \operatorname{O}(g_2) \)
n'entraîne pas nécessairement
\( f_1+f_2 \underset{a}{=} \operatorname{O}(g_1+g_2) \)
- C17.18 - Propriétés de la notation \( \operatorname{o} \)
- C17.19 - \( f_1 \underset{a}{=} \operatorname{o}(g_1) \) et \( f_2 \underset{a}{=} \operatorname{o}(g_2) \)
n'entraîne pas nécessairement
\( f_1+f_2 \underset{a}{=} \operatorname{o}(g_1+g_2) \)
- C17.20 - Propriétés de la notation \( \sim \)
- C17.22 - \( f \underset{a}{\sim} g \)
n'entraîne pas nécessairement
\( \exp \circ f \underset{a}{\sim} \exp \circ g \)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD16.18 - Polynôme divisible par son polynôme dérivé
[266] - Séance du Lundi 27 février (4h)
-
Complément sur le chapitre 16 - Polynômes
- TD16.1 - Résolution d'une équation polynomiale
- TD16.6 -
Factorisation d'un polynôme de \( \mathbb{R}[X] \) possédant une racine dans
\( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} \)
- TD16.8 - Polynômes \( P \) vérifiant \( P(X) = P(X+1) \)
- TD16.10 - L'exponentielle tronquée n'a pas de racine multiple.
- TD16.11 - Factorisation de \( X^8 + 1 \) dans \( \mathbb{R}[X] \)
- TD16.13 - Dérivée d'une composée
-
Chapitre 17 - Analyse asymptotique (début)
- C17.1 - Définition d'un voisinage d'un point \( a \in \overline{\mathbb{R}} \)
- C17.2 - Si \( a \in \overline{\mathbb{R}} \) alors \( \mathcal{V}(a) \) désigne l'ensemble des voisinages de \( a \)
- C17.3 - Propriétés des voisinages d'un point \( a \in \overline{\mathbb{R}} \)
- C17.4 - Une intersection quelconque de voisinages d'un point \( a \in \overline{\mathbb{R}} \) n'est pas nécessairement un voisinage de \( a \)
- C17.5 - Notion de voisinage épointé d'un point \( a \in \mathbb{R} \)
- C17.6 - Définition de l'ensemble \( \mathcal{G}_a\) des germes des fonctions définies au voisinage d'un point \( a \in \overline{\mathbb{R}} \)
- C17.7 - Structure d'anneau sur \( \mathcal{G}_a\) où \( a \in \overline{\mathbb{R}} \)
- C17.8 - Définition de la relation de domination au voisinage d'un point \( a \in \overline{\mathbb{R}} \)
- C17.9 - Définition de la relation de négligeabilité au voisinage d'un point \( a \in \overline{\mathbb{R}} \)
- C17.10 - Définition de
\( f(x) \;\underset{x \rightarrow a}{=}\; g(x) + \operatorname{O}(h(x)) \)
et
\( f(x) \;\underset{x \rightarrow a}{=}\; g(x) + \operatorname{o}(h(x)) \)
- C17.11 - Définition de la relation d'équivalence au voisinage d'un point \( a \in \overline{\mathbb{R}} \)
- C17.12 - Lien fondamental entre relation d'équivalence et relation de négligeabilité
- \( 2 x^2 + 4x^4 + 5 x^7 \;\underset{x \rightarrow 0}{\sim}\; 2 x^2 \)
-
Interrogation de cours n°18
- Partie entière d'un nombre réel
- Somme de termes en progression géométrique
- Théorème de Cauchy pour une EDL1 et conséquence géométrique
- Caractérisation de l’ordre de multiplicité d’une racine d’un polynôme
via les polynômes dérivés itérés
[262] - Séance du Vendredi 10 février (2h)
-
Chapitre 16 - Polynômes (fin)
- C16.87 - Théorème de d'Alembert-Gauß
- C16.88 - Scindage sur \( \mathbb{C} \) d'un polynôme de \( \mathbb{C}[X] \) de degré supérieur ou égal à 1
- C16.89 - Existence et unicité des interpolateurs élémentaires de Lagrange
- C16.90 - Polynôme interpolateur de Lagrange
- C16.91 - Calcul de l'unique polynôme \( P \in \mathbb{K}_3[X] \) tel que \( P(0)=5 , P(1)=-2 , P(2)=7 , P(3)=-1 \)
- C16.94 - Définition du polynôme dérivé formel et des polynômes dérivés itérés
- C16.95 - Calcul des polynômes dérivés itérés de \( 2 X^4 - 7 X^3 + 4 X^2 - 3 X + 1 \)
- C16.96 - Dérivation formelle des polynômes versus dérivation des fonctions polynomiales
- C16.97 - Degré du polynôme dérivé
- C16.98 - De l'annulation des dérivées itérées d'un polynômes
- C16.99 - Propriétés algébriques de la dérivation des polynômes
- C16.100 - Dérivée de \( (X - a)^n \) où \( a \in \mathbb{K} \) et \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C16.101 - Formule de Leibniz
- C16.102 - Formule de Taylor exacte dans \( \mathbb{K}[X] \)
- C16.103 - Formule de Taylor exacte pour le polynôme \( X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 \) au point 1
- C16.105 - Caractérisation de l'ordre de multiplicité d'une racine via les dérivées itérées
- C16.106 - Calcul de \( \operatorname{mult}(-2,X^5 + 7 X^4 + 19 X^3 + 26 X^2 + 20 X + 8) \)
-
Interrogation de cours n°17
- Définition du produit de deux polynômes
- Propriétés du degré relativement à l'addition et à la multiplication
- Définition de l'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme
- Théorème de la division euclidienne dans \( \mathbb{K}[X] \)
-
Devoir libre
- DL13 (pour le 27/2) :
Polynômes de Tchebychev,
version réelle du théorème de Lucas,
calcul de \( \zeta(2) \) à l'aide de cotangentes,
polynômes de \( \mathbb{C}[X] \) prenant des valeurs entières aux entiers.
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD16.1 - Résolution d'une équation polynomiale
- TD16.6 - Factorisation d'un polynôme de \( \mathbb{R}[X] \) possédant une racine dans \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} \)
- TD16.8 - Polynômes \( P \) vérifiant \( P(X) = P(X+1) \)
[260] - Séance du Jeudi 9 février (2h)
-
Chapitre 16 - Polynômes (suite)
- CNS sur le réel \( \lambda \) pour que le polynôme
\(A := 2 X^2 - 3 X + 4 \)
divise le polynôme
\(B := 2 X^7 - 3 X^6 - 2 X^5 + 9 X^4 - 10 X^3 - 5 X^2 + \lambda X - 4 \).
- C16.78 - Définition d'un polynôme de \( \mathbb{K}[X] \) scindé sur \( \mathbb{K} \)
- C16.79 - Le polynôme \( X^2 - 2 \) n'est pas scindé sur \( \mathbb{Q} \) mais il est scindé sur \( \mathbb{R} \)
- Un polynôme \( P \in \mathbb{R}[X] \) de degré 2 est scindé sur \( \mathbb{R} \) si et seulement si son discriminant est positif ou nul.
- C16.80 - Si \( n \) est un entier supérieur ou égal à 2,
scindage de \( X^n - 1 \) sur \( \mathbb{C} \)
- C16.81 - Multiplicités des racines d'un polynôme de \( \mathbb{K}[X] \) scindé sur \( \mathbb{K} \)
- C16.83 - Expressions des coefficients de
\( \lambda ( X - \alpha_ 1) ( X - \alpha_2 ) ( X - \alpha_3 ) \)
où \( ( \lambda , \alpha_1 , \alpha_2 , \alpha_3 ) \in \mathbb{K}^* \times \mathbb{K} \times \mathbb{K} \times \mathbb{K} \)
- C16.84 - Formules de Viète
- C16.86 - Résolution d'un système d'équations algébriques grâce aux formules de Viète pour un polynôme de degré 3 de \( \mathbb{K}[X] \) scindé sur \( \mathbb{K} \)
- C16.87 - Si \( n \) est un entier supérieur ou égal à 2,
valeurs de la somme et du produit des racines \( n \)-ièmes de l'unité à partir du
scindage de \( X^n - 1 \) sur \( \mathbb{C} \) et des formules de Viète.
[258] - Séance du Mercredi 8 février (4h)
-
Chapitre 16 - Polynômes (suite)
- C16.31 - Dégré et coefficient dominant de la composée de deux polynômes non nuls
- C16.32 - Résolution de l'équation \( P \circ P = P \) d'inconnue \( P \in \mathbb{K}[X] \)
- C16.53 - Division euclidienne de
\( A := X^5 - 2 X^4 + 3 X^3 - 4 X^2 + 5 X + 2 \)
par
\( B := 3 X^2 - 2 X + 1 \).
- C16.54 - Algorithme de la division euclidienne dans \( \mathbb{K}[X] \)
- C16.55 - Correction de l'algorithme de la division euclidienne dans \( \mathbb{K}[X] \)
- C16.56 - Critère de divisibilité via la division euclidienne
- C16.58 - Division euclidienne de \( A \in \mathbb{K}[X] \) par \( B \in \mathbb{K}[X] \) non nul
lorsque \( \operatorname{deg}(A) < \operatorname{deg}(B) \)
- C16.60 - Si \( a \in \mathbb{K} \) et \( P \in \mathbb{K}[X] \), division euclidienne de \( A \) par \( X - a \)
- C16.61 - Si \( B \in \mathbb{K}[X] \) est de degré \( n \) supérieur ou égal à 1,
propriétés de l'application
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{K}[X] & \longrightarrow & \mathbb{K}_{n-1}[X] \\
P & \longmapsto & \text{reste de la division euclidienne de \( P \) par \(B\)}
\end{array} \right. \]
- C16.62 - Fonction polynomiale associée à un polynôme
- C16.63 - Exemple de deux polynômes distincts de \( \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} [X] \) qui ont même fonction polynomiale associée
- C16.64 - Propriétés algébriques de l'évalutation d'un polynôme en un point
- C16.65 - L'application
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{K}[X] & \longrightarrow & \mathcal{F}(\mathbb{K},\mathbb{K}) \\
P & \longmapsto & \widetilde{P}
\end{array} \right. \]
est un morphisme de \( \mathbb{K} \)-algèbres.
- C16.66 - Définition d'une racine et du spectre d'un polynôme
- C16.67 - Spectres complexe et réel de \( X^5 + 32 \)
- C16.68 - Un polynôme à coefficients réels de degré impair possède une racine réelle.
- C16.69 - Factorisation d'un polynôme connaissant une racine
- C16.70 - Factorisation d'un polynôme connaissant un nombre fini de racines deux-à-deux distinctes
- C16.71 - Si \( n , r \) sont des entiers tels que \( 1 \leqslant r < n \)
et \( \alpha_1,\ldots,\alpha_n \) sont des éléments de \( \mathbb{K} \)
détermination de l'ensemble des polynômes de
\( \mathbb{K}_n[X] \) dont \( \alpha_1,\ldots,\alpha_n \) sont racines.
- C16.72 - Majoration du nombre de racines d'un polynôme non nul par son degré
- C16.73 - Si le corps \( \mathbb{K} \) est infini alors l'application
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{K}[X] & \longrightarrow & \mathcal{F}(\mathbb{K},\mathbb{K}) \\
P & \longmapsto & \widetilde{P}
\end{array} \right. \]
est injective.
- C16.73 - Si \( n \in \mathbb{N} \),
que dire d'un polynôme de \( \mathbb{K}_n[X] \) possédant au moins \( n+1 \) racines ?
- C16.74 - Définition de la multiplicité d'une racine d'un polynôme
- C16.75 - Une caractérisation de la multiplicité d'une racine
- C16.76 - Détermination de la multiplicité de la racine 1 du polynôme
\( P := X^5 - X^4 - 2 X^3 + 2 X^2 + X - 1 \).
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- Déterminer une CNS sur le réel \( \lambda \) pour que le polynôme
\(A := 2 X^2 - 3 X + 4 \)
divise le polynôme
\(B := 2 X^7 - 3 X^6 - 2 X^5 + 9 X^4 - 10 X^3 - 5 X^2 + \lambda X - 4 \).
[254] - Séance du Mardi 7 février (2h)
-
Chapitre 16 - Polynômes (suite)
- C16.29 - L'anneau \( \mathbb{K}[X] \) est intègre.
- C16.30 - Coefficient dominant d'un produit de deux polynômes non nuls
- C16.29 - L'anneau \( \mathbb{K}[X] \) est intègre.
- C16.36 - Définition de l'ensemble des combinaisons linéaires d'un nombre fini de polynômes
- C16.37 - Propriétés d'un ensemble de combinaisons linéaires d'un nombre fini de polynômes
- C16.38 - L'ensemble des polynômes de degré \( n \in \mathbb{N} \) n'est pas stable par combinaison linéaire.
- C16.39 - Définition de \( \mathbb{K}_n[X] \) où \( n \in \mathbb{N} \)
- C16.40 - Description de \( \mathbb{K}_0[X] \)
- C16.41 - Propriétés de \( \mathbb{K}_n[X] \) où \( n \in \mathbb{N} \)
- C16.42 - Rappels sur la définition du groupe des inversibles de l'anneau \( \mathbb{K}[X] \)
- C16.43 - Détermination des inversibles de l'anneau \( \mathbb{K}[X] \)
- C16.44 - Définition de la relation de divisibilité dans \( \mathbb{K}[X] \)
- C16.45 - CNS sur \( \lambda \in \mathbb{K} \) pour que \( X^3-1 \) divise \( X^6 + \lambda \)
- C16.46 - La relation de divisibilité sur \( \mathbb{K}[X] \) est réflexive, transivite mais pas antisymétrique.
- C16.47 - Divisibilité et inégalité sur les degrés
- C16.48 - Définition de deux polynômes associés
- C16.49 - Critère pour que deux polynômes soient associés
- C16.50 - La relation « être associés » est une relation d'équivalence sur \( \mathbb{K}[X] \)
- C16.51 - Théorème de la division euclidienne dans \( \mathbb{K}[X] \)
- C16.52 - Exemple de division euclidienne dans \( \mathbb{K}[X] \)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C16.31 - Dégré et coefficient dominant de la composée de deux polynômes non nuls
- C16.32 - Résolution de l'équation \( P \circ P = P \) d'inconnue \( P \in \mathbb{K}[X] \)
- C16.53 - Déterminer la division euclidienne de
\( A := X^5 - 2 X^4 + 3 X^3 - 4 X^2 + 5 X + 2 \)
par
\( B := 3 X^2 - 2 X + 1 \).
[252] - Séance du Lundi 6 février (2h)
-
Complément sur le chapitre 15 - Limites, continuité, dérivabilité
- TD15.17 - Fonction continue et valeurs antipodales égales
- TD15.19 - Point fixe et direction asymptotique
- TD15.28 - Dérivabilité d'une fonction définie par morceaux
- TD15.29 - Dérivées itérées de la fonction \( \operatorname{Arcsin}^2 \)
- TD15.30 - Calculs de sommes et nombre dérivé en 0 à droite
- TD15.32 - CN pour qu'un polynôme ait une racine dans \( ]0,1[ \)
- TD15.36 - Un pas vers la convexité
-
Devoir libre
- DL12 (pour le 10/2) :
Applications contractantes d'un segment dans lui-même,
suites de Cauchy,
espaces métriques complets,
théorème de Picard-Banach,
théorème de Blackwell en programmation dynamique
[250] - Séance du Vendredi 3 février (2h)
-
Complément sur le chapitre 15 - Limites, continuité, dérivabilité
- Caractère de la fonction inverse sur \( \mathcal{C}^{\infty} \) sur \( \mathbb{R}^* \) et dérivées itérées
-
Chapitre 16 - Polynômes (suite)
- Partie II - Synthèse des opérations définies sur \( \mathbb{K}[X] \)
- Partie III - Synthèse sur la structure de
\( \left( \mathbb{K}[X] , + , \times , \cdot \right) \)
- C16.16 - Formule du binôme dans \( \mathbb{K}[X] \)
- C16.17 - Factorisation d'une différence de deux puissances \(n\)-ièmes \( \mathbb{K}[X] \)
où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C16.18 - Associativité et commutativité de la multiplication dans \( \mathbb{K}[X] \)
- C16.19 - Une formule de Vandermonde: une démonstration algébrique, une autre combinatoire
- C16.20 - Définition du degré d'un polynôme
- C16.21 - Exemple de lecture du degré d'un polynôme
- C16.22 - Définition du coefficient dominant d'un polynôme non nul
- C16.23 - Exemple de lecture du coefficient dominant d'un polynôme non nul
- C16.24 - Définition d'un polynôme unitaire
- C16.25 - Exemples polynômes unitaires (resp. non unitaires)
- C16.26 - Normalisation d'un polynôme non nul
- C16.27 - Extension de \( + \) et \( \leqslant \) de \( \mathbb{N} \) à
\( \mathbb{N} \cup \{ - \infty \} \)
- C16.28 - Propriétés du degré relativement à \( + \) et \( \times \)
-
Interrogation de cours n°16
- Définition d'un DL1 au voisinage d'un point
- Théorème sur la dérivabilité et la dérivée de la réciproque d'une fonction bijective et dérivable
- Formule de Leibniz
- Théorème de Rolle
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD15.17 - Fonction continue et valeurs antipodales égales
- TD15.28 - Dérivabilité d'une fonction définie par morceaux
- TD15.36 - Un pas vers la convexité
[248] - Séance du Jeudi 2 février (2h)
-
Chapitre 15 - Limites, continuité, dérivabilité (fin)
- C15.161 - Régularité et dérivées itérées de la fonction
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto & x e^x
\end{array} \right. \]
- C15.163 - Quotient de deux fonctions de classe \( \mathcal{C}^k \) où \( k \in \mathbb{N} \cup \{ \infty \} \)
- C15.164 - Réciproque d'une application bijective de classe \( \mathcal{C}^k \) où \( k \in \mathbb{N} \cup \{ \infty \} \)
-
Chapitre 16 - Polynômes (début)
- C16.1 - \( \mathbb{K} \) désigne \( \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \)
- C16.2 - \( \mathbb{K}^{(\mathbb{N})} \) est l'ensemble des suites presque nulles d'éléments de \( \mathbb{K} \)
indexées par \( \mathbb{N} \).
- C16.3 - Définition de l'addition sur \( \mathbb{K}^{(\mathbb{N})} \)
- C16.4 - \( \left( \mathbb{K}^{(\mathbb{N})} , + \right) \) est un groupe abélien
- C16.5 - Définition de la multiplication par un scalaire sur \( \mathbb{K}^{(\mathbb{N})} \)
- C16.6 - \( \left( \mathbb{K}^{(\mathbb{N})} , + , \cdot \right) \) est un \( \mathbb{K} \)-espace vectoriel
- C16.7 - Définition de la multiplication interne sur \( \mathbb{K}^{(\mathbb{N})} \)
- C16.8 - \( \left( \mathbb{K}^{(\mathbb{N})} , + , \times , \cdot \right) \) est une \( \mathbb{K} \)-algèbre
- C16.9 - L'élément \( X \in \mathbb{K}^{(\mathbb{N})} \) et ses puissances
- C16.10 - Écriture canonique d'un élément de \( \mathbb{K}^{(\mathbb{N})} \)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- Démontrer que la fonction inverse est de classe \( \mathcal{C}^{\infty} \) sur \( \mathbb{R}^* \)
[246] - Séance du Mercredi 1er février (2h)
-
Devoir surveillé n°8
- Suite récurrente et application contractante
- Théorème de Darboux
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C15.161 - Régularité et dérivées itérées de la fonction
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto & x e^x
\end{array} \right. \]
[244] - Séance du Mardi 31 janvier (2h)
-
Chapitre 15 - Limites, continuité, dérivabilité (suite)
- C15.151 - Extrema locaux de la fonction
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto & x + \sin(x)
\end{array} \right. \]
- C15.152 - Théorème de la limite de la dérivée
- C15.153 - La fonction
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto &
\left\{ \begin{array}{cl}
e^{-1/x^2} & \text{si $x \not= 0$} \\
0 & \text{si $x = 0$}
\end{array}
\right.
\end{array} \right. \]
est de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( \mathbb{R} \).
- C15.154 - Définition d'une fonction de classe \( \mathcal{C}^k \) où \( k \in \mathbb{N} \cup \{ \infty \} \)
- C15.155 - Définition de l'ensemble \( \mathcal{C}^k(I,\mathbb{R}) \) où \( I\) est un intervalle et \( k \in \mathbb{N} \cup \{ \infty \} \)
- C15.156 - Inclusion et intersection d'ensembles \( \mathcal{C}^k(I,\mathbb{R}) \) où \( I\) est un intervalle et \( k \in \mathbb{N} \cup \{ \infty \} \)
- C15.157 - La fonction
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto &
\left\{ \begin{array}{cl}
x^2 \sin \left( \dfrac{1}{x} \right) & \text{si $x \not= 0$} \\
0 & \text{si $x = 0$}
\end{array}
\right.
\end{array} \right. \]
est dérivable sur \( \mathbb{R} \) mais sa dérivée n'est pas continue en 0.
- C15.158 - Régularité des fonctions usuelles
- C15.159 - Combinaison linéaire de fonctions de classe \( \mathcal{C}^k \) où \( k \in \mathbb{N} \cup \{ \infty \} \)
- C15.160 - Formule de Leibniz
- C15.162 - Composée de deux fonctions de classe \( \mathcal{C}^k \) où \( k \in \mathbb{N} \cup \{ \infty \} \)
[242] - Séance du Lundi 30 janvier (6h)
-
Chapitre 15 - Limites, continuité, dérivabilité (suite)
- C15.98 - Image de \( \mathbb{R}^* \) par la fonction \( f \colon x \longmapsto 1 + \dfrac{1}{4} \sin \left( \dfrac{1}{x} \right) \).
- C15.103 - Caractère borné d'une fonction continue sur \( \mathbb{R}_+ \), possédant une limite finie en \( + \infty \).
- C15.122 - Polongement par continuité en \( 0 \) d'une fonction puissance d'exposant \( \alpha > 0 \) et étude de sa dérivabilité en \( 0 \)
- C15.123 - Dérivabilité en \( 0 \) d'une fonction à paramètres définie par morceaux
- C15.136 - Extrema locaux de la fonction
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto & x + \sin(x)
\end{array} \right. \]
- C15.137 - Théorème de Rolle
- C15.138 - Théorème des accroissements finis
- C15.139 - Majoration de l'erreur dans l'approximation \( \cos(1) \approx \dfrac{1}{2} \)
- C15.140 - Fonction de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \) bornée et dérivable, dont la dérivée a une limite en \( + \infty \)
- C15.142 - Fonction \( f \) dérivable sur \( [0,1] \) telle que \( f(0)=0 \) et \( f(1)=1 \) et somme de \( n \) nombres dérivés dont la somme vaut \( n \)
- C15.143 - Définition d'une application lipschitzienne
- C15.144 - Une application lipschitzienne est continue
- C15.145 - La fonction exponentielle est continue sur \( \mathbb{R} \) mais non lipschiztienne sur \( \mathbb{R} \)
- C15.146 - Inégalité des accroissements finis
- C15.148 - Caractérisation des fonctions constantes sur un intervalle
- C15.149 - Caractérisation des fonctions monotones sur un intervalle
- C15.150 - Caractérisation des fonctions strictement monotones sur un intervalle
- C15.147 - Étude d'une suite récurrente dont l'application sous-jacente est contractante
- TD15.4 - Un polynôme à coefficients réels de degré impair possède une racine réelle
- TD15.5 - Une application continue de [0,1] dans [0,1] possède un point fixe
- TD15.7 - Si une fonction est continue sur \( \mathbb{R} \) et a pour limite \( + \infty \) en les infinis alors elle possède un minimum global.
- TD15.8 - Si un polynôme à coefficients réels est scindé sur \( \mathbb{R} \) alors son polynôme dérivé l'est également.
- TD15.16 - Étude d'une suite récurrente dont l'application sous-jacente est contractante
- TD15.17 - Nombre de solutions réelles de l'équation \( P(x) = e^x \) où \( P \) est un polynôme à coefficients réels
- TD15.18 - Non annulation de la dérivée et signe constant
[236] - Séance du Vendredi 27 janvier (3h)
-
Chapitre 15 - Limites, continuité, dérivabilité (suite)
- Soient \( f \colon E \longrightarrow F \) une application et \( ( A , B ) \in \mathcal{P}(E)^2 \).
Démontrer \( f( A \cup B ) = f(A) \cup f(B) \).
- C15.100 - Image de \( ]-1,+\infty[ \) par la fonction \( f \colon x \longmapsto x e^{-x} \) en rédigeant avec le plus grand soin
(donc pas uniquement à l'aide d'un simple tableau de variations, mais à l'aide des théorèmes du jour).
- C15.108 - Continuité d'une fonction à valeurs complexes
- C15.109 - Caractérisation d'une fonction à valeurs complexes
- C15.110 - Extension de certains résultats établis pour les fonctions à valeurs réelles aux fonctions à valeurs complexes
- C15.111 - Le théorème des valeurs intermédiaires ne vaut pas pour des fonctions à valeurs complexes.
- C15.112 - Définition de la dérivabilité en un point et du nombre dérivé
- C15.113 - Dérivabilité et nombre dérivée de la fonction
\( f \colon \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \;;\; x \longmapsto 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1 \)
en tout point \( a \in \mathbb{R} \).
- C15.115 - Définition d'un développement limité à l'ordre 1
- C15.116 - Dérivabilité, nombre dérivé et DL1
- C15.117 - DL1 en 0 de la fonction \( f \colon x \longmapsto \sqrt{1+x} \)
- C15.118 - La dérivabilité implique la continuité
- C15.119 - Une fonction continue en un point n'est pas nécessairement dérivable en ce point (cf. fonction valeur absolue)
- C15.120 - Dérivabilité à droite/gauche d'une fonction
- C15.121 - Dérivabilité à droite/gauche en un point pour une fonction versus dérivabilité en ce point pour icelle
- C15.124 - Dérivabilité sur un intervalle et fonction dérivée
- C15.125 - Opérations algébriques sur les fonctions dérivables
- C15.126 - Composée de deux fonctions dérivables
- C15.127 - Dérivabilité et dérivée d'une fonction réciproque
- C15.128 - Rappels sur la dérivabilité et la dérivée des fonctions usuelles
- C15.129 - Quelques dérivées de composées usuelles
- C15.131 - Définition d'un point critique d'une fonction
- C15.132 - Définition d'un extremum local d'une fonction
- C15.133 - La fonction cube a 0 pour point singulier mais n'atteint aucun extremum local en 0.
- C15.134 - Condition nécessaire d'extremum local en un point intérieur
-
Interrogation de cours n°15
- Théorème des valeurs intermédiaires
- Image d'un intervalle par une application continue strictement monotone
- Théorème des bornes atteintes
- Image continue d'un segment
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C15.98 - Image de \( \mathbb{R}^* \) par la fonction \( f \colon x \longmapsto 1 + \dfrac{1}{4} \sin \left( \dfrac{1}{x} \right) \).
- C15.103 - Caractère borné d'une fonction continue sur \( \mathbb{R}_+ \), possédant une limite finie en \( + \infty \).
- C15.122 - Polongement par continuité en \( 0 \) d'une fonction puissance d'exposant \( \alpha > 0 \) et étude de sa dérivabilité en \( 0 \)
- C15.123 - Dérivabilité en \( 0 \) d'une fonction à paramètres définie par morceaux
- C15.130 - \( \operatorname{Argch} \)
- C15.136 - Extrema locaux de la fonction
\[ \left| \begin{array}{ccc}
\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto & x + \sin(x)
\end{array} \right. \]
[233] - Séance du Mercredi 25 janvier (4h)
-
Chapitre 15 - Limites, continuité, dérivabilité (suite)
- C15.46 - Limite de \( \displaystyle x \longmapsto \int_0^x e^{-t^2} \operatorname{d}t \) en \( + \infty \) et \( - \infty \)
- La fonction
\[ \left|
\begin{array}{ccc}
\mathbb{R} \setminus \{ 1 \} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto &
\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{ 2 x \left( \operatorname{Arctan}(x) - \dfrac{\pi}{4} \right) }{ \sqrt{4x} - 2} & \text{ si } x > 1 \\\\
\dfrac{ 3 e^{\sqrt[3\;]{x}} - 3 e}{ ex - e} & \text{ si } x < 1 \\
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.\]
est prolongeable par continuité en posant \( f(1) = 1 \).
- C15.89 - Opérations algébriques sur les fonctions continues
- C15.90 - Composée de deux fonctions continues
- C15.91 - Justification de la continuité d'une fonction à l'aide des théorèmes d'opérations
- C15.92 - Définition d'une fonction continue sur un intervalle
- C15.93 - Théorème des valeurs intermédiaires (démonstration par dichotomie)
- C15.94 - Image continue d'un intervalle
- C15.95 - L'équation \( \dfrac{e^x}{2} = \cos(x) \) possède une solution sur \( \mathbb{R} \)
- C15.96 - Une fonction continue sur un intervalle, qui ne s'annule pas, garde un signe constant
- C15.99 - Image d'un intervalle par une fonction continue et strictement monotone
- C15.101 - Théorème des bornes atteintes
- C15.104 - Image continue d'un segment
- C15.105 - Critère pour qu'une fonction soit strictement monotone, via des pentes
- C15.106 - Fonction continue et injective sur un intervalle
- C15.107 - Théorème de la bijection enrichi
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- Soient \( f \colon E \longrightarrow F \) une application et \( ( A , B ) \in \mathcal{P}(E)^2 \).
Démontrer \( f( A \cup B ) = f(A) \cup f(B) \).
- C15.100 - Image de \( ]-1,+\infty[ \) par la fonction \( f \colon x \longmapsto x e^{-x} \) en rédigeant avec le plus grand soin
(donc pas uniquement à l'aide d'un simple tableau de variations, mais à l'aide des théorèmes du jour).
- Défi.
Soit \( f \colon \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) une application
- (a) continue sur \( \mathbb{R} \) ;
- (b) positive ou nulle sur \( \mathbb{R} \) ;
- (c) ayant pour limite \( 0 \) en \( -\infty \) et en \( + \infty \).
Démontrer que la fonction \( f \) possède un maximum global (i.e. sur \( \mathbb{R} \)).
La conclusion vaut-elle si l'on supprime une des trois hypothèses (a), (b), (c) ?
[229] - Séance du Mardi 24 janvier (2h)
-
Chapitre 15 - Limites, continuité, dérivabilité (suite)
- C15.60 - Limite de \( e^x \, \left( \operatorname{Arctan}(x) - \dfrac{\pi}{2} \right) \) quand \(x\) tend vers \( + \infty \)
- C15.62 - \( \dfrac{1 - \operatorname{ch}(x)}{x^2} \;\underset{x \to 0}{\longrightarrow}\; \dfrac{1}{2} \)
- C15.63 - Limite finie en un point réel à droite pour une fonction
- C15.65 - Limite \( + \infty \) en un point réel à droite pour une fonction
- C15.67 - Limite \( - \infty \) en un point réel à droite pour une fonction
- C15.69 - Limite finie en un point réel à gauche pour une fonction
- C15.71 - Limite \( + \infty \) en un point réel à gauche pour une fonction
- C15.73 - Limite \( - \infty \) en un point réel à gauche pour une fonction
- C15.68 - \( \dfrac{1}{3-x} \;\underset{x \to 3^+}{\longrightarrow}\; -\infty \)
- C15.76 - Limite en un point de l'intervalle vs. limite à droite et à gauche en ce point
- La fonction
\[ \left|
\begin{array}{ccc}
\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto &
\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{\ln(1+x)}{x} & \text{ si } x>0 \\
1 & \text{ si } x=0 \\
\dfrac{2 - 2 \sqrt{1-x}}{x} & \text{ si } x<0
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.\]
possède une limite en 0.
- C15.77 - Définition de la continuité d'une fonction en un point
- C15.78 - Continuité des fonctions usuelles
- C15.79 - Points de continuité et de discontinuité de la fonction partie entière
- La fonction
\[ \left|
\begin{array}{ccc}
\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto &
\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{\sin(x)}{x} & \text{ si } x \not = 0 \\
1 & \text{ si } x=0
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.\]
est continue en 0.
- C15.82 - Définition d'une fonction prolongeable par continuité
- C15.83 - Étude des éventuels prolongements par continuité des fonctions
\[
\left|
\begin{array}{ccc}
\mathbb{R}^* & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto & \cos\left( \dfrac{1}{x} \right)
\end{array}
\right.
\qquad \text{et} \qquad
\left|
\begin{array}{ccc}
\mathbb{R}^* & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto & x \, \cos\left( \dfrac{1}{x} \right)
\end{array}
\right.\]
- C15.84 - Définition de la continuité à gauche/droite
- C15.85 - La fonction partie entière est continue à droite en tout point de \( \mathbb{R} \)
- C15.86 - La fonction
\[ \left|
\begin{array}{ccc}
\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto &
\left\{
\begin{array}{cl}
\sqrt{x} \, \ln(x) & \text{ si } x>0 \\
1 & \text{ si } x=0 \\
\dfrac{1-\cos(x)}{x}& \text{ si } x<0
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.\]
est continue à gauche et à droite en 0, donc continue en 0.
- C15.87 - Caractérisation séquentielle de la continuité
- C15.88 - La fonction
\[ \left|
\begin{array}{ccc}
\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto &
\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \text{ si } x \in \mathbb{Q} \\
0 & \text{ sinon }
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.\]
n'est continue en aucun point de \( \mathbb{R} \).
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C15.46 - Limite de \( \displaystyle x \longmapsto \int_0^x e^{-t^2} \operatorname{d}t \) en \( + \infty \) et \( - \infty \)
-
La fonction
\[ \left|
\begin{array}{ccc}
\mathbb{R} \setminus \{ 1 \} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto &
\left\{
\begin{array}{cl}
\dfrac{ 2 x \left( \operatorname{Arctan}(x) - \dfrac{\pi}{4} \right) }{ \sqrt{4x} - 2} & \text{ si } x > 1 \\\\
\dfrac{ 3 e^{\sqrt[3\;]{x}} - 3 e}{ ex - e} & \text{ si } x < 1 \\
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.\]
est-elle prolongeable par continuité ?
[227] - Séance du Lundi 23 janvier (2h)
-
Chapitre 15 - Limites, continuité, dérivabilité (suite)
- Retour sur le caractère bien défini ou non d'un produit matriciel
- Considérer la limite d'une fonction en un point qui n'est pas dans l'intervalle de définition ou au bord
n'est pas pertinent.
- Pour inverser une matrice on agit soit sur les lignes, soit sur les colonnes, mais pas sur les deux.
- TD14.17 - CNS pour que deux matrices de transposition commutent
- L'application
\[ \left|
\begin{array}{ccc}
( \mathbb{R} , + ) & \longrightarrow & ( \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) , \times ) \\
\lambda & \longmapsto & T_{i,j}(\lambda)
\end{array}
\right.\]
est un morphisme de groupes.
- C15.12 - \( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \underset{x \rightarrow -\infty}{\longrightarrow} +\infty \) en revenant à la définition
- C15.49,50,51,52,54,57,59,61 - Huit études de limites
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- Que dire d'une fonction
\( f \colon \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \)
une fonction \( T \)-périodique \((T>0)\) qui admet une limite (finie ou infinie) en \( + \infty \) ?
[225] - Séance du Vendredi 20 janvier (2h)
-
Chapitre 15 - Limites, continuité, dérivabilité (suite)
- C15.37 - Passage à la limite dans une inégalité large
- C15.38 - Cas où deux fonctions \( f , g \) vérifient \( f < g \) au voisinage de 3 avec même limite finie en 3
- C15.39 - Existence d'une limite finie par encadrement
- C15.40 - Limites éventuelles de \( x \longmapsto x \sin \left( \dfrac{1}{x} \right) \) en \( 0 \) et \( + \infty \)
- C15.41 - Critère pour avoir la limite \( + \infty \) par minoration
- C15.42 - Limite éventuelle de \( x \longmapsto 3x - \lfloor x/2 \rfloor + \cos\left(x^2+1\right) \) en \( + \infty \)
- C15.41 - Critère pour avoir la limite \( - \infty \) par majoration
- C15.42 - Théorème de la limite monotone pour les fonctions
- Partie 2 - Quelques outils pour étudier une limite
- C15.36 - Limite éventuelle de \( \left( 3 \times 2^{1/x} - 2 \times 3^{1/x} \right)^x \) en \( +\infty \).
-
Devoir libre
- DL11 (pour le 27/1) :
Fonctions polynomiales et matrices
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD14.14 - Calcul d'une puissance de matrice par trigonalisation
- TD14.17 - CNS pour que deux matrices de transposition commutent
- C15.12 - \( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \underset{x \rightarrow -\infty}{\longrightarrow} +\infty \) en revenant à la définition
- C15.49--62 - Quatorze études de limites
[223] - Séance du Jeudi 19 janvier (2h)
-
Chapitre 15 - Limites, continuité, dérivabilité (suite)
- C15.15 - \( \dfrac{x+1}{x^2-4} \underset{x \rightarrow 2^+}{\longrightarrow} +\infty \)
- C15.28 - Admettre une limite finie vs. être localement bornée
- C15.29 - Admettre une limite finie strictement positive vs. être localement strictement positive
- C15.31 - La fonction \( x \longmapsto \cos(x) \) n'a aucune limite dans \( \overline{R} \).
- C15.32 - La fonction \( x \longmapsto \sin \left( \dfrac{1}{x} \right) \) n'a aucune limite dans \( \overline{R} \).
- C15.33 - Composition de limites
- C15.34 - Opérations sur les limites
- \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \lfloor x \rfloor \) n'existe pas et \( \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \lfloor x \rfloor = -1 \).
- C15.35 - Si \( \alpha \in \mathbb{R} \) alors
\( (1+x)^{\alpha} - 1 \;\underset{x \to 0}{\sim}\; \alpha x \)
et
étude de \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+\sin(x)}-1}{\ln(1+2x)} \)
-
Interrogation de cours n°14
- Noyau d'une matrice et CNS d'inversibilité
- Une matrice de \( T \in \mathcal{T}_n^+(\mathbb{K}) \) est inversible
si et seulement si
ses coefficients diagonaux sont tous non nuls
et,
si \( T \) est inversible alors \( T^{-1} \in \mathcal{T}_n^+(\mathbb{K}) \).
- Définition d'une fonction possédant une limite finie en un réel
- \( \dfrac{x+1}{x+2} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} 1\)
[221] - Séance du Mercredi 18 janvier (4h)
-
Complément sur le chapitre 14 - Calcul matriciel et systèmes linéaires
- Si \( ( A , B=(B_1 | B_2 | \ldots | B_n) ) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})^2 \),
alors
\( AB = (AB_1 | AB_2 | \ldots | AB_n) \).
- Si \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \) possède une colonne (resp. ligne) nulle alors \( A \) n'est pas inversible
- Si \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \) possède deux colonnes (resp. lignes) identiques alors \( A \) n'est pas inversible
- Si \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \) possède une colonne (resp. ligne) combinaison linéaire des autres alors \( A \) n'est pas inversible
- Autre démonstration de C14.121 "Inversibilité et inverse éventuelle d'une matrice triangulaire supérieure" en s'appuyant sur les systèmes linéaires
- TD14.4 - Si \( (A,B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})^2 \) vérifie,
pour tout \( X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \),
\( A X B = 0 \)
alors
\( X = 0 \).
-
Chapitre 15 - Limites, continuité, dérivabilité (début)
- C15.1 - Rappels sur les limites de suites
- C15.2 - Objectifs
- C15.3 - Limite finie en \(+\infty\) pour une fonction
- C15.4 - Limite \(+\infty\) en \(+\infty\) pour une fonction
- C15.5 - Limite \(-\infty\) en \(+\infty\) pour une fonction
- C15.6 - \( 1 + \dfrac{1}{x-2} \underset{x \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} 1 \)
- C15.7 - \( x^2 - x + \sin(x) \underset{x \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} +\infty \)
- C15.8 - Limite finie en \(-\infty\) pour une fonction
- C15.9 - Limite \(+\infty\) en \(-\infty\) pour une fonction
- C15.10 - Limite \(-\infty\) en \(-\infty\) pour une fonction
- C15.11 - Limite finie en un point réel pour une fonction
- C15.12 - Limite \(+\infty\) en un point réel pour une fonction
- C15.13 - Limite \(-\infty\) en un point réel pour une fonction
- C15.14 - \( x^2 - 3x +4 \underset{x \rightarrow 1}{\longrightarrow} 2 \)
- C15.16 - Unicité de la limite
- C15.17 - Définition de la limite d'une fonction en un point de \( \overline{\mathbb{R}} \)
- C15.18 - Fonction définie en un point réel \( a \) et admettant une limite en \( a \)
- C15.19 - Définition d'une propriété vraie au voisinage d'un point de \( \overline{\mathbb{R}} \)
- C15.20 - Si \( a > 1 \) alors \( \ln \) est strictement positive au voisinage de \( a \)
- C15.21 - Si \( a \) est un réel qui n'est pas un multiple entier de \( \pi \),
alors la fonction \( \sin \) ne s'annule pas au voisinage de \( a \).
- C15.23 - Admettre une limite finie vs. être localement bornée
- C15.25 - Caractérisation séquentielle de la limite
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C15.15 - \( \dfrac{x+1}{x^2-4} \underset{x \rightarrow 2^+}{\longrightarrow} +\infty \)
- C15.29 - Admettre une limite finie strictement positive vs. être localement strictement positive
[217] - Séance du Mardi 17 janvier (2h)
-
Chapitre 14 - Calcul matriciel et systèmes linéaires (fin)
- C14.112 - Définition du noyau d'une matrice
- C14.113 - Structure du noyau d'une matrice
- C14.114 - Lien entre le noyau d'une matrice et le nombre de pivots obtenus après l'échelonnement de celle-ci avec l'algorithme du pivot de Gauß
- C14.115 - Inversibilité, inverse éventuelle et matrice augmentée
- C14.118 - Critère d'inversibilité via le noyau
- C14.119 - Une matrice carrée est inversible si et seulement si elle est inversible à droite (resp. à gauche)
- C14.120 - Inversibilité, inverse éventuelle et système linéaire
- C14.121 - Inversibilité et inverse éventuelle d'une matrice triangulaire supérieure
-
Calcul à rendre sur feuille pour la prochaine séance
- C14.116 - Inversibilité et inverse d'une matrice (3,3)
[215] - Séance du Lundi 16 janvier (5h)
-
Chapitre 14 - Calcul matriciel et systèmes linéaires (suite)
- C14.98 - Une opération élémentaire préserve l'inversibilité
- C14.99 - Exercice sur l'inversibilité et inverse d'une matrice triangulaire supérieure
- C14.100 - Définition d'une matrice échelonnée
- C14.101 - Notation carré et étoile pour symboliser des coefficients de matrices
- C14.102 - Exemples de matrices échelonnées ou non
- C14.103 - Algorithme du pivot de Gauß
- C14.104 - Correction de l'algorithme du pivot de Gauß
- C14.105 - Traduction matricielle du pivot de Gauß
- C14.106 - Définition des matrices de Jordan \( J_{n,p}(r) \)
- C14.107 - Exemples de matrices de Jordan
- C14.108 - D'une matrice échelonnée à une matrice de Jordan à l'aide d'opérations élémentaires
- C14.109 - Exemple de passage d'une matrice échelonnée à une matrice de Jordan à l'aide d'opérations élémentaires
- C14.110 - D'une matrice non nulle à une matrice de Jordan à l'aide d'opérations élémentaires
- C14.74 - Une matrice carrée se décompose d'une unique manière en somme d'une matrice symétrique
et d'une matrice antisymétrique.
- C14.95 - Critère d'inversibilité pour une matrice de format (2,2)
- TD14.1 - Un sous-anneau de \( \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \)
- TD14.3 - Dynamique de deux populations
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD14.4 - Si \( (A,B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})^2 \) vérifie,
pour tout \( X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \),
\( A X B = 0 \)
alors
\( X = 0 \).
[210] - Séance du Samedi 14 janvier (3h)
-
Devoir surveillé n°7
- Classe de similitude et trace
- Commutants de matrice et centre de \( \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \)
- Matrices triangulaires strictes et nilpotence
- Fonctions arithmétiques multiplicatives (Centrale 1 MP 2020)
[207] - Séance du Vendredi 13 janvier (2h)
-
Chapitre 14 - Calcul matriciel et systèmes linéaires (suite)
- C14.76 - Puissances de
\( \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ 2 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix} \)
- C14.76 - Puissances de
\( \begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)
- C14.78 - Définition d'une matrice diagonale (resp. triangulaire supérieure, triangulaire inférieure)
- C14.79 - Définition de \( \mathcal{D}_n(\mathbb{K}) \),
\( \mathcal{T}^+_n(\mathbb{K}) \),
\( \mathcal{T}^-_n(\mathbb{K}) \)
- C14.82 - Définition de la notation \( \operatorname{Diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \)
pour un \(n\)-uplet \( (\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \) de scalaires
- C14.83 - Produit de deux matrices diagonales
- C14.85 - Structure de \( \mathcal{D}_n(\mathbb{K}) \)
- C14.86 - Si \( n \geqslant 2 \) alors \( \mathcal{D}_n(\mathbb{K}) \) n'est pas intègre
- Famille génératrice de \( \mathcal{D}_n(\mathbb{K}) \)
- C14.87 - Structure de \( \mathcal{T}^+_n(\mathbb{K}) \)
- C14.88 - Structure de \( \mathcal{T}^-_n(\mathbb{K}) \)
- C14.90 - Définition d'une matrice inversible
- C14.91 - Inversibilité et inverse de la matrice
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)
à l'aide d'opérations élémentaires et de matrices augmentées
- C14.92 - Critère d'inversibilité d'une matrice diagonale
et inverse d'une matrice diagonale inversible
- C14.93 - Définition de \( \operatorname{GL}_n(\mathbb{K}) \)
- C14.94 - La multiplication sur \( \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \) induit une lci sur
\( \operatorname{GL}_n(\mathbb{K}) \)
qui lui confère une structure de groupe.
- C14.96 - Si \(A,B\) sont des matrices carrées de même format
et si deux des trois matrices \(A,B,A \times B\) sont inversibles,
alors la troisième l'est également.
- C14.97 - Inversibilité et inverse de la transposée d'une matrice inversible
-
Interrogation de cours n°13
- Définition du produit matriciel
- Produit de deux matrices élémentaires
- Propriétés de la transposée d'une matrice
- Associativité du produit matriciel
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C14.74 - Une matrice carrée se décompose d'une unique manière en somme d'une matrice symétrique
et d'une matrice antisymétrique.
- C14.95 - Critère d'inversibilité pour une matrice de format (2,2)
- TD14.1 - Un sous-anneau de \( \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \)
- TD14.2 - Quaternions
- TD14.3 - Dynamique de deux populations
[205] - Séance du Jeudi 12 janvier (2h)
-
Chapitre 14 - Calcul matriciel et systèmes linéaires (suite)
- C14.55 - Écriture matricielle d'un système linéaire,
système linéaire homogène associé,
matrice augmentée
- C14.56 - Exemple de résolution d'un système linéaire à l'aide de matrices augmentées
- C14.57 - Définition d'un système linéaire compatible
- C14.58 - Critère de compatiblité pour un système linéaire
- C14.59 - Exemple de système compatible
- C14.60 - Structure de l'ensemble solution d'un système linéaire
- C14.61 - Exemple de résolution d'un système linéaire dont une solution est connue
- C14.62 - Structure d'anneau sur \( \left( \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) , + , \times \right) \)
- C14.63 - Si \( n \geqslant 2 \) alors \( \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \) n'est pas commutatif
- C14.64 - Si \( n \geqslant 2 \) alors \( \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \) contient des diviseurs de zéro
- C14.65 - Si \( n \geqslant 2 \) alors \( \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \) contient des éléments nilpotents non nuls
- C14.66 - Définition d'une matrice scalaire et multiplication d'une matrice par une telle
- C14.67 - Définition d'une matrice symétrique (resp. antisymétrique)
- C14.68 - Exemples de matrices symétriques (resp. antisymétriques)
- C14.69 - Les coefficients diagonaux d'une matrice antisymétrique sont nuls
- C14.70 - Définition de \( \mathcal{S}_n(\mathbb{K}) \) et \( \mathcal{A}_n(\mathbb{K}) \)
- C14.71 - Stabilité de \( \mathcal{S}_n(\mathbb{K}) \) et \( \mathcal{A}_n(\mathbb{K}) \) par combinaison linéaire
- C14.72 - Non stabilité de \( \mathcal{S}_n(\mathbb{K}) \) et \( \mathcal{A}_n(\mathbb{K}) \) par produit
- C14.73 - Famille génératrice de \( \mathcal{A}_n(\mathbb{K}) \)
- C14.75 - Formule du binôme de Newton pour deux matrices qui commutent
[203] - Séance du Mercredi 11 janvier (4h)
-
Chapitre 14 - Calcul matriciel et systèmes linéaires (suite)
- C14.25 - Produit de deux matrices élémentaires
- C14.26 - Commutant d'une matrice de \( \mathcal{M}_{2}(\mathbb{K}) \)
- C14.27 - Commutant d'une matrice diagonale dont les coefficients sont deux-à-deux distincts
- Produit de deux matrices diagonales
- C14.28 - Produit d'une matrice par une matrice élémentaire à droite
- C14.29 - Exemples de produits de matrices par des produits élémentaires à droite
- C14.30 - Définition de la matrice identité
- C14.31 - Produit par la matrice identité
- C14.32 - Produit d'une matrice par un vecteur colonne
- C14.33 - Exemple de produit d'une matrice par un vecteur colonne
- C14.34 - Définition de la transposée d'une matrice
- C14.35 - Exemple de transposées
- C14.36 - Relation entre les lignes d'une matrice et les colonnes de sa transposée
- C14.37 - Propriété de la transposition
- C14.38 - Produit d'une matrice par une matrice élémentaire à gauche
- C14.39 - Définition d'une matrice de transposition
- C14.40 - Exemple de matrices de transposition
- C14.41 - Produit d'une matrice par une matrice de transposition
- C14.42 - Exemples de produits de matrices par des matrices de transposition
- C14.43 - Carré d'une matrice de transposition
- C14.44 - Définition d'une matrice de dilatation
- C14.45 - Exemple de matrices de dilatation
- C14.46 - Produit d'une matrice par une matrice de dilatation
- C14.47 - Exemples de produits de matrices par des matrices de dilatation
- C14.48 - Inversibilité et inverse d'une matrice de dilatation
- C14.49 - Définition d'une matrice de transvection
- C14.50 - Exemple de matrices de transvection
- C14.51 - Produit d'une matrice par une matrice de transvection
- C14.52 - Exemples de produits de matrices par des matrices de transvection
- C14.53 - Inversibilité et inverse d'une matrice de transection
- C14.54 - Inversibilité et inverse d'une matrice produit de matrices de transposition/dilatation/transvection
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C14.76 - Puissances de
\( \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ 2 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix} \)
- C14.77 - Puissances de
\( \begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)
[199] - Séance du Mardi 10 janvier (2h)
-
Chapitre 14 - Calcul matriciel et systèmes linéaires (début)
- C14.1 - Notations: \( \mathbb{K} \) corps et \( n,p,q,r \) entiers naturels non nuls
- C14.2 - Définition d'une matrice
- C14.3 - Exemple de matrice et de coefficients d'adresses données
- C14.4 - Définition de la somme de deux matrices
- C14.5 - Exemple de somme de deux matrices
- C14.6 - Structure de \( \left( \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) , + \right) \)
- C14.7 - Exemple d'opposé de matrices
- C14.8 - Définition de la multiplication d'une matrice par un scalaire
- C14.9 - Exemple de multiplication d'une matrice par un scalaire
- C14.10 - Structure de \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel sur \( \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) \)
- C14.11 - Définition d'une combinaison linéaire de matrices
- C14.12 - Exemple de matrices combinaison linéaire ou non de deux matrices
- C14.13 - Structure de sous-espace vectoriel sur l'ensemble des combinaisons linéaires de matrices
- C14.14 - Définition du symbole de Kronecker
- C14.15 - Définition d'une matrice élémentaire
- C14.16 - Exemples de matrices élémentaires
- C14.17 - Décomposition canonique d'une matrice comme combinaison linéaire des matrices élémentaires
- C14.18 - Exemple de décomposition canonique d'une matrice comme combinaison linéaire des matrices élémentaires
- C14.19 - Sous-espace vectoriel engendré par toutes les matrices élémentaires
- C14.20 - Définition du produit matriciel
- C14.21 - Exemples de calculs de produits matriciels
- C14.22 - Exemples de matrices de \( \mathcal{M}_{2}(\mathbb{K}) \) dont le carré est nul
- C14.23 - Calculs de produits de matrices de \( \mathcal{M}_{2}(\mathbb{K}) \) et défaut de commutativité
- C14.24 - Propriétés du produit matriciel
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C14.25 - Produit de deux matrices élémentaires
- C14.26 - Commutant d'une matrice de \( \mathcal{M}_{2}(\mathbb{K}) \)
[197] - Séance du Lundi 9 janvier (2h)
-
Compléments sur la chapitre 13 - Structures algébriques usuelles
- C13.73 - Sous-groupe engendré par un élément
- C13.120 - Morphismes d'anneaux de
\( \left( \mathbb{Z} \left[ \, \sqrt{2} \, \right] , + , \times \right) \) dans lui-même
- C13.122 - Un morphisme d'anneaux d'un corps dans un anneau est injectif.
- TD13.1-5 - Études de lois de composition sur \( \mathbb{R} \)
- TD13.10 - Groupe dont tous les carrés valent le neutre
- C13.74 - Groupe des isométries du triangle
- TD13.16 - Groupe diédral
- TD13.21 - Unités de l'anneau des entiers de Gauß
[195] - Séance du Vendredi 6 janvier (2h)
-
Chapitre 13 - Structures algébriques usuelles (fin)
- C13.96 - Si \( a \) et \( b \) sont des entiers naturels premiers entre eux,
noyau et image du morphisme de groupes
\[
\left|
\begin{array}{ccc}
( \mathbb{Z} , + ) \times ( \mathbb{Z} , + ) & \to & ( \mathbb{Z} , + ) \\
(u,v) & \longmapsto & a u + bv \;.
\end{array}
\right.
\]
- C13.102 - Multiplication par \( 0 \) et par \( -1 \) dans un anneau
- C13.103 - Un entier naturel non nul peut être vu comme élément d'un anneau.
- C13.104 - Une formule de factorisation dans un anneau
- C13.105 - Formule du binôme de Newton dans un anneau
- C13.106 - Définition d'un élement inversible (unité) dans un anneau
- C13.107 - Notation \( U(A) \) pour l'ensemble des unités d'un anneau \( A \)
- C13.108 - Groupe des unités d'un anneau
- C13.109 - Groupe des unités de \( \left( \mathbb{Z} , + , \times \right) \)
- C13.110 - Définition d'un anneau intègre
- C13.111 - \( \left( \mathbb{Z} , + , \times \right) \),
\( \left( \mathbb{Q} , + , \times \right) \),
\( \left( \mathbb{R} , + , \times \right) \),
\( \left( \mathbb{C} , + , \times \right) \)
sont des anneaux intègres.
- C13.112 - Simplification dans un anneau intègre
- C13.113 - Définition d'un corps
- C13.114 - Définition d'un sous-anneau
- C13.115 - Un sous-anneau possède une structure naturelle d'anneau
- C13.117 - \( \mathbb{Q}[i] \) est un sous-anneau de \( \left( \mathbb{C} , + , \times \right) \) qui est un corps.
- C13.118 - Définition d'un morphisme d'anneaux
-
Interrogation de cours n°12
- Définition d'un élément inversible dans un monoïde
- Définition d'un groupe
- Propriétés des morphismes de groupes
- Image réciproque d'un sous-groupe par un morphisme de groupes
-
Devoir libre
- DL10 (pour le 11/1) :
Sous-groupes additifs de \( \mathbb{R} \)
et
densité de \( \{ \cos(n) \;:\; n \in \mathbb{N} \} \) dans \( [-1,1] \).
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C13.73 - Sous-groupe engendré par un élément
- C13.120 - Morphismes d'anneaux de \( \left( \mathbb{Z} \left[ \, \sqrt{2} \, \right] , + , \times \right) \) dans lui-même
- C13.122 - Un morphisme d'anneaux d'un corps dans un anneau est injectif.
- TD13.4 - Étude d'une loi de composition sur \( \mathbb{R} \)
- TD13.10 - Groupe dont tous les carrés valent le neutre
- TD13.15 - Somme directe de sous-groupes
- TD13.16 - Groupe diédral
- TD13.21 - Unités de l'anneau des entiers de Gauß
[193] - Séance du Jeudi 5 janvier (2h)
-
Chapitre 13 - Structures algébriques usuelles (suite)
- C13.28 - Ordre d'un élément de
\( \mathbb{U}_p \times \mathbb{U}_q \)
où \( (p,q) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^* \)
- C13.35 - CNS pour qu'une réunion de sous-groupes soit un sous-groupes
- C13.88 - Propriétés d'un morphisme de groupes
- C13.89 - Morphismes de groupes de \( ( \mathbb{Z} , + ) \) dans un groupe
- C13.91 - Si \( n \) est un entier naturel,
tout morphisme de groupes de \( ( \mathbb{U}_{2n+1} , + ) \) dans \( ( \mathbb{R}^* , \times ) \)
est trivial.
- C13.93 - Image et image réciproque d'un sous-groupe par un morphisme de groupes
- C13.94 - Définition et structure du noyau et et de l'image d'un morphisme de groupes
- C13.95 - Noyau et image du morphisme de groupes
\[ \left|
\begin{array}{rcl}
( \mathbb{R} , + ) & \longrightarrow & ( \mathbb{U} , \times ) \\
\theta & \longmapsto & e^{ i \theta } \;.
\end{array}
\right.\]
- C13.97 - Critère pour qu'un morphisme de groupes soit injectif
- C13.98 - Définition d'un morphisme de groupes
- C13.99 - Description des isomorphismes de groupes de \( ( \mathbb{Z} , + ) \) dans lui-même
- C13.103 - L'application réciproque d'un isomorphisme de groupes est un isomorphisme de groupes
- C13.104 - Propriété de distributivité pour deux lci
- C13.105 - Définition d'un anneau
- C13.106 - Exemples d'anneaux formés à partir d'ensembles de nombres avec les opérations usuelles
-
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C13.96 - Si \( a \) et \( b \) sont des entiers naturels premiers entre eux,
noyau et image du morphisme de groupes
\[
\left|
\begin{array}{ccc}
( \mathbb{Z} , + ) \times ( \mathbb{Z} , + ) & \to & ( \mathbb{Z} , + ) \\
(u,v) & \longmapsto & a u + bv \;.
\end{array}
\right.
\]
[191] - Séance du Mercredi 4 janvier (4h)
-
Chapitre 13 - Structures algébriques usuelles (suite)
- C13.9 - Exemple d'une lci sur \( \mathbb{R} \)
commutative, possédant un élément neutre, non associative
et telle que 2 ait deux inverses.
- C13.12 -
Inversibilité d'un élément \( x \) d'un ensemble muni d'une lci
commutative, associative, possédant un neutre
et
bijectivité de la translation à gauche par \( x \).
- Éléments inversibles de
\( \left( \mathcal{F}(E,E) , \circ \right) \)
où \( E \) est un ensemble
- C13.14 - Propriétés des éléments inversibles
- C13.17 - Définition d'une partie stable
- Si \( a \in \mathbb{Z} \) alors \( a \mathbb{Z} \) est une partie stable de \( \left( \mathbb{Z} , + \right) \).
- \( \mathbb{U} \) est une partie stable de \( \left( \mathbb{C} , \times \right) \)
- Si \( n \in \mathbb{N}^* \) alors \( \mathbb{U}_n \) est une partie stable de \( \left( \mathbb{U} , \times \right) \).
- Exemples de parties stables et non stables de \( \left( \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) , \circ \right) \)
- Si \( E \) est un ensemble et \( A \) une partie de \( E \) alors \( \{ \emptyset , A , \overline{A} , E \} \) est une partie
de \( \mathcal{P}(E) \) stable par intersection et réunion.
- C13.19 - Une intersection de parties stables est stable
- Une réunion de parties stables n'est pas nécessairement stable
- C13.20 - \( \displaystyle \mathbb{U}_{\infty} := \bigcup_{n \in \mathbb{N}^* } \mathbb{U}_{n} \) est une partie stable de \( \left( \mathbb{U} , \times \right) \).
- C13.21 - Définition d'un groupe
- Exemples de groupes formés à partir d'ensembles de nombres avec les opérations usuelles
- \( \left( \mathbb{N} , + \right) \) n'est pas un groupe
- C13.23 - Table d'un groupe ayant 2 éléments (resp. 3 éléments)
- Notation puissance dans un groupe dont la loi est notée multiplicativement et notation multiple dans un groupe dont la loi est notée additivement
- C13.24 - Propriétés de la notation puissance
- C13.25 - Groupes des permutations d'un ensemble
- Notation \( S_n \) pour le groupe des permutations de l'ensemble \( \{ 1 , \ldots , n \} \) où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- Tables des groupes \( ( S_2 , \circ ) \) et \( ( S_3 , \circ ) \)
- Si \( E \) est un ensemble possédant au moins trois éléments alors \( ( S_E , \circ ) \) est un groupe anabélien
- C13.27 - Définition du produit de deux groupes
- Produit d'une famille de groupes
- C13.29 - Définition d'un sous-groupe
- \( \left( \mathbb{Z} , + \right) \) est un sous-groupe de \( \left( \mathbb{R} , + \right) \),
\( \left( \mathbb{U} , \times \right) \) est un sous-groupe de \( \left( \mathbb{C}^* , \times \right) \),
\( \left( \mathbb{U}_n , \times \right) \) est un sous-groupe de \( \left( \mathbb{U} , \times \right) \)
où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- Un sous-groupe possède une structure naturelle de groupe
- C13.30 - Caractérisation des sous-groupes
- Caractérisation des sous-groupes d'un groupe dont la loi est notée additivement
- C3.31 - Description des sous-groupes de \( \left( \mathbb{Z} , + \right) \)
- C13.34 - Une intersection de sous-groupes est un sous-groupe
- C13.36 - Définition d'un morphisme de groupes
- Si \( a \in \mathbb{Z} \) alors
\[ \left|
\begin{array}{rcl}
( \mathbb{Z} , + ) & \longrightarrow & ( \mathbb{Z} , + ) \\
n & \longmapsto & an
\end{array}
\right.\]
est un morphisme de groupes.
- L'application
\[ \left|
\begin{array}{rcl}
( \mathbb{R} , + ) & \longrightarrow & ( \mathbb{U} , \times ) \\
\theta & \longmapsto & e^{ i \theta }
\end{array}
\right.\]
est un morphisme de groupes.
- L'application
\[ \left|
\begin{array}{rcl}
( S_3 , \circ ) & \longrightarrow & ( S_3 , \circ ) \\
\sigma & \longmapsto & \sigma^2
\end{array}
\right.\]
n'est pas un morphisme de groupes.
- C13.37 - Une composée de morphismes de groupes est un morphisme de groupes
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C13.28 - Ordre d'un élément de
\( \mathbb{U}_p \times \mathbb{U}_q \)
où \( (p,q) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^* \)
- C13.35 - CNS pour qu'une réunion de sous-groupes soit un sous-groupes
[187] - Séance du Mardi 3 janvier (2h)
-
Retour sur le DS6
- Théorème de la limite monotone pour une suite réelle croissante et non majorée
- Limite supérieure d'une suite réelle bornée
- Étude de la suite définie par \( u_0 \geqslant 0 \)
et la relation de récurrence
\[ u_{n+1} = \sqrt{4 + 3 u_n} \]
valable pour tout \( n \in \mathbb{N} \).
-
Chapitre 13 - Structures algébriques usuelles (début)
- C13.1 - Définition d'une loi de composition interne (lci) sur un ensemble
- Exemples de lci
- C13.2 - Définition de l'associativité pour une lci
- Lorsque la lci est associative, les parenthèses peuvent être omises.
- Exemples de lci associatives (resp. non associatives)
- C13.3 - Définition de la commutativité pour une lci
- Exemples de lci commutatives (resp. non commutatives)
- C13.5 - Existence d'un élément neutre pour une lci
- C13.6 - Unicité de l'élément neutre pour une lci
- Exemples de lci possédant un élément neutre (resp. ne possédant pas d'élément neutre)
- C13.8 - Définition de l'inversibilité pour un élément d'un ensemble muni d'une lci possédant un neutre
- C13.10 - Inverse d'un élément inversible pour une lci associative et possédant un élément neutre
- Si la lci est notée additivement,
on parle d'opposé et non d'inverse
et
l'opposé d'un élément \( x \) est noté \( -x \) et non \( x^{-1} \).
- Éléments inversibles de
\( \left( \mathbb{Z} , + \right) \),
\( \left( \mathbb{Z} , \times \right) \),
\( \left( \mathbb{C} , \times \right) \).
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C13.9 - Exemple d'une lci sur \( \mathbb{R} \)
commutative, possédant un élément neutre, non associative
et telle que 2 ait deux inverses.
- C13.12 -
Inversibilité d'un élément \( x \) d'un ensemble muni d'une lci
commutative, associative, possédant un neutre
et
bijectivité de la translation à gauche par \( x \).
[185] - Séance du Vendredi 16 décembre (2h)
-
Chapitre 12 - Arithmétique dans \( \mathbb{Z} \) (suite et fin)
- C12.29 - Lemme clé pour l'algorithme d'Euclide
- C12.30 - Algorithme d'Euclide
- C12.31 - Calcul du PGCD de 141 et 255 au moyen de l'algorithme d'Euclide
- C12.32 - Les diviseurs positifs de deux entiers non tous les deux nuls sont les diviseurs de leur PGCD
- C12.35 - PGCD de deux entiers naturels non tous les deux nuls multiples d'un même nombre
- C12.36 - Le PGCD est le plus grand diviseur au sens de la relation d'ordre \( \div \) sur \( \mathbb{N} \)
- C12.37 - Définition du PGCD de deux entiers relatifs
- C12.38 - \( 0 \wedge 0 = 0 \) et \( a \wedge b = |a| \wedge |b| \) où \( a,b \) sont des entiers relatifs
- C12.39 - Relation de Bézout
- C12.40 - Calcul d'une relation de Bézout pour \( (255,141) \)
- C12.42 - Définition du PPCM de deux entiers relatifs
- C12.43 - Lien fondamental entre le PGCD et le PPCM
-
Devoir libre
- DL8 (pour le 3/1) :
Des racines rationnelles d'un polynôme à coefficients entiers,
critère de divisibilité par 3, 11 et 33,
divisibilité par 7 d'une somme de carrés,
divisibilité par 13 d'un « grand nombre » ;
primalité relative d'une somme et d'un produit,
PGCD de deux nombres de Fibonacci,
équations affines de congruences,
équations diophantiennes d'ordre 1 en 2 variables,
une équation diophantienne d'ordre 3 en 2 variables,
congruences simultanées et théorème des restes chinois.
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- Étudier et apprendre l'intégralité du polycopié sur le chapitre 12 "Arithmétique dans \( \mathbb{Z} \)"
[183] - Séance du Jeudi 15 décembre (3h)
-
Devoir surveillé n°6
- Développement asymptotique à deux termes des sommes partielles de la série harmonique
- Théorème de Cesàro et suite récurrente
- Lemme de sous-additivité de Fekete
[180] - Séance du Mercredi 14 décembre (4h)
-
Retour sur le DS5
- Détermination de la relation de récurrence vérifiée par les intégrales de Wallis
\( w_n := \displaystyle \int_0^{\pi/2} \cos^n(t) \operatorname{d} t \),
où
\( n \in \mathbb{N} \).
-
Compléments sur la chapitre 11 - Nombres réels et suites numériques
- TD11.5 - Une application croissante de [0,1] dans [0,1] possède un point fixe.
- TD11.12 - Une suite d'entiers qui converge dans \( \mathbb{R} \) stationne.
- TD11.41 - Étude d'une suite implicite et développement asymptotique
-
Chapitre 12 - Arithmétique dans \( \mathbb{Z} \) (début)
- C12.1 - Définition d'une relation binaire sur un ensemble
- C12.2 - Exemple de relation binaire de \( \{ 1 , 2 , 3 , 4 \} \) donnée sous forme graphique
- C12.3 - Relation réflexive, symétrique, antisymétrique, transitive
- C12.4 - Définition d'une relation d'ordre
- C12.5 - Relation d'ordre \( \subset \) sur l'ensemble des parties d'un ensemble
- C12.6 - Définition d'une relation d'équivalence
- C12.7 - Exemple de relation d'équivalence sur \( \mathbb{C} \) via l'égalité des carrés
- C12.8 - Définition d'une classe d'équivalence
- C12.9 - Deux éléments ont la même classe d'équivalence si et seulement s'ils sont en relation
- C12.10 - Exemple de relation d'équivalence sur \( \mathbb{C}^* \) via l'égalité des arguments et représentation des classes d'équivalence
- C12.11 - Les classes d'équivalence forment une partition de l'ensemble
- C12.12 - Exemple de relation d'équivalence sur \( \mathbb{C} \) via l'égalité des modules et représentation des classes d'équivalence
- C12.14 - Définition de la relation de divisibilité dans \( \mathbb{Z} \)
- C12.15 - La relation de divisibilité sur \( \mathbb{Z} \) n'est pas une relation d'ordre (mais celle sur \( \mathbb{N} \) oui).
- C12.16 - Définition d'un couple d'entiers relatifs associés
- C12.17 - La relation « être associés » est une relation d'équivalence sur \( \mathbb{Z} \).
- C12.18 - Caractérisation de deux entiers associés
- C12.19 - Théorème de la division euclidienne dans \( \mathbb{Z} \)
- C12.20 - Fonction Python réalisant la division euclidienne
- C12.21 - Division euclidienne de 12 345 par 29
- C12.22 - Critère de divisibilité via la division euclidienne
- C12.23 - Ensemble des diviseurs positifs d'un entier
- C12.24 - Cardinal de l'ensemble des diviseurs d'un entier
- C12.25 - Définition du PGCD de deux entiers naturels non tous les deux nuls.
- C12.26 - \( a \wedge 0 \), \( a \wedge 1 \), \( a \wedge a \) où \( a \in \mathbb{Z} \)
- C12.27 - \( a \wedge b = b \) si \( b \) divise \( a \)
- C12.28 - PGCD de 255 et 141
[176] - Séance du Mardi 13 décembre (2h)
-
Compléments sur la chapitre 11 - Nombres réels et suites numériques
- Formule de Taylor avec reste intégral pour \( \cos \)
- Pour tout \( x \in \left[ - \dfrac{\pi}{2} , \dfrac{\pi}{2} \right] \),
\( 1 - \dfrac{x^2}{2} \leqslant \cos(x) \leqslant 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} \).
- Si \( u_n \longrightarrow 0 \) alors:
\[
1 - \cos(u_n) \sim \dfrac{u_n^2}{2} \;.
\]
- TD11.22 (1) - Étude d'une suite récurrente dans le cas où la fonction sous-jacente est croissante
- TD11.22 (2) - Étude d'une suite récurrente dans le cas où la fonction sous-jacente est décroissante
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD11.41 - Étude d'une suite implicite et développement asymptotique
[174] - Séance du Lundi 12 décembre (5h)
-
Chapitre 11 - Nombres réels et suites numériques (suite et fin)
- Retour sur la décomposition dans une base \( b \geqslant 2 \) d'un entier naturel non nul
et
fonction récursive Python calculant celle-ci.
- C11.89 - Existence de limite via les suites extraites des indices pairs et impairs
- C11.94 - Définition d'une partie dense de \( \mathbb{R} \)
- C11.95 - Exemples de parties denses de \( \mathbb{R} \)
- C11.96 - Caractérisation séquentielle de la densité
- C11.98 - Caractérisation séquentielle de la borne supérieure
- C11.100 - Définition d'une suite complexe convergente
- C11.101 - Caractérisation de la convergence d'une suite complexes par les parties paire et impaire
- Comportement asymptotique de la suite \( \left( q^n \right)_{n\in\mathbb{N}} \) où \( q \in \mathbb{C} \)
- C11.122 - Détermination du terme général d'une suite arithmético-géométrique
- C11.123 - Calcul du terme général d'une suite arithmético-géométrique
- TD11.21 - Étude d'une suite récurrente homographique
- La suite \( \left( \displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} \right)_{n\in\mathbb{N}} \)
converge vers \( e \)
et formule de Taylor avec reste intégral pour l'exponentielle
- TD11.28 - Le nombre \( e \) est irrationnel.
- C11.125 - Détermination du terme généralterme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2
- C11.127 - Calcul des termes généraux de deux suites récurrentes linéaires d'ordre 2
- C11.88 - La suite de terme général \( \cos(n) \) n'a aucune limite dans \( \overline{\mathbb{R}} \).
-
Introduction aux notations de Landau pour les suites
- Définition des notations \( \sim \), \( \operatorname{o} \) et \( \operatorname{O} \)
pour des suites de réels non nuls.
- TD11.31 - La relation \( \sim \) est une relation d'équivalence sur l'ensemble des suites de réels non nuls.
- Les équivalents ne s'additionnent pas.
- TD11.32 - On peut multiplier et diviser des équivalents.
- Si \( ( u_n )_{n \in \mathbb{N}} \) est une suite de réels non nuls,
\( u_{n+1} \) n'est pas nécessairement équivalent à \( u_{n} \).
- Si \( u_n \sim v_n \) et si \( u_n \longrightarrow \ell \in \overline{\mathbb{R}} \)
alors \( v_n \longrightarrow \ell \).
- Si \( u_n \longrightarrow \ell \in \overline{\mathbb{R}} \) et \( v_n \longrightarrow \ell \) alors
\(u_n \) n'est pas nécessairement équivalent à \( v_n \).
- TD11.34 - Échelles de comparaison pour les suites : puissance, géométrique, factorielle
- TD11.35 - Calculs de trois équivalents avec l'échelle de comparaison
- Équivalents usuels
: si \( u_n \longrightarrow 0 \) alors:
\[
\ln(1+u_n) \sim u_n
\qquad\qquad
\sin(u_n) \sim u_n
\qquad\qquad
e^{u_n} - 1 \sim u_n \;.
\]
- TD11.35 - Calculs de trois équivalents avec les équivalents usuels
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- Étudier le polycopié sur les suites récurrentes
- TD11.22 - Étude de deux suites récurrentes
[169] - Séance du Vendredi 9 décembre (4h)
-
Chapitre 11 - Nombres réels et suites numériques (suite)
- C11.76 - Divergence de la suite
\( \displaystyle \left( S_n := \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} \right)_{n \in \mathbb{N}^*} \)
- Un exemple de comparaison série-intégrale pour déterminer un équivalent de somme: la série harmonique
- C11.77 - Définition de deux suites adjacentes
- C11.78 - Théorème des suites adjacentes
- C11.79 - Exemple de deux suites adjacentes qui convergent vers \( e \)
- C11.80 - Définition d'une suite extraite
- C11.81 - Exemples de suites extraites
- C11.83 - Si \( \varphi \colon \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N} \) est strictement croissante
alors, pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( \varphi(n) \geqslant n \).
- C11.84 - Limite d'une suite extraite d'une suite possédant une limite
- C11.85 - La suite de terme général \( (-1)^n \) ne possède aucune limite.
- La suite de terme général \( \cos \left( \dfrac{3\pi}{n} \right) \) ne possède aucune limite.
- C11.81 - Théorème de Bolzano-Weierstraß (preuve par dichotomie)
-
Interrogation de cours n°11
- Caractérisation de la borne supérieure
- Définition formelle de la convergence d'une suite réelle vers un réel
- Théorème de la limite monotone
- Existence d'une limite finie par encadrement
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- Étudier et apprendre la démarche exposée en C11.122 pour expliciter le terme général d'une suite arithmético-géométrique
- C11.123 - Calcul du terme général d'une suite arithmético-géométrique
- Apprendre le théorème C11.125 pour expliciter le terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2
- C11.127 - Calcul des termes généraux de deux suites récurrentes linéaires d'ordre 2
- C11.88 - La suite de terme général \( \cos(n) \) n'a aucune limite dans \( \overline{\mathbb{R}} \).
- TD11.21 - Étude d'une suite récurrente homographique
-
Calcul à rendre sur feuille pour la prochaine séance
- Expression du terme général de la suite
\( \left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \)
définie par \( u_0 = 1 \) et la relation de récurrence \( u_{n+1} = \dfrac{2}{5} \, u_n - \dfrac{3}{7} \)
valable pour tout \(n \in \mathbb{N} \)
en suivant la démarche exposée en C11.122.
[165] - Séance du Jeudi 8 décembre (2h)
-
Chapitre 11 - Nombres réels et suites numériques (suite)
- C11.35 - \( \sup(A+B) \) où \( A \) et \( B\) sont deux parties non vides et majorées de \( \mathbb{R} \)
- C11.56 - \( n - \cos(n) \longrightarrow +\infty \)
- C11.57 - Unicité de la limite
- C11.58 - Définition d'une suite convergente (resp. divergente)
- C11.59 - Toute suite convergente est bornée.
- C11.60 (1)-(5) - Questions ouvertes sur les suites
- C11.61 - Une suite réelle possédant une limite strictement positive
est strictement positive à partir d'un certain rang.
- C11.62 - Opérations sur les limites
- C11.64 - Produit d'une suite bornée par une suite convergeant vers 0
- C11.65 - \( \dfrac{n^2 + \sin(n)}{n+1} \longrightarrow +\infty \)
- C11.66 - Passage à la limite dans une inégalité large
- C11.67 - Propriété de la limite d'une suite convergente, minorée par 0 et majorée par 1.
- C11.68 - Existence d'une limite finie par encadrement.
- C11.69 - Étude d'une suite sous-géométrique
- C11.71 - Lemme de domination avec une suite divergeant vers \( + \infty \)
- C11.72 - Étude d'une suite sous-arithmétique
- C11.73 - Lemme de domination avec une suite divergeant vers \( - \infty \)
- C11.75 - Théorème de la limite monotone
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C11.76 - Divergence de la suite
\( \displaystyle \left( S_n := \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} \right)_{n \in \mathbb{N}^*} \)
[163] - Séance du Mercredi 7 décembre (4h)
-
Complément sur le chapitre 10 - Équations différentielles linéaires
- TD10.7 - Résolution d'une EDL1 avec raccordement
-
Chapitre 11 - Nombres réels et suites numériques (suite)
- C11.12 - \( \dfrac{\ln(2)}{\ln(3)} \) est irrationnel
- C11.17 - \( \mathbb{Q} \) est dense dans \( \mathbb{R} \)
- C11.18 - \( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \) est dense dans \( \mathbb{R} \)
- C11.21 - Définition de la borne supérieure (resp. borne inférieure) d'une partie de \( \mathbb{R} \)
- C11.22 - Borne supérieure et borne inférieure de \( [0,1[ \)
- C11.23 - Borne inférieure d'une partie \( A \) de \( \mathbb{R} \) vs. borne supérieure de \( -A \)
- C11.24 - Propriété de la borne supérieure
- C11.25 - Propriété de la borne inférieure
- C11.26 - La propriété de la borne supérieure distingue fondamentalement \( \mathbb{Q} \) de \( \mathbb{R} \)
et permet de construire de nouveaux nombres réels.
- C11.27 - Caractérisation de la borne supérieure
- C11.28 - Caractérisation de la borne inférieure
- C11.29 - Des bornes inférieure et supérieure de \( \mathbb{N} \)
- C11.31 - Des bornes inférieure et supérieure de \( \left\{ \dfrac{1}{n} \;:\; n \in \mathbb{N}^* \right\} \)
- C11.33 - Raisonnement par passage à la borne supérieure
- C11.34 - Si \( A \) et \( B\) sont deux parties non vides de \( \mathbb{R} \)
telles que,
pour tout \( (a,b) \in A \times B \),
\( a \leqslant b \)
alors
\( \sup(A) \leqslant \inf(B) \).
- C11.40 - Description des intervalles de \( \mathbb{R} \): 10 formes
- C11.41 - Représentation graphique d'une suite réelle
- C11.42 - Définition d'une suite réelle majorée (resp. minorée, bornée)
- C11.43 - Critère pour qu'une suite réelle soit bornée
- C11.44 - Définition d'une suite réelle croissante (resp. strictement croissante, décroissante, strictement décroissante)
- C11.45 - Étude d'une suite réelle définie de manière explicite
- C11.46 - Étude d'une suite réelle définie par récurrence
- C11.47 - Étude d'une suite réelle définie de manière implicite
- C11.48 - D'autres inégalités pour une suite réelle croissante (resp. strictement croissante, décroissante, strictement décroissante)
- C11.49 - Définition d'une suite stationnaire
- C11.50 - La suite \( \left( \left\lfloor \dfrac{2023}{n} \right\rfloor \right)_{n \in \mathbb{N}^*} \) est stationnaire.
- C11.51 - Définition d'une suite réelle ayant une limite finie
- C11.52 - Définition d'une suite réelle ayant \( + \infty \) (resp. \( - \infty \) ) comme limite
- C11.53 - La suite \( \left( \dfrac{n-1}{n+3} \right)_{n \in \mathbb{N}} \) a pour limite \( 1 \).
- C11.54 - La suite \( \left( (-1)^n \right)_{n \in \mathbb{N}} \) n'admet ni limite finie ni limite infinie.
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C11.35 - \( \sup(A+B) \) où \( A \) et \( B\) sont deux parties non vides et majorées de \( \mathbb{R} \)
-
Calcul à rendre sur feuille pour la prochaine séance
- Si \( a \in \mathbb{R}_{>0} \),
existence et valeur de
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} x^a - a^x \).
[159] - Séance du Mardi 6 décembre (2h)
-
Complément sur le chapitre 10 - Équations différentielles linéaires
- TD10.7 - Résolution d'une EDL1 avec raccordement
-
Chapitre 11 - Nombres réels et suites numériques (début)
- C11.1 - Rappels sur les ensembles de nombres usuels
- C11.2 - Division d'un réel par un réel strictement positif
- C11.3 - Écriture en base \( b \geqslant 2 \) d'un entier naturel non nul
- C11.4 - Écriture en base 2 de 14 et écriture en base 7 de 123.
- C11.5 - Nombre de chiffres de l'écriture en base \( b \geqslant 2 \) d'un entier naturel non nul
- C11.6 - Nombres décimaux
- C11.9 - Définition d'un nombre irrationnel
- C11.10 - \( \sqrt{2} \) est irrationnel
- C11.13 - Les nombres \( e \) et \( \pi \) sont irrationnels.
- C11.14 - Définition de la droite numérique achevée et de l'ordre total usuel sur icelle
- C11.15 - Approximations décimales par défaut et par excès d'un réel
- C11.16 - Quelques approximations décimales par défaut et par excès de \( \pi \)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C11.7 - De la stabilité par addition, par multiplication, par passage à l'opposé et par passage à l'inverse de l'ensemble des nombres décimaux
- C11.12 - \( \dfrac{\ln(2)}{\ln(3)} \) est irrationnel
-
Calcul à rendre sur feuille pour la prochaine séance
- Démontrer que,
pour tout réel \( x \),
pour tout entier naturel \( n \):
\[
e^x
=
\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} + \int_0^x e^t \; \dfrac{(x-t)^n}{n!} \;\operatorname{d} t \; .
\]
[157] - Séance du Lundi 5 décembre (4h)
-
Complément sur le chapitre 10 - Équations différentielles linéaires
- C10.51 - Solution particulière d'EDLCC2 avec second membre "polynôme-exponentielle"
- TD10.16 - Résolution d'une EDLCC2
- TD10.17 - Conséquences géométriques du théorème de Cauchy pour les EDLCC2
- TD10.12 - Résolution d'une EDLCC2
- TD10.14 - Résolution d'une EDLCC2
- TD10.15 - Résolution d'une EDLCC2
- TD10.2 - Résolution d'une EDL1
- TD10.10 - Résolution d'un système différentiel d'ordre 1
-
Calcul à rendre sur feuille pour la prochaine séance
- Primitivation de la fonction
\( f_a \colon x \longmapsto
\dfrac{a}{a^2 - x^2}
\),
où \( a \) est un réel fixé.
[153] - Séance du Vendredi 2 décembre (2h)
-
Chapitre 10 - Équations différentielles linéaires (fin)
- C10.43 - Ensemble solution d'une EDLCCH2 dans le cas \( \mathbb{K} = \mathbb{C} \)
- C10.44 (1) - Résolution d'une EDLCCH2 dans le cas \( \mathbb{K} = \mathbb{C} \)
- C10.45 - Ensemble solution d'une EDLCCH2 dans le cas \( \mathbb{K} = \mathbb{R} \)
- C10.47 (1) - Résolution d'une EDLCCH2 dans le cas \( \mathbb{K} = \mathbb{R} \)
- C10.49 - Description de l'ensemble solution d'une EDLCC2
- C10.53 - Théorème de Cauchy pour une EDLCC2
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD10.1 - Indépendance linéaire de deux (resp. trois) exponentielles complexes
- Étudier et apprendre C10.51 pour rechercher solution particulière d'EDLCC2 avec second membre "polynôme-exponentielle"
- TD10.16 - Résolution d'une EDLCC2
- TD10.17 - Conséquences géométriques du théorème de Cauchy pour les EDLCC2
- TD10.14 - Résolution d'une EDLCC2
- TD10.2 - Résolution d'une EDL1
- TD10.4 - Résolution d'une EDL1
- TD10.7 - EDL1 avec raccordement en un point
- C10.46 -
\( \operatorname{Vect} \left( x \longmapsto e^{\alpha x} \, \cos(\omega x) \,,\, x \longmapsto e^{\alpha x} \, \sin(\omega x) \right)
=
\left\{ x \longmapsto A \, e^{\alpha x} \, \cos( \omega x + \varphi ) \;:\; (A,\varphi) \in \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R} \right\} \)
- TD10.10 - Résolution d'un système différentiel d'ordre 1
- TD10.11 - Résolution d'une équation fonctionnelle
-
Devoir libre
- DL7 (pour le 9/12) :
Convergence simple d'une série de fonctions
et
étude d'une transformation intégrale
-
Calcul à rendre sur feuille pour la prochaine séance
- Primitivation de la fonction
\( f \colon x \longmapsto \dfrac{1}{ \sqrt{x} \; \cos^2 \left( \, \sqrt{x} \, \right) } \)
sur
\( \left] 0 , \dfrac{\pi}{2} \right[ \)
[151] - Séance du Jeudi 1er décembre (3h)
-
Devoir surveillé n°5
- Trois calculs de primitives
- Un problème de raccordement pour une EDL1 (CCINP)
- Intégrales de Wallis et applications (e.g. valeur de la Gaussienne)
[148] - Séance du Mercredi 30 novembre (4h)
-
Chapitre 10 - Équations différentielles linéaires (suite)
- C10.22 (2)-(10) - Résolution de neuf EDL1
- C10.23 - Expression intégrale d'une solution d'EDL1
- C10.24 - Théorème de Cauchy pour une EDL1
- C10.25 - Résolution d'un problème de Cauchy pour une EDL1
- C10.27 - Une solution d'EDLH1 est soit identiquement nulle soit de signe constant sur un intervalle
- C10.29 - Deux courbes intégrales distinctes d'une EDL1 ne se rencontrent pas
- C10.30 - Définition d'une famille finie de fonctions linéairement indépendantes
- C10.31 - Les fonctions
\( x \longmapsto e^x \),
\( x \longmapsto e^{2x} \),
\( x \longmapsto e^{3x} \)
sont linéairement indépendantes.
- C10.32 - Un critère pour qu'une famille finie de fonctions soit liée
- C10.35 - Définition d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants (EDLCC2)
et d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants homogène (EDLCCH2)
- C10.36 - Définition d'une solution d'une EDLCC2
- C10.37 - L'EDLCCH2 associée à une EDLCC2
- C10.38 - Détermination de solutions de y''-y=0 et de y''-y=x
- C10.39 - Détermination de solutions de y''+y'+y=0 à valeurs complexes,
puis de solutions de y''+y'+y=0 à valeurs réelles
- C10.40 - Principe de superposition pour une EDLCC2
- C10.41 - Une combinaison linéaire de deux solutions d'une EDLCCH2 (E) est encore solution de (E)
- C10.42 - Lemme clé pour la résolution des EDLCCH2 dans le cas \( \mathbb{K} = \mathbb{C} \)
-
Calcul à rendre sur feuille pour la prochaine séance
- Calcul de \( \displaystyle I_n := \int_0^1 t^n \, \ln(1+t) \operatorname{d} t \)
en fonction de \( \displaystyle A_{n+1} := \sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{(-1)^{k-1}}{k} \),
où \( n \in \mathbb{N} \)
[144] - Séance du Mardi 29 novembre (2h)
- Retour sur l'IC 10
-
Chapitre 10 - Équations différentielles linéaires (suite)
- C10.15 (2) et (3) - Résolution de deux EDLH1
- C10.18 - Principe de superposition
- C10.19 - Description de l'ensemble solution d'une EDL1
- C10.20 - Résolution d'une EDL1 possédant une solution sous forme polynomiale
- C10.21 - Méthode de la variation de la constante pour rechercher une solution particulière d'EDL1
- C10.22 - Résolution d'une EDL1 en mettant en jeu la méthode de la variation de la constante
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C10.22 (2)-(10) - Résolution de neuf EDL1
-
Calcul à rendre sur feuille pour la prochaine séance
- Primitivation de la fonction
\( f \colon x \longmapsto x \, e^{-3x} \)
sur
\( \mathbb{R} \)
[142] - Séance du Lundi 28 novembre (5h)
- Retour sur le DS4
- De l'application d'un théorème
- Calcul de la dérivée de la fonction
\( x \longmapsto \operatorname{Arcsin} \left( \dfrac{1+x}{\sqrt{2(1+x^2)}} \right) \)
- Calcul de la dérivée de la fonction
\( x \longmapsto \operatorname{Arctan} \left( \dfrac{a+x}{1-ax} \right) \)
où \( a \in \mathbb{R} \)
- \( \ln(1+x) \underset{n \rightarrow 0}{\sim} x \)
- Si \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \) est une suite qui converge vers 1
alors la suite
\( ( (u_n)^n )_{n \in \mathbb{N}} \) ne converge pas nécessairement vers 1:
elle peut converger vers un réel positif ou nul quelconque,
ou diverger vers \( + \infty \),
ou n'avoir aucune limite.
-
Complément sur le chapitre 9 - Calcul de primitives
- C9.40 - Calcul des 51 intégrales listées à l'exception de (1),(4),(10),(11),(13),(22),(40),(41) déjà traitées, par primitivation de l'intégrande
- C9.42 - Calcul des 15 intégrales listées à l'exception des intégrales (1),(5),(8),(9) déjà traitées, par intégration par parties
- C9.44 - Calcul des 10 intégrales listées à l'exception des intégrales (1),(2),(3) déjà traitées, par intégration par changement de variable
- TD9.4 - Calcul de deux intégrales sans démarche indiquée
- TD9.9 - Primitivation de \( \operatorname{Arcsin}^2 \)
- TD9.10 - Primitivation de \( x \longmapsto \dfrac{x^7}{\left( 1 + x^4 \right)^2} \)
- Si \( (a,b) \in \mathbb{R}^2 \),
primitivation de \( x \longmapsto e^{ax} \cos(bx) \)
à l'aide d'une double intégration par parties
- Relation de récurrence entre \( I_{n+1} \) et \( I_n \)
où,
pour tout \( n \in \mathbb{N} \),
\( I_n := \displaystyle \int_0^1 t^n \, e^{-2t} \operatorname{d} t \)
-
Chapitre 10 - Équations différentielles linéaires (suite)
- C10.6 - Définition d'une courbe intégrale d'une EDL1
- C10.7 - Définition du champ de vecteurs associé à une EDL1
- C10.8 - Tracé d'un exemple de champ de vecteurs associé à une EDL1
- C10.9 - Solution évidente d'une EDLH1 et heuristique pour la détermination d'une solution non nulle d'une EDLH1
- C10.10 - Ensemble des combinaisons linéaires d'un nombre fini de fonctions
- C10.11 - Description de \( \operatorname{Vect}(f) \) où \( f \) est une fonction
- C10.12 - A-t-on \( \cos \in \operatorname{Vect} \left( x \longmapsto x \,,\, x \longmapsto x^2 \right) \) ?
- C10.13 - A-t-on \( \cos^3 \in \operatorname{Vect} \left( \cos \,,\, x \longmapsto \cos(3x) \right) \) ?
- C10.14 - Ensemble solution d'une EDLH1
- C10.15 (1) - Résolution d'une EDLH1 élémentaire
- C10.16 - Résolution de \( y' = 0 \) sur \( \mathbb{R}^* \) puis sur \( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z} \)
- C10.17 - Un problème de raccordement élémentaire pour une EDLH1
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C10.15 (2) et (3) - Résolution de deux EDLH1
[137] - Séance du Vendredi 25 novembre (4h)
-
Chapitre 10 - Équations différentielles linéaires (début)
- C10.1 - La lettre \( \mathbb{R} \) désigne le corps des réels ou le corps des complexes
- C10.2 - Définition d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 (EDL1)
et d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 1 (EDLH1)
- C10.3 - Définition d'une solution d'une EDL1
- C10.4 - EDLH1 associée à une EDL1
- C10.5 - Recherche d'une solution de l'EDL1
\( y' - \dfrac{1}{x} y = x \) sur \( I = ]0,+\infty[ \)
-
Chapitre 9 - Calcul de primitives (fin)
- C9.35 - Primitivation de \( x \longmapsto \dfrac{1}{3x^2+2x+1} \)
- C9.36 - Primitivation de \( x \longmapsto \dfrac{1}{6x^2+x-1} \)
- C9.37 - Primitivation de \( x \longmapsto \dfrac{1}{x^2-6x+9} \)
- C9.38 - Formules de primitivation d'un inverse d'une fonction polynomiale de degré 2
- C9.39 - Calcul d'une intégrale par primitivation de l'intégrande
- C9.40 - Calcul des intégrales (1),(4),(10),(11),(13),(22),(40),(41) par primitivation de l'intégrande
- C9.41 - Formule d'intégration par parties
- C9.42 - Calcul des intégrales (1),(5),(8),(9) par intégration par parties
- Calcul d'une primitive de \( \ln \) sur \( ] 0 , +\infty [ \)
- C9.43 - Formule de changement de variable
- C9.44 - Calcul des intégrales (1),(2),(3) par intégration par changement de variable
-
Interrogation de cours n°10
- Définition d'une primitive
- Théorème fondamental de l'analyse
- Deux calculs de primitives
- Défaut d'unicité d'une primitive d'une fonction sur un intervalle
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C9.40 - Calcul des 51 intégrales listées à l'exception de (1),(4),(10),(11),(13),(22),(40),(41) déjà traitées, par primitivation de l'intégrande
- C9.42 - Calcul des 15 intégrales listées à l'exception des intégrales (1),(5),(8),(9) déjà traitées, par intégration par parties
- C9.44 - Calcul des 10 intégrales listées à l'exception des intégrales (1),(2),(3) déjà traitées, par intégration par changement de variable
- TD9.4 - Calcul de deux intégrales sans démarche indiquée
- TD9.9 - Primitivation de \( \operatorname{Arcsin}^2 \)
- TD9.10 - Primitivation de \( x \longmapsto \dfrac{x^7}{\left( 1 + x^4 \right)^2} \)
[133] - Séance du Jeudi 24 novembre (2h)
-
Chapitre 9 - Calcul de primitives (suite)
- C9.30 - Calcul de 42 primitives
- Démonstration du théorème fondamental de l'analyse (dérivabilité et nombre dérivée à droite)
- C9.29 - Lien entre intégrale et primitive
- C9.32 - Primitivation de \( x \longmapsto \dfrac{1}{x^2-5x+6} \)
- C9.33 - Primitivation de \( x \longmapsto \dfrac{1}{x^2+4x-3} \)
- C9.34 - Primitivation de \( x \longmapsto \dfrac{1}{x^2+4x+4} \)
- Primitivation de \( x \longmapsto \dfrac{1}{x^2+x+3} \)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C9.35 - Primitivation de \( x \longmapsto \dfrac{1}{3x^2+2x+1} \)
- C9.36 - Primitivation de \( x \longmapsto \dfrac{1}{6x^2+x-1} \)
- C9.37 - Primitivation de \( x \longmapsto \dfrac{1}{x^2-6x+9} \)
[131] - Séance du Mercredi 23 novembre (2h)
-
Complément sur le chapitre 8 - Fonctions de la variable réelle à valeurs dans \( \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \)
- C8.189 - Centre de symétrie de la courbe de \( x \longmapsto \dfrac{2x-1}{x+1} \)
-
Chapitre 9 - Calcul de primitives (suite)
- C9.12 - Majoration de la valeur absolue d'une intégrale
- C9.19 - Calcul de \( \displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin(x) \,\operatorname{d} x \) avec une somme de Riemann
- C9.20 - Définition d'une primitive d'une fonction
- C9.21 - Généralisation aux fonctions de la variable réelle à valeurs complexes
- C9.22 - Primitives de
\( x \longmapsto x^3 + \cos(4x) + \dfrac{x}{1+x^2} \)
sur \( \mathbb{R} \)
- Primitives de
\( x \longmapsto \dfrac{1}{x} \)
sur \( ] - \infty , 0 [ \)
- C9.23 - Primitives de
\( x \longmapsto \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^3}} \)
sur \( ] -1 , 1 [ \)
- C9.24 - Primitives de
\( x \longmapsto e^{\lambda x} \)
sur \( \mathbb{R} \)
où
\( \lambda \in \mathbb{C}^* \)
- C9.25 - Primitives de
\( x \longmapsto e^{a x} \cos(bx) \)
et
\( x \longmapsto e^{a x} \sin(bx) \)
sur \( \mathbb{R} \)
où
\(a,b\) sont des réels non tous les deux nuls.
- C9.26 - Description de toutes les primitives d'une fonction sur un intervalle
- C9.27 - Théorème fondamental de l'analyse
- C9.28 - Condition suffisante pour une fonction définie sur un intervalle admette une primitive
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C9.30 - Calcul de 42 primitives
[129] - Séance du Mardi 22 novembre (2h)
-
Chapitre 8 - Fonctions de la variable réelle à valeurs dans \( \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \) (fin)
- C8.184 - Définition d'un axe de symétrie d'une courbe représentative de fonction
- C8.186 - Axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction
\( x \longmapsto x^2 - 4x + 7 - |x-2| \)
- C8.187 - Définition d'un centre de symétrie d'une courbe représentative de fonction
- C8.191 - Définition d'une fonction de la variable réelle à valeurs dans \( \mathbb{C} \)
et dérivée d'une telle
- C8.192 - Opération sur les fonctions de la variable réelle à valeurs dans \( \mathbb{C} \) dérivables
- C8.183 - Dérivée d'une composée d'une fonction de la variable réelle à valeurs dans \( \mathbb{C} \) dérivable
par l'exponentielle.
- C8.194 - Deux solutions solutions de l'équation différentielle
\( y'' + y' + y = 0 \)
d'inconnue une fonction \( y \colon \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C} \)
deux fois dérivable sur \( \mathbb{R} \).
-
Chapitre 9 - Calcul de primitives (début)
- C9.1 - Notations : repère orthonormé du plan et unité d'aire
- C9.2 - Définition géométrique de l'intégrale d'une fonction continue et positive sur un segment
- C9.3 - Calcul de \( \displaystyle \int_0^5 2 \,\operatorname{d}x \) par voie géométrique
- C9.4 - Calcul de \( \displaystyle \int_0^1 7x \,\operatorname{d}x \) par voie géométrique
- C9.5 - Calcul de \( \displaystyle \int_2^5 3x-1 \,\operatorname{d}x \) par voie géométrique
- C9.6 - Calcul de \( \displaystyle \int_0^4 | x-3 | \,\operatorname{d}x \) par voie géométrique
- C9.7 - Calcul de \( \displaystyle \int_0^1 \sqrt{1-x^2} \,\operatorname{d}x \) par voie géométrique
- C9.8 - Définition géométrique de l'intégrale d'une fonction continue et positive sur un segment
- C9.9 - Illustration géométrique de l'intégrale d'une fonction continue et positive sur un segment
- C9.10 - Stratégie pour construire l'intégrale de Riemann
- C9.11 - Propriétés fondamentales de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment
- C9.14 - Théorème sur les sommes de Riemann
- C9.15 - Illustration géométrique des sommes de Riemann
- C9.16 - Calcul de \( \displaystyle \int_2^5 3x-1 \,\operatorname{d}x \) à l'aide des sommes de Riemann
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C8.189 - Centre de symétrie de la courbe de \( x \longmapsto \dfrac{2x-1}{x+1} \)
- C9.12 - Majoration de la valeur absolue d'une intégrale
- C9.19 - Calcul de \( \displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin(x) \,\operatorname{d} x \) avec une somme de Riemann
[127] - Séance du Lundi 21 novembre (2h)
-
Chapitre 8 - Fonctions de la variable réelle à valeurs dans \( \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \) (suite)
- Étudier la partie 20 du chapitre 8 consacrée aux compléments sur les études de fonctions
- C8.181 -
Branches infinies de la courbe représentative de la fonction
\( x \longmapsto \ln(x) + \sqrt{x} \)
- C8.182 -
Branches infinies de la courbe représentative de la fonction
\( x \longmapsto \dfrac{x^2 + 1}{x + 2} \)
- C8.183 -
Branches infinies de la courbe représentative de la fonction
\( x \longmapsto x \ln(x+\sqrt{x}) \)
- TD8.3 -
Domaine de dérivabilité et calculer la dérivée
de \( f \colon x \longmapsto \left( 1 + x^2 \right)^{\ln(x)} \)
- TD8.7 -
Résolution de l'équation \( 2^x = x^2 \) sur \( \mathbb{R}_{>0} \)
- TD8.11 -
Pour tout \( t \in [-1,1] \),
\( 2 \, \operatorname{Arcos} \left( \, \sqrt{ \dfrac{1+t}{2} } \; \right) = \operatorname{Arcos}(t) \)
- TD8.19 -
Étude de la fonction
\( x \longmapsto
\operatorname{Arctan}
\left(
\sqrt{1 + x^2} - x
\right)
\)
- TD8.17 -
\( \operatorname{Arctan} \left( \dfrac{1}{2} \right)
+
\operatorname{Arctan} \left( \dfrac{1}{3} \right)
=
\dfrac{\pi}{4}
\)
[125] - Séance du Samedi 20 novembre (3h)
-
Devoir surveillé n°4
- Simplification d'une fonction mettant en jeu Arcsinus
- Convergence uniforme d'une suite de fonctions
- Somme de deux valeurs de la fonction Arctangente
[122] - Séance du Vendredi 19 novembre (3h)
-
Chapitre 8 - Fonctions de la variable réelle à valeurs dans \( \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \) (suite)
- C8.145 -
Pour tout \( (x,n) \in \mathbb{R} \times \mathbb{N}^* \),
\( \left( \dfrac{1+\operatorname{th}(x)}{1-\operatorname{th}(x)} \right)^n
=
\dfrac{1+\operatorname{th}(nx)}{1-\operatorname{th}(nx)} \)
- C8.158 -
Domaine de définition et simplification de \( \operatorname{Arcsin} \left( 2 x \sqrt{1-x^2} \right) \)
- C8.160 - Définition de la fonction Arcos
- C8.161 - Valeurs remarquables de la fonction Arcos
- C8.162 - \( \operatorname{Arcos} \left( \cos \left( - \dfrac{\pi}{3} \right) \right) \)
et \( \operatorname{Arcos} \left( \cos \left( \dfrac{2023 \pi}{4} \right) \right) \)
- C8.163 - Propriétés de la fonction Arccos
- C8.164 - \( \operatorname{Arcos} + \operatorname{Arcsin} \)
- C8.165 - Simplification de \( \sin \circ \operatorname{Arcos} \)
- C8.166 - Résolution de l'équation
\( \operatorname{Arcsin}(x)
=
\operatorname{Arcos} \left( \dfrac{1}{3} \right) - \operatorname{Arcos} \left( \dfrac{1}{4} \right)
\)
- C8.168 - Définition de la fonction Arctan
- C8.169 - Propriétés de la fonction Arctan
- C8.170 - Simplification de
\( \operatorname{Arctan}\left( x \right) + \operatorname{Arctan}\left( \dfrac{1}{x} \right) \)
où \( x \in \mathbb{R}^* \)
- C8.171 - Simplification de \( \tan \left( \operatorname{Arcsin} (x) \right) \)
où \( x \in \,]-1,1[ \)
- C8.172 - Définition, dérivabilité et dérivée de
\( \exp \circ u \),
\( \ln \circ u \),
\( \operatorname{Arctan} \circ u \),
\( \operatorname{Arcsin} \circ u \)
- C8.173 - Étude de la fonction
\( x \longmapsto \operatorname{Arcsin}\left( \dfrac{1}{x} \right) \)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- Étudier la partie 20 du chapitre 8 consacrée aux compléments sur les études de fonctions
- C8.181 -
Branches infinies de la courbe représentative de la fonction
\( x \longmapsto \ln(x) + \sqrt{x} \)
- C8.182 -
Branches infinies de la courbe représentative de la fonction
\( x \longmapsto \dfrac{x^2 + 1}{x + 2} \)
- C8.183 -
Branches infinies de la courbe représentative de la fonction
\( x \longmapsto x \ln(x+\sqrt{x}) \)
- TD8.3 -
Domaine de dérivabilité et calculer la dérivée
de \( f \colon x \longmapsto \left( 1 + x^2 \right)^{\ln(x)} \)
- TD8.7 -
Résolution de l'équation \( 2^x = x^2 \) sur \( \mathbb{R}_{>0} \)
- TD8.11 -
Pour tout \( t \in [-1,1] \),
\( 2 \, \operatorname{Arcos} \left( \, \sqrt{ \dfrac{1+t}{2} } \; \right) = \operatorname{Arcos}(t) \)
- TD8.19 -
Étude de la fonction
\( x \longmapsto
\operatorname{Arctan}
\left(
\sqrt{1 + x^2} - x
\right)
\)
[119] - Séance du Jeudi 17 novembre (2h)
-
Chapitre 8 - Fonctions de la variable réelle à valeurs dans \( \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \) (suite)
- C8.81 - Pour tout \( x \geqslant 0 \), \( x+2 \geqslant (2-x) e^x \)
- C8.104 -
Pour tout \( x > 0 \) et \( y > 0 \),
\( \dfrac{\ln(x)+\ln(y)}{2} \leqslant \ln\left( \dfrac{x+y}{2} \right) \).
- C8.122 - Comportement asymptotique de
\( \dfrac{\ln\left( 1 + e^x \right)}{\sqrt{x}} \)
lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \)
- C8.129 - Étude de la fonction \( x \longmapsto \exp\left(\dfrac{1}{x^2-1}\right) \)
- C8.132 - Résolution de l'équation \( x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x}^x \)
- C8.140 - Définition des fonctions ch, sh, th
- C8.141 - Une formule de trigonométrie hyperbolique
- C8.142 - Formule d'addition pour le sinus hyperbolique
- C8.143 - Formules de l'angle moitié en trigonométrie hyperbolique
- C8.147 - Propriétés de la fonction ch
- C8.148 - Propriétés de la fonction sh
- C8.149 - Propriétés de la fonction th
- C8.150 - Pour tout \( x \in \mathbb{R}_ + \), \( \operatorname{sh}(x) \geqslant x \)
- C8.154 - Définition de la fonction Arcsin
- C8.155 - Valeurs remarquables de la fonction Arcsin
- C8.156 - \( \operatorname{Arcsin} \left( \sin \left( \dfrac{15 \pi}{4} \right) \right) \)
et \( \operatorname{Arcsin} \left( \sin \left( -\dfrac{5 \pi}{2} \right) \right) \)
- C8.157 - Propriétés de la fonction Arcsin
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C8.145 -
Pour tout \( (x,n) \in \mathbb{R} \times \mathbb{N}^* \),
\( \left( \dfrac{1+\operatorname{th}(x)}{1-\operatorname{th}(x)} \right)^n
=
\dfrac{1+\operatorname{th}(nx)}{1-\operatorname{th}(nx)} \)
- C8.158 -
Domaine de définition et simplification de \( \operatorname{Arcsin} \left( 2 x \sqrt{1-x^2} \right) \)
[117] - Séance du Mercredi 16 novembre (4h)
-
Chapitre 8 - Fonctions de la variable réelle à valeurs dans \( \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \) (suite)
- C8.81 - Pour tout \( x \geqslant 0 \), \( x+2 \geqslant (2-x) e^x \)
- C8.92 - Détermination de \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{e^x - 1}{x} \) et
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{e^{3x} - 1}{\sin(2x)} \)
- C8.93 - Calcul de la somme \( \displaystyle S_n(x):=\sum_{k=-n}^n e^{kx} \) où \( n \in \mathbb{N} \)
- C8.94 - Pour tout \( x \geqslant 0 \), \( e^x \geqslant 1 + x + \dfrac{x^2}{2} \)
puis détermination de \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^x}{x} \)
- C8.95 - Définition de la fonction logarithme népérien
- C8.96 - Composition de \( \exp \) et \( \ln \)
- C8.97 - Propriétés algébriques de la fonction \( \ln \)
- C8.98 - Logarithme népérien d'une puissance
- C8.99 - Dérivabilité et dérivée de \( \ln \)
- C8.100 - Sens de variation et signe de \( \ln \)
- C8.101 - Limites de \( \ln \) en \( 0^+ \) et en \( + \infty \)
- C8.102 - Inégalité de concavité pour \( \ln \)
- C8.103 - Représentation graphique de \( \ln \)
- C8.106 - Résolution de l'équation \( \ln\left( x^2 - 1 \right) - \ln(2x-1) + \ln(2) = 0 \)
- C8.107 - Pour tout \( n \in \mathbb{N}_{\geqslant 2}\),
\( \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \leqslant e \leqslant \left( 1 - \dfrac{1}{n} \right)^{-n} \)
- C8.108 - \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} \)
et
\( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\ln \left( 1+\sin(4x) \right) }{\tan(3x)} \)
- C8.109 - Pour tout \( x>1 \):
\[
0 \leqslant \ln(x) \leqslant 2 \sqrt{x} - 2
\]
et
comportement asymptotique de \( \dfrac{\ln(x)}{x} \) lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \).
- C8.110 - \( \displaystyle \ln(n+1) \underset{n \rightarrow + \infty}{\sim} \ln(n) \)
- C8.111 - Définition des fonctions puissances
- C8.112 - Propriétés de régularité des fonctions puissances
- C8.113 - Représentation graphique des fonctions puissances
- C8.114 - Si \( \alpha > 0 \) est non entier, CNS pour que la fonction \( x \longmapsto x^{\alpha} \) soit dérivable en 0
- C8.115 - Propriétés algébriques des fonctions puissances
- C8.116 - Croissances comparées
- C8.117 - Si \( (\alpha,\beta) \in \mathbb{R}_{>0} \times \mathbb{R}_{>0} \),
comportement asymptotique de
\( \dfrac{e^{\alpha x}}{\ln^{\beta}(x)} \) lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \)
- C8.118 - Comportement asymptotique de
\( x^5 \ln(x^2+x) \)
lorsque \( x \) tend vers \( 0^+ \)
- C8.119 - Comportement asymptotique de
\( \ln(x) - e^x + x^3 \)
lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \)
- C8.120 - Comportement asymptotique de
\( 2x - \ln\left(9^x+x^2\right) \)
lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \)
- C8.127 - Comportement asymptotique de
\( \dfrac{\left( x^x \right)^x}{ x^{\left( x^x \right)}} \)
lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \)
- C8.131 - Étude de la fonction \( x \longmapsto x^x \)
- C8.134 - Définition du logarithme de base \( a \) où \( a >1 \)
- C8.135 - Exponentielle versus logarithme de base \( a \) où \( a >1 \)
- C8.137 - Nombre de chiffres en base 10 (resp. en base 2) d'en entier naturel non nul
- C8.139 - Si \( x > 0 \) et \( y > 0 \) simplification de
\( \log_x \left( \log_x \left( x^{\left(x^y\right)} \right) \right) \)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C8.104 -
Pour tout \( x > 0 \) et \( y > 0 \),
\( \dfrac{\ln(x)+\ln(y)}{2} \leqslant \ln\left( \dfrac{x+y}{2} \right) \).
- C8.122 - Comportement asymptotique de
\( \dfrac{\ln\left( 1 + e^x \right)}{\sqrt{x}} \)
lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \)
- C8.129 - Étude de la fonction \( x \longmapsto \exp\left(\dfrac{1}{x^2-1}\right) \)
- C8.132 - Résolution de l'équation \( x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x}^x \)
[113] - Séance du Mardi 15 novembre (2h)
-
Chapitre 8 - Fonctions de la variable réelle à valeurs dans \( \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \) (suite)
- C8.51 - La dérivabilité en un point implique la continuité en ce point mais la réciproque est fausse.
- C8.76 - Étude complète de la fonction arctangente
- C8.77 - Définition d'une fonction de classe \( \mathcal{C}^1 \)
- C8.78 - Définition des dérivées itérées
- C8.79 - Calcul des dérivées itérées d'une fonction polynomiale de degré 3
- C8.80 - Dérivées itérées de la fonction inverse
- C8.82 - Théorème de Cauchy linéaire
- C8.83 - Identification de l'unique fonction \(f\) définie et dérivable sur \( \mathbb{R} \) telle que \( f'=f \) et \( f(0)=0 \)
- C8.84 - Définition de la fonction exponentielle
- C8.85 - Le nombre \( e \)
- C8.86 - Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
- C8.87 - Exponentielle d'une puissance
- C8.88 - Signe et sens de variation de la fonction exponentielle
- C8.89 - Inégalité de convexité pour la fonction exponentielle
- C8.90 - Limites de la fonction exponentielle en \(-\infty\) et en \(+\infty\)
- C8.91 - Courbe représentative de la fonction exponentielle
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C8.81 - Pour tout \( x \geqslant 0 \), \( x+2 \geqslant (2-x) e^x \)
- C8.92 - Détermination de \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{e^x - 1}{x} \) et \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{e^{3x} - 1}{\sin(2x)} \)
- C8.93 - Calcul de la somme \( \displaystyle S_n(x):=\sum_{k=-n}^n e^{kx} \) où \( n \in \mathbb{N} \)
- C8.94 - Pour tout \( x \geqslant 0 \), \( e^x \geqslant 1 + x + \dfrac{x^2}{2} \)
puis détermination de \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^x}{x} \)
[111] - Séance du Lundi 14 novembre (2h)
-
Correction du DL6
- Définition de la fonction argument tangente hyperbolique
- Application à la résolution d'une équation fonctionnelle
[109] - Séance du Jeudi 10 novembre (2h)
-
Chapitre 8 - Fonctions de la variable réelle à valeurs dans \( \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \) (suite)
- C8.66 - Caractérisation des fonctions dérivables constantes
- C8.67 - Caractérisation des fonctions dérivables monotones
- C8.68 - Caractérisation des fonctions dérivables strictement monotones
- C8.29 - Étude complète de la fonction \( x \longmapsto \dfrac{x^2-1}{x+2} \):
domaine de définition,
variations,
limites aux bornes,
asymptotes,
centre de symétrie de la courbe
- C8.73 - Courbe d'une fonction réciproque
- C8.74 - Théorème de la bijection
- C8.75 - Dérivabilité et dérivée d'une fonction réciproque
-
Interrogation de cours n°9
- Définition d'une fonction paire
- Définition du nombre dérivée et équation de la tangente
- Formule de dérivation pour \( u^n \) et \( \sqrt{u} \)
- Deux calculs de dérivées
-
Devoir libre
- DL6 (pour le 14/11) :
fonction argument tangente hyperbolique et équation fonctionnelle
[107] - Séance du Mercredi 9 novembre (4h)
-
Complément sur le chapitre 7 - Inégalités
- TD7.15 - Nombre de chiffres en base 10 d'un entier
- TD7.18 - Calcul de \( \left\lfloor \dfrac{1}{n} \lfloor nx \rfloor \right\rfloor \) où \( ( x , n) \in \mathbb{R} \times \mathbb{N}^* \)
-
Chapitre 8 - Fonctions de la variable réelle à valeurs dans \( \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \) (suite)
- C8.10 - Courbe représentative
- C8.11 - Lien entre la courbe représentative de \( f \) et celle de \( x \longmapsto f(x+T) \) où \( T \in \mathbb{R}_{>0} \)
- C8.12 - Lien entre la courbe représentative de \( f \) et celle de \( x \longmapsto f(-x) \)
- C8.13 - Lien entre la courbe représentative de \( f \) et celle de \( x \longmapsto f(2x) \)
- C8.14 - Définition d'une fonction paire (resp. impaire, périodique)
- C8.15 - Une propriété des fonctions périodiques
- C8.16 - Réduction du domaine d'étude d'une fonction paire
- C8.17 - Réduction du domaine d'étude de ch
- C8.18 - Réduction du domaine d'étude d'une fonction impaire
- C8.19 - Réduction du domaine d'étude de sh
- C8.20 - Réduction du domaine d'étude de \( x \longmapsto \ln \left( \dfrac{1-x}{1+x} \right) \)
- C8.21 - Réduction du domaine d'étude d'une fonction périodique
- C8.22 - Réduction du domaine d'étude de \( x \longmapsto \ln \left( x - \lfloor x \rfloor \right) \)
- C8.25 - Somme de deux fonctions
- C8.26 - Multiplication d'une fonction par un scalaire
- C8.27 - Combinaison linéaire de fonctions
- C8.28 - Produit de deux fonctions
- C8.29 - Inverse d'une fonction
- C8.30 - Quotient de deux fonctions
- C8.31 - Composée de deux fonctions
- C8.33 - Décomposition de la fonction \( x \longmapsto 5 - \dfrac{3x^2+1}{\ln(x-7)} \)
- C8.34 - Monotonie et stricte monotonie d'une fonction
- C8.35 - Stricte monotonie et équivalence
- C8.36 - Opérations sur les fonctions monotones (somme et composée)
- C8.38 - Sens de variation de \( x \longmapsto \dfrac{1}{x^2+1} + \ln(2+\cos(x)) \)
- C8.40 - Définition d'une fonction majorée (resp. minorée, bornée)
- C8.41 - Caractérisation des fonctions bornées
- C8.42 - La fonction
\( x \longmapsto \dfrac{\cos(7x+1) + e^{-2x+5}}{3+\sin(11-2x)} \) est bornée sur \( \mathbb{R} \)
- C8.43 - La fonction \( x \longmapsto x \sin(x) \) n'est ni minorée, ni majorée sur \( \mathbb{R} \)
- C8.44 - Corde d'une courbe représentative
- C8.45 - Dérivabilité, dérivée et tangente en un point
- C8.46 - Dérivabilité et dérivée sur un intervalle
- C8.47 - Dérivabilité et dérivée de la fonction inverse
- C8.49 - Dérivabilité et dérivée de la fonction racine carrée
- Dérivabilité et dérivées des premières fonctions usuelles
- C8.52 - Combinaison linéaire de fonctions dérivables
- C8.53 - Produit de deux fonctions dérivables
- C8.54 - Inverse d'une fonction dérivable
- C8.55 - Quotient de deux fonctions dérivables
- C8.56 - Composée de deux fonctions dérivables
- C8.57 - Dérivée d'une racine de fonction et d'une puissance de fonction
- C8-58--64 - Sept calculs de dérivées
- C8.70 - Pour tout \( x \in \mathbb{R}_{+} \), \( x - \dfrac{x^3}{6} \leqslant \sin(x) \leqslant x \)
et comportement asymptotique de la suite de terme général
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n \sin\left( \dfrac{k}{n^2} \right) \)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C8.29 - Étude complète de la fonction \( x \longmapsto \dfrac{x^2-1}{x+2} \)
[103] - Séance du Mardi 8 novembre (2h)
-
Complément sur le chapitre 6 - Petits systèmes linéaires
- TD6.2 - Résolution d'un système linéaire à deux équations et deux inconnues dont les coefficients sont des valeurs remarquables de fonctions trigonométriques
-
Complément sur le chapitre 7 - Inégalités
- C7.39 - Résolution de l'inéquation \( | x - 1 | + | x + 2 | \leqslant 3 \) d'inconnue \( x \in \mathbb{R} \)
- C7.63 - Diamètre d'une partie bornée de \( \mathbb{R} \)
- C7.75 - Propriétés de la fonction partie entière: expression par morceaux, monotonie, graphe
-
Chapitre 8 - Fonctions de la variable réelle à valeurs dans \( \mathbb{R} \) ou \( \mathbb{C} \) (début)
- C8.1 - Objectifs
- C8.2 - Notations : repère orthonormé du plan et \( \mathbb{K} \)
- C8.3 - Domaine de définition d'une fonction
- C8.4 - Étude de la fonction \( x \longmapsto \ln \left( \dfrac{11-x}{1+2x} \right) \)
- C8.5 - Partie de \( \mathbb{R} \) stable par translation par un réel strictement positif
- C8.6 - Une propriété d'une partie de \( \mathbb{R} \) stable par translation par un réel strictement positif
- C8.7 - Étude de la fonction \( \operatorname{cotan} \colon x \longmapsto \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} \)
- C8.8 - Définition d'une partie de \( \mathbb{R} \) symétrique par rapport à un point
- C8.9 - Si \( c \in \mathbb{R} \) alors \( \mathbb{R} \setminus \{ c \} \) est symétrique par rapport à \( c \)
- C8.24 - Étude de la fonction \( x \longmapsto \ln \left( 10 - 19x +6 x^2 \right) \)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD7.15 - Nombre de chiffres en base 10 d'un entier
- TD7.18 - Calcul de \( \left\lfloor \dfrac{1}{n} \lfloor nx \rfloor \right\rfloor \) où \( ( x , n) \in \mathbb{R} \times \mathbb{N}^* \)
[101] - Séance du Lundi 7 novembre (2h)
-
Complément sur le chapitre 6 - Petits systèmes linéaires
- TD6.1 - Formule de Cramer pour un système linéaire à deux équations et deux inconnues
- TD6.5 - Droite ou parabole passant par trois points du plan d'abscisse deux-à-deux distinctes
- TD6.9 - Résolution d'un système linéaire à quatre équations et quatre inconnues
-
Complément sur le chapitre 7 - Inégalités
- C7.79 - Partie entière de la somme de deux réels
- TD7.16 - Calcul de \( \lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor \) où \( x \in \mathbb{R} \)
- TD7.20 - Calcul de
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{n^2} \lfloor \sqrt{k} \rfloor \)
où
\( x \in \mathbb{R} \)
[99] - Séance du Vendredi 21 octobre (2h)
-
Chapitre 7 - Inégalités (fin)
- C7.45 - Minoration de la somme
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n | \cos(k) | \)
où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C7.54 - Caractères minoré et majoré de l'ensemble
\( \{ x^2 + y^2 + 2mxy \;:\; (x,y) \in \mathbb{R}^2 \} \) où \( m \in \mathbb{R} \)
- C7.57 - Définition du minimum (resp. maximum) d'une partie de \( \mathbb{R} \)
- C7.58 - La partie \( ]-2,3] \) de \( \mathbb{R} \) est bornée, possède un maximum mais pas de minimum
- C7.64 - Principe du bon ordre dans \( \mathbb{N} \)
- C7.65 - Toute partie de \( \mathbb{N} \) non vide et majorée possède un plus grand élément.
- C7.68 - Définition de la partie entière d'un réel
- C7.69 - Parties entières de 2022, \( \dfrac{23}{11} \), \(-1,45\), \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{2^n} \) où \( n \in \mathbb{N} \)
- C7.70 - Partie entière d'un entier relatif
- C7.71 - Encadrement d'un réel à l'aide de sa partie entière et encadrement usuel de la partie entière d'un réel
- C7.72 - Valeur approchée par défaut d'un réel
- C7.73 - Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), pour tout \( k \in \mathbb{N} \), \( \lfloor x + k \rfloor = \lfloor x \rfloor + k \)
- C7.76 - Si on pose, pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), \( u_n := 1 - \dfrac{1}{n} \), alors
\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \lfloor u_n \rfloor \;\not=\; \left\lfloor \lim_{n \to +\infty} u_n \right\rfloor \) .
-
Interrogation de cours n°8
- Définition d'une application strictement décroissante
- Définition d'un intervalle de \( \mathbb{R} \)
- Reformulation de l'inégalité \( | x - a | \leqslant b \),
où \( (a,b,x) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R} \),
et
illustration
- Une intersection d'intervalles de \( \mathbb{R} \) est un intervalle de \( \mathbb{R} \).
-
Devoir libre
- DL5 (pour le 7/11) :
Produit de la somme et de la somme des inverses de réels positifs,
trois inégalités sur les modules de nombres complexes,
inégalité entre un produit et une somme pour un \( n\)-uplet d'éléments de \([0,1]\),
transformée de Fourier discrète,
un théorème de Bernstein
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD6.1 - Formule de Cramer pour un système linéaire à deux équations et deux inconnues
- TD6.2 - Résolution d'un système linéaire à deux équations et deux inconnues dont les coefficients sont des valeurs remarquables de fonctions trigonométriques
- TD6.5 - Droite ou parabole passant par trois points du plan d'abscisse deux-à-deux distinctes
- TD6.9 - Résolution d'un système linéaire à quatre équations et quatre inconnues
- C7.38 - Résolution de l'équation \( | 7x + 5 | = | 3x+1 | \) d'inconnue \( x \in \mathbb{R} \)
- C7.39 - Résolution de l'inéquation \( | x - 1 | + | x + 2 | \leqslant 3 \) d'inconnue \( x \in \mathbb{R} \)
- C7.55 - Somme de deux parties bornées de \( \mathbb{R} \)
- C7.63 - Diamètre d'une partie bornée de \( \mathbb{R} \)
- C7.66 - Une propriété remarquable des applications strictement croissantes de \( \mathbb{N} \) dans \( \mathbb{N} \), nulle en 0.
- C7.67 - Une bijection de \( \mathbb{N}^2 \) dans \( \mathbb{N} \)
- C7.79 - Partie entière de la somme de deux réels
[97] - Séance du Jeudi 20 octobre (2h)
-
Chapitre 7 - Inégalités (suite)
- C7.14 - Étant donné un réel \( m \) fixé,
résoudre l'inéquation \( \dfrac{ mx + 2 }{ 2x - m } \leqslant 1 \) d'inconnue \( x \in \mathbb{R} \).
- C7.19 - Résoudre l'inéquation \( \sqrt{ 12 - x - x^2 } \geqslant 5x-1 \) après avoir précisé son ensemble de définition.
- C7.26(2) - Soient \( I_1 , I_2 \) deux intervalles d'intersection non vide.
Démontrer que \( I_1 \cup I_2 \) est un intervalle.
- C7.27 - Définition de la valeur absolue d'un réel à l'aide d'un max
- C7.28 - Racine carrée du carré d'un réel
- C7.30 - Interprétation de la valeur absolue en termes de distance
- C7.31 - Valeur absolue et inégalité
- C7.32 - Ensemble des réels \( x \) tels que \( | 3x - 7 | \leqslant 5 \)
- C7.33 - Expression de la valeur absolue par morceaux, multiplicativité et inégalité triangulaire
- C7.34 - Sens de variation de la valeur absolue
- C7.35 - Réel dont la valeur absolue est strictement plus petite que tout réel \( \varepsilon > 0 \)
- C7.36 - Encadrement de \( \dfrac{3+2\cos(5x)}{7-3\sin(6x)} \) pour \( x \in \mathbb{R} \)
- C7.37 - Résolution de l'inéquation \( |2x-4| \leqslant |x+2| \)
- C7.46 - Propriété d'Archimède
- C7.47 - La suite de terme général \( \dfrac{1}{n} \) est convergente, de limite nulle.
- C7.48 - Définition d'une partie majorée (resp. minorée, bornée) de \( \mathbb{R} \)
- C7.49 - Caractérisation des parties bornées à l'aide de la valeur absolue
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C7.45 - Minoration de la somme
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n | \cos(k) | \)
où \( n \in \mathbb{N}^* \)
[95] - Séance du Mercredi 19 octobre (4h)
-
Devoir surveillé n°3 (2h)
- Bijectivité d'une application linéaire de \( \mathbb{R}^3 \) dans \( \mathbb{R}^3 \)
- Composée de deux applications et injectivité
- Somme et décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples
- Trois applications de la formule du binôme de Newton
- Formule d'inversion de Pascal
-
Chapitre 7 - Inégalités (suite)
- C7.5.001 - Stricte monotonie et équivalence
- C7.9 - Encadrement optimal de \( x(1-x) \) pour \( x \in [0,1] \)
- C7.10 - Résolution de \( (x+1)(x-1) > (x+1)^2 \)
- C7.11 - Sens de variation de la fonction inverse
- C7.12 - La fonction inverse n'est pas strictement décroissante sur \( \mathbb{R}^* \)
- C7.13 - Signe de la fonction \( x \longmapsto \dfrac{1}{x} - x - 2 \)
- C7.13.001 - Encadrement optimal de \( 2 - \dfrac{1}{x} \) pour \( x \geqslant 1 \)
- C7.15 - Encadrement d'un quotient de deux nombres négatifs
- C7.16 - Encadrement optimal de \( \dfrac{2x-1}{2+5x} \) pour \( x \in [1,10] \)
- C7.17 - Sens de variation de la fonction racine carrée
- C7.18 - Résolution de l'inéquation \( x-1 \leqslant \sqrt{x+2} \) en découpant le domaine d'étude
- C7.21 - Signe de la fonction \( x \longmapsto x^n + x^2 - 2 \) où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C7.23 - Définition d'un intervalle de \( \mathbb{R} \)
- C7.24 - Dix formes d'intervalles réels
- C7.24.001 - \( \mathbb{R}^* \) n'est pas un intervalle
- C7.25 - Une intersection d'intervalles est un intervalle
- C7.26(1,3) - Étude de la réunion de deux intervalles
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C7.14 - Étant donné un réel \( m \) fixé,
résoudre l'inéquation \( \dfrac{ mx + 2 }{ 2x - m } \leqslant 1 \) d'inconnue \( x \in \mathbb{R} \).
- C7.19 - Résoudre l'inéquation \( \sqrt{ 12 - x - x^2 } \geqslant 5x-1 \) après avoir précisé son ensemble de définition.
- C7.26(2) - Soient \( I_1 , I_2 \) deux intervalles d'intersection non vide. Démontrer que \( I_1 \cup I_2 \) est un intervalle.
[91] - Séance du Mardi 18 octobre (2h)
-
Chapitre 6 - Petits systèmes linéaires (fin)
- C6.15 - Résolution d'un système linéaire à trois équations et à deux inconnues
- C6.17 - Étude de l'injectivité/surjectivité/bijectivité d'une application linéaire de
\( \mathbb{R}^2 \) dans \( \mathbb{R}^3 \)
- C6.18 - Indroduction d'un repère orthonormé du l'espace pour l'identifier avec \( \mathbb{R}^3 \)
- C6.19 - Rappel sur la notion d'équation de plan dans l'espace
- C6.20 - Définition d'un système linéaire à deux équations et à trois inconnues
- C6.21 - Exemple de résolution d'un système linéaire à deux équations et à trois inconnues
- C6.22 - Définition d'un système linéaire à trois équations et à trois inconnues
- C6.23 - Exemple de résolution d'un système linéaire à trois équations et à trois inconnues, avec un paramètre
- C6.24 - Définition d'une opération élémentaire sur un système linéaire à deux/trois équations et à trois inconnues
- C6.25 - Une opération élémentaire sur un système linéaire à deux/trois équations et à trois inconnues ne modifie pas
son ensemble solution
- C6.26 - Algorithme du pivot de Gauß d'un système linéaire à deux équations et à trois inconnues
- C6.27 - Algorithme du pivot de Gauß d'un système linéaire à trois équations et à trois inconnues
- C6.28 - Du nombre de solutions d'un système linéaire à deux/trois équations et à trois inconnues
- C6.29 - Résolution d'un système linéaire à deux équations et trois inconnues
- C6.31 - Bijectivité d'une application linéaire de
\( \mathbb{R}^3 \) dans \( \mathbb{R}^3 \)
et calcul de sa réciproque
Chapitre 7 - Inégalités (début)
- C7.1 - Objectifs
- C7.2 - Propriétés fondamentales de la relation d'ordre avec les opération sur \( \mathbb{R} \)
- C7.3 - Signe d'un produit, d'un carré
- C7.4 - Opérations membre-à-membre sur des inégalités
- C7.5 - Définition d'une fonction croissante
(resp. strictement croissante,
décroissante,
strictement décroissante)
- C7.6 - Sens de variation d'une fonction affine
- C7.7 - Sens de variation de la fonction carrée
- C7.8 - Encadrement optimal de \( 5x - 1 - 6x^2 \) pour \( x \in [-10 , 10] \)
[89] - Séance du Lundi 17 octobre (4h)
-
Complément sur le chapitre 5 - Sommes et produits
- C5.68 - Inégalité de Cauchy-Schwarz dans \( \mathbb{R}^n \) muni de son produit scalaire usuel où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.73 - Expression de
\( \displaystyle \prod_{k=0}^n (2k+1) \)
où \( n \in \mathbb{N}^* \)
à l'aide de factorielles et de puissances de 2
- C5.81 - Sens de variation de \( k \longmapsto \displaystyle \binom{n}{k} \) où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.82 - Formule des colonnes
- C5.87 - Calcul de
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k \binom{4n}{2k} \)
et
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{2n-1} (-1)^k \binom{4n}{2k+1} \)
où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.91 - Primitivation de \( x \longmapsto \sin^5(x) \)
- C5.93 - Écrire, pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( \sin(6x) \)
comme \( \sin(x) \) multiplié par un polynôme en \( \cos(x) \).
- TD5.4 - Calcul de
\( \displaystyle \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n} ij \) où \( n \in \mathbb{N}^* \)
[Youssef]
- TD5.5 - Calcul de
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n \sum_{\ell = k}^n \dfrac{k}{\ell} \) où \( n \in \mathbb{N}^* \)
[Timothée]
- TD5.7 - Calcul de
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k \binom{n}{k} \)
et
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 \binom{n}{k} \)
où \( n \in \mathbb{N}_{ \geqslant 2} \)
[Lina]
- TD5.8 - Calcul de
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k+1} \binom{n}{k} \) où \( n \in \mathbb{N}^* \)
[Timothée]
- TD5.15 - Inégalité arithmético-géométrique
[Maximilien]
- TD5.21 - \( \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} \underset{n \rightarrow +\infty }{\sim} \ln(n) \)
[Ibrahim]
-
Chapitre 6 - Petits systèmes linéaires (début)
- C6.1 - Objectifs
- C6.2 - Indroduction d'un repère orthonormé du plan pour l'identifier avec \( \mathbb{R}^2 \)
- C6.3 - Rappel sur la notion d'équation de droite dans le plan
- C6.4 - Définition d'un système linéaire à deux équations et à deux inconnues
- C6.5 - Exemple de résolution d'un système linéaire à deux équations et à deux inconnues
- C6.6 - Définition d'un système linéaire à trois équations et à deux inconnues
- C6.7 - Exemple de résolution d'un système linéaire à trois équations et à deux inconnues, avec un paramètre
- C6.8 - Définition d'une opération élémentaire sur un système linéaire à deux/trois équations et à deux inconnues
- C6.9 - Une opération élémentaire sur un système linéaire à deux/trois équations et à deux inconnues ne modifie pas
son ensemble solution
- C6.10 - Introduction de deux symboles pour désigner un réel non nul et un réel quelconque
- C6.11 - Algorithme du pivot de Gauß d'un système linéaire à deux équations et à deux inconnues
- C6.12 - Algorithme du pivot de Gauß d'un système linéaire à trois équations et à deux inconnues
- C6.13 - Du nombre de solutions d'un système linéaire à deux/trois équations et à deux inconnues
- C6.14 - Résolution d'un système linéaire à deux équations
et à deux inconnues, avec un paramètre
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C6.15 - Résolution d'un système linéaire à trois équations et à deux inconnues
- C6.17 - Étude de l'injectivité/surjectivité/bijectivité d'une application linéaire de \( \mathbb{R}^2 \) dans \( \mathbb{R}^3 \)
- C6.23 - Résolution d'un système linéaire à trois équations et à trois inconnues, avec un paramètre
[85] - Séance du Vendredi 14 octobre (2h)
-
Chapitre 5 - Sommes et produits (fin)
- C5.71 - Simplification de
\( \displaystyle \dfrac{n+2}{(n+1)!} - \dfrac{1}{n!} \)
où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.72 - Calcul de
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k \times k! \)
où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.75 - Définition d'un coefficient binomial
- C5.76 - Remarque sur l'interprétation combinatoire d'un coefficient binomial
- C5.77 - Triangle de Pascal
- C5.78 - Propriétés des coefficients binomiaux
- C5.80 - Autre expression de
\( \displaystyle k \, \binom{n}{k} \)
où \( 1 \leqslant k \leqslant n \)
- C5.84 - Formule du binôme de Newton
- C5.85 - Quatre applications directes de la formule du binôme de Newton
- C5.86 - Linéarisation d'une expression polynomiale en cosinus et sinus
- C5.89 - Linéarisation de \( x \longmapsto \cos^6(x) \)
- C5.91 - Expression de \( \cos^5(\theta) \) comme un polynôme en \( \cos(\theta) \)
-
Interrogation de cours n°7
- Formule de changement d'indice pour une somme finie
- Sommes des premiers entiers, des carrés des premiers entiers, de nombres en progression géométrique
- Définition d'une partition d'un ensemble fini
- Formule d'inversion pour les sommes triangulaires
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C5.68 - Inégalité de Cauchy-Schwarz dans \( \mathbb{R}^n \) muni de son produit scalaire usuel où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.73 - Expression de
\( \displaystyle \prod_{k=0}^n (2k+1) \)
où \( n \in \mathbb{N}^* \)
à l'aide de factorielles et de puissances de 2
- C5.81 - Sens de variation de \( k \longmapsto \displaystyle \binom{n}{k} \) où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.82 - Formule des colonnes
- C5.87 - Calcul de
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k \binom{4n}{2k} \)
et
\( \displaystyle \sum_{k=0}^{2n-1} (-1)^k \binom{4n}{2k+1} \)
où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.91 - Primitivation de \( x \longmapsto \sin^5(x) \)
- C5.93 - Écrire, pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( \sin(6x) \) comme \( \sin(x) \) multiplié par un polynôme en \( \cos(x) \).
[83] - Séance du Jeudi 13 octobre (2h)
-
Chapitre 5 - Sommes et produits (suite)
- C5.26 - Calcul de \( \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{ k^3 + 3 k^2 + 2k } \), où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.38 - Pour tout \( x \in [0,1] \), expression de \( \displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^k \, \dfrac{x^k}{k} \) à l'aide d'une intégrale, où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.41 - Dérivabilité et dérivée de \( x \longmapsto x^p \), où \( p \in \mathbb{N}^* \)
- C5.51 - Pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), expression de la somme \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{2p+1} \)
en fonction de \( H_{2n+1} \) et de \( H_{2n} \).
- C5.58 - Calcul de \( \displaystyle \sum_{ 1 \leqslant i , j \leqslant n } | i - j | \),
où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- Rappel sur les sommes doubles avec une illustration par un schéma
- C5.60 - Deux formules d'inversion pour les sommes triangulaires
- C5.61 - Illustration des formules d'inversion sur un schéma
- C5.63 - Calcul de \( \displaystyle \sum_{ 1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n } ij \),
où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.64 - Calcul de \( \displaystyle \sum_{ 1 \leqslant i < j \leqslant n } \dfrac{i}{j} \),
où \( n \in \mathbb{N}_{\geqslant 2} \)
- C5.66 - Produit de deux sommes finies
- C5.67 - Si \( n \in \mathbb{N}_{\geqslant 2} \)
et
\( (a_1,\ldots,a_n) \in \mathbb{C}^n \)
alors
\( \displaystyle
\left( \sum_{i=1}^n a_i \right)^2
=
\sum_{i=1}^n a_i^2
\; + \;
2 \, \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} a_i a_j
\).
- C5.69 - Définition de la factorielle d'un entier
- C5.70 - Relation de récurrence pour les factorielles
[81] - Séance du Mercredi 12 octobre (4h)
-
Complément sur le chapitre 4 - Ensembles et applications
- TD4.1 - Les ensembles
\( A := \set{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \;:\; x+2y=3} \)
et
\( B := \set{ ( 1 - 2t , 1 + t) \;:\; t \in \mathbb{R} } \)
sont égaux.
- TD4.13 -
Si
\( f \colon E \longrightarrow F , g \colon F \longrightarrow G \) sont des applications
et
\( C \in \mathcal{P}(G) \),
\( (g \circ f)^{-1} (C) = f^{-1} \left( g^{-1} (C) \right) \).
-
Chapitre 5 - Sommes et produits (suite)
- C5.11 - Premières sommes de Newton
- C5.12 - Linéarité du symbole \( \displaystyle \sum \)
- C5.13 - Calcul de \( \displaystyle S_2(n):=\sum_{k=1}^n k^2 \) par télescopage, où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.14 - Calcul de \( \displaystyle S_3(n):=\sum_{k=1}^n k^3 \) par télescopage, où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.16 - Calcul de \( \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+1)} \), où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.17 - Changement d'indice dans une somme et dans un produit
- C5.18 - Changement d'indice par translation sur un intervalle entier
- C5.19 - \( \displaystyle
\sum_{k=n+1}^{2n-1}
\ln\left( \sin \left( \dfrac{k \pi}{2n} \right)\right)
=
\sum_{k=1}^{n-1}
\ln\left( \sin \left( \dfrac{k \pi}{2n} \right)\right)
\),
où \( n \in \mathbb{N}_{\geqslant 2} \)
- C5.20 - Calcul de \( \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{n+1-k} \), où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.25 - Calcul de \( \displaystyle \sum_{k=-5}^{15} k(10-k) \)
- C5.28 - Sommes et produits télescopiques
- C5.29 - Calcul de \( \displaystyle \sum_{k=1}^n \ln \left( 1 + \dfrac{1}{k} \right) \), où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.30 - Calcul de \( \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{ \sqrt{k} + \sqrt{k+1}} \), où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.32 - Calcul d'une somme de termes en progression géométrique
- C5.34 - Calcul de \( \displaystyle \dfrac{1}{2^{10}} + \dfrac{1}{2^{20}} + \dfrac{1}{2^{30}} + \ldots + \dfrac{1}{2^{1000}} \)
- C5.37 - Calcul de \( \displaystyle \sum_{i=1}^n i \, q^i \) par changement d'indice, où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.39 - Factorisation d'une différence de deux puissances \(n\)-ièmes, où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.40 - Si \( 2^p - 1 \) est premier alors \( p \) est premier, où \( p \in \mathbb{N}_{\geqslant 2} \)
- C5.42 - Partition d'un ensemble fini
- C5.43 - Exemple de partition d'un intervalle entier
- C5.44 - Partition d'un intervalle entier suivant la parité de ses éléments
- C5.45 - Regroupement des termes dans une somme ou un produit
- C5.46 - Relation de Chasles pour les sommes et les produits
- C5.48 - Calcul de \( \displaystyle \sum_{k=2n+1}^{3n} (2k) \), où \( n \in \mathbb{N}_{\geqslant 2} \)
- C5.49 - Calcul de \( \displaystyle \sum_{k=n}^{3n} \min\{ k , 2n \} \), où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.50 - Regroupement des termes dans une somme ou un produit suivant la parité de l'indice
- C5.52 - Calcul de \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (-1)^k k \), où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.54 - Deux écritures d'une somme double
- C5.55 - Illustration des échanges de symboles \( \displaystyle \sum \) sur une somme rectangulaire
- C5.57 - Calcul de \( \displaystyle \sum_{ 1 \leqslant i , j \leqslant n } \min\{i,j\} \)
et
\( \displaystyle \sum_{ 1 \leqslant i , j \leqslant n } \max\{i,j\} \)
où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.59 - Calcul de \( \displaystyle \sum_{ 1 \leqslant i , j \leqslant n } \dfrac{i}{i+j} \),
où \( n \in \mathbb{N}^* \)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C5.26 - Calcul de \( \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{ k^3 + 3 k^2 + 2k } \), où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.38 - Pour tout \( x \in [0,1] \), expression de \( \displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^k \, \dfrac{x^k}{k} \) à l'aide d'une intégrale, où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.41 - Dérivabilité et dérivée de \( x \longmapsto x^p \), où \( p \in \mathbb{N}^* \)
- C5.51 - Pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), expression de la somme \( \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{2p+1} \)
en fonction de \( H_{2n+1} \) et de \( H_{2n} \).
- C5.58 - Calcul de \( \displaystyle \sum_{ 1 \leqslant i , j \leqslant n } | i - j | \),
où \( n \in \mathbb{N}^* \)
[77] - Séance du Mardi 11 octobre (2h)
-
Complément sur le chapitre 4 - Ensembles et applications
- C4.41 - Intersection dans un produit cartésien
- C4.43 - Si \(A,B\) sont deux parties d'un ensemble \(E\) résolution des équations \( A \cup X = B \) et \( A \cap X = B \) d'inconnue \(X\) une partie de \(E\)
- C4.121 - Si \( f \colon E \longrightarrow F \) est bijective alors \( f^{-1} \) est bijective et \( \left( f^{-1} \right)^{-1} = f \).
- C4.124 - Si \( f \colon E \longrightarrow F \) est bijective et \( B \) est une partie de \( F \) alors l'image réciproque de \(B\) par \(f\) coïncide
avec l'image directe de \(B\) par \(f^{-1}\).
-
Chapitre 5 - Sommes et produits (début)
- C5.1 - Somme d'une famille de trois nombres complexes
- C5.2 - Produit d'une famille de trois nombres complexes
- C5.3 - Définition d'un ensemble fini
- C5.4 - Si \( (n,m) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^* \)
et
s'il existe une bijection de \( \{ 1 , \ldots , n \} \) dans \( \{ 1 , \ldots , m \} \)
alors \( n = m \).
- C5.5 - Définition de la somme et du produit d'une famille finie de nombres complexes
- C5.6 - Somme et produit d'une famille de nombres complexes indexée par un intervalle d'entiers
- C5.7 - Écriture de somme donnée avec des \( \ldots \) à l'aide du symbole \( \displaystyle \sum \)
- C5.8 - Écriture d'un produit donné avec des \( \ldots \) à l'aide du symbole \( \displaystyle \prod \)
- C5.9 - Relation de récurrence fondamentale pour une somme et un produit d'une famille de nombres complexes
indexée par \( \{ 1 , \ldots , n+1 \} \) où \( n \in \mathbb{N}^* \)
- C5.10 - Calcul de \( \displaystyle \prod_{k=2}^n \left( 1 - \dfrac{1}{k} \right) \)
où \( n \in \mathbb{N}_{\geqslant 2} \)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD4.1 - Les ensembles
\( A := \set{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \;:\; x+2y=3} \)
et
\( B := \set{ ( 1 - 2t , 1 + t) \;:\; t \in \mathbb{R} } \)
sont égaux.
- TD4.13 -
Si
\( f \colon E \longrightarrow F , g \colon F \longrightarrow G \) sont des applications
et
\( C \in \mathcal{P}(G) \),
\( (g \circ f)^{-1} (C) = f^{-1} \left( g^{-1} (C) \right) \).
[75] - Séance du Lundi 10 octobre (2h)
-
Compléments sur le chapitre 4 - Ensembles et applications
- C4.86 - Inversibilité et inverse d'une similitude directe
- C4.94 - Étude de l'injectivité de
\( f_1 \colon \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \;,\; x \longmapsto e^x \)
et de
\( f_2 \colon \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C} \;,\; z \longmapsto e^z \)
- C4.95 - Injectivité et image directe d'une intersection
- C4.105 - Étude de la surjectivité de
\( f_1 \colon \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^* \;,\; x \longmapsto e^x \)
et de
\( f_2 \colon \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}^* \;,\; z \longmapsto e^z \)
- C4.112 - Étude de la bijectivité de trois applications d'une partie de \( \mathbb{C}\) dans une partie de \( \mathbb{C}\)
- C4.120 - Caractère bien défini, bijectivité et application réciproque de l'application
\[
f
\quad
\left|
\;
\begin{array}{ccc}
\mathbb{R} & \longrightarrow & ] -1 , 1 [ \\
x & \longmapsto & \dfrac{ e^x - e^{-x} }{ e^x + e^{-x} } \;.
\end{array}
\right.
\]
[73] - Séance du Samedi 8 octobre (2h)
-
Chapitre 4 - Ensembles et applications (fin)
- C4.104 - Caractérisation de la surjectivité par l'image de la source d'une application
- C4.106 - Surjectivité et inversibilité à droite
- C4.107 - Analyse de deux applications dont la composée est l'identité
- C4.108 - Composition et surjectivité
- C4.110 - Définition d'une application bijective
- C4.111 - Description de toutes les applications bijectives de \( \{ a,b,c \} \) dans \( \{ 1,2,3 \} \)
- C4.113 - Inversibilité et réciproque d'une application
- C4.114 - Bijectivité et inversibilité
- C4.119 - Bijectivité et application réciproque de l'application:
\[
f
\quad
\left|
\;
\begin{array}{ccc}
\mathbb{R}_+ & \longrightarrow & [ 1 , + \infty [ \\
x & \longmapsto & \dfrac{ e^x + e^{-x} }{ 2 } \;.
\end{array}
\right.
\]
- C4.122 - Composition et bijectivité
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C4.41* - Intersection dans un produit cartésien
- C4.43*** - Si \(A,B\) sont deux parties d'un ensemble \(E\) résolution des équations \( A \cup X = B \) et \( A \cap X = B \) d'inconnue \(X\) une partie de \(E\)
- C4.86** - Inversibilité et inverse d'une similitude directe
- C4.94* - Étude de l'injectivité de
\( f_1 \colon \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \;,\; x \longmapsto e^x \)
et de
\( f_2 \colon \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C} \;,\; z \longmapsto e^z \)
- C4.95*** - Injectivité et image directe d'une intersection
- C4.105* - Étude de la surjectivité de
\( f_1 \colon \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^* \;,\; x \longmapsto e^x \)
et de
\( f_2 \colon \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}^* \;,\; z \longmapsto e^z \)
- C4.112* - Étude de la bijectivité de trois applications d'une partie de \( \mathbb{C}\) dans une partie de \( \mathbb{C}\)
- C4.120** - Caractère bien défini, bijectivité et application réciproque de l'application
\[
f
\quad
\left|
\;
\begin{array}{ccc}
\mathbb{R} & \longrightarrow & ] -1 , 1 [ \\
x & \longmapsto & \dfrac{ e^x - e^{-x} }{ e^x + e^{-x} } \;.
\end{array}
\right.
\]
[71] - Séance du vendredi 7 octobre (2h)
-
Chapitre 4 - Ensembles et applications (suite)
- C4.78 - Calcul de
\( \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}^* } \left[ \dfrac{1}{n} , 1 \right] \)
et
\( \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}^* } \left] -\dfrac{1}{n} , \dfrac{1}{n} \right[ \)
- C4.83 - Décomposition d'une fonction homographique comme composée de trois fonctions
- C4.84 - Application identité d'un ensemble
- C4.85 - Effet d'une composition par l'application identité
- C4.88 - Définition d'une application injective
- C4.89 - Applications injectives ou non injectives définies par des diagrammes de Venn
- C4.90 - Schéma rédactionnel pour une démonstration d'injectivité
- C4.91 - Applications d'une partie de \( \mathbb{C}\) dans une partie de \( \mathbb{C}\) injectives ou non injectives
- C4.92 - Reformulation par contraposition et négation de la définition d'une application injective
- C4.93 - Injectivité et monotonie stricte
- C4.96 - Injectivité et inversibilité à gauche
- C4.98 - Composition et injectivité
- C4.100 - Définition d'une application surjective
- C4.101 - Applications surjectives ou non surjectives définies par des diagrammes de Venn
- C4.102 - Schéma rédactionnel pour une démonstration de surjectivité
- C4.103 - Applications d'une partie de \( \mathbb{C}\) dans une partie de \( \mathbb{C}\) surjectives ou non surjectives
-
Interrogation de cours n°6
- Ensemble des parties d'un ensemble à quatre éléments
- Définition d'une application
- Définition d'une image directe et d'une image réciproque de partie par une application
- Lois de de Morgan pour une réunion/intersection d'une famille d'ensembles
-
Devoir libre
- DL4 (pour le 14/10) -
Image d'un cercle par une homographie dans le cas où le cercle ne rencontre pas la singularité de l'homographie.
[69] - Séance du jeudi 6 octobre (2h)
-
Chapitre 4 - Ensembles et applications (suite)
- C4.69(2) - Si \( f \colon \mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R} \;;\; x \longmapsto x^2 - 4x - 4 \)
alors
\( [-8,8] \subset f([0,6]) \)
et
\( f^{-1} ( [4,6] ) = \left[ 2 + \sqrt{12} , 2 + \sqrt{14} \right] \).
- C4.70 -
Image directe et image réciproque de l'ensemble vide,
image inverse du but
et
discussion sur l'image directe de la source
- C4.71 - Propriétés des images directes et réciproques
- C4.72 - Étude de l'image directe d'une intersection
- C4.73 - Définition d'une famille d'éléments d'un ensemble
- C4.74 - Une suite réelle indexée par \( \mathbb{N} \) est un exemple
de familles d'éléments de \( \mathbb{R} \) indexée par \( \mathbb{N} \).
- C4.75 - Réunion et intersection d'une famille de parties
- C4.76 - Opérations sur les intersections et les réunions de familles d'ensembles
- C4.77 - Si \( E \) est un ensemble alors \( \displaystyle \bigcup_{x \in E} \{ x \} = E \)
- L'ensemble \( \mathbb{R} \) est archimédien:
pour tout réel \( x \),
il existe un entier naturel \( N \)
tel que \( x \leqslant N \).
- C4.79 - Définition de la composée de deux applications
- C4.80 - La composition n'est pas commutative.
- C4.81 - La composition est associative.
- C4.82 - Définition d'une restriction et d'une corestriction d'application
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C4.78 - Calcul de
\( \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}^* } \left[ \dfrac{1}{n} , 1 \right] \)
et
\( \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}^* } \left] -\dfrac{1}{n} , \dfrac{1}{n} \right[ \)
- C4.83 - Décomposition d'une fonction homographique comme composée de trois fonctions
[67h] - Séance du mercredi 5 octobre (4h)
-
Devoir surveillé n°2 (2h)
- Application de la factorisation par l'angle moitié
- Propriétés des racines \(n\)-ièmes de l'unité où \( n \in \mathbb{N}_{\geqslant 2} \)
- Équations algébriques
- Nombres complexes et géométrie
- Noyaux de Dirichlet et de Féjer
-
Chapitre 4 - Ensembles et applications (suite)
- C4.53 - Égalité de deux applications
- C4.54 - Image d'un point de la source et antécédent d'un point du but d'une application
- C4.55 - Calculs d'images et d'antécédents par l'application
\( f \colon [ 1 , + \infty [ \longrightarrow \mathbb{R} \;;\; x \longmapsto x^2 - 4x + 3 \)
- C4.56 - Ensemble des applications d'un ensemble dans un autre
- C4.57 - Exemples d'éléments de \( \mathbb{C}^{ \mathbb{R} } \)
- C4.58 - Définition du graphe d'une application avec illustration avec des diagrammes de Venn
- C4.59 - Graphe de la fonction racine carrée
- C4.60 - Appartenance ou non de points au graphe de l'application \( f \colon [0,10] \longrightarrow \mathbb{R} \;;\; x \longmapsto 2x+1 \)
- C4.62 - Nombre de points du graphe d'une application dont la première (resp. deuxième) composante est fixée
- C4.63 - Définition de l'indicatrice d'une partie d'un ensemble
- C4.64 - Graphe de l'application \( \mathbb{1}_{[-1,3]} \)
- C4.65 - Expression de la fonction valeur absolue comme combinaison linéaire d'indicatrice
- C4.66 - L'indicatrice d'une partie d'un ensemble caractérise la partie
- C4.67 - Indicatrice et opérations sur les ensembles
- C4.68 - Définition de l'image directe d'une partie de la source et de l'image réciproque d'une partie du but par une application
- C4.69(1) - Si \( f \colon \mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R} \;;\; x \longmapsto x^2 - 4x - 4 \)
alors \( f([0,6]) \subset [-8,8] \)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C4.69(2) - Si \( f \colon \mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R} \;;\; x \longmapsto x^2 - 4x - 4 \)
alors \( [-8,8] \subset f([0,6]) \)
- Déterminer,
pour tout \( y \in \mathbb{R} \),
les antécédents éventuels de \( y \)
par l'application:
\[
\operatorname{ch}
\quad
\left|
\;
\begin{array}{ccc}
\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
x & \longmapsto & \dfrac{ e^x + e^{-x} }{ 2 } \;.
\end{array}
\right.
\]
[63h] - Séance du mardi 4 octobre (2h)
-
Chapitre 4 - Ensembles et applications (suite)
- C4.30 -
L'ensemble \( \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \;:\; x^2+y^2 \leqslant 1 \} \)
n'est pas le produit cartésien de deux parties de \( \mathbb{R} \).
- C4.37 - Propriétés du complémentaire, de la réunion et de l'intersection
- C4.38 - Écriture de et représentation graphique de \( A , A \cup B , A \setminus B \)
où
\( A := \left\{ z \in \mathbb{C} \;:\; | z-1+i | \leqslant 4 \right\} \)
et
\( B := \left\{ z \in \mathbb{C} \;:\; \operatorname{Re}(z) \geqslant -1 \text{ et } | \operatorname{Im}(z) | \leqslant 2 \right\} \)
- C4.40 - Détermination de \( \mathbb{U}_{18} \cap \mathbb{U}_{30} \)
- C4.42 - Si \( A , B \) sont deux parties d'un ensemble \( E \) telles que \( A \cup B = A \cap B \)
alors \( A = B \).
- C4.44 - Définition de l'ensemble des parties d'un ensemble
- C4.45 - Description de \( \mathcal{P}( \{ a , b \} \) et de \( \mathcal{P}( \{ a , b , c , d \}) \)
- C4.46 - Traduction de l'appartenance à un ensemble de parties d'un ensemble
- C4.48 - Description de \( \mathcal{P}(\emptyset) \), \( \mathcal{P}(\mathcal{P}(\emptyset)) \)
et de \( \mathcal{P}( \mathcal{P} (\mathcal{P} (\emptyset))) \)
- C4.49 - Définition d'une application, de son ensemble de départ et de son ensemble d'arrivée
- C4.50 - Trois exemples d'applications
- C4.51 - Trois exemples de diagrammes qui ne définissent pas des applications
- C4.52 - Étude du caractère bien défini de trois applications
[61h] - Séance du lundi 3 octobre (4h)
-
Complément sur le chapitre 3 - Nombres complexes
- TD3.8 - Si \( (n , x) \in \mathbb{R} \times \mathbb{N} \), calcul de \( \displaystyle \sum_{k=0}^n \sin^2(kx) \)
- TD3.10 - Résolution du système \( |z| = \left| \dfrac{1}{z} \right| = |1+z| \) dans \( \mathbb{C} \)
- TD3.19 - Résolution de l'équation \( \overline{z} = z^8 \) dans \( \mathbb{C} \)
- TD3.20 - Résolution de l'équation \( 1 + 2 z + 2 z^2 + \ldots + 2 z^{n-1} + z^n =0 \) dans \( \mathbb{C} \)
- C3.166 - Lieu géométrique défini par \( \left| \dfrac{z-a}{z-b} \right| = k \)
où \(a,b\) sont des nombres complexes distincts et \( k \in \mathbb{R}_{>0} \).
-
Chapitre 4 - Ensembles et applications (début)
- C4.1 - Définition d'un ensemble et de l'appartenance
- C4.2 - Exemples d'ensembles (ensembles de nombres)
- C4.3 - Ensemble défini en extension
- C4.4 - Exemple d'ensemble défini en extension
- C4.5 - Ensemble défini par une liste (non ordonnée) d'éléments dépendant d'un paramètre
- C4.6 - Description d'ensembles définis en extension par une phrase
- C4.7 - Définition d'une inclusion, d'une partie/d'un sous-ensemble
- C4.8 - Transitivité de l'inclusion entre ensembles
- C4.9 - Exemples d'inclusions d'ensembles
- C4.10 - Négation d'une inclusion d'ensembles
- C4.11 - Schéma rédactionnel pour démontrer une inclusion d'ensembles
- C4.12 - Exemple d'ensembles inclus l'un dans l'autre issus de l'arithmétique
- C4.13 - Définition de l'ensemble vide
- C4.14 - L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble
- C4.15 - Définition de l'égalité d'ensembles
- C4.16 - Négation d'une égalité d'ensembles
- C4.17 - Schéma rédactionnel d'une égalité d'ensembles
- C4.18 - Démonstration d'une égalité d'ensembles issus de l'arithmétique
- C4.19 - Définition d'un ensemble défini en compréhension
- C4.20 - Écriture de \( \mathbb{C}^* , \mathbb{U} , \mathbb{U}_7 \) en compréhension
- C4.21 - Écriture de \( \mathbb{C}^* , \mathbb{U} , \mathbb{U}_7 \) en extension
- C4.22 - Écriture de l'ensemble \( \left\{ z \in \mathbb{C} \;:\; z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0 \right\} \) en extension
- C4.24 - Définition d'un \( n \)-uplet
- C4.25 - Définition du produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles
- C4.26 - Description en extension de \( \{ a,b,c \} \times \{ 1,2 \} \)
- C4.27 - Représentation graphique de \( [-1,2] \times [3,4] \)
- C4.28 - Si \(E\) est un ensemble alors \( E \times \emptyset = \emptyset \)
- C4.31 - Définition de la réunion de deux parties d'un ensemble
- C4.32 - Définition de l'intersection de deux parties d'un ensemble
- C4.33 - Définition du complémentaire d'une partie d'un ensemble
- C4.34 - Définition de la différence de deux parties d'un ensemble
- C4.35 - Traduction de l'appartenance au complémentaire, à la réunion, à l'intersection, à la différence
- C4.36 - Autre expression de la différence de deux parties d'un ensemble
à l'aide d'un complémentaire et d'une intersection
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C4.30 -
L'ensemble \( \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \;:\; x^2+y^2 \leqslant 1 \} \)
n'est pas le produit cartésien de deux parties de \( \mathbb{R} \).
- Revoir C1.14 (propriétés des opérateurs logiques \( \neg,\vee,\wedge \).
- Étudier C4.37 (propriétés du complémentaire, de la réunion et de l'intersection)
[57h] - Séance du vendredi 30 septembre (2h)
-
Chapitre 3 - Nombres complexes (fin)
- C3.142 - Si \(n,m\) sont des entiers supérieurs ou égaux à 2, CNS pour que \( \mathbb{U}_m \subset \mathbb{U}_n \).
- TD3.17 - Résolution de l'équation \( (z-i)^4 + (z+i)^4 = 0 \) d'inconnue \( z \in \mathbb{C} \)
- C3.164 - Critères d'alignement et d'orthogonalité via les nombres complexes
- Si \( z \in \mathbb{C}^* \) alors \( z \in i \mathbb{R} \) si et seulement si son argument est
\( - \dfrac{\pi}{2} \) ou \( \dfrac{\pi}{2} \) modulo \( 2 \pi \).
- C3.168 - Rappels sur les translations du plan et expression complexe d'une telle
- C3.169 - Rappels sur les homothéties du plan et expression complexe d'une telle
- C3.170 - Rappels sur les rotations du plan et expression complexe d'une telle
- Étude de la transformation du plan complexe \( z \longmapsto iz + 1 \)
- C3.171 - Définition et décomposition d'une similitude directe
- Étude de la similitude
\( f \colon z \longmapsto (2-2i)z + i \)
et image du point d'affixe \(1+i\) par \( f \)
- C3.174 - Une homothétie préserve l'alignement
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD3.8 - Si \( (n , x) \in \mathbb{R} \times \mathbb{N} \), calcul de \( \displaystyle \sum_{k=0}^n \sin^2(kx) \)
- TD3.10 - Résolution du système \( |z| = \left| \dfrac{1}{z} \right| = |1+z| \) dans \( \mathbb{C} \)
- TD3.19 - Résolution de l'équation \( \overline{z} = z^8 \) dans \( \mathbb{C} \)
- TD3.20 - Résolution de l'équation \( 1 + 2 z + 2 z^2 + \ldots + 2 z^{n-1} + z^n =0 \) dans \( \mathbb{C} \)
- C3.166 - Lieu géométrique défini par \( \left| \dfrac{z-a}{z-b} \right| = k \)
où \(a,b\) sont des nombres complexes distincts et \( k \in \mathbb{R}_{>0} \).
- C3.173 - Inverse d'une similitude directe
- C3.175 - Effet d'une similitude directe sur les longueurs et les angles orientés
[55h] - Séance du jeudi 29 septembre (2h)
-
Chapitre 3 - Nombres complexes (suite)
- C3.131 - Résolution guidée d'une équation de degré 3 à coefficients complexes
- C3.145 - Calcul des racines 5-ièmes de 32
- Calcul des racines 7-ièmes de \(2-2i\)
- C3.153 - Définition de l'exponentielle d'un nombre complexe
- C3.154 - Exemple de calcul d'une exponentielle complexe
- C3.155 - Si \( z \in \mathbb{C} \), calcul de la partie réelle, de la partie imaginaire, du module et d'un argument de \( e^z \)
- C3.156 - Exponentielle d'une somme de nombres complexes
- C3.157 - Calcul de la puissance 12-ème d'un nombre complexe
- C3.158 - Cas d'égalité de deux exponentielles complexes
- C3.159 - Résolution de l'équation \( e^z = -1 \) d'inconnue \( z \in \mathbb{C} \)
- C3.160 - Des antécédents d'un nombre complexe par l'exponentielle
- C3.161 - Résolution de l'équation \( e^z = 7-7i \) d'inconnue \( z \in \mathbb{C} \)
- C3.162 - Rappels sur l'interprétation géométrique de \( | z_2 - z_1 | \) et de \( \operatorname{arg}(z_2 - z_1) \) où \(z_1,z_2\) sont deux complexes distincts
- C3.163 - Interprétation géométrique du module et d'un argument du quotient \( \dfrac{a-c}{b-c} \) où \(a,b,c\) sont des complexes tels que \( a \not=c\) et \( b \not=c\)
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD3.17 - Résolution de l'équation \( (z-i)^4 + (z+i)^4 = 0 \) d'inconnue \( z \in \mathbb{C} \)
[53h] - Séance du mercredi 28 septembre (4h)
-
Chapitre 3 - Nombres complexes (suite)
- TD3.16 - Résolution de \( z^4 = -7 + 24i \) d'inconnue \( z \in \mathbb{C} \)
- C3.120 (2) - Forme canonique de \( (1+i) X^2 + (2-3i) X + 4 - 5i \)
- C3.122 - Racines d'un polynôme de degré 2 à coefficients complexes
- C3.123 - Résolutions d'équations de degré 2 à coefficients complexes
- C3.124 - Somme et produit des racines d'un polynôme de degré 2
- C3.125 - Recherches de racines « évidentes »
- C3.126 - Détermination de deux nombres connaissant leurs somme et produit
- C3.127 - Détermination de deux nombres dont la somme vaut 4 et le produit vaut \( \dfrac{3}{4} \)
- C3.129 - Factorisation d'une expression polynomiale connaissant une de ses racines
- C3.130 - Factorisation explicite d'une expression polynomiale de degré 3 connaissant une de ses racines
- C3.134 - Théorème de d'Alembert-Gauß
- C3.135 - Notation: \( n \in \mathbb{N}_{\geqslant 2} \)
- C3.136 - Définitions d'une racine \(n\)-ième de l'unité et de l'ensemble \( \mathbb{U}_{n} \) qu'elles forment
- C3.137 - Exemples de racines de l'unité
- C3.138 - Descriptions en extension et représentations géométriques de \( \mathbb{U}_{2},\mathbb{U}_{3},\mathbb{U}_{4} \)
- C3.139 - Propriétés de l'ensemble \( \mathbb{U}_{n} \)
- C3.140 - Description en extension de l'ensemble \( \mathbb{U}_{n} \)
- C3.143 - Calculs de \( \displaystyle \sum_{ \zeta \in \mathbb{U}_{n}} \zeta \) et de \( \displaystyle \prod_{ \zeta \in \mathbb{U}_{n}} \zeta \)
- C3.144 - Calcul du périmètre du polygone formé par les images des éléments de \( \mathbb{U}_{n} \) et sa limite lorsque \( n \) tend vers \( + \infty \)
- C3.146 - Notation: \( n \in \mathbb{N}_{\geqslant 2} \)
- C3.147 - Rappels sur la racine \( n \)-ième d'un nombre réel positif ou nul
- C3.148 - Définition d'une racine \(n\)-ième d'un complexe non nul
- C3.149 - Description des racines \(n\)-ièmes d'un complexe non nul
- C3.150 - Calcul des racines cubiques de \(-8\)
Interrogation de cours n°5
- Cas d'égalité de deux formes trigonométriques
- Module et argument de \( \dfrac{-1+i}{i-\sqrt{3}} \)
- Propriétés des arguments
- Tout nombre complexe non nul possède deux racines carrées opposées l'une de l'autre
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C3.131 - Résolution guidée d'une équation de degré 3 à coefficients complexes
- C3.145 - Calcul des racines 5-ièmes de 32
[49h] - Séance du mardi 27 septembre (2h)
-
Chapitre 3 - Nombres complexes (suite)
- TD3.11 - Partie réelle de \( \dfrac{1}{1-z} \) où \( z \in \mathbb{U} \)
- C3.114 - Racines carrées de \( -1 \)
- C3.115 - Racine carrée de \( 0 \)
- C3.116 - Un nombre complexe non nul possède deux racines carrées opposées l'une de l'autre
- C3.117 - Une méthode pour calculer des racines carrées
- C3.118 - Calculs des racines carrées de \( i , -2 , - \sqrt{3} + 3i , 3-4i , 4+5i\)
- C3.119 - Forme canonique d'un trinôme du second degré
- C3.120 (1) - Formes canoniques de \( 2 X^2 + 3 X + 4 \) et de \( 4 X^2 + 3X + 2 \)
- C3.121 - Définition du discriminant d'un trinôme du second degré
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD3.16 - Résolution de \( z^4 = -7 + 24i \) d'inconnue \( z \in \mathbb{C} \)
- C3.120 (2) - Forme canonique de \( (1+i) X^2 + (2-3i) X + 4 - 5i \)
[47h] - Séance du lundi 26 septembre (2h)
-
Chapitre 3 - Nombres complexes (suite)
- C3.90 - Étude du nombre \( \dfrac{1-e^{it}}{1+e^{it}} \)
où \( t \in \, ]-\pi,\pi[ \).
-
TD3.25 -
Si \( (z_1,z_2) \in \mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^* \),
alors les points \(O,M(z_1)\) et \(M(z_2)\) sont alignés
si et seulement si
\(\arg(z_1) \equiv \arg(z_2) \; [\pi]\).
-
TD3.1 - Module et un argument de \( z^{16} \) où \( z := \dfrac{1 + i \sqrt{3}}{1-i} \).
-
TD3.5 -
Si \( a \) et \( b \) sont deux nombres complexes de modules inférieurs à 1,
alors \( | a + b | \leqslant \sqrt{2} \) ou \( | a - b | \leqslant \sqrt{2} \).
-
TD3.12 - Détermination les nombres complexes \( z \) tels que
\( \arg(z) \equiv - \arg( z + 1) \; [2 \pi] \)
et
\( |z| = 1 \)
par une méthode algébrique,
puis par une méthode trigonométrique.
[45h] - Séance du samedi 24 septembre (2h)
-
Devoir surveillé n°1
- Parties paire et impaire d'une fonction
- Calcul d'une somme trigonométrique
- Équations trigonométriques
- Expressions de \( \sin(3x) \) où \( x \in \mathbb{R} \)
- Étude d'une suite récurrente linéaire d'ordre 3
- Point de Fermat
[43h] - Séance du vendredi 23 septembre (2h)
-
Chapitre 3 - Nombres complexes (suite)
- C3.97 - De la non unicité d'une forme trigonométrique
- C3.98 - Cas d'égalité de deux formes trigonométriques
- C3.99 - Une méthode pour rechercher une forme trigonométrique explicite
- C3.100 - Calculs de formes exponentielles de six nombres complexes non nuls
- C3.101 - La transformation de Fresnel via une forme trigonométrique
- C3.102 - Résolution de \( 2 \cos(t) + 3 \sin(t) = 4 \) d'inconnue \( t \in \mathbb{R} \)
- C3.103 - Définition d'un argument d'un nombre complexe non nul
- C3.104 - Non unicité d'un argument d'un nombre complexe non nul
- C3.105 - Du défaut d'unicité d'un afgument d'un nombre complexe non nul
- C3.106 - Défintion du symbole \( \arg(z) \) où \( z \in \mathbb{C}^* \)
- C3.107 - Définition d'une mesure d'angle orienté
- C3.108 - Deux propriétés des mesures d'angles orientés: inversion de l'ordre des vecteurs et relation de Chasles
- C3.109 - Interprétation géométrique de la notion d'argument
- C3.110 - Propriétés des arguments
- C3.111 - Deux intérêts des formes trigonométriques
- C3.112 - Calcul de \( \left( \dfrac{1+i \sqrt{3} }{2-2i} \right)^{2022} \)
- C3.113 - Définition d'une racine d'un nombre complexe
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
-
TD3.25 - Démontrer l'assertion suivante.
Si \( (z_1,z_2) \in \mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^* \),
alors les points \(O,M(z_1)\) et \(M(z_2)\) sont alignés
si et seulement si
\(\arg(z_1) \equiv \arg(z_2) \; [\pi]\).
-
TD3.1 - Calculer le module et un argument de \( z^{16} \) où \( z := \dfrac{1 + i \sqrt{3}}{1-i} \).
-
TD3.5 - Démontrer l'assertion suivante.
Si \( a \) et \( b \) sont deux nombres complexes de modules inférieurs à 1,
alors \( | a + b | \leqslant \sqrt{2} \) ou \( | a - b | \leqslant \sqrt{2} \).
-
TD3.12 - Déterminer les nombres complexes \( z \) tels que
\( \arg(z) \equiv - \arg( z + 1) \; [2 \pi] \)
et
\( |z| = 1 \)
par une méthode algébrique,
puis par une méthode trigonométrique.
[41h] - Séance du jeudi 22 septembre (2h)
-
Chapitre 3 - Nombres complexes (suite)
- C3.85 - Calcul de \( \left( \dfrac{1}{2} + i \dfrac{ \sqrt{3} }{ 2 } \right)^3 \)
- C3.86 - Calcul de la forme algébrique
et d'une forme trigonométrique
de \( z := \dfrac{2-2i}{- \sqrt{2} + i \sqrt{6}} \) après avoir vérifié \( z \in \mathbb{U} \)
- C3.91 - Factorisation de
\( \cos(p) + \cos(q) \),
\( \cos(p) - \cos(q) \),
\( \sin(p) + \sin(q) \),
\( \sin(p) - \sin(q) \)
où
\( (p,q) \in \mathbb{R}^2 \).
Résolution de l'équation
\( \cos(15x) + \cos(7x) = \cos(4x) \)
d'inconnue \( x \in \mathbb{R} \).
- C3.92 - Calcul de
\( \displaystyle \sum_{k=0}^n \cos(kx) \),
où
\( (x,n) \in \mathbb{R} \times \mathbb{N} \).
- C3.93 - Formule de Moivre
- C3.94 - Si \( t \in \mathbb{R} \),
expression de \( \sin(3t) \)
comme un polynôme en \( \sin(t) \).
- C3.95 - Définition d'une forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul
et illustration géométrique.
- C3.96 - Détermination d'une forme trigonométrique de \( -1 + i \) par voie géométrique
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C3.90 - Étude du nombre \( \dfrac{1-e^{it}}{1+e^{it}} \)
où \( t \in \, ]-\pi,\pi[ \).
- C3.100 - Calculs de formes exponentielles de six nombres complexes non nuls
[39h] - Séance du mercredi 21 septembre (4h)
-
Chapitre 3 - Nombres complexes (suite)
- C3.60 - Équation complexe d'un cercle
- C3.61 - Équation complexe d'un disque ouvert
- C3.62 - Lieu géométrique défini par une équation complexe
- C3.63 - Résolution d'un système d'équations complexes
- C3.66 - Lemme clé pour l'inégalité triangulaire
- C3.67 - Inégalité triangulaire
- C3.68 - Cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire
- C3.69 - Inégalité triangulaire pour trois points
- C3.70 - Majoration d'un distance
- C3.72 - Symbole \( \displaystyle \sum \) pour les sommes finies indexées par un intervalle entier
- C3.73 - Somme de termes en progression géométriques
- C3.74 - Calcul de \( \displaystyle \sum_{k=-n}^n q^k \) où \( (q,n) \in \mathbb{C}^* \times \mathbb{N}^* \)
- C3.75 - Factorisation d'une différence de puissances
- C3.76 - Calcul de \( \displaystyle \sum_{k=0}^{2022} i^k \, 2^{2022-k} \)
- C3.77 - Notation \( \mathbb{U} \) pour l'ensemble des nombres complexes de module 1
- C3.78 - L'ensemble \( \mathbb{U} \) est un sous-groupe de \( \left( \mathbb{C}^* , \times \right) \)
- C3.79 - Notation \( e^{it} \) où \( t \in \mathbb{R} \)
- C3.80 - Simplification de \( \overline{e^{it}} , e^{i(t+2\pi)}, e^{i(t+\pi)} , e^{i \left( \frac{\pi}{2} - t \right)} \) où \( t \in \mathbb{R} \)
- C3.81 - Cas d'égalité de deux nombres de la forme \( e^{it} \) où \( t \in \mathbb{R} \)
- C3.82 - Écriture trigonométrique d'un nombre complexe de module 1
- C3.83 - Formes trigonométriques de \( 1 , -1 , i , -i \)
- C3.84 - Exponentielle d'une somme de deux imaginaires purs
- C3.87 - Formules d'Euler
- C3.88 - Calcul d'une primitive de \( \cos^3 \)
- C3.89 - Technique de l'angle moitié
-
Interrogation de cours n°4
- Formes algébriques d'un produit de deux nombres complexes et de l'inverse d'un nombre complexe non nul
- Propriétés algébriques de la conjugaison complexe
- Module et forme algébrique de \( \dfrac{(1+2i)(-3+i)}{(-7+i)(2-2i)} \)
- Propriétés algébriques du module
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- Résoudre l'équation \( 2 \cos(x) + 3 \sin(x) = 4 \) d'inconnue \( x \in \mathbb{R} \)
- C3.85 - Calcul de \( \left( \dfrac{1}{2} + i \dfrac{ \sqrt{3} }{ 2 } \right)^3 \)
- C3.86 - Calcul de la forme algébrique
et d'une forme trigonométrique
de \( z := \dfrac{2-2i}{- \sqrt{2} + i \sqrt{6}} \) après avoir vérifié \( z \in \mathbb{U} \)
[35h] - Séance du mardi 20 septembre (2h)
-
Chapitre 3 - Nombres complexes (suite)
- C3.37 - Affixe d'un vecteur du plan
- C3.38 - Affixe d'un bipoint
- C3.39 - Définition du conjugué d'un nombre complexe
- C3.40 - Interprétation géométrique de la conjugaison
- C3.41 - Calculs de quelques conjugués de nombres complexes
- C3.42 - Propriétés algébriques de la conjugaison complexe
- C3.43 - Nouveau calcul d'un conjugué
- C3.44 - Propriété remarquable de \( \dfrac{2-i}{1+i} + \dfrac{2+i}{1-i} \)
- C3.45 - Expressions des parties réelles et imaginaires à l'aide du conjugué
- C3.46 - Caractérisations des réels et des imaginaires purs via la conjugaison
- C3.47 - Rappel sur la racine carrée d'un réel positif ou nul
- C3.48 - Définition du module d'un nombre complexe
- C3.49 - Calcul du module de \( -1 + 6i \)
- C3.50 - Module versus valeur absolue pour un nombre réel
- C3.51 - Le module d'un complexe égale celui de son conjugué
- C3.52 - Interprétation géométrique du module d'un complexe
- C3.53 - Interprétation géométrique du module d'une différence de nombres complexes
- C3.54 - Pour tout \( z \in \mathbb{C} \), \( |z|^2 = z \, \overline{z} \)
- C3.55 - Pour tout \( z \in \mathbb{C}^* \), \( \dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^2} \)
- C3.56 - Forme algébrique de \( \dfrac{1}{-2+6i} \)
- C3.57 - Propriétés algébriques du module
- C3.58 - Exemple de calcul du module d'un quotient
- C3.59 - Le module n'est pas additif: contre-exemple
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- Étudier la partie 6 "Lieux géométriques" du chapitre 3 "Nombres complexes"
- C3.62 - Lieu géométrique défini par une équation complexe
- C3.63 - Résolution d'un système d'équations complexes
- C3.64 - Lieu géométrique défini par une équation complexe
[33h] - Séance du lundi 19 septembre (2h)
-
Compléments sur le chapitre 2 - Trigonométrie
- TD2.4 - Résolution d'un système d'équations trigonométriques
- TD2.12 - Ensemble de définition et simplification d'une expression trigonométrique
- TD2.15 - Calcul \( \displaystyle \prod_{k=1}^n \cos\left( \dfrac{x}{2^k} \right) \) où \( (n,x) \in \mathbb{N} \times \mathbb{R} \)
- TD2.25 - Étude d'une fonction trigonométrique
- Résolution de l'équation \( z^2 = 21 - 20i \) d'inconnue \( z \in \mathbb{C} \)
-
Devoir libre
- DL3 (pour le 28/9) -
Résolution de l'équation algébrique de degré 3 à coefficients réels
par la méthode de Cardano-Tartaglia
[31h] - Séance du vendredi 16 septembre (2h)
-
Chapitre 3 - Nombres complexes (suite)
- C3.14 - Propriétés algébriques de l'addition et de la multiplication dans \( \mathbb{C} \)
- C3.15 - Cohérence entre la notation sous forme algébrique et les opérations
- C3.16 - Opposé versus multiplication par \(-1\)
- C3.17 - Méthode pratique pour calculer dans \( \mathbb{C} \)
- C3.18 - Exemples de calculs de sommes, produits et puissances de nombres complexes
- C3.19 - Identités remarquables dans \( \mathbb{C} \)
- C3.20 - Nombre complexe inversible et inverse d'un tel
- C3.21 - Inversibilité et inverse de \( 1 + 2i \)
- C3.22 - Le nombre 0 n'est pas inversible
- C3.23 - Inversibilité et inverse d'un nombre complexe non nul
- C3.24 - Calculs d'inverses de nombres complexes non nuls
- C3.25 - Notation fractionnaire dans \( \mathbb{C} \)
- C3.26 - Forme algébrique de \( \dfrac{1-3i}{1+2i} \)
- C3.27 - \( \mathbb{C} \) est intègre
- C3.28 - Résolution guidée d'une équation quadratique dans \( \mathbb{C} \)
- C3.29 - Notation puissance dans \( \mathbb{C} \)
- C3.30 - Calculs de puissances de nombres complexes
- C3.31 - Introduction d'un repère orthonormé du plan
- C3.32 - Définition du point \( M(z) \) du plan associé à un nombre complexe \( z \)
- C3.33 - Tracé de quelques points associés à des nombres complexes
- C3.34 - Affixe d'un point du plan
- C3.35 - Si \(z \in \mathbb{C} \), l'affixe de \( M(z) \) est \(z\).
- C3.36 - Identification de \( \mathbb{C} \) avec le plan usuel
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD2.4 - Résolution d'un système d'équations trigonométriques
- TD2.12 - Ensemble de définition et simplification d'une expression trigonométrique
- TD2.15 - Calcul \( \displaystyle \prod_{k=1}^n \cos\left( \dfrac{x}{2^k} \right) \) où \( (n,x) \in \mathbb{N} \times \mathbb{R} \)
- TD2.21 - \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1-\cos(x)}{x^2} = \dfrac{1}{2} \)
- TD2.25 - Étude d'une fonction trigonométrique
- Résolution de l'équation \( z^2 = 21 - 20i \) d'inconnue \( z \in \mathbb{C} \)
[29h] - Séance du jeudi 15 septembre (2h)
-
Compléments sur le chapitre 2 - Trigonométrie
- Résoudre l'inéquation \( \sin(7x) \geqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) d'inconnue \( x \in \left[ 0 , \dfrac{2 \pi}{7} \right] \)
- TD2.23 - Étude de la fonction \( x \longmapsto \cos(2x) - 2 \cos(x) \)
- Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( \sin^{(n)}(x) = \sin\left( x + n \dfrac{\pi}{2} \right) \)
-
Chapitre 3 - Nombres complexes (début)
- C3.1 - Objectifs
- C3.2 - Définition d'un nombre complexe
- C3.3 - Notation des nombres complexes \( a + i 0 \) et \( 0 + ib \) où \(a,b\) sont réels
- C3.4 - Exemples de nombres complexes
- C3.5 - Notation \( \mathbb{C} \) pour l'ensemble des nombres complexes
- C3.6 - L'inclusion de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{C} \) est stricte
- C3.7 - Partie réelle et partie imaginaire d'un nombre complexe
- C3.8 - Exemples de parties réelles et de parties imaginaires de nombres complexes
- C3.9 - Définition d'un nombre imaginaire pur
- C3.10 - Notation \( i \mathbb{R} \) pour l'ensemble des imaginaires purs
- C3.11 - Caractérisation des nombres réels et des nombres imaginaires purs
- C3.12 - Définition de l'addition et de la multiplication dans \( \mathbb{C} \)
- C3.13 - Calculs de sommes et de produits de nombres complexes
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- Étudier les propriétés algébriques de l'addition et de la multiplication dans \( \mathbb{C} \)
- C3.17 - Exemples de calculs de sommes, produits et puissances de nombres complexes
[27h] - Séance du mercredi 14 septembre (4h)
-
Chapitre 2 - Trigonométrie (fin)
- C2.37 - (2) \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin^2(4x)}{3 x^2} \)
- C2.38 - Dérivabilité et dérivée de cosinus et sinus
- Rappel: une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\) est continue sur \(I\)
- C2.39 - Continuité de cosinus et sinus
- C2.40 - Étude de la fonction cosinus
- C2.41 - Étude de la fonction sinus
- C2.42 - Étude complète de la fonction \( f \colon x \longmapsto \cos(3x) \cos^3(x) \)
- Résolution de \( \cos(3x) \geqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) d'inconnue \( x \in [0,2\pi] \)
- C2.43 - Encadrement de la valeur absolue de sinus
- C2.44 - L'ensemble \( \mathcal{D} \) des réels dont le cosinus est non nul
- C2.45 - Définition de la fonction tangente
- C2.46 - Effets de deux transformations affines sur la fonction tangente
- C2.47 - Périodicité et imparité de la fonction tangente
- C2.48 - Calcul de deux valeurs de fa fonction tangente
- C2.49 - Restriction du domaine d'étude de la fonction tangente
- C2.50 - Interprétation géométrique de \( \tan(x) \) où \( x \in \left[ 0 , \dfrac{\pi}{2} \right[ \)
- C2.51 - Dérivabilité et dérivée de la fonction tangente
- C2.52 - Calcul de la dérivée seconde de la fonction tangente
- C2.53 - Continuité de la fonction tangente
- C2.54 - Calcul de \( \displaystyle \int_{-\pi / 3}^{\pi/4} \dfrac{1}{\cos^2(x)} \, \operatorname{d} x \)
- C2.55 - Limites de la fonction tangente en \( \dfrac{\pi}{2}^- \) et \( -\dfrac{\pi}{2}^{+} \)
- C2.56 - Étude de la fonction tangente
- C2.57 - Valeurs remarquables de la fonction tangente
- C2.58 - Formules d'addition pour la fonction tangente
- C2.59 - Simplification de \( \tan \left( \dfrac{\pi}{4} - x \right) \tan \left( \dfrac{\pi}{4} + x \right) \)
- C2.61 - Tangente de l'angle moitié
-
Interrogation de cours n°3
- Effets de quelques transformations affines sur cosinus et sinus
- Valeurs remarquables de cosinus et sinus
- Formules d'addition et transformation de produit en somme pour cosinus et sinus
- Cas d'égalité de deux sinus
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- Résoudre l'inéquation \( \sin(7x) \geqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) d'inconnue \( x \in \left[ 0 , \dfrac{2 \pi}{7} \right] \)
- TD2.23 - Étude de la fonction \( x \longmapsto \cos(2x) - 2 \cos(x) \)
[23h] - Séance du mardi 13 septembre (3h)
-
Chapitre 2 - Trigonométrie (suite)
- C2.21 - Inéquations trigonométriques
- C2.22 - Formules d'addition pour cosinus et sinus
- C2.23 - Transformation de Fresnel
- C2.24 - Équations trigonométriques de la forme \( a \cos(x) + b \sin(x) = c \) où \(a,b,c,\) sont des réels fixés
- C2.25 - Formules de duplication pour cosinus et sinus
- C2.26 - Valeurs de \( \cos(\pi/8) \) et \( \sin( \pi/8 \)
- C2.27 - Résolution d'une équation trigonométrique
- Rappel: si \(u\) est une fonction définie sur un intervalle, si \(a\) est un réel non nul et \(b\) est un réel
alors une primitive de la fonction \( x \longmapsto u(ax+b) \) est:
\[
x \longmapsto \dfrac{1}{a} \; U(ax+b)
\]
où \( U \) est une primitive de \(u\).
- C2.28 - Primitives de \( \cos^2 \) et \( \sin^2 \)
- C2.29 - Transformation de produit en somme pour cosinus et sinus
- C2.30 - Résolution d'une équation trigonométrique
- C2.32 - Définition des fonctions cosinus et sinus
- C2.33 - Premières propriétés des fonctions cosinus et sinus (périodicité et parité)
- C2.34 - Restriction de l'intervalle d'étude pour cosinus et sinus
- C2.35 - Deux inégalités géométriques fondamentales pour cosinus et sinus
- C2.36 - Limites fondamentales pour cosinus et sinus
- Rappel sur la composition de limites
- C2.37 - (1) Calcul d'une limite de forme indéterminée mettant en jeu cosinus et sinus
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C2.37 - (2) \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin^2(4x)}{3 x^2} \)
- C2.42 - Étude complète de la fonction \( f \colon x \longmapsto \cos(3x) \cos^3(x) \)
[20h] - Séance du lundi 12 septembre (2h)
-
Complément sur le chapitre 1 - Logique et raisonnement
- TD1.20 - Suites récurrentes linéaires d'ordre 2
-
Chapitre 2 - Trigonométrie (suite)
- C2.20 - Équations trigonométriques élémentaires
- Démonstration de l'égalité ensembliste:
\[
\left\{ \dfrac{\pi}{2} + k 2 \pi \;:\; k \in \mathbb{Z} \right\}
\; \cup \;
\left\{ -\dfrac{\pi}{2} + k 2 \pi \;:\; k \in \mathbb{Z} \right\}
=
\left\{ \dfrac{\pi}{2} + k \pi \;:\; k \in \mathbb{Z} \right\} \;.
\]
[18h] - Séance du vendredi 9 septembre (2h)
-
Complément sur le chapitre 1 - Logique et raisonnement
- TD1.19 - Théorème fondamental de l'arithmétique (existence)
-
Chapitre 2 - Trigonométrie (suite)
- C2.10 - Définition de la relation de congruence modulo \( 2 \pi \)
- C2.11 - La relation de congruence modulo \( 2 \pi \) est une relation d'équivalence
- C2.12 - Généralisation de la congruence modulo \( 2 \pi \)
- C2.13 - Définition du cosinus et du sinus d'un nombre réel
- C2.14 - Encadrement de cosinus et sinus
- C2.15 - Relation de Pythagore pour cosinus et sinus
- C2.16 - Effets de quelques transformations affines sur cosinus et sinus
- C2.17 - Valeurs remarquables de cosinus et sinus
- C2.18 - Cas d'égalité de deux cosinus
- C2.19 - Cas d'égalité de deux sinus
-
Devoir libre
- DL2 (pour le 15/9) -
Minoration du produit des premières factorielles des entiers pairs,
convergence de la série de terme général \( \dfrac{1}{n^2} \),
tout entier naturel non nul est d'une unique manière somme de puissances de 2,
calculs de valeurs de cosinus et sinus en
\( \dfrac{\pi}{10} \), \( \dfrac{\pi}{5} \) et \( \dfrac{2\pi}{15} \).
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD1.5 - Propositions quantifiées et négations d'icelles
- TD1.13 - Somme des premiers nombres impairs
- TD1.20 - Suites récurrentes linéaires d'ordre 2
- C2.20 - Équations trigonométriques élémentaires
- Étudier C2.22 - Formules d'addition pour cosinus et sinus (énoncé et preuve)
- Étudier C2.23 - Transformation de Fresnel (savoir appliquer la démarche)
- Étudier C2.25 - Formule de duplication de cosinus et sinus (énoncé et preuve)
- Étudier C2.29 - Transformation produit-somme pour cosinus et sinus (énoncé et preuve)
- C2.24 - Équations trigonométriques de la forme \( a \cos(x) + b \sin(x) = c \)
- C2.28 - Primitives de \( \cos^2 \) et \( \sin^2 \)
- C2.30 - Une équation trigonométrique produit
[16h] - Séance du jeudi 8 septembre (2h)
-
Complément sur le chapitre 1 - Logique et raisonnement
- TD1.11 - Écart entre deux points consécutifs d'une subdivition de \( [0,1] \)
- TD1.17 - Si \( x \in \mathbb{R}_+ \) alors, pour tout \( n \in \mathbb{N} \):
\[
\exp(x) \geqslant \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}
\]
-
Chapitre 2 - Trigonométrie (suite)
- C2.5 - Expression de la norme d'un vecteur en fonction de ses coordonnées dans un repère orthonormé du plan
- C2.6 - Cercle unité et nombre \( \pi \)
- C2.7 - Revêtement du cercle par la droite réelle
- C2.8 - Images de certains réels sur le cercle unité
- C2.9 - CNS pour que deux points de la droite réelle aient même image sur le cercle unité et mesure principale d'un angle
-
Interrogation de cours n°2
- Quantification de la croissance de sinus sur \( \mathbb{R} \) et négation de cette propriété
- L'implication sous-jacente à un raisonnement récurrence double
- Définition des coordonnées d'un point du plan muni d'un repère
- \( \sqrt{2} \) est irrationnel
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD1.19 - Théorème fondamental de l'arithmétique (existence)
[14h] - Séance du mercredi 7 septembre (4h)
-
Chapitre 1 - Logique et raisonnement (fin)
- C1.52 - Q2 - Démonstration de la divergence de la suite
\( \left( (-1)^n \right)_{n \in \mathbb{N}} \)
uniquement à partir de la définition formelle de la convergence d'une suite.
- TD1.7 - Résolution de l'équation
\( \sqrt{x+15} - \sqrt{x} = \sqrt{15} \)
d'inconnue \( x \in \mathbb{R}_+ \)
- TD1.8 - Conditions sur une fonction polynomiale de degré 2 et coefficients
- C1.63 - Principe et rédaction d'un raisonnement par récurrence simple
- C1.64 - Démonstration de:
\[
\forall \, n \in \mathbb{N}^* \quad \sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \;.
\]
- C1.65 - Exemple d'un prédication \( P(n) \) en la variable \( n \in \mathbb{N} \)
qui possède le caractère héréditaire, mais qui n'est pas vrai pour tout \( n \in \mathbb{N} \)
- C1.66 - Trois formulations équivalentes de l'axiome de récurrence
- C1.67 - Principe et rédaction d'un raisonnement par récurrence double
- C1.68 - Explicitation du terme général d'une suite récurrence linéaire d'ordre 1
- C1.69 - Principe et rédaction d'un raisonnement par récurrence forte
- C1.68 - Tout entier naturel non nul est produit d'une puissance de 2 et d'un entier naturel impair
-
Chapitre 2 - Trigonométrie (début)
- C2.1 - Objectifs
- C2.2 - Repère orthonormé du plan
- C2.3 - Coordonnées d'un vecteur du plan dans une base orthonormée
- C2.4 - Coordonnées d'un point du plan dans un repère orthonormé
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD1.11 - Écart entre deux points consécutifs d'une subdivition de \( [0,1] \)
- TD1.17 - Si \( x \in \mathbb{R}_+ \) alors, pour tout \( n \in \mathbb{N} \):
\[
\exp(x) \geqslant \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}
\]
- TD1.21 - Caractère non entier des sommes partielles de la série harmonique
[10h] - Séance du mardi 6 septembre (2h)
-
Chapitre 1 - Logique et raisonnement (suite)
- C1.56 - Démonstration de:
\[
\forall \, n \in \mathbb{Z} \quad \dfrac{n(n+1)(n+2)}{6} \in \mathbb{Z}
\]
- C1.57 - Principe et rédaction d'un raisonnement par contraposée
- C1.58 - Soit \( a \in \mathbb{R} \). Démonstration de
\[
\left( \forall \, \varepsilon > 0 \quad |a| \leqslant \varepsilon \right)
\; \Rightarrow \;
a = 0
\]
- C1.59 - Principe et rédaction d'un raisonnement par l'absurde
- C1.60 - \( \sqrt{2} \) est irrationnel.
- C1.61 - Principe et rédaction d'un raisonnement par analyse-synthèse
- C1.62 - Toute fonction de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \) est d'une unique manière somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- TD1.7 - Résolution de l'équation
\( \sqrt{x+15} - \sqrt{x} = \sqrt{15} \)
d'inconnue \( x \in \mathbb{R}_+ \)
- TD1.8 - Conditions sur une fonction polynomiale de degré 2 et coefficients
[8h] - Séance du lundi 5 septembre (4h)
-
Chapitre 1 - Logique et raisonnement (suite)
- C1.28 -
Si \( n \in \mathbb{Z} \),
la condition "\(n\) est divible par 10"
est-elle nécessaire/suffisante à
la condition "\(n\) est pair" ?
- C1.29 -
Si \( f \) est une fonction définie et dérivable sur \( [-1,1] \),
la condition "\( f'(0) = 0 \)"
est-elle nécessaire/suffisante à
la condition "\(f\) admet un extremum en 0" ?
- C1.30 -
Si \( f \) est une fonction définie et continue sur \( [-1,1] \),
la condition "\( \displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \, \operatorname{d} x = 0 \)"
est-elle nécessaire/suffisante à
la condition "\(f\) est positive ou nulle sur \( [-1,1] \)" ?
- C1.31 - Définition de la réciproque et de la contraposée d'une implication
- C1.32 - Une implication et sa réciproque n'ont pas nécessairement la même valeur de vérité
- C1.33 - Une implication et sa contraposée ont même valeur de vérité
- C1.34 - Si \( n \in \mathbb{Z} \) est tel que \( n^2 - 1 \) est divisible par 8, alors \( n \) est pair
- C1.35 - L'implication ne possède pas la propriété d'associativité
- C1.36 - Définition de l'équivalence
- C1.37 - Expression de l'équivalence à l'aide de deux implications
- C1.38 - Condition nécessaire et suffisante
- C1.39 - Structure de rédaction d'un raisonnement par double implication
- C1.40 - Soit \( n \in \mathbb{Z} \). Démonstration de:
\[ n \text{ est pair} \quad \Leftrightarrow \quad n^2 \text{ est pair} \;.\]
- C1.41 - Commutativité de l'équivalence
- C1.42 - Définition d'un prédicat
- C1.43 - Exemples de prédicats
- C1.44 - Définition (intuitive) des quantificateurs \( \forall \) et \( \exists \)
- C1.45 - Forme d'une proposition quantifiée générale (avec plusieurs quantificateurs)
- C1.46 - La proposition
\[
\forall \, x \in [ 2 , + \infty [ \quad \sqrt{x+2} = x \; \Leftrightarrow \; x+2=x^2
\]
est-elle vraie ?
- C1.47 - Comparaison des deux propositions
\[
\exists \, x \in \mathbb{R} \quad \forall \, y \in \mathbb{R} \quad x \leqslant y
\]
et
\[
\forall \, y \in \mathbb{R} \quad \exists \, x \in \mathbb{R} \quad x \leqslant y
\]
- C1.48 - Importance de l'ordre des quantificateurs dans une proposition quantifiée
- C1.49 - Écriture formelle de P = "\( x \mapsto x^3 \) est croissante sur \( \mathbb{R}_+ \)",
et démonstration de \( P \).
- C1.50 - Négation d'une proposition quantifiée
- C1.51 - Écriture formelle de P = "\( \sin \) est croissante sur \( [ -\pi , \pi ] \)",
de \( \neg P \)
et démonstration de \( \neg P \).
- C1.52 - Q1 - Expression formelle de la convergence d'une suite, puis de la divergence d'une suite.
- C1.53 - Principe et rédaction d'un raisonnement par disjonction de cas
- C1.54 - Démonstration de:
\[
\forall \, x \in \mathbb{R} \quad | x - 1 | \leqslant x^2 - x + 1
\]
- C1.55 - Généralisation du raisonnement par disjonction de cas (à plus de deux cas)
-
Interrogation de cours n°1
- Définition d'une proposition logique
- Table de vérité de \( \vee \)
- Lois de De Morgan
- Négation d'une implication
-
Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C1.56 - Démonstration de:
\[
\forall \, n \in \mathbb{Z} \quad \dfrac{n(n+1)(n+2)}{6} \in \mathbb{Z}
\]
[4h] - Séance du vendredi 2 septembre (2h)
-
Chapitre 1 - Logique et raisonnement (suite)
- C1.11 - Démonstration de la distributivité de \( \vee \) par rapport à \( \wedge \)
- C1.12 - Principe de substitution dans une formule propositionnelle
- C1.13 - Exemple de substitution dans une formule propositionnelle
- C1.14 - Propriétés des opérations \( \neg \), \( \vee \) et \( \wedge \)
- C1.15 - Déduction de la deuxième loi de De Morgan de la première
et de la propriété de double négation
- C1.16 - Lien entre les propriétés C1.14 et des propriétés ensemblistes:
\( \neg \) versus complémentiaire,
\( \vee \) versus réunion,
\( \wedge \) versus intersection
- C1.17 - Simplification d'une proposition logique à l'aide des propriétés C1.14
- C1.18 - Définition de l'implication
- C1.19 - Exemples de valeurs de vérité d'implications
- C1.20 - Différence fondamentale entre \( \Rightarrow \) et donc
- C1.21 - Une rédaction possible pour la véracité d'une implication
- C1.22 - Soit \( n \in \mathbb{Z} \). Démonstration de:
\[ n \text{ est impair} \quad \Rightarrow \quad n^3 \text{ est impair} \;.\]
- C1.23 - Expression de l'implication à l'aide des opérations \( \neg \) et \( \vee \)
- C1.24 - Expression de la négation d'une implication à l'aide des opérations
\( \neg \) et ( \wedge \)
- C1.25 - Modus ponens
- C1.27 - Définition d'une condition nécessaire (resp. suffisante)
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Devoir libre
- DL1 (pour le 7/9) - Logique, endomorphismes du groupe \( ( \mathbb{Q} , + ) \) , résolutions d'équations
[2h] - Séance du jeudi 1er septembre (2h)
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Chapitre 1 - Logique et raisonnement (début)
- C1.1 - Objectifs
- C1.2 - Définition d'une proposition logique
- C1.3 - Exemples de propositions logiques
- C1.4 - Conjecture de Goldbach
- C1.5 - Définition de la négation d'une proposition logique
- C1.6 - Définition de la disjonction de deux propositions logiques
- C1.7 - Définition de la conjonction de deux propositions logiques
- C1.8 - Exemple de calcul de la valeur de vérité d'une proposition logique
- C1.9 - Définition de deux formules propositionnelles équivalentes
- C1.10 - Démonstration de la première de De Morgan
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Travaux à réaliser pour la prochaine séance
- C1.11 - Démonstration de la distributivité de \( \vee \) par rapport à \( \wedge \)