Cahier de texte - Mathématique - MPI-MPI* - 2024-2025

[273] - TD du jeudi 27 mars (2h)

Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens

Exercice 25 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : décomposition polaire.

Calcul différentiel 2

Étude des extrema de la fonction \[ f \; \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & x^4 + y^4 - 2 \, (x-y)^2 \end{array} \right. \]
Révisions sur les fonctions coercives
Étude des extrema de la fonction \[ f \; \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & x^4 + y^4 - 2 \, (x-y)^2 \end{array} \right. \]
Étude des extrema de la fonction \[ f \; \left| \begin{array}{ccc} \,]0,+\infty[\,^n & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x_1,\ldots,x_n) & \longmapsto & \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i \, \ln(x_i) \end{array} \right. \] sur $\displaystyle \Sigma = \left\{ (x_1,\ldots,x_n) \in \,]0,+\infty[\,^n \::\: \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i = a \right\}$ où $a$ est un réel fixé

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Revoir les deux chapitres "Révisions sur les espaces préhilbertiens" et "Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens"

[271] - Cours du jeudi 27 mars (2h)

Calcul différentiel 2

Condition suffisante d’existence d’un extremum local strict sur un ouvert de $\mathbf{R}^n$, à l’ordre 2 (démonstration)
Condition suffisante d’existence d’un extremum local strict sur un ouvert de $\mathbf{R}^2$
Étude des extrema de la fonction : \[ f \; \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & 4 \, x^2 + 12 \, x \, y - y^2 \end{array} \right. \] sur le cercle de centre $(0,0)$ et de rayon $\sqrt{13}$
Amorce d'une démonstration du théorème spectral à l'aide du calcul différentiel
Étude des extrema de la fonction \[ f \; \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & x^3 - 3 \, x + x \, y^2 \end{array} \right. \]

[269] - Cours du mercredi 26 mars (2h)

Calcul différentiel 2

Un critère de colinéarité de deux formes linéaires
Théorème des multiplicateurs de Lagrange ou condition nécessaire d’existence d’un extremum local sur une ligne de niveau, à l’ordre 1
Théorème des multiplicateurs de Lagrange sur un ouvert de $\mathbf{R}^n$
Étude des extrema de la fonction : \[ f \; \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & x \, y \end{array} \right. \] sur le cercle unité.
Définition de la matrice Hessienne en un point d’une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbf{R}^n$
La matrice Hessienne est une matrice symétrique à coefficients réels
Calcul de la matrice Hessienne de la fonction : \[ f \; \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R}^3 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y,z) & \longmapsto & x^2 \, y^3 \, z^5 \end{array} \right. \] en un point de $\mathbf{R}^3$
Formule de Taylor-Young à l'ordre 2
Condition nécessaire d’existence d’un extremum local sur un ouvert de $\mathbf{R}^n$, à l’ordre 2
Définition d’un extremum local strict pour une fonction numérique
Condition suffisante d’existence d’un extremum local strict sur un ouvert de $\mathbf{R}^n$, à l’ordre 2 (énoncé)

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Apprendre l'intégralité du chapitre "Calcul différentiel 2"
Étudier la démonstration du théorème 32 du polycopié de cours "Calcul différentiel 2" : condition suffisante d’existence d’un extremum local strict sur un ouvert de $\mathbf{R}^n$, à l’ordre 2
Exercice 23 du polycopié de cours "Calcul différentiel 2" : étude guidée des extrema de la fonction : \[ f \; \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & 4 \, x^2 + 12 \, x \, y - y^2 \end{array} \right. \] sur le cercle de centre $(0,0)$ et de rayon $\sqrt{13}$
Exercice 25 du polycopié de cours "Calcul différentiel 2" : amorce d'une démonstration du théorème spectral à l'aide du calcul différentiel
Exercice 34 du polycopié de cours "Calcul différentiel 2" : étude des extrema de la fonction \[ f \; \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & x^3 - 3 \, x + x \, y^2 \end{array} \right. \] à l'aide du théorème 32 ou du théorème 33.
Exercice 25 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : décomposition polaire (la question 1 a déjà été résolue en classe).

[267] - Cours du mardi 25 mars (2h)

Calcul différentiel 2

Exercice 10 du polycopié de cours "Calcul différentiel 2" : plan tangent à un point d'un ellipsoïde plongé dans $\mathbf{R}^3$
Définition d’un extremum local pour une fonction numérique
Condition nécessaire d’existence d’un extremum local pour une fonction réelle (rappel de MP2I)
Point critique d’une application différentiable
Calcul des points critiques de l'application \[ f \; \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & x^3 - 3 \, x + x \, y^2 \end{array} \right. \]
Condition nécessaire d’existence d’un extremum local sur un ouvert, à l’ordre 1
Étude des extrema locaux/globaux de la fonction \[ f \; \left| \begin{array}{ccc} \,]0,+\infty[\, \times \,]0,+\infty[\, & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & x \, y + \dfrac{4}{x} + \dfrac{2}{y} \end{array} \right. \]
Condition nécessaire d’existence d’un extremum local sous contrainte, à l’ordre 1

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Apprendre le cours du jour et revoir la démonstration du théorème 18 "Condition nécessaire d’existence d’un extremum local sous contrainte, à l’ordre 1" à l'aide du polycopié de cours.
Exercice 17 du polycopié de cours "Calcul différentiel 2" : généralisation du théorème de Rolle pour la boule unité fermée de $\mathbf{R}^n$
Démontrer le lemme 19 : colinéarité de deux formes linéaires

[265] - Cours du lundi 24 mars (4h)

Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

Théorème de réduction d'une isométrie directe d'un espace euclidien de dimension 3
Interprétation géométrique d'une isométrie directe d'un espace euclidien de dimension 3
Une méthode pour étudier une isométrie directe d'un espace euclidien de dimension 3
Exercice 72 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : éléments caractéristiques de la rotation axiale de $\mathbf{R}^3$, dont la matrice dans la base canonique est $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
Exercice 14 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : les sous-espaces propres d'un endomorphisme autoadjoint sont deux à deux orthogonaux (sans appliquer le théorème spectral).
Exercice 74 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : $a,b$ étant des vecteurs non colinéaires d'un espace euclidien $E$, étude de l'endomorphisme : \[ u \; \left| \begin{array}{ccc} E & \longrightarrow & E \\ x & \longmapsto & (x,a) \, b + (x,b) \, a \end{array} \right. \]
Exercice 86 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : matrices de $ \mathcal{S}_n(\mathbf{R}) $ dont une puissance vaut $I_n$
Exercice 89 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : racine carrée d'un endomorphisme autoadjoint positif (existence et unicité)
Exercice 94 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : une inégalité entre le déterminant et la trace d'une matrice de $\mathcal{S}_n(\mathbf{R})$ positive

Calcul différentiel 2

Définition d’un vecteur tangent à une partie d’un espace vectoriel de dimension finie $E$
Le vecteur $0_E$ est toujours dans l'espace tangent $T_x X $.
Si $v \in T_x X$ alors $\operatorname{Vect}(v) \subset T_x X $.
Rappels sur les sous-espaces affines d'un espace vectoriels
Vecteurs tangents à sous-espace affine
Vecteurs tangents à une sphère d’un espace euclidien
Vecteurs tangents au graphe d’une fonction numérique différentiable sur un ouvert de $\mathbf{R}^2$
Vecteurs tangents à un diviseur à croisement normal (HP)
Vecteurs tangents à une ligne de niveau
Vecteurs tangents à un point d'un parabolloïde plongé dans $\mathbf{R}^3$

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 10 du polycopié de cours "Calcul différentiel 2" : plan tangent à un point d'un ellipsoïde plongé dans $\mathbf{R}^3$

[261] - Cours du vendredi 21 mars (2h)

Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

Théorème de réduction des isométries vectorielles (démonstration)
Théorème de réduction des matrices orthogonales
Définition d'un endomorphismes autoadjoint
Si $a,b$ sont des vecteurs d'un espace euclidien $E$, l'endomorphisme : \[ u \; \left| \begin{array}{ccc} E & \longrightarrow & E \\ x & \longmapsto & (x,a) \, b + (x,b) \, a \end{array} \right. \] est autoadjoint.
Stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable par un endomorphisme autoadjoint
Caractérisation des endomorphismes autoadjoints
Structure de l'ensemble des endomorphismes autoadjoints d'un espace euclidien
Caractérisation des projecteurs orthogonaux
Un endomorphisme autoadjoint possède une valeur propre réelle
Théorème spectral pour les endomorphismes autoadjoints
Théorème spectral pour les matrices symétriques à coefficients réels
La matrice $\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}$ est symétrique mais non diagonalisable.
Définition d'un endomorphisme autoadjoint positif, défini positif
Définition de $\mathcal{S}^+(E)$ et $\mathcal{S}^{++}(E)$ pour un espace euclidien $E$
Caractérisation spectrale des endomorphismes autoadjoints positifs, définis positifs
Définition d'une matrice de $\mathcal{S}_n(\mathbf{R})$ positive, définie positive
Définition de $\mathcal{S}_n^+(\mathbf{R})$ et $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbf{R})$
Endomorphismes autoadjoints positifs, définis positifs versus matrices de $\mathcal{S}_n(\mathbf{R})$ positives, définies positives
Caractérisation spectrale des matrices de $\mathcal{S}_n(\mathbf{R})$ positives, définies positives

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier la partie 6.1 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : théorème de réduction d'une isométrie directe d'un espace euclidien de dimension 3
Étudier la partie 6.2 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : interprétation géométrique d'une isométrie directe d'un espace euclidien de dimension 3
Étudier la partie 6.3 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : une méthode pour étudier une isométrie directe d'un espace euclidien de dimension 3
Exercice 72 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : éléments caractéristiques de la rotation axiale de $\mathbf{R}^3$, dont la matrice dans la base canonique est $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
Exercice 14 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : les sous-espaces propres d'un endomorphisme autoadjoint sont deux à deux orthogonaux (sans appliquer le théorème spectral).
Exercice 74 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : $a,b$ étant des vecteurs non colinéaires d'un espace euclidien $E$, étude de l'endomorphisme : \[ u \; \left| \begin{array}{ccc} E & \longrightarrow & E \\ x & \longmapsto & (x,a) \, a + (x,b) \, b \end{array} \right. \]
Exercice 86 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : matrices de $ \mathcal{S}_n(\mathbf{R}) $ dont une puissance vaut $I_n$
Exercice 89 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : racine carrée d'un endomorphisme autoadjoint positif (existence et unicité)
Exercice 94 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : une inégalité entre le déterminant et la trace d'une matrice de $\mathcal{S}_n(\mathbf{R})$ positive
Revoir le chapitre "Calcul différentiel 1"

[259] - Cours du jeudi 20 mars (2h)

Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

Si $ A \in \mathbf{O}_n(\mathbf{R}) $, alors $\displaystyle \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} [A]_{i,j}^2 = n $ et $\displaystyle \left| \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} [A]_{i,j} \right| \leqslant n $.
Exercice 1 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : les déterminants d'un endomorphisme et de son adjoint sont égaux.
Exercice 3 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : pour $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) $ fixée, adjoint de l'endomorphisme de $ M \longmapsto A \, M$ de $ \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) $ muni de son produit scalaire usuel
Exercice 4 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : noyaux et images d'un endomorphisme et de son adjoint
Exercice 11 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : décomposition QR et inégalité d'Hadamard
Énoncé du théorème spectrale pour les matrices symétriques à coefficients réels
Caractérisation spectrale des matrices symétriques à coefficients réels qui sont positives
Exercice 15 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : si $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) $, alors la somme des carrés des coefficients de $A$ est égale à la somme des carrés des valeurs propres comptées avec leurs multiplicités
Exercice 18 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : valeurs propres de $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) $ et valeurs propres de sa partie symétrique
Exercice 19 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : norme matricielle subordonnée et rayon spectral

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier et apprendre l'énoncé et la démonstration du théorème 68 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : réduction d'une isométrie vectorielle.
Étudier et apprendre l'énoncé et la démonstration du corollaire 69 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : réduction d'une matrice orthogonale.

[259] - Cours du jeudi 20 mars (2h)

Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

Définition d'une symétrie orthogonale
Une symétrie orthogonale est une isométrie.
Constructions géométriques de symétries orthogonales
Un projecteur orthogonal distinct de l'identité n'est pas une isométrie.
Définition d'une réflexion
Formule pour l'image d'un vecteur par une réflexion, à partir d'un vecteur unitaire dirigeant l'orthogonal de l'hyperplan
Calcul de la réflexion de $\mathbf{R}^3$, muni de son produit scalaire usuel, par rapport au plan d'équation $x+2y+3z=0$, puis calcul de sa matrice dans la base canonique de $\mathbf{R}^3$, qui est orthogonale.
Caractérisation des isométries
Groupe orthogonal d'un espace euclidien
Le déterminant d'une isométrie vaut $\pm 1$.
Définition d'une isométrie directe, indirecte, d'un espace euclidien
Groupe spécial orthogonal d'un espace euclidien
Description des matrices de $\mathbf{O}_2(\mathbf{R})$
Le morphisme de groupe canonique de $(\mathbf{R},+)$ dans $( \mathbf{SO}_2(\mathbf{R}) , \times ) $
Les groupes $(\mathbf{U},\times)$ et $( \mathbf{SO}_2(\mathbf{R}) , \times ) $ sont isomorphes.
Le groupe $( \mathbf{SO}_2(\mathbf{R}) , \times ) $ est abélien.
Une isométrie directe d'un plan euclidien est une rotation.
Une isométrie indirecte d'un plan euclidien est une symétrie axiale.
Description géométrique des isométries d'un espace euclidien
Existence d'une droite ou d'un plan stable
Si une isométrie stabilise un sous-espace vectoriel, alors elle stabilise également l'orthogonal de ce sous espace vectoriel.
Théorème de réduction des isométries vectorielles (énoncé)

[257] - Cours du mercredi 19 mars (2h)

Probabilités 2

Exercice 6 du polycopié de cours "Probabilités 2" : formule de Wald

Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

Définition d'une matrice orthogonale
Si $\theta\in\mathbf{R}$ alors $ \begin{pmatrix} \cos(\theta) & - \sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} $ est une matrice orthogonale.
Une matrice de permutation est une matrice orthogonale.
Caractérisation des matrices orthogonales
Matrice orthogonale versus matrice de changement de base orthonormée
Le groupe orthogonal $\mathbf{O}_n(\mathbf{R})$
Si $\theta\in\mathbf{R}$ alors les matrices $\begin{pmatrix} \cos(\theta) & - \sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} $ et $\begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ \sin(\theta) & - \cos(\theta) \end{pmatrix} $ appartiennent à $\mathbf{O}_2(\mathbf{R})$.
Construction par blocs de matrices orthogonales
Les valeurs propres complexes d'une matrice orthogonale sont de module 1.
$\mathbf{O}_n(\mathbf{R})$ est une partie compacte de $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$.
Définition de deux matrices orthogonalement semblables
« être orthogonalement semblable » est une relation d'équivalence sur $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$.
Le groupe spécial orthogonal $\mathbf{SO}_n(\mathbf{R})$
$\mathbf{SO}_n(\mathbf{R})$ est une partie compacte de $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$.
Le déterminant d'une matrice orthogonale vaut $\pm1$.
La matrice $\operatorname{diag}(2,1/2,1,\ldots,1)$ vaut 1, mais cette matrice n'est pas orthogonale.
Définition d'une matrice orthogonale positive ou directe, d'une matrice orthogonale négative ou indirecte.
Orientation d'un $\mathbf{R}$-espace vectoriel
Base directe, base indirecte d'un $\mathbf{R}$-espace vectoriel orienté
Forme volume sur un espace euclidien orienté par une base orthonormée
Définition d'une isométrie vectorielle

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier et apprendre la section 2 "Matrices orthogonales " du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien", avec votre prise de notes du jour.
Exercice 14 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : si $ A \in \mathbf{O}_n(\mathbf{R}) $, alors $\displaystyle \left| \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} [A]_{i,j} \right| \leqslant n $.
Démontrer le théorème 44 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : caractérisation des isométries vectorielles.
Étudier et apprendre l'énoncé et la démonstration du théorème 65 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : existence d'une droite ou d'un plan stable.

[255] - Cours du lundi 17 mars (4h)

Probabilités 2

Exercice 7 du polycopié de cours "Probabilités 2" : inégalité de Paley-Zygmund
Exercice 8 du polycopié de cours "Probabilités 2" : temps nécessaire pour obtenir deux Pile consécutifs
Propriétés de la fonction génératrice
La fonction génératrice détermine la loi
Si deux variables aléatoires ont même fonction génératrice, alors elles sont égales en loi.
Fonctions génératrices d'une variable aléatoire suivant une loi usuelle
Fonction génératrice et espérance
Fonction génératrice d'une somme de variables aléatoires indépendantes

Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

Théorème de Riesz sur la représentabilité des formes linéaires sur un espace euclidien
Définition de l'adjoint d'un endomorphisme d'un espace euclidien
Propriétés de l'adjoint
Matrice de l'adjoint dans une base orthonormée
Une propriété de stabilité de l'adjoint

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier et apprendre le cours sur l'adjoint, en particulier la propriété essentielle qui le caractérise : si $u$ est un endormorphisme d'un espace euclidien $ ( E , < \:\cdot\: , \:\cdot\: > ) $, alors $u^*$ est l'unique endomorphisme de $E$ tel que : \[ \forall \, (x,y) \in E^2 \qquad < u(x) , y > = < x , u^*(y) > \]
Exercice 6 du polycopié de cours "Probabilités 2" : formule de Wald

[251] - Cours du vendredi 14 mars (2h)

Probabilités 2

Formule de König-Huyghens pour la variance
formule du capitaine et du vice-capitaine
Variance d'une variable aléatoire suivant une loi usuelle
Effet d'une transformation affine sur la variance
Centrage et réduction d'une variable aléatoire $L^2$
Covariance de deux variables aléatoires $L^2$
Coefficient de corrélation linéaire : encadrement et cas où il vaut $ \pm 1 $
Formule de König-Huyghens pour la covariance
L'indépendance implique la décorrélation.
Exemple de deux variables aléatoires décorrélées mais non indépendantes
Variance d'une somme de variables aléatoires
Inégalité de Markov
Inégalité de Biénaymé-Tchebychev pour une variable $L^2$
Loi faible des grands nombres pour une variable $L^2$
Définition de la série génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbf{N}$
Le rayon de convergence d'une série génératrice est supérieur ou égal à 1
Une série génératrice converge normalement sur $ \overline{D(0,1)} $
Définition de la fonction génératrice

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 7 du polycopié de cours "Probabilités 2" : inégalité de Paley-Zygmund
Exercice 8 du polycopié de cours "Probabilités 2" : temps nécessaire pour obtenir deux Pile consécutifs

[249] - TD du jeudi 13 mars (2h)

Équations différentielles linéaires

Exercice 64 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : étude qualitative d'une EDLS2
Exercice 71 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : étude d'une EDLS2 non normalisée
Exercice 15 de la feuille d'exercices "Équations différentielles linéaires" : étude qualitative d'une EDLS2

Probabilités 2

Exercice 100 de la banque CCINP : espérance et variance d'une distribution de probabilités sur $\mathbf{N}^*$
Exercice 4 de la feuille d'exercice "Probabilités 2" : fonction caractéristique d'une variable $L^2$
Exercice 5 de la feuille d'exercice "Probabilités 2" : modélisation, loi de Pascal et espérance d'une telle

[247] - Cours du jeudi 13 mars (2h)

Probabilités 2

Définition de $L^1$
Stabilité de $L^1$ par combinaisons linéaires
Linéarité de l'espérance
Théorème de domination pour l'espérance
Positivité, croissance et inégalité triangulaire pour l'espérance
Espérance du produit de deux variables indépendantes
Espérance du produit d'un nombre fini de variables mutuellement indépendantes
Définition de $L^2$
$L^2$ est inclus dans $L^1$
Le produit de deux variables $L^2$ est $L^1$.
Stabilité de $L^2$ par combinaisons linéaires
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Définition de la variance et de l'écart-type
Une variable aléatoire de variance nulle est presque sûrement égale à sa moyenne.
Définition d'une variable aléatoire réduite.

[245] - Cours du mercredi 13 mars (2h)

Équations différentielles linéaires

Méthode de variation des constantes pour une EDLS2 (démonstration)
Exercice 66 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution de l'équation différentielle : \[ y'' + y = \sin^2(t) \quad,\quad \text{d'inconnue } y \in \mathcal{C}^2( \mathbf{R} , \mathbf{R} ) \] en appliquant la méthode de variation des constantes pour calculer une solution particulière.

Probabilités 2

Définition de l'espérance d'une variable aléatoire positive
Formule pour l'espérance d'une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbf{N}$
Espérance d'une variable aléatoire de loi géométrique
Définition d'une variable aléatoire d'espérance finie et de son espérance
Une variable aléatoire finie (resp. bornée) possède une espérance.
Définition d'une variable aléatoire centrée
Une variable aléatoire de loi $\mathcal{U}(\{-1,1\})$ est centrée.
Formule du capitaine
Espérance d'une variable aléatoire suivant une loi usuelle
Formule de transfert

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 64 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : étude qualitative d'une EDLS2
Exercice 71 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : étude d'une EDLS2 non normalisée
Exercice 15 de la feuille d'exercices "Équations différentielles linéaires" : étude qualitative d'une EDLS2

[243] - Cours du lundi 10 mars (4h)

Équations différentielles linéaires

Exercice 50 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'un SDL1 homogène à coefficients constants dans le cas où la matrice est triangulaire supérieure.
Exercice 51 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'un SDL1 homogène à coefficients constants à l'aide du polynôme caractéristique.
Exercice 53 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'un SDL1 homogène à coefficients constants dans le cas où la matrice est diagonalisable.
Exercice 55 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'un SDL1 à coefficients constants dans le cas où la matrice est diagonalisable, en appliquant la méthode de variation des constantes pour déterminer une solution particulière.
Exercice 11 de la feuille d'exercices "Équations différentielles linéaires" : SDL1 homogène à coefficients constants dont toutes les solutions sont polynomiales.
Définition du Wronskien d'un couple de solution d'une EDLS2 homogène
Caractérisation des bases de l'ensemble solution d'une EDLS2 homogène
Méthode du Wronskien pour une EDLS2 homogène
Méthode de la variation de la constante ou de l'abaissement de l'ordre pour une EDLS2 homogène
Résolution de l'EDLS2 homogène : \[ x'' - \dfrac{3}{t} \, x' + \dfrac{4}{t^2} \, x = 0 \quad,\quad \text{d'inconnue } x \in \mathcal{C}^2( \,]0,+\infty[\, , \mathbf{R} ) \]
Méthode de variation des constantes pour une EDLS2 (énoncé)

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Résoudre de nouveau tous les exercices étudiés en classe.
Étudier la méthode de variation des constantes pour une EDLS2 : proposition 65 et méthode qui suit dans le polycopié de cours "Équations différentielles linéaires"
Exercice 66 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution de l'équation différentielle : \[ y'' + y = \sin^2(t) \quad,\quad \text{d'inconnue } y \in \mathcal{C}^2( \mathbf{R} , \mathbf{R} ) \] en appliquant la méthode de variation des constantes pour calculer une solution particulière.
Exercice 67 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution de l'équation différentielle : \[ x'' - \dfrac{3}{t} \, x' + \dfrac{4}{t^2} \, x = \ln(t) \quad,\quad \text{d'inconnue } x \in \mathcal{C}^2( \,]0,+\infty[\, , \mathbf{R} ) \] en appliquant la méthode de variation des constantes pour calculer une solution particulière.

[239] - Cours du vendredi 7 mars (2h)

Équations différentielles linéaires

Continuité de l'exponentielle matricielle
Pour une matrice $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) $, dérivabilité et dérivée de la fonction vectorielle $ t \longmapsto \exp(tA) $
Résolution d'un SDL1 homogène à coefficients constants à l'aide d'une exponentielle de matrice
Résolution d'un SDL1 homogène à coefficients constants dans le cas où la matrice est diagonalisable
Méthode de variation des constantes pour obtenir une solution particulière d'un SDL1, connaissant une base de l'ensemble solution du système différentiel homogène associé

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 50 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'un SDL1 homogène à coefficients constants dans le cas où la matrice est triangulaire supérieure.
Exercice 51 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'un SDL1 homogène à coefficients constants à l'aide du polynôme caractéristique.
Exercice 53 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'un SDL1 homogène à coefficients constants dans le cas où la matrice est diagonalisable.
Exercice 55 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'un SDL1 à coefficients constants dans le cas où la matrice est diagonalisable, en appliquant la méthode de variation des constantes pour déterminer une solution particulière.
Exercice 11 de la feuille d'exercices "Équations différentielles linéaires" : SDL1 homogène à coefficients constants dont toutes les solutions sont polynomiales.

[241] - TD du jeudi 6 mars (2h)

Espaces préhilbertiens réels

Exercice 5 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens" : polynômes de Legendre et orthogonalité.
Exercice 9 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens" : inégalité de Bessel et formule de Parseval dans un espace préhilbertien réel muni d'une suite orthonormale totale.

Équations différentielles linéaires

SDL1 dont la résolution est équivalente à celle de l'EDLS4 \[ x^{(4)} = x + 1 \quad,\quad \text{d'inconnue } x \in \mathcal{C}^4( \mathbf{R} , \mathbf{C} ) \]
Si $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{C}) $, $\lambda$ est une valeur propre de $A$ et $V$ est un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $\lambda$ alors la fonction : \[ \;\left|\; \begin{array}{ccc} \mathbf{R} & \longrightarrow & \mathcal{M}_{n,1}(\mathbf{C}) \\ t & \longmapsto & e^{\lambda t} \, V \end{array} \right. \] est solution du SDL1 homogène : \[ X' = A \, X \quad,\quad \text{d'inconnue } X \in \mathcal{C}^1( \mathbf{R} , \mathcal{M}_{n,1}(\mathbf{C}) ) \]
Exercice 35 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution guidée d'un SDL1 homogène $ (3,3) $ à coefficients constants, dans le cas où la matrice est diagonalisable.
Exercice 4 de la feuille d'exercices "Équations différentielles linéaires" : condition suffisante pour que toutes les solutions d'une EDLS1 homogène soit bornée.
Exercice 5 de la feuille d'exercices "Équations différentielles linéaires" : si $ f \in \mathcal{C}^1 ( \mathbf{R} , \mathbf{R} ) $ est telle que $ f + f' $ a pour limite $ 0 $ en $ + \infty $, alors $ f $ a pour limite $ 0 $ en $ + \infty $.
Exercice 13 de la feuille d'exercices "Équations différentielles linéaires" : recherche d'une solution développable en série entière d'une EDLS2 homogène.

[239] - Cours du jeudi 6 mars (2h)

Équations différentielles linéaires

Réduction de l'étude d'une EDLS$n$ à celle d'un SDL1
SDL1 dont la résolution est équivalente à celle de l'EDLS3 \[ x''' + \ln(t) \, x'' - \dfrac{3}{t} \, x' + \dfrac{4}{t^2} \, x = t \quad,\quad \text{d'inconnue } x \in \mathcal{C}^3( \,]0,+\infty[\, , \mathbf{R} ) \]
Mise sous forme intégrale d'un problème de Cauchy pour une EDL1
Mise sous forme intégrale d'un problème de Cauchy pour un SDL1
Principe de superposition pour une EDL1
Si une EDL1 possède une solution particulière $x_p$, alors toute solution est obtenue en ajoutant à $x_p$ une solution de l'EDL1 homogène associée.
Stratégie de résolution d'une EDL1
Principe de superposition pour un SDL1
Si un SDL1 possède une solution particulière $X_p$, alors toute solution est obtenue en ajoutant à $X_p$ une solution du SDL1 homogène associé.
Stratégie de résolution d'un SDL1
Principe de superposition pour une EDLS$n$
Si une EDLS$n$ possède une solution particulière $x_p$, alors toute solution est obtenue en ajoutant à $x_p$ une solution de l'EDLS$n$ homogène associée.
Stratégie de résolution d'une EDLS$n$
Théorème de Cauchy linéaire pour une EDL1
Structure et dimension de l'ensemble solution d'une EDL1 homogène
Structure et dimension de l'ensemble solution d'une EDL1
Théorème de Cauchy linéaire pour un SDL1
Structure et dimension de l'ensemble solution d'un SDL1 homogène
Structure et dimension de l'ensemble solution d'un SDL1
Théorème de Cauchy linéaire pour une EDLS$n$
Structure et dimension de l'ensemble solution d'une EDLS$n$ homogène
Structure et dimension de l'ensemble solution d'une EDLS$n$
Résolution de l'EDLS4 \[ x^{(4)} = x + 1 \quad,\quad \text{d'inconnue } x \in \mathcal{C}^4( \mathbf{R} , \mathbf{C} ) \]

[237] - Cours du mercredi 5 mars (2h)

Équations différentielles linéaires

Exercice 2 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution de l'équation différentielle \[ | t | \, x' + x = t^2 \quad,\quad \text{d'inconnue } x \in \mathcal{C}^1( \mathbf{R} , \mathbf{R} ) \] où le raccordement en 0 est guidé.
Exercice 10 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution du système différentiel \[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \quad,\quad \text{d'inconnue } \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathcal{C}^1( \mathbf{R} , \mathcal{M}_{2,1}\left(\mathbf{R}\right) ) \] en réduisant la matrice $ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $.
Exercice 11 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'une EDLS2 à coefficients constants, avec second membre « polynôme-exponentielle »
Exercice 12 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'une EDLS2 à coefficients constants, avec second membre « polynôme-exponentielle »
Définition d'une EDLS$n$
Définition d'une EDLS$n$ homogène
Définition d'une solution d'une EDLS$n$
Définition de l'EDLS$n$ homogène associée à une EDLS$n$
Définition d'un problème de Cauchy associé à une EDLS$n$
Définition d'une solution d'un problème de Cauchy associé à une EDLS$n$
Exemple d'une EDLS3, à partir de quatre fonctions $a_0,a_1,a_2,b$ continues de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$
Réduction de l'étude d'une EDL1 à celle d'un SDL1
Réduction de l'étude d'un SDL1 à celle d'une EDL1

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Apprendre la définition 13 (EDLS$n$), l'énoncé de la proposition 15 (d'une EDL1 à un SDL1), l'énoncé de la proposition 16 (d'un SDL1 à une EDL1) et l'énoncé de la proposition 17 (d'une EDLS$n$ à un SDL1) du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires".
Démontrer la proposition 17 (d'une EDLS$n$ à un SDL1) du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires".
Exercice 5 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens" : polynômes de Legendre et orthogonalité.
Exercice 9 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens" : inégalité de Bessel et formule de Parseval dans un espace préhilbertien réel muni d'une suite orthonormale totale.

[235] - Cours du lundi 3 mars (4h)

Révisions sur les espaces préhilbertiens réels

Rappel sur les coordonnées d'un vecteur d'un espace euclidien muni d'une base orthonormée
Exercice 1 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens réels : orthonormalisation de Gram-Schmidt dans $\mathbf{R}^3$ muni de son produit scalaire usuel.
Exercice 2 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens réels : polynômes de Lagrange et orthogonalité.
Exercice 4 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens réels : polynômes de Tchebychev et orthogonalité.
Exercice 8 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens réels : caractérisation des projecteurs orthogonaux.

Équations différentielles linéaires

Résolution de l'équation différentielle : \[ x' = \dfrac{1}{t} \, x + t^2 \quad,\quad \text{d'inconnue } x \in \mathcal{C}^1( \, ]0,+\infty[ \, , \mathbf{R} ) \] L'ensemble solution est une droite affine de $ \mathcal{C}^1( \, ]0,+\infty[ \, , \mathbf{R} ) $, dirigée par une fonction non nulle qui est solution de l'équation différentielle homogène associée : \[ x' = \dfrac{1}{t} \, x \quad,\quad \text{d'inconnue } x \in \mathcal{C}^1( \, ]0,+\infty[ \, , \mathbf{R} ) \]
Résolution de l'équation différentielle : \[ x' = 0 \quad,\quad \text{d'inconnue } x \in \mathcal{C}^1( \, \mathbf{R} \, , \mathbf{R} ) \]
Résolution de l'équation différentielle : \[ x' = 0 \quad,\quad \text{d'inconnue } x \in \mathcal{C}^1( \, \mathbf{R}^* \, , \mathbf{R} ) \]
Résolution de l'équation différentielle : \[ x' = 0 \quad,\quad \text{d'inconnue } x \in \mathcal{C}^1( \, \mathbf{R} \setminus \mathbf{Z} \, , \mathbf{R} ) \]
Définition d'une EDL1
Définition d'une EDL1 homogène
Définition d'une solution d'une EDL1
Définition de l'EDL1 homogène associée à une EDL1
Définition d'un problème de Cauchy associé à une EDL1
Définition d'une solution d'un problème de Cauchy associé à une EDL1
Exemple d'EDL1, à partir d'une fonction continue $ a \colon \mathbf{R} \longrightarrow \mathcal{L}\left(\mathbf{R}^3\right) $ et d'une fonction continue $ b \colon \mathbf{R} \longrightarrow \mathbf{R}^3$
Les EDL1 de MPI généralisent les EDL1 scalaires étudiées en MP2I.
Définition d'un SDL1
Définition d'un SDL1 homogène
Définition d'une solution d'un SDL1
Définition du SDL1 homogène associé à un SDL1
Définition d'un problème de Cauchy associé à un SDL1
Définition d'une solution d'un problème de Cauchy associé à un SDL1
Exemple de SDL1, à partir d'une fonction continue $ A \colon \mathbf{R} \longrightarrow \mathcal{M}_3\left(\mathbf{R}\right) $ et d'une fonction continue $ B \colon \mathbf{R} \longrightarrow \mathcal{M}_{3,1}\left(\mathbf{R}\right) $
Le système différentiel : \[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \quad,\quad \text{d'inconnue } \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathcal{C}^1( \mathbf{R} , \mathcal{M}_{2,1}\left(\mathbf{R}\right) ) \] est un SDL1 homogène.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Apprendre le début du cours sur les équations différentielles linéaires, en particulier les définitions 4 (EDL1) et 7 (SDL1) du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires".
Exercice 2 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution de l'équation différentielle \[ | t | \, x' + x = t^2 \quad,\quad \text{d'inconnue } x \in \mathcal{C}^1( \mathbf{R} , \mathbf{R} ) \] où le raccordement en 0 est guidé.
Exercice 10 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution du système différentiel \[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \quad,\quad \text{d'inconnue } \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathcal{C}^1( \mathbf{R} , \mathcal{M}_{2,1}\left(\mathbf{R}\right) ) \] en réduisant la matrice $ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $.
Exercice 11 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'une EDLS2 à coefficients constants, avec second membre « polynôme-exponentielle »
Exercice 12 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'une EDLS2 à coefficients constants, avec second membre « polynôme-exponentielle »
Étudier la section 2 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : champs de vecteurs d'un SDL1 d'inconnue $ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathcal{C}^1( \mathbf{R} , \mathcal{M}_{2,1}\left(\mathbf{R}\right) ) $, en s'attachant à bien comprendre que les trajectoires des solutions épousent le champ de vecteurs.

[231] - Cours du samedi 1^er mars (2h)

Révisions sur les espaces préhilbertiens réels

\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}

Si $I$ est un intervalle d'intérieur non vide, alors $ L^2(I) = \left\{ f \in \mathcal{C}^0(I,\mathbf{R}) \: : \: f^2 \text{ est intégrable sur } I \right\} $ est un sous-espace vectoriel de $ \mathcal{C}^0(I,\mathbf{R}) $ et : \[ < \:\cdot\: , \:\cdot\; > \;\left|\; \begin{array}{ccc} L^2(I) \times L^2(I) & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (f,g) & \longmapsto & \displaystyle \int_I f \; g \end{array} \right. \] est un produit scalaire sur $ L^2(I) $.
Si $I$ est un intervalle d'intérieur non vide et $ \omega $ est une fonction de $ \mathcal{C}^0(I,\mathbf{R}) $ strictement positive, alors $ L_{\omega}^2(I) = \left\{ f \in \mathcal{C}^0(I,\mathbf{R}) \: : \: f^2 \; \omega \text{ est intégrable sur } I \right\} $ est un sous-espace vectoriel de $ \mathcal{C}^0(I,\mathbf{R}) $ et : \[ < \:\cdot\: , \:\cdot\; > \;\left|\; \begin{array}{ccc} L_{\omega}^2(I) \times L_{\omega}^2(I) & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (f,g) & \longmapsto & \displaystyle \int_I f \; g \; \omega \end{array} \right. \] est un produit scalaire sur $ L_{\omega}^2(I) $.
Exercice 3 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens réels" : projection/symétrie orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie

Intégrales à paramètre

Suite de l'étude approfondie de la fonction $\Gamma$ d'Euler sur ${]0,+\infty[}$ : relation fonctionnelle, calcul des valeurs de $\Gamma$ aux entiers naturels non nuls, calcul de $\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)$, calcul de $\Gamma\left(\dfrac{11}{2}\right)$, annulation de $\Gamma'$ en un unique point compris entre 1 et 2, sens de variation de $\Gamma$.
Développement asymptotique de $ a_n = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{1+x^n} \; \operatorname{d}x $ avec une précision en $ \operatorname{o}\left(\dfrac{1}{n}\right) $

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Revoir le chapitre 11 "Équations différentielles linéaires" de MP2I
Exercice 1 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens réels : orthonormalisation de Gram-Schmidt dans $\mathbf{R}^3$ muni de son produit scalaire usuel.
Exercice 2 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens réels : polynômes de Lagrange et orthogonalité.
Exercice 4 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens réels : polynômes de Tchebychev et orthogonalité.
Exercice 8 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens réels : caractérisation des projecteurs orthogonaux.

[229] - Cours du vendredi 28 février (2h)

Intégrales à paramètre

Exercice 27 de la feuille d'exercices "Intégrales à paramètre" : une démonstration du théorème de d'Alembert-Gauß (fin de la résolution).
Théorème sur les dérivées d'ordre supérieur d'une intégrale à paramètre
Calcul de l'intégrale $ \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{1-\cos(tx)}{t^2} \, e^{-t} \; \operatorname{d}t $, pour tout $x \in \mathbf{R} $, en dérivant deux fois une intégrale à paramètre
Début de l'étude approfondie de la fonction $\Gamma$ d'Euler sur ${]0,+\infty[}$ : stricte positivité, caractère $ \mathcal{C}^{\infty} $, convexité

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Questions 4, 5, 6, 7, 8, 9 de l'exercice 53 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : sens de variation de la fonction $\Gamma$, calcul de $ \Gamma\left(\dfrac{1}{2} \right)$, $ \log $-convexité de la fonction $\Gamma$, relation fonctionnelle de la fonction $\Gamma$, calcul de $ \Gamma\left(\dfrac{11}{2} \right)$, équivalent de $\Gamma(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$
Exercice 7 de la feuille d'exercices "Intégrales à paramètre" : développement asymptotique de $ a_n = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{1+x^n} \; \operatorname{d}x $ avec une précision en $ \operatorname{o}\left(\dfrac{1}{n}\right) $
Apprendre le polycopié de cours "Révisions sur les espaces préhilbertiens"

[227] - TD du jeudi 27 février (2h)

Intégrales à paramètre

Prolongement par continuité en $0$ de la transformée de Laplace de la fonction sinus cardinal et calcul de l'intégrale de Dirichlet
Exercice 25 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : $ \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{1}{ 1 + t^a } \; \operatorname{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{na+1} $. On appliquera le pis-aller 24.
Exercice 19 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : $ \displaystyle \int_2^{+\infty} \zeta(x) - 1 \; \operatorname{d}x = \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2 \, \ln(n)} $.
Exercice 38 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : définition et continuité de la fonction $ \displaystyle x \longmapsto \int_0^{+\infty} \sqrt{ x + \cos(t) } \; e^{-t} \; \operatorname{d}t $ sur $ [1,+\infty[ $.
Exercice 5 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \, \int_0^{+\infty} \dfrac{1}{n} \, \mathbf{1}_{[0,n]}(x) \; \operatorname{d}x \not= \int_0^{+\infty} \, \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n} \, \mathbf{1}_{[0,n]}(x) \; \operatorname{d}x $
Exercice 2 de la feuille d'exercices "Intégrales à paramètre" : limite éventuelle de $ \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{x^n}{x^{2n}+1} \; \operatorname{d}x $ lorsque $n$ tend vers $+\infty$
Exercice 14 de la feuille d'exercices "Intégrales à paramètre" : $ \displaystyle \int_0^1 x^{-x} \; \operatorname{d}x = \sum_{n=1}^{+\infty} n^{-n} $
Exercice 17 de la feuille d'exercices "Intégrales à paramètre" : calcul de $ \displaystyle \int_0^1 \dfrac{t-1}{\ln(t)} \, t^x \; \operatorname{d}t $, pour tout $x>-1$
Exercice 20 de la feuille d'exercices "Intégrales à paramètre" : calcul de $ \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{\arctan(xt)}{t\,\left(1+t^2\right)} \; \operatorname{d}t $, pour tout $x \in \mathbf{R}$
Exercice 27 de la feuille d'exercices "Intégrales à paramètre" : une démonstration du théorème de d'Alembert-Gauß (début de la résolution)

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier le théorème 49 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : dérivée d'ordre supérieur d'une intégrale à paramètre
Question 2 de l'exercice 53 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : caractère $\mathcal{C}^{\infty}$ de la fonction $\Gamma$ d'Euler sur ${]0,+\infty[}$.

[225] - Cours du jeudi 27 février (2h)

Intégrales à paramètre

Théorème sur la dérivée d'une intégrale à paramètre
Calcul de l'intégrale de Gauß, en dérivant une intégrale à paramètre
Calcul de la transformée de Laplace de la fonction sinus cardinal, en dérivant une intégrale à paramètre

[223] - Cours du mercredi 26 février (4h)

Intégrales à paramètre

Exercice 6 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : limite éventuelle de $ \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{1}{1 + t^2 + t^n \, e^{-t} } \; \operatorname{d}t $ lorsque $n$ tend vers $+\infty$
Exercice 7 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : nature de la série numérique $ \displaystyle \sum (-1)^n \, \int_0^{+\infty} \dfrac{1}{ \left( 1 + t^2 \right)^n } \; \operatorname{d}t $
Limite éventuelle de $ \displaystyle \int_0^{+\infty} n f(t) e^{-nt} \; \operatorname{d}t $ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, où $f$ est une fonction continue et bornée sur $\mathbf{R}_+$
Version continue du théorème de convergence dominée.
Domaine de définition et continuité de la fonction $ \displaystyle x \longmapsto \int_0^{\pi/2} (\sin(t))^x \; \operatorname{d}t $
Théorème d'intégration terme à terme de Lebesgue : cas positif.
$ \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{t}{e^t - 1} \; \operatorname{d}t = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2} $
Calcul de $ \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{\ln(t)}{1-t} \; \operatorname{d}t $
Théorème d'intégration terme à terme de Lebesgue : cas général.
$ \displaystyle \int_0^{+\infty} \cos(\sqrt{x}) e^{-x} \; \operatorname{d}x = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\dfrac{n!}{(2n)!} $
Problématique des intégrales à paramètre
Exemples d'intégrales à paramètre : fonction $\Gamma$ d'Euler, transformée de Laplace, transformée de Fourier
Théorème de continuité d'une intégrale à paramètre.
Définition et continuité de la fonction $ \displaystyle x \longmapsto \int_0^{+\infty} \dfrac{1}{1+t^3+x^3} \; \operatorname{d}t $ sur $ [0,+\infty[ $.
Définition et continuité de la fonction $ \displaystyle \Gamma \colon x \longmapsto \int_0^{+\infty} t^{x-1} \, e^{-t} \; \operatorname{d}t $ sur $ {]0,+\infty[} $.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Apprendre par coeur les énoncés des théorèmes suivants, qui seront intensément travaillés demain, notamment durant le TD.
- Théorème de convergence dominée.
- Version continue du théorème de convergence dominée.
- Théorème d'intégration terme à terme de Lebesgue : cas positif.
- Théorème d'intégration terme à terme de Lebesgue : cas général.
- Théorème de continuité d'une intégrale à paramètre.
Étudier le pis-aller 24 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : intégration terme à terme, en appliquant le théorème de convergence dominée aux sommes partielles.
Exercice 25 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : $ \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{1}{ 1 + t^a } \; \operatorname{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{na+1} $. On appliquera le pis-aller 24.
Exercice 19 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : $ \displaystyle \int_2^{+\infty} \zeta(x) - 1 \; \operatorname{d}x = \sum_{n=2}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2 \, \ln(n)} $.
Exercice 38 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : définition et continuité de la fonction $ \displaystyle x \longmapsto \int_0^{+\infty} \sqrt{ x + \cos(t) } \; e^{-t} \; \operatorname{d}t $ sur $ [1,+\infty[ $.
Étudier le théorème 41 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : dérivée d'une intégrale à paramètre

[219] - Cours du vendredi 7 février (2h)

Séries entières

Exercice 16 de la feuille d'exercices "Séries entières" : calcul du nombre de dérangements
Développement en série entière de la fonction $ x \longmapsto \dfrac{1}{(x+2)(x-1)} $ au voisinage de 0.

Intégrales à paramètre

Théorème de convergence dominée
Limite éventuelle de $ \displaystyle \int_0^{\pi/4} \tan^n(t) \; \operatorname{d}t $ lorsque $n$ tend vers $+\infty$
Limite éventuelle de $ \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{1}{x^n+e^x} \; \operatorname{d}x $ lorsque $n$ tend vers $+\infty$
Calcul de l'intégrale de Gauß en appliquant le théorème de convergence dominée et l'équivalent des intégrales de Wallis

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Apprendre l'énoncé du théorème de convergence dominée (théorème 1 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre").
Exercice 5 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \, \int_0^{+\infty} \dfrac{1}{n} \, \mathbf{1}_{[0,n]}(x) \; \operatorname{d}x \not= \int_0^{+\infty} \, \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n} \, \mathbf{1}_{[0,n]}(x) \; \operatorname{d}x $
Exercice 6 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : limite éventuelle de $ \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{1}{1 + t^2 + t^n \, e^{-t} } \; \operatorname{d}t $ lorsque $n$ tend vers $+\infty$
Exercice 7 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : nature de la série numérique $ \displaystyle \sum (-1)^n \, \int_0^{+\infty} \dfrac{1}{ \left( 1 + t^2 \right)^n } \; \operatorname{d}t $

[217] - TD du jeudi 6 février (2h)

Séries entières

Rayon de convergence et calcul de la somme de la série entière $ \displaystyle \sum \left( \dfrac{1}{2^n} + \dfrac{1}{3^n} \right) \, z^n $
Rayon de convergence de la série entière $ \displaystyle \sum \ln \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right) \, z^n $
Exercice 24 de la banque CCINP : démonstration du caractère $ \mathcal{C}^{\infty} $ d'une fonction, en établissant qu'elle est somme d'une série entière
Exercice 5 de la feuille d'exercices "Séries entières" : rayon de convergence et calcul de la somme de la série entière $ \displaystyle \sum_{ n \geqslant 1 } (-1)^n \, \dfrac{x^{2n}}{2n(2n-1)} $
Exercice 6 de la feuille d'exercices "Séries entières" : rayon de convergence et calcul de la somme de la série entière $ \displaystyle \sum_{ n \geqslant 1 } \dfrac{4n \, x^{n}}{(2n-1)(n+1)} $
Exercice 7 de la feuille d'exercices "Séries entières" : rayon de convergence et calcul de la somme de la série entière $ \displaystyle \sum_{ n \geqslant 1 } \dfrac{n^2-5n+1}{n!} \, x^n $
Exercice 14 de la feuille d'exercices "Séries entières" : formule de Cauchy et théorème de Liouville
Exercice 17 de la feuille d'exercices "Séries entières" : calcul du nombre d'involutions

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 16 de la feuille d'exercices "Séries entières" : calcul du nombre de dérangements

[215] - Cours du jeudi 6 février (2h)

Séries entières

Coefficients d'une série entière de rayon de convergence non nul versus nombres dérivées itérées en 0 de sa somme
Unicité des coefficients d'une série entière de rayon de convergence non nul
Exemple d'une fonction de classe $ \mathcal{C}^{\infty} $ sur $ \mathbf{R} $, non développable en série entière au voisinage de $0$
Si une fonction est développable en série entière au voisinage de $ 0 $, alors elle est de classe $ \mathcal{C}^{\infty} $ au voisinage de $ 0 $.
Si une fonction est de classe $ \mathcal{C}^{\infty} $ au voisinage de $ 0 $ et que ses dérivées itérées vérifient les estimées de Cauchy, alors elle est développable en série entière au voisinage de $ 0 $.
Exemple de calcul d'un développement en série entière par dérivation terme à terme : $ x \longmapsto \dfrac{1}{(1-x)^2} $
Exemple de calcul d'un développement en série entière par primitivation terme à terme : $ x \longmapsto \ln(1+x) $
Exemple de calcul d'un développement en série entière par produit de Cauchy : $ x \longmapsto \dfrac{\ln(1+x)}{1-x} $
Exemple de calcul d'un développement en série entière en résolvant une équation différentielle $ x \longmapsto ( 1 + x )^{\alpha} $, où $ \alpha \in \mathbf{R} $
Développement en série entière de la fonction $ x \longmapsto \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} $

[213] - Cours du mercredi 5 février (2h)

Algèbre linéaire

Si $ n $ est un entier naturel non nul et $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) $ alors la formule du rang pour la matrice $ A $ s'énonce comme suit \[ \operatorname{dim} \left( \operatorname{Ker}(A) \right) + \operatorname{Rg}(A) = n \] car il s'agit d'une reformulation de la formule du rang pour l'application linéaire \[ \varphi_A \quad \left|\begin{array}{ccc} \mathcal{M}_{n,1}(\mathbf{K}) & \longrightarrow & \mathcal{M}_{n,1}(\mathbf{K}) \\ X & \longmapsto & A \, X \end{array}\right. \]

Séries entières

Si $ \theta \in \,]0,\pi[\,$ alors la série numérique $\displaystyle \sum \dfrac{\sin(n\theta)}{n}$ converge et $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\sin(n\theta)}{n} = \dfrac{\pi - \theta}{2} $
Rayon de convergence de la série entière $\displaystyle\sum_{n \text{ premier}} \dfrac{z^n}{3^n}$
Rayon de convergence de la série entière $\displaystyle\sum n^{(-1)^n} \, z^n $
$ R \left( \displaystyle\sum a_n z^n \right) $ versus $ R \left( \displaystyle\sum a_n z^{2n} \right) $
$ R \left( \displaystyle\sum a_n z^n \right) $ versus $ R \left( \displaystyle\sum \dfrac{a_n}{n!} z^n \right) $
La fonction $ \exp \colon \mathbf{C} \longmapsto \mathbf{C} $, définie comme la somme de la série entière $ \displaystyle \sum_{n \geqslant 0} \dfrac{z^n}{n!} $ sur $ \mathbf{C} $, est continue sur $ \mathbf{C} $.
Calcul de la somme de la série harmonique alternée à l'aide du théorème d'Abel radial
Caractère $ \mathcal{C}^{\infty} $ de la somme d'une série entière sur son intervalle ouvert de convergence
La fonction $ \exp \colon \mathbf{R} \longmapsto \mathbf{R} $, définie comme la somme de la série entière $ \displaystyle \sum_{n \geqslant 0} \dfrac{x^n}{n!} $ sur $ \mathbf{R} $, est de classe $ \mathcal{C}^{\infty} $ sur $ \mathbf{R} $ et toutes ses dérivées itérées lui sont égales.
Convergence et calcul de la somme de la série $ \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} n \, x^n $ où $ x \in \, ]-1,1[\, $
Primitivation terme à terme de la somme d'une série entière sur son intervalle ouvert de convergence
Développement en série entière de la fonction $ x \longmapsto \ln(1+x) $ sur $ \, ]-1,1[\, $
Développement en série entière de la fonction arctan sur $ \, ]-1,1[\, $

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Apprendre le cours sur les "Séries entières" : de la partie 1 à la partie 7.2 incluse, ainsi que le tableau des 9 développements en série entière usuels avec les rayons de convergence (page 18)
Étudier les exercices 19, 20, 21, 22, 23, 24, 47 de la banque d'exercices CCINP [PDF]

[211] - Cours du lundi 3 février (4h)

Séries entières

Rayons de convergence des séries entières $ \displaystyle \sum \dfrac{z^n}{2^n} $, $ \displaystyle \sum \ln(n) \, z^n $, $ \displaystyle \sum n! \, z^n $, $ \displaystyle \sum n^{\alpha} \, z^n $ où $ \alpha > 0 $, $ \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^{n}}{2n+1} \, z^{2n+1} $
Définition du disque ouvert de convergence, de l'intervalle ouvert de convergence
Transformation d'Abel et nature de la série entière $ \displaystyle \sum \dfrac{z^n}{n} $ sur le bord de son disque de convergence
Détermination du rayon de convergence à partir d'un point atypique
Règle de d'Alembert pour les séries entières
La règle de d'Alembert pour les séries entières ne s'applique pas pour les séries lacunaires.
La règle de d'Alembert pour les séries entières ne peut pas s'appliquer pour déterminer le rayon de convergence de la série entière $ \displaystyle \sum n^{(-1)^n} \, z^n $.
Rayon de convergence de la série entière $ \displaystyle \sum 2^n \, z^{2n} $
Relations de comparaison et rayons de convergence
Si $ \displaystyle \sum a_n \, z^n $ est une série entière et $ \alpha \in \mathbf{R} $, alors \[ R\left( \displaystyle \sum a_n \, z^n \right) = R\left( \displaystyle \sum n^{\alpha} \, a_n \, z^n \right) \]
Rayons de convergence des séries entières $ \displaystyle \sum \dfrac{z^n}{n(n+1)} $, $ \displaystyle \sum \sqrt{n+2} \, z^n $, $ \displaystyle \sum P(n) \, z^n $ où $ P \in \mathbf{C}[X] $, $ \displaystyle \sum \dfrac{\ln(n)}{n^2} \, z^n $
Rayon de convergence de la somme de deux séries entières
Développements en série entière des fonctions cosinus hyperbolique et sinus
Définition du produit de Cauchy de deux séries entières
Rayon de convergence du produit de Cauchy de deux séries entières et résultat sur la somme d'icelui
Définition de la continuité d'une fonction de la variable complexe à valeurs complexes
Convergence normale sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence
Continuité de la somme d'une série entière sur le disque ouvert de convergence
La fonction exponentielle est continue sur $\mathbb{C}$
Théorème d'Abel radial : énoncé et démonstration avec une transformation d'Abel
Si $ \theta \in \,]0,\pi[\,$ alors la série numérique $\displaystyle\sum \dfrac{\sin(n\theta)}{n}$ converge : une autre application de la transformée d'Abel

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Achever la résolution de l'exercice 51 du polycopié de cours "Séries entières" : calcul de la somme $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\sin(n\theta)}{n}$, où $ \theta \in \,]0,\pi[\,$. Les questions 1 et 2 ont été résolues en classe, reste la question 3 à étudier.
Exercice 25 du polycopié de cours "Séries entières" : rayon de convergence de la série entière $\displaystyle\sum_{n \text{ premier}} \dfrac{z^n}{3^n}$
Exercice 27 du polycopié de cours "Séries entières" : rayon de convergence de la série entière $\displaystyle\sum n^{(-1)^n} \, z^n $
Exercice 29 du polycopié de cours "Séries entières" : $ R \left( \displaystyle\sum a_n z^n \right) $ versus $ R \left( \displaystyle\sum a_n z^{2n} \right) $
Exercice 30 du polycopié de cours "Séries entières" : $ R \left( \displaystyle\sum a_n z^n \right) $ versus $ R \left( \displaystyle\sum \dfrac{a_n}{n!} z^n \right) $

[207] - Cours du vendredi 31 janvier (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 2

Si $u$ est un endomorphisme d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel et $ P \in \mathbf{K}[X] $, alors $P(u)$ est inversible si et seulement si $ P \wedge \pi_u = 1 $.
Un représentant remarquable dans la classe de similitude d'une matrice à polynôme caractéristique scindé sur $\mathbf{K}$

Séries entières

Notion de série entière et problématique
Lemme d'Abel
Définition du rayon de convergence d'une série entière
Rayons de convergence des séries entières $ \displaystyle \sum z^n $, $ \displaystyle \sum \dfrac{z^n}{n!} $, $ \displaystyle \sum \dfrac{z^n}{n^2} $
Caractérisation du rayon de convergence

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercices 8--12 du polycopié de cours "Séries entières" : rayons de convergence des séries entières $ \displaystyle \sum \dfrac{z^n}{2^n} $, $ \displaystyle \sum \ln(n) \, z^n $, $ \displaystyle \sum n! \, z^n $, $ \displaystyle \sum n^{\alpha} \, z^n $ où $ \alpha > 0 $, $ \displaystyle \sum \dfrac{(-1)^{n}}{2n+1} \, z^{2n+1} $

[205] - TD du jeudi 30 janvier (2h)

Structures algébriques

Exercice 3 du DM9 : groupe d'ordre $pq$ où $p,q$ sont des premiers distincts
Exercice 4 du DM9 : Cors de rupture d'un polynôme de degré 3 irréductible sur $ \mathbf{Q} $

Réduction des endomorphismes et des matrices 2

Exercice 93 de la banque CCINP : endomorphisme d'un $\mathbf{R}$-espace vectoriel de dimension finie annulé par $ X^3 + X^2 + X $
Exercice 1 de la feuille d'exercices "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : matrices $ \mathcal{M}_n\left(\mathbf{R}\right) $ annulée par $ X^2 + 1 $
Exercice 4 de la feuille d'exercices "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : matrice de $ \mathbf{GL}_5\left(\mathbf{R}\right) $ de trace 2 et annulée par $ X^3 + X^2 - 2X $
Exercice 8 de la feuille d'exercices "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : diagonalisabilité du crochet de Lie contre une symétrie vectorielle
Exercice 9 de la feuille d'exercices "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : matrices $ \mathcal{M}_n\left(\mathbf{R}\right) $ annulée par $ X^3-3X+4X $
Exercice 12 de la feuille d'exercices "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : polynôme minimal d'un endomorphisme $u$ versus polynôme minimal de l'endomorphisme $u$ évalué en un vecteur

[203] - Cours du jeudi 30 janvier (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 2

Endomorphismes $u$ de $\mathbf{R}^n$ tels que $ u^3 - 4 u^2 + 4 u = 0 $ et $\operatorname{tr}(u)=0$.
Théorème de Cayley-Hamilton
Polynôme minimal de la matrice \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Caractérisations algébriques de la diagonalisabilité
Endomorphismes $ u $ de $\mathbf{R}^n$ vérifiant $ u^p = \operatorname{id} $, où $p$ est un entier
Polynôme minimal et diagonalisabilité d'un endomorphisme induit
Caractérisations algébriques de la trigonalisabilité
Décomposition de l'espace en somme directe de sous-espaces caractéristiques, dans le cas où le polynôme caractéristique est scindé

[201] - Cours du mercredi 29 janvier (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 2

Polynôme caractéristique d'une matrice compagnon
Théorème de Cayley-Hamilton pour un endomorphisme cyclique
Polynôme minimal et commutant d'un endomorphisme cyclique.
Une matrice carrée $A$ à coefficients réels telle que $ A^3 + A^2 + A = 0 $ possède une trace entière négative.
Résultat de stabilité pour le noyau, l'image, d'un polynôme d'endomorphisme
Deux résultats de primalité relative pour les polynômes
Lemme des noyaux

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier l'exemple 27 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : Une matrice carrée $A$ à coefficients réels telle que $ A^3 + A^2 + A = 0 $ possède un rang pair.
Étudier la proposition 38 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : polynôme caractéristique d'une matrice compagnon [énoncé et démonstration]
Étudier le théorème 40 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : théorème de Cayley-Hamilton pour les endomorphismes cycliques [énoncé et démonstration]
Étudier le théorème 41 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : théorème de Cayley-Hamilton [énoncé et démonstration]
Exercice 37 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : Endomorphismes $u$ de $\mathbf{R}^n$ tels que $ u^3 - 4 u^2 + 4 u = 0 $ et $\operatorname{tr}(u)=0$.

[199] - Cours du lundi 27 janvier (2h)

Suites et séries de fonctions 2

Existence et valeur de la somme $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} r^n \, \dfrac{\sin(nt)}{n} $, où $ (r,t) \in [0,1[ \, \times \mathbf{R} $.
Heuristique pour l'existence et le calcul de la somme $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\sin(n)}{n} $ à l'aide d'une transformée d'Abel et du lemme d'Abel radial pour les séries entières.

Réduction des endomorphismes et des matrices 2

Si $ E $ est un $ \mathbf{K} $-espace vectoriel de dimension finie, $ \mathcal{B} $ est une base de $E$, $ u \in \mathcal{L}(E) $, $ P \in \mathbf{K}[X] $ alors \[ \operatorname{Mat}_{\mathcal{B} }(P(u)) = P \left( \operatorname{Mat}_{\mathcal{B} }(u) \right) \]
Calcul de $P(u)$ où $ u $ est un endomorphisme d'un $ \mathbf{K} $-espace vectoriel et $ P \in \mathbf{K}[X] $ est scindé sur $ \mathbf{K} $.
$ \mathbf{K} $-algèbre engendrée par un endomorphisme, une matrice
$ \mathbf{K} $-algèbre engendrée par un projecteur
$ \mathbf{K} $-algèbre engendrée par une matrice $ (2,2) $
$ \mathbf{K} $-algèbre engendrée par une matrice $ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & j & 0 \\ 0 & 0 & j^2 \end{pmatrix} $
Idéal annulateur d'un endomorphisme, d'une matrice
Idéal annulateur de \[ V \quad \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^{\mathbf{N}} & \longrightarrow & \mathbf{R}^{\mathbf{N}} \\ (u_n)_{ n \in \mathbf{N} } & \longmapsto & (u_{n+1} )_{ n \in \mathbf{N} } \end{array}\right. \]
Idéal annulateur de $ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $
Rappels sur les matrices de permutations
Polynôme minimal d'un endomorphisme d'un espace de dimension finie, d'une matrice
Calcul du polynôme minimal d'un endomorphisme diagonalisable
Valeurs propres et polynômes annulateurs d'un endomorphisme, d'une matrice
Valeurs propres possibles d'une matrice $ A $ telle que $ A^3 + A^2 + A + I_n = 0 $
Les racines du polynôme minimal sont les valeurs propres pour un endomorphisme, une matrice.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 22 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : polynôme minimal et commutant d'un endomorphisme cyclique.
Exercice 29 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : non diagonalisabilité, polynôme minimal et calcul des puissances de la matrices $\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} $.

[197] - Cours du vendredi 24 janvier (2h)

Suites et séries de fonctions 2

Si $ p \in \,]0,1[ $, calcul de la somme $ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} n^2 \, p \, (1-p)^{n-1} $
Calcul de la somme $ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{n^2}{2^n} $
Étude de la fonction $\zeta$ de Riemann sur $]1,+\infty[$

Réduction des endomorphismes et des matrices 2

Définition d'un polynôme d'endomorphisme, de matrice
Le morphisme de $\mathbf{K}$-algèbres de $\mathbf{K}[X]$ dans $\mathcal{L}(E)$ associé à un endomorphisme $u$ d'un endomorphisme d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel $E$
Le morphisme de $\mathbf{K}$-algèbres de $\mathbf{K}[X]$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbf{K})$ associé à une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbf{K})$
Deux polynômes d'un même endomorphisme, d'une même matrice, commutent.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Revoir le chapitre «, Réduction des endomorphismes et des matrices 1 »
Exercice 27 polycopié de cours "Suites et séries de fonctions 2" : existence et valeur de la somme $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} r^n \, \dfrac{\sin(nt)}{n} $, où $ (r,t) \in [0,1[ \, \times \mathbf{R} $
Soient $ E $ un $\mathbf{K}$-espace vectoriel, $u$ un endomorphisme de $E$ et $P \in \mathbf{K}[X]$ tel que $ P(u) = 0_{\mathcal{L}(E)} $. Démontrer que toute valeur propre de $u$ est racine du polynôme $P$.

[195] - TD du jeudi 23 janvier (2h)

Suites et séries de fonctions 2

Exercice 22 polycopié de cours "Suites et séries de fonctions 2" : convergence et somme de la série $ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} r^n n \cos(nt) $, où $ (r,t) \in [0,1[\, \times \mathbf{R} $.
Exercice 2 de la feuille d'exercices "Suites et séries de fonctions 2" : étude de la fonction \[ f \quad \left|\begin{array}{ccc} [0,+\infty[ & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{e^{-nx}}{1+n^2} \end{array}\right. \]
Exercice 6 de la feuille d'exercices "Suites et séries de fonctions 2" : si $x>0$, existence et valeur de la somme $ \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n \, e^{-nx} $
Exercice 8 de la feuille d'exercices "Suites et séries de fonctions 2" : étude de la fonction \[ f \quad \left|\begin{array}{ccc} ]-1,1[ & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{1+x^n} \end{array}\right. \]
Exercice 9 de la feuille d'exercices "Suites et séries de fonctions 2" : étude de la fonction \[ f \quad \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R} \setminus \mathbf{Z} & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \prod_{k=0}^n \dfrac{1}{x+k} \end{array}\right. \]

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 31 polycopié de cours "Suites et séries de fonctions 2" : étude de la fonction $\zeta$ de Riemann sur $]1,+\infty[$

[193] - Cours du jeudi 23 janvier (2h)

Suites et séries de fonctions 2

La suite de fonctions de terme général \[ f_n \quad \left|\begin{array}{ccc} [0,1] & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & (1-x)^n \, \sin(x) \end{array}\right. \] converge uniformément sur $[0,1]$ vers la fonction identiquement nulle sur $[0,1]$.
Primitivation d'une limite uniforme d'une suite de fonctions continues.
Primitivation terme à terme d'une série de fonctions uniformément convergente de fonctions continues.
Critère $\mathcal{C}^1$ pour les suites de fonctions
Critère $\mathcal{C}^1$ pour les séries de fonctions
La fonction \[ f \quad \left|\begin{array}{ccc} [0,1] & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \ln\left( 1 + \dfrac{x}{n} \right) - \dfrac{x}{n} \end{array}\right. \] est bien définie et de classe $\mathcal{C}^1$.
Critère $\mathcal{C}^k$ pour les suites de fonctions, où $ k \in \mathbf{N}^* $
Critère $\mathcal{C}^k$ pour les séries de fonctions, où $ k \in \mathbf{N}^* $
Si $ x \in [0,1[ $ alors la série $\displaystyle\sum \dfrac{x}{n}$ converge et $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x}{n} = -\ln(1-x) $.

[191] - Cours du mercredi 22 janvier (2h)

Suites et séries de fonctions 2

Exercice 191 du polycopié de cours "Structures algébriques" : décomposition en produit d'irréductibles de $ X^n - 1 $ dans $ \mathbf{C}[X] $, dans $ \mathbf{R}[X] $
Un polynôme $ P $ de $ \mathbf{R}[X] $, de degré impair, possède une racine réelle, via la décomposition en produit d'irréductibles de $P$ dans $ \mathbf{R}[X] $.
La fonction \[ x \longmapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^2}{\operatorname{ch}(nx)} \] est prolongeable par continuité en 0.
Exercice 8 du polycopié de cours "Suites et séries de fonctions 2" : la fonction \[ f \quad \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}_+ & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n \, e^{-nx} }{\sqrt{n}} \end{array}\right. \] est définie et continue sur $\mathbf{R}_+$.
Étude de la limite de la fonction \[ f \quad \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}_+ & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n \, e^{-nx} }{\sqrt{n}} \end{array}\right. \] en $+\infty$.
Limite de $ \displaystyle \int_0^1 (1-x)^n \sin(x) \operatorname{d} x $ lorsque $n$ tend vers $+\infty$
Limite de $ \displaystyle \int_0^1 (x+1)^2 \dfrac{n e^{x} + x e^{-x}}{n+x} \operatorname{d} x $ lorsque $n$ tend vers $+\infty$
Intégration d'une somme de série uniformément convergente de fonctions continues sur un segment
Convergence et calcul de la somme $ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n 2^n} $, puis de $ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{a^n}{n} $, où $ a \in \,]0,1[\,$.
Heuristique pour la convergence et le calcul de la somme $ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} n \, a^{n-1} $, où $ a \in \,]0,1[\,$.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Démontrer que la suite de fonctions de terme général \[ f_n \quad \left|\begin{array}{ccc} [0,1] & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & (1-x)^n \, \sin(x) \end{array}\right. \] converge uniformément sur $[0,1]$ vers la fonction identiquement nulle sur $[0,1]$, en utilisant l'inégalité \[ \forall \, x \in \mathbf{R} \quad | \sin(x) | \leqslant |x| \] du programme.
Démontrer le corollaire 19 polycopié de cours "Suites et séries de fonctions 2" : primitivation d'une limite uniforme d'une suite de fonctions continues.
Déduire du corollaire 19, le corollaire 20 polycopié de cours "Suites et séries de fonctions 2" : Primitivation terme à terme d'une série de fonctions uniformément convergente de fonctions continues.
Exercice 22 polycopié de cours "Suites et séries de fonctions 2" : convergence et somme de la série $ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} r^n n \cos(nt) $, où $ (r,t) \in [0,1[\, \times \mathbf{R} $.

[189] - Cours du lundi 20 janvier (4h)

Structures algébriques

Exercice 171 du polycopié de cours "Structures algébriques" : théorème de Wilson.
Exercice 16 de la feuille d'exercices "Structures algébriques" : noethérianité de $ \mathbf{K}[X] $.
Décomposition d'un polynôme de $ \mathbf{K}[X] $ de degré supérieur ou égal à 1 en produit de polynômes irréductibles sur $ \mathbf{K} $
Diviseurs unitaires d'un polynôme de $ \mathbf{K}[X] $ de degré supérieur ou égal à 1
Décomposition de $ X^4 + 16 $ en produit de polynômes irréductibles sur $ \mathbf{R} $
Définition d'une $ \mathbf{K} $-algèbre
$ \mathbf{K}[X] $, $\mathcal{M}_n(\mathbf{K})$, $\mathcal{L}(E)$ et $\mathcal{F}(X,\mathbf{K})$ sont munis de structures de $ \mathbf{K} $-algèbre
Définition d'une sous-$ \mathbf{K} $-algèbre
$\mathcal{T}^+_n(\mathbf{K})$ est une sous-$ \mathbf{K} $-algèbre de $\mathcal{M}_n(\mathbf{K})$
Définition d'un morphisme de $ \mathbf{K} $-algèbres
Si $ E $ est un $ \mathbf{K} $-espace vectoriel de dimension finie $ n \geqslant 1 $ et si $\mathcal{B}$ est une base de $E$ alors l'application \[ \operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(\:\cdot\:) \quad \left|\begin{array}{ccc} \left( \mathcal{L}(E) , + , \circ , \cdot \right) & \longrightarrow & \left( \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) , + , \times , \cdot \right) \\ u & \longmapsto & \operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(u) \end{array}\right. \] est un isomorphisme de $ \mathbf{K} $-algèbres.
Si $u$ est un endomorphisme d'un $ \mathbf{K} $-espace vectoriel alors l'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \left( \mathbf{K}[X] , + , \times , \cdot \right) & \longrightarrow & \left( \mathcal{L}(E) , + , \circ , \cdot \right) \\ P & \longmapsto & \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} [P]_n \cdot u^n \end{array}\right. \] est un morphisme de $ \mathbf{K} $-algèbres.

Suites et séries de fonctions 2

Théorème de la double limite en un point de l'intervalle pour une suite de fonctions
Théorème de la double limite en un point de l'intervalle pour une série de fonctions
Limite uniforme d'une suite de fonctions
La suite de fonctions de terme général \[ f_n \quad \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}_+ & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ t & \longmapsto & \dfrac{1}{1+t^2+t^n \, e^{-t}} \end{array}\right. \] converge simplement sur $\mathbf{R}_+$, mais ne converge pas uniformément sur $\mathbf{R}_+$.
Série uniformément convergente de fonctions continues
La série de fonctions de terme général \[ f_n \quad \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^* & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{1}{\operatorname{ch}(nx)} \end{array}\right. \] converge simplement sur $ \mathbf{R}^* $ et sa somme $ \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} f_n $ est continue sur $ \mathbf{R}^* $.
Théorème de la double limite pour une suite de fonctions en un point du bord de l'intervalle pour une suite de fonctions
Théorème de la double limite pour une suite de fonctions en un point du bord de l'intervalle pour une série de fonctions
Étude des limites éventuelles en $ + \infty $ et en $ 0^+ $ de la somme de la série de fonctions de terme général \[ f_n \quad \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^* & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{1}{\operatorname{ch}(nx)} \end{array}\right. \]

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 191 du polycopié de cours "Structures algébriques" : décomposition en produit d'irréductibles de $ X^n - 1 $ dans $ \mathbf{C}[X] $, dans $ \mathbf{R}[X] $
Exercice 8 du polycopié de cours "Suites et séries de fonctions 2" : la fonction \[ f \quad \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}_+ & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n \, e^{-nx} }{\sqrt{n}} \end{array}\right. \] est définie et continue sur $\mathbf{R}_+$.

[185] - Cours du vendredi 17 janvier (2h)

Structures algébriques

Petit théorème de Fermat
Groupe des inversibles d'un produit d'anneaux
Calcul de l'indicatrice d'Euler
Si $ A \in \mathbf{K}[X] $ alors $ A \mathbf{K}[X] $ est un idéal de $ \mathbf{K}[X] $.
Description des irréductibles de $ \mathbf{K}[X] $
PGCD d'un nombre fini de polynômes
Relation de Bézout pour le PGCD d'un nombre fini de polynômes
Définition d'un polynôme de $ \mathbf{K}[X] $ irréductible sur $ \mathbf{K} $
Le polynôme $\mathbf{R}[X]$ est réductible sur $ \mathbf{C} $, mais irréductible sur $ \mathbf{R} $.
Un polynôme de $ \mathbf{K}[X] $ de degré 1 est irréductible sur $ \mathbf{K} $.
Un polynôme de $ \mathbf{K}[X] $ de degré 2 ou 3 est irréductible sur $ \mathbf{K} $ si et seulement s'il ne possède aucune racine dans $ \mathbf{K} $.
Le polynôme $ \left(X^2+1\right)^2 $ ne possède aucune racine réelle, mais est réductible sur $ \mathbf{R} $.
Un polynôme $ P \in \mathbf{R}[X] $ tel que $ \operatorname{deg}(P) $ est un nombre impair plus grand que 3 est réductible sur $ \mathbf{R} $.
Deux résultats de primalité relative dans $ \mathbf{K}[X] $

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier et apprendre l'énoncé et la démonstration du lemme 184 du polycopié de cours "Structures algébriques" : primalité relative de deux polynômes irréductibles, unitaires et distincts.
Étudier et apprendre l'énoncé et la démonstration du théorème 185 du polycopié de cours "Structures algébriques" : décomposition d'un polynôme de $ \mathbf{K}[X] $ en produit de polynômes irréductibles sur $ \mathbf{K} $.
Exercice 171 du polycopié de cours "Structures algébriques" : théorème de Wilson.
Exercice 16 de la feuille d'exercices "Structures algébriques" : noethérianité de $ \mathbf{K}[X] $.

[185] - TD du jeudi 16 janvier (2h)

Structures algébriques

Exercice 119 du polycopié de cours "Structures algébriques" : l'anneau $ \mathbf{Z}\left[e^{i \frac{2\pi}{n}}\right] $.
Exercice 163 du polycopié de cours "Structures algébriques" : système de congruences \[\left\{\begin{array}{rclc} x & \equiv & 1 & [5] \\ x & \equiv & 2 & [6] \\ x & \equiv & 3 & [7] \end{array} \right.\] d'inconnue $x \in \mathbf{Z} $
Exercice 2 de la feuille d'exercices "Structures algébriques" : résolution de l'équation \[ x \; \equiv \; 1 \; [5] \] d'inconnue $x \in \mathbf{Z} $
Exercice 3 de la feuille d'exercices "Structures algébriques" : pour tout $ n \in \mathbf{Z} $ \[ n^{13} \; \equiv \; n \; [42] \]
Exercice 8 de la feuille d'exercices "Structures algébriques" : radical d'un idéal
Exercice 11 de la feuille d'exercices "Structures algébriques" : racines $m$-ième dans un groupe fini de cardinal $n$, où $ m \wedge n = 1 $
Le cardinal d'un corps fini est une puissance de nombre premier.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 6 de la feuille d'exercices "Structures algébriques" : sous-groupes finis de $ \left( \mathbf{C}^* , \times \right) $.

[183] - Cours du jeudi 16 janvier (2h)

Structures algébriques

Exercice 108 du polycopié de cours "Structures algébriques" : un groupe dans lequel tous les éléments sont d'ordre 1 ou 2 est abélien.
Relation de Bézout pour le PGCD d'un nombre fini d'anneaux en termes d'idéaux
Définition de l'anneau $ \mathbf{Z} / n \mathbf{Z} , + , \times $
Résolution de l'équation $ x^2 + \overline{2} \, x = \overline{0} $ dans $ \mathbf{Z} / 5 \mathbf{Z} $, puis dans $ \mathbf{Z} / 4 \mathbf{Z} $
Description des inversibles de l'anneau $ \mathbf{Z} / n \mathbf{Z} , + , \times $
Une méthode de calcul d'un inverse modulaire via une relation de Bézout
$ \mathbf{Z} / n \mathbf{Z} , + , \times $ est un corps si et seulement si $n$ est premier
Théorème des restes chinois
Une méthode de résolution d'un système de congruences simultanées
Résolution du système de congruences \[\left\{\begin{array}{rclc} x & \equiv & 4 & [5] \\ x & \equiv & 5 & [11] \end{array} \right.\] d'inconnue $x \in \mathbf{Z} $
Définition de l'indicatrice d'Euler
Théorème d'Euler

[181] - Cours du mercredi 15 janvier (2h)

Structures algébriques

Exercice 87 du polycopié de cours "Structures algébriques" : les groupes $ ( \mathbf{Z} , + ) $ et $ ( \mathbf{Q} , + ) $ ne sont pas isomorphes.
Exercice 105 du polycopié de cours "Structures algébriques" : sous-groupes d'un groupe cyclique
Le seul morphisme de groupes de $ ( \mathbf{Q} , + ) $ dans $ ( \mathbf{Z} , + ) $ est le morphisme nul.
Dans un groupe fini $G$, l'ordre d'un élément divise le cardinal de $G$.
Produit d'un nombre fini d'anneaux
Le produit de deux corps n'est pas un anneau intègre.
Définition d'un idéal d'un anneau commutatif
Si un idéal $I$ d'un anneau commutatif $A$ contient $1_A$, alors $I=A$.
Si un idéal $I$ d'un anneau commutatif $A$ contient un élément inversible, alors $I=A$.
Les seuls idéaux d'un corps commutatif $K$ sont ${0_K}$ et $K$.
Caractérisation des idéaux
L'ensemble $ \{ f \in \mathcal{C}(\mathbf{R},\mathbf{R}) \::\: f(0) = 0 \} $ est un idéal de l'anneau $ \left( \mathcal{C}(\mathbf{R},\mathbf{R}) , + , \times \right) $.
L'ensemble $ \{ (u_n)_{n \in \mathbf{N}} \::\: (u_n)_{n \in \mathbf{N}} \text{ stationne à 0} \} $ est un idéal de l'anneau $ \left( \mathbf{R}^{\mathbf{N}} , + , \times \right) $.
Le noyau d'un morphisme d'anneaux est un idéal de sa source.
Idéal engendré par un élément
Relation de divisibilité dans un anneau commutatif intègre
Caractérisation de la divisibilité dans un anneau commutatif intègre via les idéaux
Une partie de $\mathbf{Z}$ est un idéal de $\mathbf{Z}$ si et seulement si c'est un sous-groupe du groupe $ \left( \mathbf{Z} , + \right) $
Description des idéaux de $\mathbf{Z}$
PGCD d'un nombre fini d'anneaux en termes d'idéaux

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 108 du polycopié de cours "Structures algébriques" : un groupe dans lequel tous les éléments sont d'ordre 1 ou 2 est abélien.
Exercice 119 du polycopié de cours "Structures algébriques" : l'anneau $ \mathbf{Z}\left[e^{i \frac{2\pi}{n}}\right] $.

[179] - Cours du lundi 13 janvier (4h)

Structures algébriques

Exercice 64 du polycopié de cours "Structures algébriques" : la transposition $(1\;2)$ et le cycle $(1\;2\;\ldots\;n-1\;n)$ engendrent $ \left( \mathfrak{S}_n , \circ \right) $.
Exercice 65 du polycopié de cours "Structures algébriques" : CNS pour que deux entiers $a,b$ engendrent $(\mathbf{Z},+)$
Les classes $ \overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{n-1} $ forment une liste exhaustive et sans répétition des classes modulo $n$.
Définition de l'ensemble $ \mathbf{Z} / n \mathbf{Z} $
De la définition d'une application de source $ \mathbf{Z} / n \mathbf{Z} $ via des représentant des classes
Compatibilité de l'addition, de la multiplication, des puissances avec la relation de congruence modulo $n$
$29$ divise l'entier $ 4^{28n+2}+5 $, pour tout entier naturel $n$
Définition de l'addition sur $ \mathbf{Z} / n \mathbf{Z} $
$ \left( \mathbf{Z} / n \mathbf{Z} , + \right) $ est un groupe abélien.
Table du groupe $ \left( \mathbf{Z} / 5 \mathbf{Z} , + \right) $
Générateurs du groupe $ \left( \mathbf{Z} / n \mathbf{Z} , + \right) $
Définition d'un groupe monogène, d'un groupe cyclique
Le groupe $ (\mathbf{Z},+$ est monogène.
Les groupes $ \left( \mathbf{Z} / n \mathbf{Z} , + \right) $ et $ \left( \mathbf{U}_n , \times \right) $ sont cycliques.
Le groupe $ (\mathbf{Z}^2,+$ n'est pas monogène.
Les groupes $ \left( \mathbf{Z} / n \mathbf{Z} , + \right) $ et $ \left( \mathbf{U}_n , \times \right) $ sont isomorphes.
Théorème de classification des groupes monogènes
Théorème de Lagrange
Un groupe fini de cardinal premier ne possède aucun sous-groupe non trivial.
Un groupe fini de cardinal 32 ne possède aucun sous-groupe de cardinal 5.
Définition d'un élément d'ordre fini dans un groupe, de l'ordre d'un tel
Ordre des éléments de $ \left( \mathbf{Z} / 5 \mathbf{Z} , + \right) $
Ordre des éléments de $ \left( \mathbf{Z} / 12 \mathbf{Z} , + \right) $
Un élément d'un groupe est d'ordre fini si et seulement si le sous-groupe qu'il engendre est fini.
Si un élément d'un groupe est d'ordre fini, alors son ordre est le cardinal du sous-groupe qu'il engendre.
Dans un groupe fini, tout élément est d'ordre fini.
Dans $ \displaystyle \left( \mathbf{U}_{\infty} = \bigcup_{n \in \mathbf{N}^*} \mathbf{U}_n , \times \right) $ tout élément est d'ordre fini, mais $ \mathbf{U}_{\infty} $ est un ensemble infini.
Puissances d'un élément d'ordre fini

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 87 du polycopié de cours "Structures algébriques" : les groupes $ ( \mathbf{Z} , + ) $ et $ ( \mathbf{Q} , + ) $ ne sont pas isomorphes.
Exercice 105 du polycopié de cours "Structures algébriques" : sous-groupes d'un groupe cyclique

[175] - Cours du vendredi 10 janvier (2h)

Calcul différentiel 1

Contre-exemple au théorème de Schwarz, lorsque les dérivées partielles secondes existent et sont discontinues

Structures algébriques

Formules pour le symétrique d'un produit et le symétrique d'un symétrique dans un groupe
Définition d'un sous-groupe
Critère pour être un sous-groupe
Exemples de sous-groupes : $\operatorname{SL}_n(\mathbf{R})$, $\mathbf{U}_n$
Description des sous-groupes de $(\mathbf{Z},+)$
Remarque sur les sous-groupes de $(\mathbf{R},+)$
Intersections de sous-groupes
Si $a,b$ sont des entiers $ a\mathbf{Z} \,\cap\, b\mathbf{Z} = (a \vee b) \mathbf{Z}$
Définition du sous-groupe engendré par une partie
Description du sous-groupe engendré par une partie
Rappel sur la notation puissance dans un groupe
Description du sous-groupe engendré par un élément
Définition d'une partie génératrice d'un groupe
$(\mathbf{Z},+)$ est engendré par 1
Les transposition engendrent $ \left( \mathfrak{S}_n , \circ \right) $.
Rappel sur la relation de congruence modulo $n$
Définition d'une classe d'équivalence et d'un ensemble quotient
Définition de la classe d'un entier $a$ pour la relation de congruence modulo $n$

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 16 de la feuille d'exercice "Calcul différentiel 1" : résolution de l'équation aux dérivées partielles \[ x^2 \; \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} (x,y) - y^2 \; \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} (x,y) = 0 \] d'inconnue $ f \in \mathcal{C}^2(]0,+\infty[ \times ]0,+\infty[ , \mathbf{R}) $
Exercice 64 du polycopié de cours "Structures algébriques" : la transposition $(1\;2)$ et le cycle $(1\;2\;\ldots\;n-1\;n)$ engendrent $ \left( \mathfrak{S}_n , \circ \right) $.
Exercice 65 du polycopié de cours "Structures algébriques" : CNS pour que deux entiers $a,b$ engendrent $(\mathbf{Z},+)$

[173] - TD du jeudi 9 janvier (2h)

Calcul différentiel 1

Exercice 73 du polycopié de cours "Calcul différentiel 1" : différentiabilité et différentielle de l'application inverse matricielle
Exercice 76 du polycopié de cours "Calcul différentiel 1" : différentiabilité et différentielle du déterminant
Exercice 33 de la banque CCINP : étude de la continuité, des dérivées partielles et du caractère $\mathcal{C}^1$ de l'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & \left\{\begin{array}{cl} \dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} & \text{si } (x,y) \not= (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{array}\right. \end{array}\right. \]
Exercice 4 de la feuille d'exercices "Calcul différentiel 1" : différentiabilité et différentielle de l'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R}^3 \\ (x,y) & \longmapsto & x^3 + xy + y^2 \end{array}\right. \]
Exercice 11 de la feuille d'exercices "Calcul différentiel 1" : fonctions homogènes
Exercice 12 de la feuille d'exercices "Calcul différentiel 1" : fonctions invariantes par translation le long de la première bissectrice

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Contre-exemple au théorème de Schwarz, lorsque les dérivées partielles secondes existent et sont discontinues

[171] - Cours du jeudi 9 janvier (2h)

Calcul différentiel 1

Exercice 68 du polycopié de cours "Calcul différentiel 1" : si $ E $ est un espace euclidien et si $ f \colon E \longrightarrow \mathbf{R} $ est une fonction différentiable sur $E$ telle que $ \nabla(f) $ est borné, alors $ f $ est lipschitzienne.
Définition des dérivées partielles d'ordre k
L'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R}^3 \\ (x,y) & \longmapsto & \sin \left( x^2 + y^3 \right) \end{array}\right. \] admet des dérivées partielles d'ordre 2.
Définition d'une application de classe $\mathcal{C}^k$
Théorème de Schwarz
Opérations sur les fonctions de classe $\mathcal{C}^k$
Effet du changement de variable polaire sur les dérivées partielles d'ordre 2
Résolution de l'équation aux dérivées partielles \[ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = y \] d'inconnue $f \in \mathcal{C}^2\left(\mathbf{R}^2,\mathbf{R}\right)$
Résolution de l'équation des cordes vibrantes

[169] - Cours du mercredi 8 janvier (4h)

Calcul différentiel 1

Exercice 61 du polycopié de cours "Calcul différentiel 1" : effet du changement de variables en coordonnées polaires sur une application différentiable
Opérations sur les applications de classe $\mathcal{C}^1$
Intégration d'une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ le long d'un arc
Caractérisation des fonctions constantes sur un ouvert connexe par arcs
Résolution de l'équation aux dérivées partielles $ \dfrac{\partial f}{\partial x} = 0 $ d'inconnue $ f \in \mathcal{C}^1 \left( \mathbf{R}^2 , \mathbf{R} \right) $
Résolution de l'équation aux dérivées partielles $ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial f}{\partial y} $ d'inconnue $ f \in \mathcal{C}^1 \left( \mathbf{R}^2 , \mathbf{R} \right) $

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 68 du polycopié de cours "Calcul différentiel 1" : si $ E $ est un espace euclidien et si $ f \colon E \longrightarrow \mathbf{R} $ est une fonction différentiable sur $E$ telle que $ \nabla(f) $ est borné, alors $ f $ est lipschitzienne.

[167] - Cours du lundi 6 janvier (4h)

Calcul différentiel 1

Matrice Jacobienne et différentielle de l'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R}^3 \\ (x,y) & \longmapsto & \left( \sin(xy), y \, \cos(x) , x \, y \, \, e^{y^2} \right) \end{array}\right. \] en un point $ (a,b) $ de $ \mathbf{R}^2 $
Points critiques de l'application \[ \left|\begin{array}{ccc} ]0,+\infty[ \, \times \, ]0,+\infty[ & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & x \, y + \dfrac{4}{x} + \dfrac{2}{y} \end{array}\right. \]
Combinaison linéaire de deux applications différentiables
Composée d'applications différentiables par une application multilinéaire
Différentiabilité de l'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) & \longrightarrow & \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \\ A & \longmapsto & A^3 \end{array}\right. \]
Composée de deux applications différentiables ou règle de la chaîne
Dérivée le long d'un arc
Dérivée le long d'un segment
Différentiabilité et différentielle de l'application \[ \left|\begin{array}{ccc} I & \longrightarrow & \mathbf{R}^p \\ t & \longmapsto & \left( f_1(x_1(t),\ldots,x_n(t)) , \ldots , f_p(x_1(t),\ldots,x_n(t)) \right) \end{array}\right. \] où $f_1,\ldots,f_p$ sont des fonctions à valeurs réelles différentiables sur un ouvert de $\mathbf{R}^n$ et $x_1,\ldots,x_n$ sont des fonctions à valeurs réelles, dérivables sur l'intervalle $I$.
Dérivées partielles d'une composée de deux applications différentiables ou version matricielle de la règle de la chaîne
Définition d'une application de classe $\mathcal{C}^1$
Caractérisation des applications de classe $\mathcal{C}^1$ par les dérivées partielles
Différentiabilité et différentielle de l'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R}^2 \\ (x,y) & \longmapsto & \left( x^2 + xy , \sin(xy) \right) \end{array}\right. \]

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier la démonstration rédigée du théorème 51 du polycopié de cours "Calcul différentiel 1" : composition d'applications différentiables ou règle de la chaîne
Étudier l'exercice 60 du polycopié de cours "Calcul différentiel 1", notamment le schéma rédactionnel : \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R}^2 \\ (x,y) & \longmapsto & \left( x^2+xy-y^3 , \dfrac{x}{y^2+1} \right) \end{array}\right. \]
Exercice 61 du polycopié de cours "Calcul différentiel 1" : effet du changement de variables en coordonnées polaires sur une application différentiable
Exercice 73 du polycopié de cours "Calcul différentiel 1" : différentiabilité et différentielle de l'application inverse matricielle

[163] - Cours du vendredi 20 décembre (2h)

Calcul différentiel 1

Expression de la différentielle d'une fonction différentiable sur un ouvert de $\mathbf{R}^n$ via les dérivées partielles
Matrice Jacobienne d'une fonction différentiable sur un ouvert de $\mathbf{R}^n$ à valeurs dans $\mathbf{R}^p$
Matrice Jacobienne et différentielle de l'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^3 & \longrightarrow & \mathbf{R}^2 \\ (x,y,z) & \longmapsto & \left( x^2 \, (y+1) , x \, z^2 \right) \end{array}\right. \] en un point $ (a,b,c) $ de $ \mathbf{R}^3 $
Théorème de Riesz, sur la représentation des formes linéaires d'un espace euclidien
Définition du gradient d'une fonction différentiable sur un ouvert de $\mathbf{R}^n$ à valeurs dans $\mathbf{R}$
Propriété de maximalité du normalisé du gradient en un point non-critique

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Apprendre tout le cours de calcul différentiel
Revoir les chapitres "Arithmétique" et "Structures algébriques" de MP2I
Exercice 40 du polycopié de cours "Calcul différentiel 1" : matrice Jacobienne et différentielle de l'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R}^3 \\ (x,y) & \longmapsto & \left( \sin(xy), y \, \cos(x) , x \, y \, \, e^{y^2} \right) \end{array}\right. \] en un point $ (a,b) $ de $ \mathbf{R}^2 $
Exercice 45 du polycopié de cours "Calcul différentiel 1" : points critiques de l'application \[ \left|\begin{array}{ccc} ]0,+\infty[ \, \times \, ]0,+\infty[ & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & x \, y + \dfrac{4}{x} + \dfrac{2}{y} \end{array}\right. \]
DM8 : approximation par des polynômes-exponentielles
DM8** : limites uniformes de suites de fonctions polynomiales à coefficients entiers

[161] - TD du jeudi 19 décembre (2h)

Fonctions vectorielles

Exercice 1 de la feuille d'exercices "Fonctions vectorielles" : chemin dérivable dans $\mathcal{O}_{2n+1}(\mathbf{R})$
Exercice 3 de la feuille d'exercices "Fonctions vectorielles" : calcul d'un déterminant avec dérivation
Exercice 6 de la feuille d'exercices "Fonctions vectorielles" : une somme convergeant vers un nombre dérivée à droite
Exercice 4 de la feuille d'exercices "Fonctions vectorielles" : intégrale d'une fonction prenant ses valeurs dans un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie
Exercice 9 de la feuille d'exercices "Fonctions vectorielles" : asymptotique de sommes mettant en jeu des sinus, inégalité de Taylor-Lagrange et sommes de Riemann

[159] - Cours du jeudi 19 décembre (2h)

Devoir maison n°6 : lemme de sous-additivité de Fekete et theorème de Erdös-Szekeres

Si $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\{1,\ldots,n\}$ et $ m \in \{1,\ldots,n\}$, justification de $\displaystyle \mathbf{P} ( X \geqslant m ) = \sum_{k=m}^n \mathbf{P}(X=k) $
Justification de l'existence de la limite supérieure d'une suite réelle bornée
Un événement presque sûr n'est pas nécessairement l'événement certain.
Si $ X_1,X_2,Y_2,Y_2 $ sont des variables aléatoires telles que $ X_1 \thicksim Y_1 $ et $ X_2 \thicksim Y_2 $ alors il n'est pas nécessairement vrai que $ X_1 + X_2 \thicksim Y_1 + Y_2 $. Cependant, si $ (X_1,X_2) \thicksim (Y_1,Y_2) $ alors $ X_1 + X_2 \thicksim Y_1 + Y_2 $.

Calcul différentiel 1

Différentiabilité de l'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R} \times \, ]0,+\infty[ & \longrightarrow & \mathbf{R}^2 \\ (x,y) & \longmapsto & \left( x^2 \, \ln(y) , e^x \, y \right) \end{array}\right. \]
L'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & \left\{\begin{array}{cl} \dfrac{x^5}{(y-x^2)^2 + x^4} & \text{si } (x,y) \not= (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{array}\right. \end{array}\right. \] admet des dérivées dans toutes les directions en $(0,0)$, mais n'est pas différentiable en $(0,0)$.
Définition de la différentielle en un point d'une application différentiable en un point
Application différentiable sur un ouvert et application différentielle
Différentiabilité et différentielle d'une application constante
Différentiabilité et différentielle d'une application linéaire
Différentiabilité et différentielle d'une application bilinéaire
Différentiabilité et différentielle d'une fonction d'un ouvert de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}^p$
Différentiabilité et différentielle de la fonction inverse de $\mathbf{R}^*$ dans $\mathbf{R} $

[157] - Cours du mercredi 18 décembre (2h)

Suites et séries de fonctions

Convergence normale sur tout segment de la série de fonctions de terme général \[ f_n \colon x \longmapsto \dfrac{x^n}{1-x^n} \] sur tout segment de $ ]-1,1[ $

Calcul différentiel 1

Continuité de l'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & \left\{\begin{array}{cl} xy \dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y) \not= (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{array}\right. \end{array}\right. \]
Dérivées directionnelles au point $(0,0)$ de l'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & \left\{\begin{array}{cl} \dfrac{x^5}{(y-x^2)^2 + x^4} & \text{si } (x,y) \not= (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{array}\right. \end{array}\right. \]
La fonction \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & x^3 + xy + y^2 \end{array}\right. \] admet des dérivées partielles en tout point.
Expression intégrale d'un accroissement d'une fonction de $\mathbf{R}^2$ dans $\mathbf{R}$ possédant des dérivées partielles continues en tout point de $\mathbf{R}^2$
Définition d'une application différentiable
Différentiabilité de l'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) & \longrightarrow & \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \\ A & \longmapsto & A^2 \end{array}\right. \]
Différentiabilité en un point via les applications composantes
La différentiabilité en un point entraîne la continuité en ce point
Une application différentiable en un point admet des dérivées en ce point suivant toutes les directions

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Réaliser l'interrogation de cours n°5 en 10 minutes et s'auto-évaluer
Apprendre le cours du jour, en particulier la partie 3.3 "Fonction de $\mathbf{R}^2$ dans $\mathbf{R}$ admettant des dérivées partielles continues en tout point de $\mathbf{R}^2$" du polycopié de cours "Calcul différentiel 1"
Exercice 24 du polycopié de cours "Calcul différentiel 1" : différentiabilité de l'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R} \times \, ]0,+\infty[ & \longrightarrow & \mathbf{R}^2 \\ (x,y) & \longmapsto & \left( x^2 \, \ln(y) , e^x \, y \right) \end{array}\right. \]
Exercice 1 de la feuille d'exercices "Fonctions vectorielles" : chemin dérivable dans $\mathcal{O}_{2n+1}(\mathbf{R})$
Exercice 3 de la feuille d'exercices "Fonctions vectorielles" : calcul d'un déterminant avec dérivation
Exercice 6 de la feuille d'exercices "Fonctions vectorielles" : une somme convergeant vers un nombre dérivée à droite

[155] - Cours du lundi 16 décembre (4h)

Fonctions vectorielles

Dérivée directionnelle du déterminant en l'identité
Calcul de l'intégrale $ \displaystyle \int_0^1 \left( \dfrac{1}{4-t^2} , \dfrac{1}{1+t^2} \right) \operatorname{d}t $
Formule d'intégration par parties
Inégalité des accroissements finis
Formule de Taylor avec reste sous forme intégrale
Inégalité de Taylor-Lagrange
Formule de Taylor-Young
Une inégalité de Kolmogorov pour une fonction $ f \in \mathcal{C}^2(\mathbf{R},E) $ telle que $f$ et $f''$ sont bornées.

Calcul différentiel 1

Rappel sur la définition d'une application continue dans le contexte des espaces vectoriels normés
Rappel du critère séquentiel de continuité
Continuité de l'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & \left\{\begin{array}{cl} \dfrac{x^2 y}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y) \not= (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{array}\right. \end{array}\right. \]
Discontinuité de l'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & \left\{\begin{array}{cl} \dfrac{x y}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y) \not= (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{array}\right. \end{array}\right. \] en $(0,0)$
L'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & \left\{\begin{array}{cl} \dfrac{x^4}{y(y-x^2)} & \text{si } y(y-x^2) \not= 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{array}\right. \end{array}\right. \] est discontinue $(0,0)$, mais toutes ses restrictions à des droites passant par l'origine sont continues.
Surface représentant une fonction continue d'un ouvert de $\mathbf{R}^2$ dans $\mathbf{R}$
Définition d'une fonction $f$ dérivable en un point $a$ suivant un vecteur $h$ non nul et de la dérivée directionnelle $ \operatorname{D}_h f(a) $, cas échéant.
L'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & \left\{\begin{array}{cl} \dfrac{x^3-y^4}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y) \not= (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{array}\right. \end{array}\right. \] admet des dérivées directionnelles dans toutes les directions au point $(0,0)$.
L'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & \left\{\begin{array}{cl} \dfrac{y^2}{x} & \text{si } x \not= 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{array}\right. \end{array}\right. \] admet des dérivées directionnelles dans toutes les directions au point $(0,0)$, mais est discontinue en ce point.
Définition d'une dérivée partielle

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 6 du polycopié de cours "Calcul différentiel 1" : étude de la continuité de l'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & \left\{\begin{array}{cl} xy \dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y) \not= (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{array}\right. \end{array}\right. \]
Exercice 14 du polycopié de cours "Calcul différentiel 1" : étude des dérivées directionnelles au point $(0,0)$ de l'application \[ \left|\begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ (x,y) & \longmapsto & \left\{\begin{array}{cl} \dfrac{x^5}{(y-x^2)^2 + x^4} & \text{si } (x,y) \not= (0,0) \\ 0 & \text{sinon} \end{array}\right. \end{array}\right. \]

[151] - Cours du vendredi 13 décembre (2h)

Fonctions vectorielles

Résolution du système différentiel linéaire \[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x ' & = & 4x & - & y \\ y' & = & x & + & 2y \end{array} \right.\] d'inconnue $ (x,y) \in \mathcal{D}(\mathbf{R},\mathbf{R}) $.
Composition d'une fonction numérique dérivable par une fonction vectorielle dérivable
Caractère $ \mathcal{C}^k $ d'une fonction via ses fonctions coordonnées
La fonction \[ f \; \left| \; \begin{array}{ccc} \mathbf{R} & \longrightarrow & \mathbf{R}^2 \\ t & \longmapsto & ( 2 \, \sin(t) + \sin(2t) , -2 \cos(t) - \cos(2t) ) \end{array} \right. \] est de classe $ \mathcal{C}^2 $ et calcul de sa dérivée seconde.
Formule de Leibniz pour les fonctions vectorielles
Définition d'une fonction vectorielle continue par morceaux
Caractérisation d'une fonction vectorielle continue par morceaux via ses fonctions coordonnées
Combinaison linéaire de fonctions vectorielles continues par morceaux
Lemme clé pour la définition de l'intégrale d'une fonction vectorielle continue par morceaux (indépendance en le choix d'une base)
Définition de l'intégrale d'une fonction vectorielle continue par morceaux
Sommes de Riemann d'une fonction vectorielle continue par morceaux
Propriétés de l'intégrale des fonctions vectorielles continues par morceaux
Une fonction vectorielle dérivable à dérivée nulle sur un intervalle est constante.
Théorème fondamental de l'analyse pour les fonctions vectorielles.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier le théorème 44 du polycopié de cours "Fonctions vectorielles" (énoncé et démonstration rédigée) : théorème fondamental de l'analyse pour les fonctions vectorielles
Exercice 26 du polycopié de cours "Fonctions vectorielles" : dérivée directionnelle du déterminant en l'identité
Exercice 40 du polycopié de cours "Fonctions vectorielles" : $ \displaystyle \int_0^1 \left( \dfrac{1}{4-t^2} , \dfrac{1}{1+t^2} \right) \operatorname{d}t $
Exercice 14 de la feuille d'exercices "Suites et séries de fonctions 1" (coquilles dans la version papier corrigées dans la version en ligne) : démonstration du théorème d'approximation de Weierstraß à l'aide des polynômes de Bernstein

[149] - TD du jeudi 12 décembre (2h)

Suites et séries de fonctions 1

Exercice 3 de la feuille d'exercices "Suites et séries de fonctions 1" : une condition nécessaire de convergence uniforme pour une série de fonctions
Exercice 4 de la feuille d'exercices "Suites et séries de fonctions 1" : modes de convergence de la série de fonctions de terme général $ f_n \colon x \longmapsto n \, e^{ - n^2 \, x^2 } $
Exercice 9 de la feuille d'exercices "Suites et séries de fonctions 1" : une limite uniforme de fonctions continues est continue
Exercice 10 de la feuille d'exercices "Suites et séries de fonctions 1" : échange limite-intégrale sur un segment avec hypothèse de convergence uniforme
Exercice 14 de la banque CCINP \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n 2^n} = \int_0^{1/2} \sum_{n=0}^{+\infty} x^n \operatorname{d} x = \ln(2) \]
La série de fonctions de terme général \[ f_n \colon t \longmapsto t^{n+1} - t^n \] ne converge pas uniformément sur $[0,1]$, mais la suite de fonctions de terme général $f_n$ converge uniformément vers $0_{\mathbf{R}^{[0,1]}}$ sur $[0,1]$.
Exercice 13 de la feuille d'exercices "Suites et séries de fonctions 1" : un théorème de Dini.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 18 du polycopié de cours "Fonctions vectorielles" : résolution du système différentiel linéaire \[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x ' & = & 4x & - & y \\ y' & = & x & + & 2y \end{array} \right.\] d'inconnue $ (x,y) \in \mathcal{D}(\mathbf{R},\mathbf{R}) $.
Étudier la partie 3 "Fonctions vectorielles de classe $\mathcal{C}^k$ du polycopié de cours "Fonctions vectorielles", en particulier l'énoncé et la démonstration de la formule de Leibniz.

[147] - Cours du jeudi 12 décembre (2h)

Fonctions vectorielles

Composition d'une fonction vectorielle dérivable par une application linéaire
Résolution du système différentiel linéaire \[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x ' & = & x & + & 2y \\ y' & = & 2x & + & y \end{array} \right.\] d'inconnue $ (x,y) \in \mathcal{D}(\mathbf{R},\mathbf{R}) $.
Composition de fonctions vectorielles dérivables par une application bilinéaire
Composition de fonctions vectorielles dérivables par un produit scalaire
Propriété d'une fonction dérivable dont l'image est incluse dans la sphère unité d'un espace euclidien
Composition de fonctions dérivables par une application multilinéaire
Composition d'une application dérivable à valeur dans $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ par le déterminant
Calcul du déterminant de la matrice $ \operatorname{diag(a_1,\ldots,a_n)} + x \, J $ où $J \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ a tous ses coefficients égaux à 1

[145] - Cours du mercredi 11 décembre (2h)

Suites et séries de fonctions 1

La série de fonctions de terme général \[ f_n \colon x \longmapsto \arctan(x+n) - \arctan(n) \] converge normalement sur tout segment de $\mathbf{R}$.
La série de fonction de terme général \[ f_n \colon x \longmapsto \dfrac{x^n}{1+x^{2n}} \] converge normalement sur tout segment de $ ]-1,1[ $.
Théorème des moments.
Une fonction qui est limite uniforme de fonctions polynomiales sur $\mathbf{R}$ est une fonction polynomiale.

Fonctions vectorielles

Définition d'une fonction vectorielle dérivable en un point et du vecteur dérivée en ce point
La fonction \[ f \; \left| \; \begin{array}{ccc} \mathbf{R} & \longrightarrow & \mathbf{R}^2 \\ t & \longmapsto & ( \cos(t) , \sin(t) ) \end{array} \right. \] est dérivable en tout point de $\mathbf{R}$ et, pour tout $ t \in \mathbf{R} $, $f'(t) \perp f(t) $.
Notation de Landau pour les fonctions vectorielles
Caractérisation de la dérivabilité d'une fonction vectorielle par l'existence d'un DL1
La dérivabilité d'une fonction vectorielle implique sa continuité.
Dérivabilité et vecteur d'une fonction vectorielle via les fonctions coordonnées
La fonction \[ f \; \left| \; \begin{array}{ccc} \mathbf{R} & \longrightarrow & \mathbf{R}^2 \\ t & \longmapsto & ( t^3 - t^2 , t^4 - 7t ) \end{array} \right. \] est dérivable en tout point de $\mathbf{R}$.
Dérivabilité à droite et à gauche d'une fonction vectorielle
Combinaison linéaire de fonctions vectorielles dérivables.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Connaître parfaitement le cours "Suites et séries de fonctions 1"
Exercice 3 de la feuille d'exercices "Suites et séries de fonctions 1" : une condition nécessaire de convergence uniforme pour une série de fonctions
Exercice 4 de la feuille d'exercices "Suites et séries de fonctions 1" : modes de convergence de la série de fonctions de terme général $ f_n \colon x \longmapsto n \, e^{ - n^2 \, x^2 } $
Exercice 9 de la feuille d'exercices "Suites et séries de fonctions 1" : une limite uniforme de fonctions continues est continue
Exercice 10 de la feuille d'exercices "Suites et séries de fonctions 1" : échange limite-intégrale sur un segment avec hypothèse de convergence uniforme

[143] - Cours du lundi 9 décembre (4h)

Retour sur le DS3 : théorème de Müntz [Mines-Ponts-MP-2009]

Rappel sur les familles quelconques de vecteurs libres
Rappels sur les fonctions puissances
Si $A \subset B$ sont des parties d'un espace vectoriel normé $ E $ et $ x \in E $ alors $ \operatorname{d}(x,B) \leqslant \operatorname{d}(x,A) $.
Si $F$ est un sous-espace vectoriel d'un espace préhilbertien $ E $ et $ x \in E $ alors le projeté orthogonal $ p(x) $ de $ x $ sur $ F $ est l'unique vecteur $ y \in F $ tel que $ \operatorname{d}(x,F) = || x - y || $.

Suites et séries de fonctions 1

Critère séquentiel de non-convergence uniforme
La suite de fonction de terme général \[ f_n \colon x \longmapsto e^{-(x-n)^2} \] converge simplement, mais non-uniformément sur $\mathbf{R}$.
La suite de fonctions de terme général \[ f_n \colon x \longmapsto x^n \] converge uniformément sur tout segment de $[0,1[$, mais ne converge pas uniformément sur $[0,1[$.
La suite de fonctions de terme général \[ f_n \colon x \longmapsto \cos\left(\dfrac{n \, x}{n+1}\right) \] converge uniformément sur tout segment de $]0,+\infty[$, mais ne converge pas uniformément sur $]0,+\infty[$.
La série de fonctions de terme général \[ f_n \colon x \longmapsto \dfrac{(-1)^{n+1} x^n}{n} \] converge uniformément sur tout segment de $]-1,1]$, mais ne converge pas uniformément sur $]-1,1]$.
Définition de la convergence normale d'une série de fonctions bornées
La série de fonctions de terme général \[ f_n \colon \theta \longmapsto \dfrac{ e^{i n \theta} }{ n^2 } \] converge normalement sur $ \mathbf{R} $.
Si $ \alpha > 1 $, la série de fonctions de terme général \[ f_n \colon s \longmapsto \dfrac{1}{n^s} \] converge normalement sur $\{ z \in \mathbf{C} \::\: \operatorname{Re}(z) \geqslant \alpha \}$.
La convergence normale implique la convergence simple absolue.
La série de fonction de terme général \[ f_n \colon x \longmapsto x^n \] converge simplement mais non-normalement sur sur $[0,1[$.
La convergence normale implique la convergence uniforme.
La série de fonctions de terme général \[ f_n \colon x \longmapsto \dfrac{(-1)^{n+1} \, x^n}{n} \] converge uniformément mais non-normalement sur sur $[0,1]$.
La série de fonctions de terme général \[ f_n \colon x \longmapsto \dfrac{1}{x(x+1) \ldots (x+n)} \] converge normalement, donc uniformément, sur tout segment de $ ]0,+\infty[ $.
Toute fonction continue par morceaux sur un segment est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier.
Lemme de Riemann-Lebesgue pour une fonction continue par morceaux sur un segment.
Théorème d'approximation polynomiale de Weierstraß
Si $ d \in \mathbf{N} $ et $ f $ est une limite uniforme de fonctions polynomiales de degrés inférieurs ou égaux à $ d $, alors $ f $ est polynomiale de degré inférieur ou égal à $ d $

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 58 du polycopié de cours "Suites et séries de fonctions 1" : la série de fonctions de terme général \[ f_n \colon x \longmapsto \arctan(x+n) - \arctan(n) \] converge normalement sur tout segment de $\mathbf{R}$.
Exercice 60 du polycopié de cours "Suites et séries de fonctions 1" : la série de fonction de terme général \[ f_n \colon x \longmapsto \dfrac{x^n}{1+x^{2n}} \] converge normalement sur tout segment de $ ]-1,1[ $.
Exercice 66 du polycopié de cours "Suites et séries de fonctions 1" : théorème des moments.

[139] - Cours du vendredi 6 décembre (2h)

Suites et séries de fonctions 1

La suite de fonctions \[ \left( \; f_n \; \left| \; \begin{array}{ccc} [0,+\infty[ & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \left( 1 - \dfrac{x}{n} \right)^n \, \mathbf{1}_{[0,n]}(x) \end{array} \right. \; \right)_{ n \in \mathbf{N} } \] converge uniformément sur $ [0,+\infty[ $.
Définition de la convergence simple d'une série de fonctions
La série de fonctions de terme général \[ f_n \colon \theta \longmapsto \dfrac{e^{i n \theta}}{n^2} \] converge simplement sur $\mathbf{R}$.
La série de fonctions de terme général \[ f_n \colon x \longmapsto n \, x^n \] converge simplement sur $]-1,1[$ et sa somme est \[ \sum_{n=1}^{+\infty} f_n \; \left| \; \begin{array}{ccc} ]-1,1[ & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{x}{(1-x)^2} \end{array} \right. \]
La série de fonctions de terme général \[ f_n \colon x \longmapsto \dfrac{(-1)^{n+1} x^n}{n} \] converge simplement sur $]-1,1]$ et sa somme est \[ \sum_{n=1}^{+\infty} f_n \; \left| \; \begin{array}{ccc} ]-1,1] & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \ln(1+x) \end{array} \right. \]
Définition de la convergence uniforme d'une série de fonctions
Si une série de fonctions converge uniformément, alors elle converge simplement.
Convergence uniforme d'une série de fonctions versus convergence uniforme de la suite de ses restes vers la fonction nulle
La série de fonctions de terme général \[ f_n \colon \theta \longmapsto \dfrac{e^{i n \theta}}{n^2} \] converge uniformément sur $\mathbf{R}$.
La série de fonctions de terme général \[ f_n \colon x \longmapsto n \, x^n \] converge uniformément sur tout segment $[-a,a] \subset ]-1,1[$, mais ne converge pas uniformément sur $]-1,1[$.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier et apprendre la proposition 14 du polycopié de cours "Suites et séries de fonctions 1" : critère séquentiel de non-convergence uniforme
Étudier l'exemple 15 du polycopié de cours "Suites et séries de fonctions 1" : application du critère séquentiel de non-convergence uniforme
Exercice 16 du polycopié de cours "Suites et séries de fonctions 1" : la suite de fonctions de terme général \[ f_n \colon x \longmapsto x^n \] converge uniformément sur tout segment de $[0,1[$, mais ne converge pas uniformément sur $[0,1[$.
Exercice 17 du polycopié de cours "Suites et séries de fonctions 1" : la suite de fonctions de terme général \[ f_n \colon x \longmapsto \cos\left(\dfrac{n \, x}{n+1}\right) \] converge uniformément sur tout segment de $]0,+\infty[$, mais ne converge pas uniformément sur $]0,+\infty[$.
Exercice 48 du polycopié de cours "Suites et séries de fonctions 1" : la série de fonctions de terme général \[ f_n \colon x \longmapsto \dfrac{(-1)^{n+1} x^n}{n} \] converge uniformément sur tout segment de $]-1,1]$, mais ne converge pas uniformément sur $]-1,1]$.

[137] - TD du jeudi 5 décembre (2h)

Probabilités 1

Exercice 108 du polycopié de cours "Probabilités 1" : interprétation de la loi de Poisson comme limite de lois binomiales
Exercice 114 du polycopié de cours "Probabilités 1" : l'absence de mémoire caractérise les lois géométriques
Exercice 118 du polycopié de cours "Probabilités 1" : si $X_1,X_2$ sont des variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi géométrique, probabilité que la matrice $\begin{pmatrix} X_1 & 1 \\ 0 & X_2 \end{pmatrix}$ soit diagonalisable sur $\mathbf{R}$
Question n°2 de l'exercice 103 de la banque CCINP : conditionnement Poisson-binomial
Exercice 1 de la feuille d'exercices "Probabilités 1" : probabilités d'obtenir uniquement des chiffres pairs jusqu'à l'obtention du chiffre 6, dans une suite de lancers de dé.
Exercice 6 de la feuille d'exercices "Probabilités 1" : loi de Pascal

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Démontrer que la suite de fonctions \[ \left( \; f_n \; \left| \; \begin{array}{ccc} [0,+\infty[ & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \left( 1 - \dfrac{x}{n} \right)^n \, \mathbf{1}_{[0,n]}(x) \end{array} \right. \; \right)_{ n \in \mathbf{N} } \] converge uniformément sur $ [0,+\infty[ $.

[135] - Cours du jeudi 5 décembre (2h)

Probabilités 1

Exercice 116 du polycopié de cours "Probabilités 1" : minimum de deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi géométrique

Suites et séries de fonctions 1

Définition de la convergence simple d'une suite de fonctions
Étude de la convergence simple de la suite « des arcs »
Contre-exemple à l'échange des symboles $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} $ et $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 1} $
Étude de la convergence simple de la suite « des Gaussiennes glissantes »
Étude de la convergence simple de la suite « des échelles montantes »
Contre-exemple à l'échange des symboles $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} $ et $ \displaystyle \int_0^1 $
Définition de la convergence uniforme d'une suite de fonctions
La convergence uniforme d'une suite de fonctions implique sa convergence simple.
La suite de fonctions \[ \left( \; f_n \; \left| \; \begin{array}{ccc} [0,1] & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & x^n \end{array} \right. \; \right)_{ n \in \mathbf{N} } \] converge simplement, mais pas uniformément, sur $ [0,1] $.
Convergence uniforme d'une suite de fonctions dans la cas borné et norme infinie
La suite de fonctions \[ \left( \; f_n \; \left| \; \begin{array}{ccc} \mathbf{R} & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{\cos(x)}{n} \end{array} \right. \; \right)_{ n \in \mathbf{N}^* } \] converge uniformément sur $ \mathbf{R} $.
La suite de fonctions \[ \left( \; f_n \; \left| \; \begin{array}{ccc} [0,1/2] & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & x^n \end{array} \right. \; \right)_{ n \in \mathbf{N} } \] converge uniformément sur $ [0,1/2] $.

[133] - Cours du mercredi 4 décembre (2h)

Probabilités 1

Couple de variables aléatoires
La loi d'un couple de variables aléatoires détermine les lois marginales
Les lois marginales ne déterminent pas nécessairement la loi d'un couple de variables aléatoires
Exercice 92 du polycopié de cours "Probabilités 1" : étude d'une loi de couple de variables aléatoires à valeurs dans $\mathbf{N}^2$
Loi conjointe d'un nombre fini de variables aléatoires
Images de variables aléatoires mutuellement indépendantes
Lemme des coalitions
Théorème d'extension de Kolmogorov
Définition de la loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$
Somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de Poisson
Définition de la loi géométrique de paramètre $p\in\,]0,1[$
Situation de reconnaissance d'une loi géométrique
Diverses variables aléatoires associées à une infinité de lancers d'un dé équilibré

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier la démonstration de la proposition 102 du polycopié de cours "Probabilités 1" : images de variables aléatoires indépendantes
Exercice 108 du polycopié de cours "Probabilités 1" : interprétation de la loi de Poisson comme limite de lois binomiales
Exercice 114 du polycopié de cours "Probabilités 1" : l'absence de mémoire caractérise les lois géométriques
Exercice 118 du polycopié de cours "Probabilités 1" : si $X_1,X_2$ sont des variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi géométrique, probabilité que la matrice $\begin{pmatrix} X_1 & 1 \\ 0 & X_2 \end{pmatrix}$ soit diagonalisable sur $\mathbf{R}$

[131] - Cours du lundi 2 décembre (4h)

Procédés sommatoires discrets

Décomposition de la fonction $ \zeta $ de Riemann en produit Eulérien
Si $ (p_n)_{n \in \mathbf{N}^*} $ est la suite des nombres premiers rangée dans l'ordre croissant, alors la série $\displaystyle\sum \dfrac{1}{p_n}$ diverge.

Probabilités 1

Lemme de Borel-Cantelli
Conditionnement d'une loi uniforme par une loi binomiale
Formule de Bayes
Définition de deux événements indépendants
Indépendance de deux événements et événements contraires
Événements mutuellement indépendants
Exemple de trois événements deux à deux indépendants, non mutuellement indépendants
Définition d'une distribution de probabilités discrète
Le support d'une distribution de probabilités discrète est au plus dénombrable
Distribution de probabilités discrète versus probabilité sur un ensemble au plus dénombrable
Loi de probabilité de Poisson sur $\mathbf{N}$
Calcul de la somme $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{\lambda^{3n}}{(3n)!}$, où $\lambda > 0$
Loi de probabilité géométrique sur $\mathbf{N}^*$
Calcul de la somme $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} p \, (1-p)^{2n}$, où $p \, \, ]0,1[$
Modélisation d'une suite infinie de lancers de pièce ou motivation pour l'introduction des tribus
Définition d'une variable aléatoire discrète
Événements associés à une variable aléatoire discrète
Loi d'une variable aléatoire discrète
La loi d'une variable aléatoire discrète est caractérisée par sa distribution de probabilités
Système quasi-complet d'événements associé à une variable aléatoire discrète
Heuristique pour la loi géométrique : rang d'apparition du premier Pile dans une suite infinie de lancers de pièce
Égalité en loi de deux variables aléatoires
Exemple de deux variables aléatoires discrètes distinctes, mais égales en loi
Variable aléatoire image
Si deux variables aléatoires discrètes sont égales en loi, alors leurs images par une même application sont égales en loi.
Loi conditionnelle d'une variable aléatoire
Exemple de conditionnement d'une loi binomiale par une loi binomiale

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier et apprendre la partie 7.11 "Couple de variables aléatoires" du polycopié de cours "Probabilités 1".
Exercice 92 du polycopié de cours "Probabilités 1" : étude d'une loi de couple de variables aléatoires à valeurs dans $\mathbf{N}^2$
Étudier et apprendre la partie 8 "Indépendance de variables aléatoires" du polycopié de cours "Probabilités 1".

[127] - Cours du vendredi 29 novembre (2h)

Probabilités 1

Probabilité d'une réunion dénombrable, d'une intersection dénombrable
Probabilité d'obtenir au moins un Pile lorsqu'on lance indéfiniment une pièce équilibrée
Sous-additivité pour une réunion dénombrable
Définition d'un événement négligeable, d'un événement presque sûr
Réunion d'une famille au plus dénombrable d'événements négligeables, intersection d'une famille au plus dénombrable d'événements presque sûrs
Définition d'une probabilité conditionnelle
Une probabilité conditionnelle est une probabilité
Formule des probabilités composées
Application de la formule des probabilités composées à une expérience aléatoire mettant en jeu une urne à composition variable
Définition d'un système quasi-complet d'événements
Formule des probabilités totales
Application de la formule des probabilités totales à une expérience aléatoire mettant en jeu un dé et une urne à composition variable
Si $ x \in \, ]-1,1[ $, alors la série $ \displaystyle \sum \dfrac{x^n}{n} $ converge absolument et $ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n} = - \ln(1-x) $

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 121 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : décomposition de la fonction $ \zeta $ de Riemann en produit Eulérien
Exercice 46 du polycopié de cours "Probabilités 1" : lemme de Borel-Cantelli

[125] - TD du jeudi 28 novembre (2h)

Procédés sommatoires discrets

Équivalent de $ \displaystyle\sum_{k=0}^n \ln^2(k) $
Pour $z$ un nombre complexe dans le disque unité ouvert, la série $ \displaystyle\sum n \, z^n $ est absolument convergente et $ \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n \, z^n = \dfrac{z}{(1-z)^2} $
$ \displaystyle \sum_{m=0}^{+\infty} \, \sum_{n=m+1}^n \dfrac{1}{n!} = e $
Il existe une constante $ C > 0 $ telle que $ \displaystyle \prod_{k=2}^n \left( 1 + \dfrac{(-1)^k}{\sqrt{k}} \right) \thicksim \dfrac{C}{\sqrt{n}} $
Équivalent de $ \displaystyle\sum_{k=1}^n E(\log(k)) $

[123] - Cours du jeudi 28 novembre (2h)

Procédés sommatoires discrets

Exercice 5 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : si $\displaystyle\sum a_n$ est une série absolument convergente de nombres complexes alors la série $\displaystyle\sum \dfrac{1}{2^n} \, \sum_{k=0}^n 2^k a^k$ converge et a pour somme $\displaystyle 2 \, \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$.

Probabilités 1

Une réunion au plus dénombrable d'ensembles au plus dénombrables est au plus dénombrable.
$ \mathbf{Q} $ est dénombrable.
Le support d'une famille sommable est au plus dénombrable.
Théorème de Cantor : il n'existe aucune bijection entre un ensemble et l'ensemble de ses parties.
L'ensemble $ \mathcal{P}(\mathbf{N}) $ n'est pas dénombrable.
L'ensemble $ \{0,1\}^{\mathbf{N}} $ n'est pas dénombrable.
L'ensemble $ \mathbf{R} $ n'est pas dénombrable.
Définition d'une tribu sur un ensemble
Exemples de tribus : triplu pleine, tribu minimale, tribu engendrée par une partie
Définition d'un espace probabilisable
Propriétés élémentaires d'une tribu
Vocabulaire attaché à une tribu
Définition d'une probabilité sur un espace probabilisable
Définition d'un espace probabilisé
Propriétés élémentaires d'une probabilité
Une probabilité est croissante.
Sous-additivité d'une probabilité
Continuité croissante, continuité décroissante d'une probabilité

[121] - Cours du mercredi 27 novembre (2h)

Procédés sommatoires discrets

Exercice 95 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : CNS de sommabilité pour la famille $ \left( \dfrac{1}{n^{\alpha} + m^{\alpha}} \right)_{(n,m) \in \mathbf{N}^* \times \mathbf{N}^*} $ où $ \alpha > 0 $
Exercice 97 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : calcul de $ \displaystyle \sum_{p=1}^{+\infty} (\zeta(p) - 1) $
Produit d'un nombre fini de familles sommables de nombres complexes
Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes
Exponentielle de la somme de deux nombres complexes
Si $a$ est un nombre complexe dans le disque unité ouvert, alors $ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{a^n}{1-a^{2n}} = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{a^{2n-1}}{1-a^{2n-1}} $

Probabilités 1

Définition d'un ensemble dénombrable
Les ensembles $\mathbf{N}$ et $\mathbf{N}^*$ sont dénombrables.
Toute partie infinie de $\mathbf{N}$ est dénombrable.
L'ensemble des entiers naturels pairs et l'ensemble des nombres premiers sont dénombrables.
Définition d'un ensemble au plus dénombrable
Un ensemble est au plus dénombrable si et seulement s'il est en bijection avec une partie de $\mathbf{N}$.
L'ensemble $\mathbf{Z}$ est dénombrable.
L'ensemble $\mathbf{N}^2$ est dénombrable.
Le produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles au plus dénombrables est au plus dénombrable.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 120 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : si $\displaystyle\sum a_n$ est une série absolument convergente de nombres complexes alors la série $\displaystyle\sum \dfrac{1}{2^n} \, \sum_{k=0}^n 2^k a^k$ converge et a pour somme $\displaystyle 2 \, \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$.
Étudier la démonstration de la propriété 10 du polycopié de cours "Probabilités 1" : l'ensemble $\mathbf{Z}$ est dénombrable
Étudier la démonstration de la propriété 12 du polycopié de cours "Probabilités 1" : l'ensemble $\mathbf{N}^2$ est dénombrable

[119] - Cours du lundi 25 novembre (4h)

Procédés sommatoires discrets

Exercice 63 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : développement asymptotique des sommes partielles de la série harmonique à précision $ \operatorname{o}\left( \dfrac{1}{n^2} \right) $.
Transformation d'Abel
La série numérique $\displaystyle\sum \dfrac{\sin(n)}{n} $ converge.
Définition de la somme d'une famille d'éléments de $[0,+\infty]$
Somme d'une sous-famille d'éléments de $[0,+\infty]$
Invariance de la somme d'une sous-famille d'éléments de $[0,+\infty]$ par permutation
Somme d'une famille d'éléments de $[0,+\infty[$ indexée par $\mathbf{N}$ et lien avec les séries numériques
Famille sommables de réels positifs
Famille sommables de réels positifs indexée par $\mathbf{N}$ et lien avec les séries numériques
Opération sur les sommes d'éléments de $[0,+\infty]$
Définition d'une partition d'un ensemble
Partitions horizontales, verticales, diagonales de $\mathbf{N}^2$
Théorème de sommation par paquets : cas positif
Théorème de Fubini : cas positif
Somme de la famille $ \left( \dfrac{1}{2^n} \right)_{n \in \mathbf{Z}} $
Somme de la famille $ \left( \dfrac{1}{r^2} \right)_{r \in \mathbf{Q}_{>1}} $
Somme de la famille $ \left( \dfrac{1}{2^i3^j} \right)_{(i,j) \in \mathbf{N}^2} $
Somme de la famille $ \left( \dfrac{1}{4^i+5^j} \right)_{(i,j) \in \mathbf{N}^2} $
Somme de la famille $ \left( \dfrac{1}{(i+j)^4} \right)_{(i,j) \in \mathbf{N}^* \times \mathbf{N}^*} $
Définition de la sommabilité d'une famille de nombres complexes
L'espace vectoriel $\ell^1(I)$
Sommabilité d'une famille de nombres complexes indexée par $\mathbf{N}$ et lien avec les séries numériques absolument convergentes
Théorème de domination pour les familles de nombres complexes
Définition de la somme d'une famille sommable de nombres complexes
Somme d'une famille sommable de complexes indexée par $\mathbf{N}$ et somme de la série numérique associée
Théorème de sommation par paquets : cas complexe
Théorème de Fubini : cas complexe
Pour tout complexe $z$ dans le disque unité ouvert, $ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{z^n}{1-z^n} = \sum_{n=1}^{+\infty} d(n) \, z^n $ où $d$ est la fonction nombre de diviseurs positif
$ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \sum_{m=1 , m \not= n}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2-m^2} \not= \displaystyle \sum_{m=1}^{+\infty} \sum_{n=1 , n \not= m}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2-m^2} $

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Apprendre le cours sur les familles sommables
Exercice 95 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : CNS de sommabilité pour la famille $ \left( \dfrac{1}{n^{\alpha} + m^{\alpha}} \right)_{(n,m) \in \mathbf{N}^* \times \mathbf{N}^*} $ où $ \alpha > 0 $
Exercice 97 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : calcul de $ \displaystyle \sum_{p=1}^{+\infty} (\zeta(p) - 1) $

[115] - Cours du vendredi 22 novembre (2h)

Procédés sommatoires discrets

Exercice 47 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : exponentielle de la matrice $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $.
Exercice 50 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : théorème de comparaison logarithmique
Irrationalité de $ \cos(1) $
Sommation des relations de comparaison
$\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{\sqrt{k} + 5}{k+3} \underset{n \rightarrow +\infty}{\thicksim} 2 \, \sqrt{n} $
Théorème de Cesàro
Pour $ \alpha > 0 $ fixé, comportement asymptotique et équivalent de la suite $ (u_n)_{n \in \mathbf{N}} $ définie par $ u_0 > 0 $ et la relation de récurrence \[ u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{u_n^{\alpha}} \] valable pour tout $n \in \mathbf{N}$.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 63 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : développement asymptotique des sommes partielles de la série harmonique à précision $ \operatorname{o}\left( \dfrac{1}{n^2} \right) $.

[113] - TD du jeudi 21 novembre (2h)

Procédés sommatoires discrets

Exercice 33 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : série matricielle $\displaystyle\sum (-1)^n \, H^n$ et caractère ouvert de $\mathbf{GL}_p(\mathbf{K})$ dans $\mathcal{M}_p(\mathbf{K})$
Nature de la série $\displaystyle\sum \left( 1 - \dfrac{1}{n} \right)^n - \dfrac{1}{e} $
Nature de la série $\displaystyle\sum 3^n / n $
Nature de la série $\displaystyle\sum \dfrac{\ln(n)}{\sqrt{n}} $
Nature de la série $\displaystyle\sum \binom{2n}{n} / 4^n $
Nature de la série $\displaystyle\sum e^{1/n} - \cos\left(\dfrac{1}{n}\right) - \sin\left(\dfrac{1}{n}\right) $
Convergence et somme de la série $\displaystyle\sum \dfrac{1}{1^2+2^2+\ldots+n^2} $
Équivalent de $ \displaystyle\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k \, \ln(k)} $
Règle de Raabe-Duhamel

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 47 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : exponentielle de la matrice $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $.
Exercice 50 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : théorème de comparaison logarithmique

[111] - Cours du jeudi 21 novembre (2h)

Procédés sommatoires discrets

Exercice 33 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : série matricielle $\displaystyle\sum (-1)^n \, H^n$ et caractère ouvert de $\mathbf{GL}_p(\mathbf{K})$ dans $\mathcal{M}_p(\mathbf{K})$
Exponentielle d'une matrice diagonale
Exponentielle de deux matrices semblables
Exercice 41 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : exponentielle de la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} $.
Spectre d'une exponentielle de matrice
Exponentielle d'une somme d'endomorphismes, de matrices, qui commutent
Si $A$ est une matrice carrée alors $\exp(A)$ est inversible, d'inverse $\exp(-A)$.
Règle de d'Alembert pour les séries numériques à termes réels strictement positifs
Nature de la série $\displaystyle\sum \dfrac{x^n}{n^2}$, où $x$ est un réel fixé
Nature de la série $\displaystyle\sum n! \, x^{n^2}$, où $x$ est un réel fixé
Critère des séries alternées
Nature de la série $\displaystyle\sum \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n}$
Convergence et somme de la série $\displaystyle\sum \dfrac{(-1)^n}{3n+1}$

[109] - Cours du mercredi 20 novembre (2h)

Devoir surveillé n°3

Critère de liberté pour une famille finie de vecteurs d'un espace préhilbertien via une matrice de Gram
Calcul de la distance d'un vecteur d'un espace préhilbertien à un sous-espace de dimension finie via une matrice de Gram

Procédés sommatoires discrets

Critère de Riemann
Exercice 26 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets : équivalent du reste d'une série de Riemann convergente, équivalent d'une somme partielle de série de Riemann divergente
Exercice 27 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets : équivalent de la fonction $\zeta$ de Riemann en $1^+$
Définition d'une série vectorielle absolument convergente
La série numérique $\displaystyle\sum \dfrac{(-1)^n}{n}$ est convergente mais non-absolument convergente.
Si l'on munit $\mathbf{R}[X]$ de la norme $||\:\cdot\:||_{\infty}$, la série numérique $\displaystyle\sum \dfrac{X^n}{2^n}$ est absolument convergente mais diverge.
Séries vectorielles absolument convergentes dans un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie
La série $\displaystyle\sum \dfrac{\sin(n)}{n^2}$ converge.
Théorème de comparaison pour les séries numériques
Attention aux signes : d'une part $ \dfrac{1}{n} \underset{n \rightarrow +\infty}{=} \operatorname{O} \left( \dfrac{(-1)^n}{n} \right) $, d'autre part la série numérique $\displaystyle\sum \dfrac{(-1)^n}{n}$ converge, mais la série numérique $\displaystyle\sum \dfrac{1}{n}$ diverge.
La série numérique $\displaystyle\sum \dfrac{\ln(n)}{n^2}$ converge.
Définition de l'exponentielle d'un endomorphisme d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie, d'une matrice
Lien entre exponentielle d'endomorphisme et exponentielle de matrice
Calcul de l'exponentielle d'une symétrie vectorielle d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 33 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : série matricielle $\displaystyle\sum (-1)^n \, H^n$ et caractère ouvert de $\mathbf{GL}_p(\mathbf{K})$ dans $\mathcal{M}_p(\mathbf{K})$
Exercice 41 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : exponentielle de la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} $.
Étudier l'énoncé et la démonstration de la proposition 44 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : exponentielle de deux matrices qui commutent.

[107] - Cours du lundi 18 novembre (4h)

Analyse asymptotique

Développement limité à l'ordre 5 en 0 de $\operatorname{Arcsin}$
Développement limité à l'ordre 4 en 0 de $ x \longmapsto \ln ( \operatorname{ch}(x) + \sin(x) ) $

Espaces vectoriels normés 3

Exercice 4 de la feuille d'exercices "Espaces vectoriels normés 3" : calcul d'une norme subordonnée d'un endomorphisme continu d'un espace de fonction
Exercice 6 de la feuille d'exercices "Espaces vectoriels normés 3" : calcul d'une norme subordonnée de l'application qui à une fonction continue sur $[0,1]$ associe sa primitive nulle en 0

Procédés sommatoires discrets

Sommes partielles, convergence et divergence d'une série de vecteurs d'un $ \mathbf{K} $-espace vectoriel normé
La série numérique $ \displaystyle\sum \dfrac{1}{n(n-1)} $ converge.
$ \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} \;\underset{n \rightarrow +\infty}{=}\; \ln(n) + \gamma + \operatorname{o}(1) $
La série $ \displaystyle\sum \dfrac{X^n}{n} $ diverge dans $ \left( \mathbf{R}[X] , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $.
Somme et reste d'une série convergente de vecteurs d'un $ \mathbf{K} $-espace vectoriel normé
La série numérique $ \displaystyle\sum \dfrac{(-1)^n}{n} $ converge et a pour somme $-\ln(2)$.
Somme de termes en progression géométrique
Critère de convergence d'une suite géométrique, critère de convergence d'une série géométrique, somme et restes d'une série géométrique convergente
Pour tout nombre complexe $z$, la série numérique $ \displaystyle\sum \dfrac{z^n}{n!} $ converge et a pour somme $\exp(z)$.
Linéarité de la somme d'une série convergente de vecteurs d'un $ \mathbf{K} $-espace vectoriel normé
Le terme général d'une série convergente de vecteurs d'un $ \mathbf{K} $-espace vectoriel normé tend vers le vecteur nul et notion de divergence grossière.
La série $ \displaystyle\sum X^n $ diverge grossièrement dans $ \left( \mathbf{R}[X] , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $.
Lien suites-séries et séries télescopiques
La série numérique $ \displaystyle\sum \ln\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right) $ diverge.
Critère de convergence pour les séries à termes réels positifs ou nuls
La série numérique $ \displaystyle\sum \dfrac{1}{n^2} $ converge.
Théorème de domination pour les séries à termes réels positifs ou nuls
Théorème de comparaison pour les séries à termes réels positifs
La série numérique $ \displaystyle\sum \ln \left( 1 + \dfrac{(-1)^n}{n} \right) $ converge.
Théorème de comparaison série-intégrale
Équivalent de la somme $ 1 \, \sqrt{1} + 2 \, \sqrt{2} + \ldots + n \, \sqrt{n} $ à l'aide des sommes de Riemann

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Démontrer le critère de Riemann, cf. corollaire 23 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets"
Exercice 25 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : équivalent de la somme $ 1 \, \sqrt{1} + 2 \, \sqrt{2} + \ldots + n \, \sqrt{n} $ à l'aide d'une comparaison série-intégrale
Exercice 27 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : équivalent de la fonction $\zeta$ de Riemann en $1^+$

[103] - Cours du vendredi 15 novembre (2h)

Espaces vectoriels normés 3

Normes équivalentes sur la source et le but d'une application et continuité
Toutes les normes d'un $ \mathbf{K} $-espace vectoriel de dimension finie sont équivalentes.
Caractère intrinsèque des notions topologiques sur un $ \mathbf{K} $-espace vectoriel de dimension finie
Base duale d'une base d'un $ \mathbf{K} $-espace vectoriel de dimension finie
Norme infinie associée à une base d'un $ \mathbf{K} $-espace vectoriel de dimension finie
Convergence des suites dans un $ \mathbf{K} $-espace vectoriel de dimension finie
Compacité dans un $ \mathbf{K} $-espace vectoriel de dimension finie
Suite bornée ayant une unique valeur d'adhérence dans un $ \mathbf{K} $-espace vectoriel de dimension finie
Caractère fermé d'un sous-espace de dimension finie dans une $ \mathbf{K} $-espace vectoriel normé
Toute application linéaire entre deux $ \mathbf{K} $-espaces vectoriels de dimension finie est continue.
Définition d'une norme subordonnée pour une matrice carrée
Calcul de la norme subordonnée d'une matrice $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) $, lorsque $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbf{R}) $ est muni de la norme $ ||\:\cdot\:||_1 $.
Inégalités pour les normes subordonnées de matrices carrées
Continuité des applications polynomiales sur un $ \mathbf{K} $-espace vectoriel de dimension finie
Continuité du déterminant
Toute application multilinéaire entre $ \mathbf{K} $-espaces vectoriels de dimension finie est continue.
Continuité du produit matriciel
Continuité de la composition d'applications linéaires, lorsque les $ \mathbf{K} $-espaces vectoriels en jeu sont de dimension finie
Continuité de l'évaluation d'un endomorphisme d'un $ \mathbf{K} $-espace vectoriel de dimension finie sur un vecteur

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 4 de la feuille d'exercices "Espaces vectoriels normés 3" : calcul d'une norme subordonnée d'un endomorphisme continu d'un espace de fonction
Exercice 6 de la feuille d'exercices "Espaces vectoriels normés 3" : calcul d'une norme subordonnée de l'application qui à une fonction continue sur $[0,1]$ associe sa primitive nulle en 0

[101] - TD du jeudi 14 novembre (2h)

Devoir maison n°4

Intégrales de Gauß et de Wallis
Intégrales de Dirichlet
Lemme de Riemann-Lebesgue

Espaces vectoriels normés 3

Exercice 1 de la feuille d'exercices "Espaces vectoriels normés 3" : comparaison des normes $ || \:\cdot\: ||_{1} $ et $ || \:\cdot\: ||_{\infty} $ sur $ \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) $
Exercice 5 de la feuille d'exercices "Espaces vectoriels normés 3" : de la convergence des sommes partielles de la série exponentielle dans $ \mathbf{R}[X] $ et dans $ \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) $

[99] - Cours du jeudi 14 novembre (2h)

Espaces vectoriels normés 3

Exercice 6 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 3" : noyau et continuité d'une forme linéaire
Remarque 9 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 3" : si $ u \colon (E,N_E) \longrightarrow (F,N_F) $ est une application linéaire continue, où $ E \not= \{ 0_E \} $, alors \[ \sup_{ N_E(x) \leqslant 1 } N_F(u(x)) = \sup_{ N_E(x) = 1 } N_F(u(x)) \]
Exercice 11 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 3" : continuité et norme subordonnée de l'application \[ \operatorname{Eval}_0 \colon \left( \mathcal{C}^0([0,1], \mathbf{R} ) , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \longrightarrow \left( \mathbf{R} , |\:\cdot\:| \right) \quad ; \quad f \longmapsto f(0) \]
Inégalités pour les normes subordonnées d'applications linéaires continues
Caractérisation des applications multilinéaires continues
Définition de deux normes équivalentes
La relation « être équivalentes » sur l'ensemble des normes d'un espace vectoriel est une relation d'équivalence.
Comparaison des trois normes usuelles sur $ \mathbf{R}^n $ et interprétation en termes de continuité pour l'application identité
Caractérisation séquentielle de l'équivalence de deux normes
Comparaison des normes $ || \:\cdot\: ||_{1} $ et $ || \:\cdot\: ||_{\infty} $ sur $ \mathbf{R}[X] $
Comparaison des normes $ || \:\cdot\: ||_{1} $ et $ || \:\cdot\: ||_{2} $ sur $ \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) $
Invariance des notions topologiques par passage à une norme équivalente

[97] - Cours du mercredi 13 novembre (2h)

Intégration sur un intervalle quelconque

Exercice 139 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : étude de la fonction $ \displaystyle x \longmapsto \int_{x}^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{t} \;\operatorname{d}\!t $

Espaces vectoriels normés 3

Caractérisation de la continuité des applications linéaires
Continuité d'une application linéaire de $ \left( \mathbf{R}^p , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ vers $ \left( \mathbf{R}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $
Continuité d'une application linéaire construite à partir d'un produit scalaire et inégalité de Cauchy-Schwarz
L'application linéaire \[ \operatorname{Eval}_2 \colon \left( \mathbf{R}[X] , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \longrightarrow \left( \mathbf{R} , |\:\cdot\:| \right) \quad ; \quad P \longmapsto P(2) \] n'est pas continue.
L'application linéaire \[ \operatorname{Eval}_0 \colon \left( \mathcal{C}^0([0,1], \mathbf{R} ) , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \longrightarrow \left( \mathbf{R} , |\:\cdot\:| \right) \quad ; \quad f \longmapsto f(0) \] est continue.
L'application linéaire \[ \operatorname{Eval}_0 \colon \left( \mathcal{C}^0([0,1], \mathbf{R} ) , ||\:\cdot\:||_1 \right) \longrightarrow \left( \mathbf{R} , |\:\cdot\:| \right) \quad ; \quad f \longmapsto f(0) \] est discontinue.
Opérations sur les applications linéaires continues
Norme subordonnée d'une application linéaire continue
Calcul de la norme subordonnée de l'application linéaire continue \[ f \colon \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \longrightarrow \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \quad ; \quad (x,y) \longmapsto (x+2y,3x+4y) \]

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 6 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 3" : noyau et continuité d'une forme linéaire
Remarque 9 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 3" : si $ u \colon (E,N_E) \longrightarrow (F,N_F) $ est une application linéaire continue, où $ E \not= \{ 0_E \} $, alors \[ \sup_{ N_E(x) \leqslant 1 } N_F(u(x)) = \sup_{ N_E(x) = 1 } N_F(u(x)) \]
Exercice 11 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 3" : continuité et norme subordonnée de l'application \[ \operatorname{Eval}_0 \colon \left( \mathcal{C}^0([0,1], \mathbf{R} ) , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \longrightarrow \left( \mathbf{R} , |\:\cdot\:| \right) \quad ; \quad f \longmapsto f(0) \]

[95] - Cours du vendredi 8 novembre (2h)

Intégration sur un intervalle quelconque

Exercice 101 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : convergence de l'intégrale $ \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{\sqrt{t}} \;\operatorname{d}\!t $
Exercice 111 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : convergence de l'intégrale $ \displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{t^2 \ln(t)}{2+\sin(t)} \;\operatorname{d}\!t $
Théorème d'intégration par parties
Convergence et valeur de l'intégrale $ \displaystyle \int_{0}^{1} t \, \ln(t) \;\operatorname{d}\!t $
La fonction $ \displaystyle \Gamma \colon x \longmapsto \int_{0}^{+\infty} t^{x-1} \, e^{-t} \;\operatorname{d}\!t $ est définie sur $ ]0,+\infty[ $ et vérifie, pour tout $ n \in \mathbf{N}^* $, $ \Gamma(n+1) = n! $.
Théorème de changement de variable
Convergence et valeur de l'intégrale $ \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{\ln(t)}{t^2} \;\operatorname{d}\!t $
Convergence et valeur de l'intégrale $ \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\ln(t)}{1+t^2} \;\operatorname{d}\!t $
Définition d'une fonction intégrable sur un intervalle quelconque
Si une intégrale converge absolument sur un intervalle quelconque, alors elle converge sur cet intervalle.
L'espace vectoriel $L^1(I,\mathbf{K})$ des fonctions intégrables sur $I$ à valeurs dans $\mathbf{K}$
Théorème de comparaison en une borne quelconque
Intégrales de Riemann en un point réel
Théorème d'intégration des o
Théorème d'intégration des O
Théorème d'intégration des équivalents
$ \displaystyle \int_1^x \dfrac{1}{t + \sqrt{t}} \;\operatorname{d}t \underset{x \rightarrow +\infty}{\thicksim} \ln(x) $

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 139 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : étude de la fonction $ \displaystyle x \longmapsto \int_{x}^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{t} \;\operatorname{d}\!t $

[93] - TD du jeudi 7 novembre (2h)

Intégration sur un intervalle quelconque

Exercice 1 du TD "Intégration sur un intervalle quelconque": 13 études d'intégrabilité (applications directes du cours).
Exercice 2 du TD "Intégration sur un intervalle quelconque": 6 études d'intégrabilité (difficulté moyenne).
Exercice 3 du TD "Intégration sur un intervalle quelconque": 6 études d'intégrabilité (difficile).
Exercice 4 du TD "Intégration sur un intervalle quelconque": 4 études de natures d'intégrales.
Exercice 6 du TD "Intégration sur un intervalle quelconque": calcul de $ \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \ln(\sin(t)) \;\operatorname{d}\!t $
Exercice 21 du TD "Intégration sur un intervalle quelconque": si une fonction $ f $ est intégrable sur $[0,+\infty[$, alors il existe une suite réelle $ (x_n)_{n \in \mathbf{N}} $ divergeant vers $+\infty$ telle que la suite $ (x_nf(x_n))_{n \in \mathbf{N}} $ converge vers 0.
Exercice 23 du TD "Intégration sur un intervalle quelconque": si une fonction $ f $ est décroissante et intégrable sur $[0,+\infty[$, alors $ f(x) \underset{x \rightarrow +\infty}{=} \text{o}(x) $.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 101 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : convergence de l'intégrale $ \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{\sqrt{t}} \;\operatorname{d}\!t $
Exercice 111 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : convergence de l'intégrale $ \displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{t^2 \ln(t)}{2+\sin(t)} \;\operatorname{d}\!t $

[91] - Cours du jeudi 7 novembre (2h)

Intégration sur un intervalle quelconque

Exercice 87 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : règle $ t^{\alpha} $ en $ + \infty $
Exercice 88 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : nature de l'intégrale $ \displaystyle \int_{0}^{+\infty} t^3 \, e^{-t^2} \;\operatorname{d}\!t $
Exercice 89 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : nature de l'intégrale $ \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \arctan\left(\dfrac{1}{t}\right) - \dfrac{1}{t} \;\operatorname{d}\!t $
Exercice 90 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : pour $ \alpha $ un réel, nature de l'intégrale $ \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \ln\left(1 + \dfrac{1}{t^{\alpha}} \right) \;\operatorname{d}\!t $
Exercice 91 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : pour $ \alpha > 0 $ et $ \beta > 0 $, nature de l'intégrale $ \displaystyle \int_2^{+\infty} \dfrac{1}{x^{\alpha} \, \ln^{\beta}(x)} \;\operatorname{d}\!x $ (intégrale de Bertrand)
Exercice 92 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : nature de l'intégrale $ \displaystyle \int_2^{+\infty} \dfrac{1}{\ln(x)^{\ln(\ln(x))}} \;\operatorname{d}\!x $
Exemple d'une fonction $ f \in \mathcal{C}^0\left([0,+\infty[,\mathbf{R}\right) $, positive et intégrable telle que $f(x)$ ne tend pas vers $ 0 $ lorsque $x$ ne tend pas vers $+\infty$
Si une fonction $ f \in \mathcal{CM}\left([0,+\infty[,\mathbf{R}\right) $ est positive, intégrable et admet une limite $\ell$ en $+\infty$, alors $\ell=0$.
Définition d'un intégrale convergente sur un intervalle quelconque
L'intégrale $ \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x}} \;\operatorname{d}\!x $ converge et vaut 2.
L'intégrale $ \displaystyle \int_0^1 \ln(x) \;\operatorname{d}\!x $ converge et vaut $-1$.
L'intégrale $ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \;\operatorname{d}\!x $ converge.
L'intégrale $ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x \;\operatorname{d}\!x $ diverge bien que $ \displaystyle \int_{-A}^{A} x \;\operatorname{d}\!x \xrightarrow[A \rightarrow +\infty]{} 0 $.
Intégrale d'une fonction positive sur un intervalle quelconque
Propriétés de l'intégrale sur un intervalle quelconque : linéarité, positivité, croissance, inégalité triangulaire, relation de Chasles, séparation pour les fonctions continues
La somme d'une intégrale convergente et d'une intégrale divergente est une intégrale divergente.
Intégrales de Riemann au voisinage de $ 0^+ $
Le faux problème de convergence en une extrémité réelle
L'intégrale $ \displaystyle \int_0^1 \dfrac{\sin(x)}{x} \;\operatorname{d}\!x $ converge.
Convergence et valeur de l'intégrale $ \displaystyle \int_1^{+\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2} \;\operatorname{d}\!x $

[89] - Cours du mercredi 6 novembre (2h)

Intégration sur un intervalle quelconque

Exercice 60 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : pour $ \beta $ un nombre réel fixé, convergence et valeur de $ \displaystyle \int_2^{+\infty} \dfrac{1}{x \, \ln^{\beta}(x)} \;\operatorname{d}\!x $ (intégrale de Bertrand)
Exercice 61 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : nature de l'intégrale $ \displaystyle \int_0^{+\infty} x^2 e^{-x} \;\operatorname{d}\!x $
Exercice 62 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : pour $ \lambda > 0 $ fixé, convergence et valeur de l'intégrale $ \displaystyle \int_0^{+\infty} \sin(t) e^{- \lambda t } \;\operatorname{d}\!t $ (transformée de Laplace)
Définition d'une fonction intégrable sur $ [a,+\infty[ $
Si une fonction $ f $ est intégrable sur $ [a,+\infty[ $ alors l'intégrale $ \displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(t) \;\operatorname{d}\!t $ converge.
L'intégrale $ \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{\sin(t)}{t} \;\operatorname{d}\!t $ est convergente, mais non-absolument convergente.
Théorème de comparaison sur $ [a,+\infty[ $
La fonction $ t \longmapsto e^{-t^2} $ est intégrable sur $ [0,+\infty[ $

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 87 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : règle $ t^{\alpha} $ en $ + \infty $
Exercice 88 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : nature de l'intégrale $ \displaystyle \int_{0}^{+\infty} t^3 \, e^{-t^2} \;\operatorname{d}\!t $
Exercice 89 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : nature de l'intégrale $ \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \arctan\left(\dfrac{1}{t}\right) - \dfrac{1}{t} \;\operatorname{d}\!t $
Exercice 90 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : pour $ \alpha $ un réel, nature de l'intégrale $ \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \ln\left(1 + \dfrac{1}{t^{\alpha}} \right) \;\operatorname{d}\!t $
Exercice 91 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : pour $ \alpha > 0 $ et $ \beta > 0 $, nature de l'intégrale $ \displaystyle \int_2^{+\infty} \dfrac{1}{x^{\alpha} \, \ln^{\beta}(x)} \;\operatorname{d}\!x $ (intégrale de Bertrand)
Exercice 92 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : nature de l'intégrale $ \displaystyle \int_2^{+\infty} \dfrac{1}{\ln(x)^{\ln(\ln(x))}} \;\operatorname{d}\!x $
Étudier la partie 6.4 "Du comportement asymptotique d'une fonction intégrale en $ + \infty $" du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque"

[87] - Cours du lundi 4 novembre (4h)

Espaces vectoriels normés 2

Exercice 56 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : les deux composantes connexes de $ \mathbf{GL}_n(\mathbf{R}) $ sont $ \mathbf{GL}_n(\mathbf{R})^+ $ et $ \mathbf{GL}_n(\mathbf{R})^- $.
Exercice 60 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : les $\mathbf{R}$-espaces vectoriels normés $ \left( \mathbf{R} , | \:\cdot\: | \right) $ et $ \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ ne sont pas homéomorphes.

Intégration sur un intervalle quelconque

Survol de la construction de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment
Définition d'une fonction continue par morceaux sur un segment
Définition de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment
Propriétés de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment
Pas de propriété de séparation pour l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment
Pas de théorème fondamental de l'analyse pour l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment
Étude de la limite éventuelle de $ \displaystyle \int_{\varepsilon}^1 \dfrac{1}{\sqrt{t}} \;\operatorname{d}\!t $ lorsque $ \varepsilon $ tend vers $ 0^+ $
Étude de la limite éventuelle de $ \displaystyle \int_{0}^{A} \dfrac{1}{1+t^3} \;\operatorname{d}\!t $ lorsque $ A $ tend vers $ +\infty $
Étude de la limite éventuelle de $ \displaystyle \int_{\varepsilon}^{2 \varepsilon} \dfrac{1}{t} \;\operatorname{d}\!t $ lorsque $ \varepsilon $ tend vers $ 0^+ $
Définition d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle
L'ensemble $ \mathcal{CM}(I,\mathbf{K}) $ des fonctions continues par morceaux est une sous-algèbre de $ \mathbf{K}^I $
Définition de la convergence de l'intégrale $ \displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(t) \;\operatorname{d}\!t $ pour $ f \in \mathcal{CM}([a,+\infty[,\mathbf{K}) $ et valeur de l'intégrale $ \displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(t) \;\operatorname{d}\!t $ en cas de convergence
Convergence et valeur de l'intégrale $ \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-2t} \;\operatorname{d}\!t $
Divergence de l'intégrale $ \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \sin(t) \;\operatorname{d}\!t $
Divergence de l'intégrale $ \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{t} \;\operatorname{d}\!t $
Si $ f \in \mathcal{CM}([a,+\infty[,\mathbf{K}) $ et $ b > a $ alors les intégrales $ \displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(t) \;\operatorname{d}\!t $ et $ \displaystyle \int_{b}^{+\infty} f(t) \;\operatorname{d}\!t $ ont même nature.
Intégrales de Riemann au voisinage de $ +\infty $
Intégrale d'une exponentielle au voisinage de $ +\infty $
Queue d'une intégrale convergente sur $ [a,+\infty[ $ et primitive de l'opposée de l'intégrande de limite nulle en $ + \infty $
Critère de convergence pour les intégrales de fonctions positives
Si $ f \in \mathcal{CM}([a,+\infty[,\mathbf{R}) $ est positive, alors on pose \[ \int_a^{+\infty} f(t) \;\operatorname{d}\!t := \sup \left\{ \int_a^x f(t) \;\operatorname{d}\!t \;:\; x \geqslant a \right\} \in \overline{\mathbf{R}} \] de sorte que \[ \forall \, x \geqslant a \quad \int_a^x f(t) \;\operatorname{d}\!t \leqslant \int_a^{+\infty} f(t) \;\operatorname{d}\!t \]
Théorème de domination pour les fonctions positives sur $ [a,+\infty[ $
L'intégrale $ \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{t} \;\operatorname{d}\!t $ converge.
L'intégrale $ \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\operatorname{arctan}\left( t^2 \right)}{1+t^3} \;\operatorname{d}\!t $ converge.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier les parties 1 "Survol de la construction de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment", 2 "Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment"
Apprendre le cours du jour en prêtant attention aux hypothèses de régularité et de signe des résultats
Exercice 53 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : une composée de fonctions continues par morceaux n'est pas nécessairement continue par morceaux
Exercice 60 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : pour $ \beta $ un nombre réel fixé, convergence et valeur de $ \displaystyle \int_2^{+\infty} \dfrac{1}{x \, \ln^{\beta}(x)} \;\operatorname{d}\!x $ (intégrale de Bertrand)
Exercice 61 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : nature de l'intégrale $ \displaystyle \int_0^{+\infty} x^2 e^{-x} \;\operatorname{d}\!x $
Exercice 62 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : pour $ \lambda > 0 $ fixé, convergence et valeur de l'intégrale $ \displaystyle \int_0^{+\infty} \sin(t) e^{- \lambda t } \;\operatorname{d}\!t $ (transformée de Laplace)

[83] - Cours du vendredi 18 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 2

Relation d'équivalence « être reliés par un chemin tracé dans $ A $ » sur une partie $ A $ d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel normé
Exercice 42 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : $ \mathbf{GL}_n(\mathbf{C}) $ est connexe par arcs.
Exercice 43 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : $ \mathbf{GL}_n(\mathbf{R}) $ n'est pas connexe par arcs.
Trois propriétés des chemins joignant des points dans une partie d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel normé
Une partie convexe d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel normé est connexe par arcs.
Une boule d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel normé est connexe par arcs.
Définition d'une partie étoilée d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel
Une partie étoilée d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel normé est connexe par arcs.
La partie $ \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \::\: | xy | \leqslant 1 \} $ de $ \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ est étoilée.
Rappel sur les relations d'équivalences
Définition d'une composante connexe par arcs d'une partie $ A $ d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel normé
Les composantes connexes par arcs d'une partie $ A $ d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel normé sont des parties connexes par arcs, qui forment une partition de $ A $.
Composantes connexes de $\mathbf{R}^*$
Une partie de $ \mathbf{R} $ est connexe par arcs si seulement si elle est un intervalle.
Image continue d'une partie connexe par arcs
$ \mathbf{SO}_2(\mathbf{R}) $ est connexe par arcs
Généralisation du théorème des valeurs intermédiaires
Les matrices de transvection et les matrices de dilatation engendrent le groupe $ \mathbf{GL}_n(\mathbf{K}) $.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 56 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : les deux composantes connexes de $ \mathbf{GL}_n(\mathbf{R}) $ sont $ \mathbf{GL}_n(\mathbf{R})^+ $ et $ \mathbf{GL}_n(\mathbf{R})^- $.
Exercice 60 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : les $\mathbf{R}$-espaces vectoriels normés $ \left( \mathbf{R} , | \:\cdot\: | \right) $ et $ \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ ne sont pas homéomorphes.
Construire un exemple pertinent d'application de la généralisation du théorème des valeurs intermédiaires.
Étudier les exercices 1 (image réciproque d'un compact par une application continue), 2 (parties compactes de $ \mathbf{R}^2 $), 3 (somme de deux parties compacts), 4 (composantes connexes d'un ouvert), 5 (ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite), 6 (diamètre et intersection d'une suite décroissante de compacts), 7 (un théorème de point fixe), 8 (application dilatante) et 11 (propriété de Borel-Lebesgue) du TD "Espaces vectoriels normés 2".
Étudier et apprendre le polycopié de cours "Révisions sur l'analyse asymptotique". La table des dix développements limités usuels devra être parfaitement maîtrisée.
DM4 : topologie matricielle, théorème de Cayley-Hamilton, théorème de Riesz.

[81] - TD du jeudi 17 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 2

Exercice 9 du TD "Espaces vectoriels normés 2": toutes les normes d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel normé de dimension finie sont équivalentes.
Exercice 10 du TD "Espaces vectoriels normés 2": théorème de d'Alembert-Gauß par voie topologique

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 42 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : $ \mathbf{GL}_n(\mathbf{C}) $ est connexe par arcs.
Exercice 43 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : $ \mathbf{GL}_n(\mathbf{R}) $ n'est pas connexe par arcs.

[79] - Cours du jeudi 17 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 2

Deuxième partie de l'exercice 15 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : un compact de $ \left( \mathbf{R}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ est inclus dans une boule fermée de rayon minimal.
Exercice 24 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : la sphère unité est compacte si et seulement si la boule unité fermée l'est.
Théorème des bornes atteintes
Définition d'une fonction coercive
Une fonction $ f \colon \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R} $ continue et coercive possède un minimum.
L'application $ \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R} \;;\; x \mapsto x^4 + y^4 - 4 xy $ est continue, coercive et atteint son minimum en $(1,1)$ et en $(-1,-1)$.
Théorème de Heine
Définition d'un arc joignant deux points tracé sur une partie d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel normé
Définition d'une partie connexe par arcs dans un $\mathbf{K}$-espace vectoriel normé
L'intersection de deux parties connexes par arcs n'est pas nécessairement connexe par arcs.
Une réunion de deux parties connexes par arcs disjointes peut être connexe par arcs.
L'ensemble $ \mathbf{C}^* $ est connexe par arcs.

[77] - Cours du mercredi 16 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 2

Exercice 3 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite $ (u_n)_{n \in \mathbf{N}} $ de réels tels que $ u_{n+1} - u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} 0 $ est un intervalle de $ \mathbf{R} $.
Première partie de l'exercice 15 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : épaississement d'un compact de $ \left( \mathbf{R}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $
Un fermé relatif d'un compact est compact.
Le groupe spécial orthogonal $ \left( \mathcal{SO}_n(\mathbf{R}) , \times \right) $ est une partie compacte de $ \left( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $.
Description du groupe $ \left( \mathcal{SO}_2(\mathbf{R}) , \times \right) $
Une suite d'éléments d'un compact qui possède une unique valeur d'adhérence converge.
Convergence d'une suite $ \left( u_n \right)_{n \in \mathbf{N}} $ de vecteurs de $ \left( \mathbf{K}^d, ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ qui vérifie $ u_n + \dfrac{1}{2} \, u_{2n} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{||\:\cdot\:||_{\infty}} 0_{\mathbf{K}^d} $ converge vers le vecteur $ 0_{\mathbf{K}^d} $.
Le produit d'un nombre fini de compacts est compact.
La distance entre deux compacts disjoints est strictement positive.
L'image continue d'un compact est compacte.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier et apprendre la démonstration du théorème 23 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : le produit d'un nombre fini de compacts est compact.
Résoudre la deuxième partie de l'exercice 15 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : un compact de $ \left( \mathbf{R}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ est inclus dans une boule fermée de rayon minimal.
Résoudre l'exercice 24 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : la sphère unité est compacte si et seulement si la boule unité fermée l'est.

[75] - Cours du lundi 14 octobre (4h)

Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles

Pour tout $ p \geqslant 1 $, définition de la norme $ || \:\cdot\: ||_p $ sur $ \mathbf{R}^n $
Pour tout $ x \in \mathbf{R}^n $, $ || x ||_p \xrightarrow[p \rightarrow +\infty]{} || x ||_{\infty} $
Résoudre l'exercice 16 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": étude d'une suite récurrente dont la fonction sous-jacente est contractante
Résoudre l'exercice 17 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": La fonction \[ \left| \begin{array}{rcl} \;\mathbf{R} & \rightarrow & \mathbf{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{cl} e^{-1/x^2} & \text{si } x>0 \\ 0 & \text{sinon} \end{array}\right. \end{array}\right. \] est infiniment dérivable sur $\mathbf{R}$.
Résoudre l'exercice 32 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction continue et convexe sur un segment $S$ atteint son maximum en une des extrémités de $S$.

Espaces vectoriels normés 2

Caractérisation géométrique de la notion de valeur d'adhérence pour une suite, dans un espace vectoriel normé
Définition d'une partie d'un espace vectoriel normé vérifiant la propriété de Bolzano-Weierstraß
Définition d'une partie compacte d'un espace vectoriel normé
Une union finie de compacts d'un espace vectoriel normé est compacte, en particulier une partie finie d'un espace vectoriel normé est compacte.
Une partie compacte d'un espace vectoriel normé est fermée et bornée.
La sphère unité de $ \left( \mathbf{R}[X] , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ est fermée et bornée, mais n'est pas compacte.
$ \mathbf{GL}_n( \mathbf{R} ) $ n'est pas une partie compacte de $ \left( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $.
Généralisation du théorème de Bolzano-Weierstraß à $ \left( \mathbf{R}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $
Une partie fermée et bornée de $ \left( \mathbf{R}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ est compacte.
La partie $ \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \::\: x^2 + 2 \, y^2 \leqslant 1 \} $ de $ \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ est compacte.
Une partie fermée et bornée de $ \left( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ est compacte.
Le groupe orthogonal $ \left( \mathcal{O}_n(\mathbf{R}) , \times \right) $ est une partie compacte de $ \left( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Résoudre l'exercice 3 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite $ (u_n)_{n \in \mathbf{N}} $ de réels tels que $ u_{n+1} - u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} 0 $ est un intervalle de $ \mathbf{R} $.
Résoudre l'exercice 15 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : épaississement d'un compact de $ \left( \mathbf{R}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ et un compact de $ \left( \mathbf{R}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ est inclus dans une boule fermée de rayon minimal.

[71] - Cours du vendredi 11 octobre (2h)

Compléments sur le DM3 : épreuve 1 du concours Mines-Ponts 2017 en filière PSI

Définition d'une chaîne de Markov homogène (à espace d'états fini)
Matrice de transition d'une chaîne de Markov homogène
Interprétation probabiliste des puissances de la matrice de transition d'une chaîne de Markov homogène

Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles

Exercice 21 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": étude asymptotique des sommes $ \displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k} $, $ \displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \sin\left(\dfrac{1}{k}\right) $ et $ \displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \sin^2\left(\dfrac{1}{k}\right) $
Exercice 30 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": pour tous $x_1>0,\ldots,x_n>0$, $\displaystyle \left( \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{x_i} \right) \, \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \geqslant n^2 $
Exercice 34 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction $ f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} $ convexe et majorée est constante.
Exercice 38 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": inégalité de Jensen pour les fonctions
Exercice 42 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": inégalité de Young, inégalité de Hölder et inégalité de Minkowski.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Résoudre l'exercice 16 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": étude d'une suite récurrente dont la fonction sous-jacente est contractante
Résoudre l'exercice 17 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": La fonction \[ \left| \begin{array}{rcl} \;\mathbf{R} & \rightarrow & \mathbf{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{cl} e^{-1/x^2} & \text{si } x>0 \\ 0 & \text{sinon} \end{array}\right. \end{array}\right. \] est infiniment dérivable sur $\mathbf{R}$.
Résoudre l'exercice 32 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction continue et convexe sur un segment $S$ atteint son maximum en une des extrémités de $S$.
Résoudre l'exercice 39 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une inégalité associée aux matrices bistochastiques

[69] - TD du jeudi 10 octobre (2h)

DM3 : épreuve 1 du concours Mines-Ponts 2017 en filière PSI

Un exemple de chaînes de Markov
Convergence de suites de matrices
Matrices stochastiques
Un exemple de loi stationnaire pour une chaîne de Markov

Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles

Exercice 15 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": si $ f \colon [0,1] \rightarrow \mathbf{R} $ est une fonction dérivable sur $[0,1]$ telle que $f(0)=0$ et $f(1)=1$, alors pour tout $ n \in \mathbf{N}^* $, il existe des réels $ 0 < x_1 < \ldots < x_n < 1 $ tels que $ \displaystyle \sum_{k=1}^n f'(x_k) = n $.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Apprendre les parties 5. "Fonctions de classe $\mathcal{C}^k$", 6. "Généralités sur les fonctions convexes", 7. "Fonctions convexes dérivables, deux fois dérivables", 8. "Quatre inégalités classiques"
Résoudre l'exercice 21 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": étude asymptotique des sommes $ \displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k} $, $ \displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \sin\left(\dfrac{1}{k}\right) $ et $ \displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \sin^2\left(\dfrac{1}{k}\right) $
Résoudre l'exercice 26 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": étude asymptotique de la somme $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^{1-\alpha}} $ où $ \alpha \in \;]0,1[ $.
Résoudre l'exercice 30 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": pour tous $x_1>0,\ldots,x_n>0$, $\displaystyle \left( \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{x_i} \right) \, \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \geqslant n^2 $
Résoudre l'exercice 34 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction $ f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} $ convexe et majorée est constante.

[67] - Cours du jeudi 10 octobre (2h)

Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles

Exercice 8 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une condition suffisante pour qu'une fonction continue $ f \colon \mathbf{R}_+ \rightarrow \mathbf{R}_+ $ possède un point fixe
Exercice 3 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction $ f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} $ continue et périodique est bornée.
Si $ (a,b) \in \mathbf{R}^2 $, détermination des extrema de la fonction $ f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} \;;\; x \mapsto a \cos(x) + b \sin(x) $
Exercice 5 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction $ f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} $ continue et ayant pour limite $+\infty$ en $\pm \infty$ admet un minimum.
Exercice 12 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction $ f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} $ continue et ayant pour limite $+0$ en $\pm \infty$ est uniformément continue.
Exercice 23 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction $ f \colon [0,1] \rightarrow \mathbf{R} $ dérivable, nulle en zéro et dont la dérivée ne s'annule en aucun point est de signe constant.
La suite de terme général $ \displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k} $ converge vers $\ln(2)$.

[65] - Cours du mercredi 9 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 1

Exercice 129 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : continuité de l'application $ f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}^3 \;;\; t \mapsto \left( \cos(t) , \dfrac{\arctan(t)}{t^2+1} , \dfrac{e^t}{2+\sin(t)} \right) $
Une suite réelle bornée, qui possède une unique valeur d'adhérence, est convergente.
Exercice 132 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : continuité d'une application et caractère fermé de son graphe
Caractérisation de la continuité via les ouverts
Caractérisation de la continuité via les fermés
Propriétés topologiques des parties \[ A = \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \;:\; y^{2} + x y + y = x^{3} + x^2 + x + 1 \} \qquad\text{et}\qquad B = \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \;:\; y^{2} + x y + y > x^{3} + x^2 + x + 1 \} \] de $ \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $
Applications uniformément continues
L'uniforme continuité implique la continuité.
L'application $ f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} \;;\; x \mapsto x^2 $ est continue sur $\mathbf{R}$ mais non-uniformément continue sur $\mathbf{R}$.
Applications lipschitziennes
Le caractère lischitzien implique l'uniforme continuité.
Si $ \left( E , ||\:\cdot\:|| \right) $ est un espace vectoriel normé alors l'application $ ||\:\cdot\:|| \colon ( \left( E , ||\:\cdot\:|| \right) \rightarrow ( \mathbf{R} , |\:\cdot\:| ) \;;\; x \mapsto ||x|| $ est 1-lipschitzienne (seconde inégalité triangulaire).
Si $A$ est une partie non vide d'un espace vectoriel normé $ \left( E , ||\:\cdot\:|| \right) $ alors l'application \[ \operatorname{d}(\:\cdot\:,A) \colon E \rightarrow \mathbf{R} \;;\; x \mapsto \inf_{a \in A} || x - a || \] est 1-lipschitzienne.

Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles

Exercice 10 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": théorème de Borsuk-Ulam en dimension 1

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Apprendre le polycopié de cours "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles"
Résoudre l'exercice 8 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une condition suffisante pour qu'une fonction continue $ f \colon \mathbf{R}_+ \rightarrow \mathbf{R}_+ $ possède un point fixe
DM3 : chaînes de Markov, convergence de suites de matrices, matrices stochastiques

[63] - Cours du lundi 7 octobre (4h)

Espaces vectoriels normés 1

Exercice 84 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : adhérence d'une boule ouverte
Exercice 89 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : propriétés topologiques de $\mathcal{S}_n(\mathbf{R})$ et de $GL_n(\mathbf{R})$
Exercice 90 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : propriétés topologiques de $ \{ f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \::\: f(1)=1 \} $ pour les normes $ ||\:\cdot\:||_1 $ et $ ||\:\cdot\:||_{\infty} $
Exercice 97 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : densité de $GL_n(\mathbf{R})$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$
Exercice 98 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : alternative topologique des hyperplans
Exercice 108 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : adhérence de $ \{ f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \::\: f > 0 \} $ et intérieur de $ \{ f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \::\: f(0)=0 \} $ dans $ \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) $ pour la norme $ ||\:\cdot\:||_{\infty} $
Définition de la notion de limite pour une fonction
Unicité de la limite d'une fonction
Caractérisation séquentielle de la notion de limite
La fonction $ f \colon \mathbf{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \rightarrow \mathbf{R} \;;\; (x,y) \mapsto \dfrac{xy}{x^2+y^2} $ n'admet aucune limite au point $ (0,0) $.
Composition de limites de fonctions
Limite d'une fonction dans un espace produit
Opérations algébriques sur les limites de fonctions
Définition de la continuité d'une fonction
Opérations algébriques sur les fonctions continues
Composition de fonctions continues
Continuité d'une fonction à valeurs dans un espace produit
Caractérisation séquentielle de la continuité
L'application $ \operatorname{det} \colon \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \rightarrow \mathbf{R} \;;\; A \mapsto \operatorname{det}(A) $ est continue.
Prolongement d'identités par continuité et densité
Une application $f$ continue de $ \mathbf{R} $ dans $ \mathbf{R} $ qui est un endomorphisme du groupe $ \left( \mathbf{R} , + \right) $ est linéaire.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 129 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : continuité de l'application $ f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}^3 \;;\; t \mapsto \left( \cos(t) , \dfrac{\arctan(t)}{t^2+1} , \dfrac{e^t}{2+\sin(t)} \right) $
Exercice 132 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : continuité d'une application et caractère fermé de son graphe

[59] - Cours du vendredi 4 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 1

Définition d'une valeur d'adhérence de suite
Théorème de Bolzano-Weierstraß
Toute suite bornée de $ \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ possède une valeur d'adhérence.
La suite $ \left( X^n \right)_{n \in \mathbf{N}} $ de $ \left( \mathbf{R}[X] , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ est bornée mais elle ne possède pas de valeur d'adhérence.
Définitions d'une partie ouverte et d'une partie fermée d'un espace vectoriel normé
Un singleton est une partie fermée.
Il existe des parties d'un espace vectoriel normé qui ne sont ni ouvertes, ni fermées.
Propriétés topologiques des boules
Opérations sur les ouverts et les fermés
Une sphère est une partie fermée
Dans un espace vectoriel normé produit, un produit d'ouverts est un ouvert et un produit de fermés est un fermé.
Définition d'un voisinage d'un point
Une partie est ouverte si et seulement si elle est un voisinage de chacun de ses points.
Opérations sur les voisinages
Définition de l'adhérence d'une partie
L'adhérence d'une partie est le plus petit fermé qui la contient.
Une partie est fermée si et seulement si elle est égale à son adhérence.
Caractérisations séquentielles de l'adhérence et des fermés
La partie $ \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \::\; x=y \} $ est fermée dans $ \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier les parties 3.8 "Densité d'une partie", 3.9 "Intérieur d'une partie", 3.10 "Frontière d'une partie" et 3.11 "Topologie induite" du du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1".
Exercice 84 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : adhérence d'une boule ouverte
Exercice 89 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : propriétés topologiques de $\mathcal{S}_n(\mathbf{R})$ et de $GL_n(\mathbf{R})$
Exercice 90 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : propriétés topologiques de $ \{ f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \::\: f(1)=1 \} $ pour les normes $ ||\:\cdot\:||_1 $ et $ ||\:\cdot\:||_{\infty} $
Exercice 97 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : densité de $GL_n(\mathbf{R})$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$
Exercice 98 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : alternative topologique des hyperplans
Exercice 108 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : adhérence de $ \{ f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \::\: f > 0 \} $ et intérieur de $ \{ f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \::\: f(0)=0 \} $ dans $ \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) $ pour la norme $ ||\:\cdot\:||_{\infty} $

[57] - TD du jeudi 3 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 1

Exercice 51 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : la convergence uniforme d'une suite de fonctions implique sa convergence simple, mais la réciproque est fausse.
Exercice 52 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : étude d'une suite de fonctions qui converge pour la norme $||\:\cdot\:||_1$ et qui diverge pour la norme $||\:\cdot\:||_{\infty}$.
Exercice 58 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : si $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{C}) $ est diagonalisable avec un spectre inclus dans le disque unité ouvert, alors la suite de ses puissances converge vers la matrice nulle pour la norme $||\:\cdot\:||_{\infty}$.
Exercice 1 du TD "Espaces vectoriels normés 1": comparaison de deux normes sur $ \mathbf{R}[X] $
Exercice 6 du TD "Espaces vectoriels normés 1": les boules unités ouvertes caractérisent les normes.
Exercice 7 du TD "Espaces vectoriels normés 1": inégalités de Young et normes $||\:\cdot\:||_p$ sur $ \mathbf{R}^n $.
Exercice 8 du TD "Espaces vectoriels normés 1": normes $||\:\cdot\:||_p$ sur $ \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) $.
Exercice 27 du TD "Espaces vectoriels normés 1": norme associée à une jauge.

[55] - Cours du jeudi 3 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 1

Exercice 29 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : deux boules égales ont nécessairement même centre et même rayon.
Exercice 35 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : stabilité d'une partie convexe d'un $\mathbf{R}$-espace vectoriel par combinaison linéaire convexe (les coefficients sont positifs ou nuls, de somme égale à 1)
Définition d'une partie bornée d'un espace vectoriel normé
Définition d'une suite bornée d'un espace vectoriel normé
La suite de fonctions $ \left( f_n \colon [0,1] \rightarrow \mathbf{R} \;;\; x \mapsto \sqrt{n} \; x^n \right)_{n \in \mathbf{N}} $ de $ \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R})$ est bornée pour la norme $||\:\cdot\:||_1$ et non bornée pour la norme $||\:\cdot\:||_{\infty}$
Norme produit sur un produit d'un nombre fini d'espaces vectoriels normés
Les boules d'un espace produit sont des produits de boules.
Définition d'une suite convergente
Une suite $ (u_n)_{n \in \mathbf{N}} $ d'éléments d'un espace vectoriel normé $ (E,N) $ converge vers un vecteur $a$ de $E$ si et seulement si la suite $ (N(u_n-a))_{n \in \mathbf{N}} $ converge vers $0$ dans $\mathbf{R}$.
Nature de la suite de terme général $ \left( \dfrac{\ln(n)}{n} , \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \right) $ dans $\mathbf{R}^2$ muni de la norme $||\:\cdot\:||_{\infty}$
Nature de la suite de terme général $ X^n $ dans $\mathbf{R}[X]$ muni de la norme $||\:\cdot\:||_{\infty}$
Unicité de la limite d'une suite convergente
Une suite convergente est bornée.
Si $x$ est un vecteur d'un espace vectoriel normé, nature de la suite de terme général $ \dfrac{1}{n} \, x $ et nature de la suite de terme général $ n x $
Opérations sur les suites convergentes
Convergence d'une suite dans un espace produit muni de la norme produit
Définition d'une suite extraite d'une suite
Lemme clé pour les suites extraites
Dans un espace vectoriel normé, si une suite de vecteur converge vers un vecteur $a$ alors toute suite extraite de cette suite converge également vers le vecteur $a$

[53] - Cours du mercredi 2 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 1

Exercice 11 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : il n'existe aucune norme multiplicative sur $ \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) $ et exemple d'une norme de $\mathbf{R}$-algèbre sur $ \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) $
Exercice 12 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : normes usuelles sur $\mathbf{K}[X]$ : $||\:\cdot\:||_1$ , $||\:\cdot\:||_2$ , $||\:\cdot\:||_{\infty}$
Norme de la convergence en moyenne sur $ \mathcal{C}^0([a,b],\mathbf{K}) $
Norme de la convergence en moyenne quadratique sur $ \mathcal{C}^0([a,b],\mathbf{K}) $
Comparaison des normes $||\:\cdot\:||_1$ et $||\:\cdot\:||_2$ sur $ \mathcal{C}^0([a,b],\mathbf{K}) $
Définition de la distance associée à une norme
Propriétés de la distance associée à une norme
Calcul des distances entre les points $(1,1)$ et $(4,2)$ de $\mathbf{R}^2$ pour les normes $||\:\cdot\:||_1$ , $||\:\cdot\:||_2$ , $||\:\cdot\:||_{\infty}$
Définitions d'une boule ouverte, d'une boule fermée et d'une sphère dans espace vectoriel normé
Représentations graphiques des boules unités de $\mathbf{R}^2$ pour les normes $||\:\cdot\:||_1$ , $||\:\cdot\:||_2$ , $||\:\cdot\:||_{\infty}$
Représentation graphique d'une boule fermée dans $ \mathcal{C}^0([a,b],\mathbf{K}) $ pour la norme de la convergence uniforme
Définition d'un segment dans un $\mathbf{R}$-espace vectoriel
Définition d'une partie convexe d'un $\mathbf{R}$-espace vectoriel
Les boules d'un espace vectoriels normés sont des parties convexes.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 29 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : deux boules égales ont nécessairement même centre et même rayon.
Exercice 35 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : stabilité d'une partie convexe d'un $\mathbf{R}$-espace vectoriel par combinaison linéaire convexe (les coefficients sont positifs ou nuls, de somme égale à 1)

[51] - Cours du lundi 30 septembre (4h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

Exercice 103 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": une inégalité entre la trace et le déterminant d'une matrice réelle diagonalisable, dont toutes les valeurs propres sont positives.
Exercice 104 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": calcul des puissances de la matrice $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ d'une part en diagonalisant la matrice, d'autre part à l'aide de la formule du binôme de Newton
Exercice 123 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": caractérisation de la nilpotence d'une matrice via les traces de ses puissances dans le cas où le corps de base est $ \mathbf{C} $

Espaces vectoriels normés 1

Définition d'une norme sur un $\mathbf{K}$-espace vectoriel
Norme du vecteur nul
Norme de l'opposé d'un vecteur
Seconde inégalité triangulaire
Inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace préhilbertien et cas d'égalité
Inégalité de Minkowski dans un espace préhilbertien et cas d'égalité
Norme associée à un produit scalaire
Normes usuelles sur $\mathbf{K}^n$ : $||\:\cdot\:||_1$ , $||\:\cdot\:||_2$ , $||\:\cdot\:||_{\infty}$
Comparaison des trois normes usuelles sur $\mathbf{K}^n$
L'application \[ ||\:\cdot\:|| \;\colon\; \mathbf{R}_n[X] \rightarrow \mathbf{R}_+ \;;\; P \mapsto \sqrt{ \sum_{i=0}^n P(i)^2 } \] est une norme sur $\mathbf{R}_n[X]$.
Définition d'une application bornée d'un ensemble non vide $ A $ à valeurs dans $\mathbf{K}$
La partie $ \mathcal{B}(A,\mathbf{K}) $ de $\mathbf{K}^A$ est un sous-espace vectoriel
Passage à la borne supérieure
Norme de la convergence uniforme sur $ \mathcal{B}(A,\mathbf{K}) $

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 11 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : il n'existe aucune norme multiplicative sur $ \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) $ et exemple d'une norme de $\mathbf{R}$-algèbre sur $ \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) $
Exercice 12 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : normes usuelles sur $\mathbf{K}[X]$ : $||\:\cdot\:||_1$ , $||\:\cdot\:||_2$ , $||\:\cdot\:||_{\infty}$
Exercice 13 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : Comparaison des trois normes usuelles sur $\mathbf{K}[X]$

[47] - Cours du vendredi 27 septembre (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

Caractérisation de la diagonalisabilité via le scindage du polynôme caractéristique et la multiplicité de ses racines
Trace et déterminant d'un endomorphisme/d'une matrice diagonalisable
Définition d'une matrice trigonalisable
Toute matrice triangulaire supérieure est semblable à une matrice triangulaire inférieure et réciproquement.
Influence du corps de base sur la trigonalisabilité d'une matrice
Définition d'un endomorphisme trigonalisable
Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si sa matrice dans une base quelconque est trigonalisable.
Une matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) $ est trigonalisable si et seulement si l'endomorphisme de $ \mathbf{K}^n $ canoniquement associé est trigonalisable.
Caractérisation de la trigonalisabilité via le polynôme caractéristique
Trigonalisabilité dans le cas où le corps de base est $\mathbf{C}$
Trigonalisation de la matrice $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $
Définition d'une matrice nilpotente et du nilindice d'une telle
Une matrice triangulaire stricte est nilpotente
Définition d'un endomorphisme nilpotent et du nilindice d'un tel
Un endomorphisme est nilpotent si et seulement si sa matrice dans une base quelconque est nilpotente.
Une matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) $ est nilpotente si et seulement si l'endomorphisme de $ \mathbf{K}^n $ canoniquement associé est nilpotent.
Majoration du nilindice
Caractérisation de la nilpotence via le polynôme caractéristique
La seule matrice nilpotente et diagonalisable est la matrice nulle.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 103 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": une inégalité entre la trace et le déterminant d'une matrice réelle diagonalisable, dont toutes les valeurs propres sont positives.
Exercice 104 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": calcul des puissances de la matrice $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$
Exercice 123 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": caractérisation de la nilpotence d'une matrice via les traces de ses puissances dans le cas où le corps de base est $ \mathbf{C} $

[45] - TD du jeudi 26 septembre (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

Exercice 4 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": la matrice $ \begin{pmatrix} 3 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} $ n'est pas diagonalisable sur $ \mathbf{R} $, est diagonalisable sur $ \mathbf{C} $ et est semblable à la matrice $ \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $.
Exercice 6 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de l'application : \[ f \colon \mathcal{M}_2(\mathbf{R}) \rightarrow \mathcal{M}_2(\mathbf{R}) \;;\; M \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \, M - M \, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Exercice 15 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": droites stables de l'endomorphisme de $ \mathbf{R}^3 $ canoniquement associé à la matrice $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} $
Exercice 18 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de l'application : \[ f \colon \mathbf{R}_n[X] \rightarrow \mathbf{R}_n[X] \;;\; P \mapsto n^2 \, X \, P - \left( X^2 + X \right) \, P' - X^3 \, P'' \]
Exercice 20 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": une matrice de rang 1 est diagonalisable si et seulement si sa trace est non nulle.
Exercice 23 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": résolution de l'équation \[ M^3 - 2 M = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 10 & 4 \end{pmatrix} \] d'inconnue $ M \in \mathcal{M}_2(\mathbf{R}) $
Exercice 37 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": une matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) $ possède une valeur propre réelle si $ n $ est impaire, mais ne possède pas nécessairement de valeur propre réelle si $ n $ est pair.
Exercice 41 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": densité de $ \mathbf{GL}_n(\mathbf{C}) $ dans $ \mathcal{M}_n(\mathbf{C}) $

[43] - Cours du jeudi 26 septembre (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

Exercice 83 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de l'inverse d'une matrice inversible
Exercice 84 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": polynôme caractéristique du produit de deux matrices
Définition d'un endomorphisme diagonalisable
Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si sa matrice dans une base quelconque est diagonalisable.
Une matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) $ est diagonalisable si et seulement si l'endomorphisme de $ \mathbf{K}^n $ canoniquement associé est diagonalisable.
Projecteurs et symétries sont diagonalisables.
Caractérisation de la diagonalisabilité via la somme directe des sous-espaces propres
Caractérisation de la diagonalisabilité via la somme directe des dimensions des sous-espaces propres
Diagonalisabilité et éléments propres de l'endomorphisme \[ f \colon \mathbf{K}^n \rightarrow \mathbf{K}^n \;;\; (x_1,\ldots,x_n) \mapsto \left( \sum_{i=1}^n x_i , \ldots , \sum_{i=1}^n x_i \right) \]
Si le polynôme caractéristique d'un endomorphisme (resp. d'une matrice) est scindé à racines simples alors cet endomorphisme (resp. cette matrice) est diagonalisable.
Une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux sont deux à deux distincts est diagonalisable.
Si $ M \in \mathcal{M}_2(\mathbf{R}) $ vérifie $ \operatorname{tr}(M)^2 > 4 \, \operatorname{det}(M) $ alors $ M $ est diagonalisable sur $ \mathbf{R} $.

[41] - Cours du mercredi 25 septembre (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

Deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres.
Si deux matrices ont le même polynôme caractéristique, elles ne sont pas nécessairement semblables.
Exercice 73 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de cinq matrices $(3,3)$
Exercice 76 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de l'endomorphisme $ f \colon \mathbf{K}_n[X] \rightarrow \mathbf{K}_n[X] \;;\; P \mapsto P + P' $
Polynôme caractéristique et valeurs propres d'une matrice triangulaire
Polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit
Rappel sur la multiplicité d'une racine de polynôme
Définition de l'ordre de multiplicité d'une valeur propre
La multiplicité d'une valeur propre majore la dimension du sous-espace propre.
Exercice 81 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": polynôme caractéristique d'une matrice compagnon
Définition d'une matrice carrée diagonalisable
Une matrice diagonalisable ne possédant qu'une valeur propre est une homothétie.
Une matrice diagonalisable possède un polynôme caractéristique scindé.
Une matrice donc le polynôme caractéristique est scindé n'est pas nécessairement diagonalisable.
Influence du corps de base sur la diagonalisabilité d'une matrice

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 83 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de l'inverse d'une matrice inversible
Exercice 84 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": polynôme caractéristique du produit de deux matrices

[39] - Cours du lundi 24 septembre (4h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

Exercice 40 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": valeurs propres et vecteurs propres de l'endomorphisme de $\mathbf{R}^2$ canoniquement associé à la matrice $ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} $.
Définition des sous-espaces propres d'un endomorphisme
CNS pour que 0 soit valeur propre d'un endomorphisme $u$ et $E_0(u)=\operatorname{Ker}(u)$
Des sous-espaces propres distincts d'un endomorphisme sont en somme directe.
Majoration du nombre des valeurs propres d'un endomorphisme d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie
Une méthode pour déterminer les éléments propres d'un endomorphisme : équatio aux éléments propres
Éléments propres d'une homothétie
Éléments propres d'un endomorphisme nilpotent
Éléments propres de l'opérateur de dérivation sur $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R})$
Éléments propres de l'opérateur de dérivation sur $\mathbf{R}[X]$
Endomorphismes qui commutent et sous-espaces stables
Un endomorphisme stabilise son noyau, son image et ses sous-espaces propres
Réduction d'un endomorphisme $u$ d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel $E$ tel que $E=\operatorname{Ker}(u) \oplus \operatorname{Im}(u) $
Réduction d'un endomorphisme $u$ d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel qui est somme directe des sous-espaces propres de $u$
Définition des éléments propres d'une matrice carrée
Spectre réel (resp. complexe) de la matrice $ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $
\'Eléments propres d'un endomorphisme versus éléments propres d'une matrice
Majoration du nombre de valeurs propres d'une matrice
Définition du polynôme caractéristique d'une matrice
Polynôme caractéristique de la matrice $ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $
Polynôme caractéristique de deux matrices semblables
Définition du polynôme caractéristique d'un endomorphisme
Degré et coefficients remarquables du polynôme caractéristiques
Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 73 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de cinq matrices $(3,3)$
Exercice 76 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de l'endomorphisme $ f \colon \mathbf{K}_n[X] \rightarrow \mathbf{K}_n[X] \;;\; P \mapsto P + P' $
Exercice 81 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": polynôme caractéristique d'une matrice compagnon

[35] - Cours du vendredi 20 septembre (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

Exercice 16 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": si $A,B$ sont des matrices carrées réelles qui commutent alors $\det\left(A^2+B^2\right) \geqslant 0 $
Exercice 22 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1" : calcul d'un endomorphisme induit par un endomorphisme $u$ de $\mathbf{R}^3$ sur un plan stable par $u$
Détermination des droites de $\mathbf{R}^2$ stables sous l'endomorphisme de $\mathbf{R}^2$ canoniquement associé à la matrice $ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $.
Base d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel adaptée à un sous-espace vectoriel
Sous-espaces stables par un endomorphisme et matrices triangulaires par blocs
Base adaptée à une décomposition d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel en somme directe de sous-espaces vectoriels
Décomposition d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel en somme directe de sous-espaces vectoriels stables et matrices diagonales par blocs
Définition d'un endomorphisme diagonalisable
Un endomorphisme d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel $E$ est diagonalisable si et seulement si $E$ admet une décomposition en somme directe de droites stables.
Définition des valeurs propres et des vecteurs propres d'un endomorphismes
Un endomorphisme possède une valeur propre si et seulement s'il stabilise une droite.
Caractérisation des valeurs propres et des vecteurs propres d'un endomorphisme $u$ via le noyau de $ u - \lambda \, \text{id} $

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 40 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": valeurs propres et vecteurs propres de l'endomorphisme de $\mathbf{R}^2$ canoniquement associé à la matrice $ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} $.

[33] - TD du jeudi 19 septembre (2h)

Correction du DM1

Fonctions $ f \in \mathcal{D}^3\left(\mathbf{R},\mathbf{R}\right) $ telles que $f^{(3)}f=0$

Correction du DM2

Franchissement d'une barrière de péage à trois voies
Matrices de Rademacher
Des contre-exemples en algèbre linéaire
Réduction guidée d'un endomorphisme de $\mathbf{R}^3$
Centre de $ \mathcal{L}(E) $
Unions finies de sous-espaces vectoriels
Existence d'un supplémentaire commun

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier et apprendre le cours du jour.
Exercice 16 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1" : si $A,B$ sont des matrices carrées réelles qui commutent alors $\det\left(A^2+B^2\right) \geqslant 0 $
Exercice 22 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1" : calcul d'un endomorphisme induit par un endomorphisme $u$ de $\mathbf{R}^3$ sur un plan stable par $u$

[31] - Cours du jeudi 19 septembre (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

Rappels sur les produits de $\mathbf{K}$-espaces vectoriels
Dimension d'une somme de sous-espaces vectoriels
Somme et produit de deux matrices définies par blocs
Interprétation géométrique des blocs d'une matrice définie par blocs
Inversibilité et inverse de la matrice $\begin{pmatrix} 1 & L \\ 0 & M \end{pmatrix}$ où $L$ est un vecteur ligne et $M$ une matrice carrée inversible.
Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs
Puissances d'une matrice diagonale par blocs
Démonstration de $ \det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \det(AD-BC) $ si $C,D$ commutent et $D$ est inversible.
Définition d'un sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme
Définition d'un endomorphisme induit sur un sous-espace vectoriel stable
Sous-espaces de $ \mathbf{K}[X] $ stables par dérivation

[29] - Cours du mercredi 18 septembre (2h)

Algèbre linéaire de MP2I

Exercice 122 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : calcul des coordonnées d'un vecteur de $\mathbf{R}^3$ dans une base de $\mathbf{R}^3$
Exercice 158 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : toute matrice inversible peut être vue comme une matrice de passage.
Une matrice carrée est inversible si et seulement si elle est inversible à droite, si et seulement si elle est inversible à gauche.
Composer une application linéaire par un automorphisme ne modifie pas son rang.
Un endomorphisme est de rang $r$ si et seulement si il est représentable par la matrice de Jordan $J(r)$ dans des bases.
Une matrice est de rang $r$ si et seulement si elle est équivalente à la matrice de Jordan $J(r)$.
Définition d'un hyperplan d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel
Si $H$ est un hyperplan d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel $E$, alors tout vecteur de $E$ hors de $H$ engendre une droite supplémentaire de $H$ dans $E$.
Un sous-espace vectoriel d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel $E$ est un hyperplan si et seulement s'il possède un supplémentaire dans $E$ qui est une droite.

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

Projecteurs associés à une décomposition en somme directe

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier et apprendre le cours du jour, spécialement les démonstrations mettant en jeu des transferts de propriétés des applications linéaires vers les matrices.
Étudier la partie 10 "Déterminant" du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I".
Étudier la partie 2.1 "Sous-espaces stables et endomorphismes induits" du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1".
Exercice 20 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1" : Sous-espaces de $ \mathbf{K}[X] $ stables par dérivation

[27] - Cours du lundi 16 septembre (4h)

Algèbre linéaire de MP2I

Surjectivité de l'application $ f \colon \mathbf{K}_n[X] \rightarrow \mathbf{K}_n[X] \;;\; P \mapsto P-P' $
Théorème et formule du rang
Critères pour qu'une application linéaire entre deux $\mathbf{K}$-espaces vectoriels de dimension finie soit un isomorphisme
Si $P$ est un polynôme de degré $n$ à coefficients réels et $\lambda$ est un réel non nul, alors il existe un unique polynôme $Q$ de degré inférieur ou égal à $n$ tel que la fonction $ x \mapsto Q(x) \exp(\lambda x) $ est une primitive de la fonction $ x \mapsto P(x) \exp(\lambda x) $
Coordonnées d'un vecteur dans une base
Matrice d'une application linéaire dans des bases
Expression des coordonnées de l'image d'un vecteur $u \in E$ dans la base $\underline{f}$ de $F$ par une application linéaire $\varphi \colon E \rightarrow F$ en fonction des coordonnées du vecteur $u$ dans la base $\underline{e}$ et de la matrice $\operatorname{Mat}_{\underline{e},\underline{f}}(\varphi)$ de application linéaire : $\operatorname{Mat}_{\underline{f}}(\varphi(u)) = \operatorname{Mat}_{\underline{e},\underline{f}}(\varphi) \times \operatorname{Mat}_{\underline{e}}(u)$
Matrice d'une composée d'applications linéaires dans des bases
Application linéaire canoniquement associée à une matrice
Définition du noyau et de l'image d'une application linéaire
Formule du rang pour une matrice
Le rang d'une matrice est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par ses colonnes.
Une matrice est inversible si et seulement si son noyau est trivial.
Matrices de passages
Tout endomorphisme nilpotent d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie peut être représentée par une matrice triangulaire supérieure stricte dans une base
Théorème de changement de base pour les applications linéaires
Théorème de changement de base pour les endomorphismes
Factorisation de la différence de deux puissances de matrices qui commutent
Si $A$ est une matrice nilpotente, alors la matrice $I_n+A$ est inversible.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier et apprendre le cours du jour, spécialement la trigonalisation des endomorphismes nilpotents.
Étudier les parties 8.3 "Matrices inversibles", 8.4 "Trace d'une matrice carrée", 8.5 "Transposée d'une matrice" et 8.6 "Rang d'une matrice et matrices $J_{n,p}(r)$" du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I".
Exercice 122 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : calcul des coordonnées d'un vecteur de $\mathbf{R}^3$ dans une base de $\mathbf{R}^3$
Exercice 158 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : toute matrice inversible peut être vue comme une matrice de passage.

[23] - Cours du vendredi 13 septembre (2h)

Algèbre linéaire de MP2I

Exercice 45 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : Les sous-espaces $ \{ f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; f''+f=0 \}$ et $ \{ f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; f(0)=f(\pi/2) \}$ sont supplémentaires dans $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R})$.
Théorème des degrés échelonnés (famille libre)
Construction d'une base adaptée à une décomposition de l'espace en somme directe de sous-espace
Théorème des degrés échelonnés (base)
Définition d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie
Lemme clé pour le théorème de la base extraite
Théorème de la base extraite
Existence d'une base pour un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie
Lemme clé pour le théorème de la base incoomplète
Théorème de la base incomplète
Comparaison des cardinaux de familles libres et de familles génératrices d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie
Définition de la dimension d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie
Dans un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie, un famille libre de cardinal maximal est une base.
Dans un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie, un famille génératrice de cardinal minimal est une base.
Un sous-espace $F$ d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie est lui-même de dimension finie, $\operatorname{dim}(F) \leqslant \operatorname{dim}(E)$ et, si $\operatorname{dim}(F) = \operatorname{dim}(E)$, alors $E=F$.
Formules de Grassmann
Dimension d'une somme directe de sous-espaces
Dimension de l'intersection de deux hyperplans distincts d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie
Critère pour que deux sous-espaces d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie soient supplémentaires via la dimension
Image directe (resp. réciproque) d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire
Noyau et image d'une application linéaire
Critère d'injectivité d'une application linéaire via son noyau (resp. son image)

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier et apprendre une démonstration du théorème 53, basée sur des arguments de minimalité, tant pour un sous-espace engendré que pour la somme de deux sous-espaces.
Étudier et apprendre une démonstration de la proposition 113.
Étudier les parties 6 "Applications linéaires" et 7 "Matrices d'applications linéaires" du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I".
Devoir maison n°2 : franchissement d'une barrière de péage à trois voies, matrices de Rademacher, contre-exemples en algèbre linéaire, réduction guidée d'un endomorphisme de $\mathbf{R}^3$, centre de $\mathcal{L}(E)$, unions finies de sous-espaces vectoriels d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel, existence d'un supplémentaire commun.

[21] - TD du jeudi 12 septembre (2h)

Algèbre linéaire de MP2I

Exercice 34 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : la somme des trois sous-espaces propres de la matrice $ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $ égale $ \mathcal{M}_{3,1}(\mathbf{R}) $
Exercice 16 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : image d'une somme de sous-espaces vectoriels par une application linéaire
Exercice 30 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : projecteurs
Exercice 39 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : inégalités sur le rang
Exercice 40 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : rang d'un endomorphisme de $\mathbf{R}^3$ nilpotent de nilindice 2
Exercice 54 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : équation matricielle $ X = \operatorname{tr}(X) A + B $
Exercice 63 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : supplémentaire de $ A \mathbf{K}[X] $ dans $ \mathbf{K}[X] $
Exercice 66 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : trigonalisation d'un endomorphisme nilpotent
Exercice 67 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : une caractérisation des homothéties
Exercice 74 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : rang de l'application $ \mathcal{L}(E) \rightarrow \mathcal{L}(E) \;;\; v \mapsto v \circ u $
Exercice 75 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : sous-espaces de $ \mathbf{K}[X] $ stables par dérivation
Exercice 80 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : liberté de la famille $ \left( P(X+x_0) , P(X+x_1) , \ldots , P(X+x_n) \right) $ où $P$ est un polynôme de degré $n$ et $x_0,x_1,\ldots,x_n$ sont des scalaires deux à deux distincts

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier et apprendre les parties 3 "Familles remarquables finies", 4 "Familles remarquables" et 5 "Dimension finie" du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I"
Exercice 45 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : Les sous-espaces $ \{ f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; f'' + f = 0 \}$ et $ \{ f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; f(0)=f(\pi/2) \}$ sont supplémentaires dans $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R})$.

[19] - Cours du jeudi 12 septembre (2h)

Algèbre linéaire de MP2I

Exercice 24 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : CNS pour qu'une union de deux sous-espaces vectoriels soit un sous-espace vectoriel
Exercice 33 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : décomposition de $ \mathbf{R}^3 $ en somme de trois plans
Définition d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels en somme directe
Caractérisation du caractère direct d'une somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels, via l'unicité de la décomposition du vecteur nul dans cette somme
Des sous-espaces vectoriels deux à deux en somme directe ne sont pas nécessairement en somme direct : contre exemple avec trois droites de $\mathbf{R}^2$ passant par l'origine.
Exemple de trois plans de $\mathbf{R}^3$ qui ne sont pas en somme directe
Une somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels est directe si et seulement si aucun de ces sous-espaces vectoriels n'est inclus dans la somme des autres.
Les droites $\operatorname{Vect}(1,0,0)$, $\operatorname{Vect}(0,1,0)$, $\operatorname{Vect}(0,0,1)$ de $\mathbf{R}^3$ sont en somme directe.
Définition de deux sous-espaces vectoriels supplémentaires
Description géométrique de tous les supplémentaires d'une droite de $\mathbf{R}^2$ passant par l'origine.
L'espace des matrices antisymétriques est un supplémentaire de l'espace des matrices symétriques dans $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ : une démonstration par analyse-synthèse et une démonstration en utilisant la symétrie vectorielle «transposée»
Deux supplémentaires de $\{ P \in \mathbf{R}[X] \;:\; P(1)=0 \}$ dans $\mathbf{R}[X]$
Tout sous-espace vectoriel possède un supplémentaire.
Définition du sous-espace vectoriel engendré par une partie
Description du sous-espace vectoriel engendré par une partie finie à l'aide de combinaisons linéaires
Description du sous-espace vectoriel engendré par une partie quelconque à l'aide de combinaisons linéaires d'un nombre fini de vecteurs
Somme de deux sous-espaces vectoriels engendrés par des parties finies

[17] - Cours du mercredi 11 (2h)

Dénombrement

Exercice 29 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - $n$-listes de $\{0,1\}$ sans 1 consécutifs

Probabilités de MP2I

Exercice 20 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - lois binomiales et asymptotique

Algèbre linéaire de MP2I

Intersection d'une famille de sous-espaces vectoriels
Une union de deux sous-espaces vectoriels n'est pas nécessairement un sous-espace vectoriel.
Définition et propriétés de la somme de deux sous-espaces vectoriels
$ \left\{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbf{R}^3 \;:\; x_1+x_2+x_3=0 \right\} + \left\{ (a,a,a) \in \mathbf{R}^3 \;:\; a \in \mathbf{R} \right\} = \mathbf{R}^3 $
$ \displaystyle \left\{ f \in \mathcal{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; \int_0^1 f(t) \;\text{d}t = 0 \right\} + \left\{ f \in \mathcal{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; \text{$f$ est constante sur \(\mathbf{R}$} \right\} = \mathcal{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}) \)
$ \left\{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbf{R}^3 \;:\; x_1=0 \right\} + \left\{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbf{R}^3 \;:\; x_3=0 \right\} = \mathbf{R}^3 $
Définition d'une somme directe de deux sous-espaces vectoriels
Caractérisation d'une somme directe de deux sous-espaces vectoriels via l'intersection des deux
La somme $ \displaystyle \left\{ f \in \mathcal{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; \int_0^1 f(t) \;\text{d}t = 0 \right\} + \left\{ f \in \mathcal{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; \text{$f$ est constante sur \(\mathbf{R}$} \right\} \) est directe.
Définition d'une somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier et apprendre les sous-parties 2.5, 2.7, 2.8, 2.9 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I".
Exercice 24 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : CNS pour qu'une union de deux sous-espaces vectoriels soit un sous-espace vectoriel
Exercice 33 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : décomposition de $ \mathbf{R}^3 $ en somme de trois plans
Exercice 34 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : la somme des trois sous-espaces propres de la matrice $ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $ égale $ \mathcal{M}_{3,1}(\mathbf{R}) $

[15] - Cours du lundi 9 septembre (4h)

Probabilités de MP2I

Si $ a_1 , \ldots , a_n $ sont des nombres complexes, alors : $ \displaystyle \left( \sum_{i=1}^n a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 + 2 \, \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} a_i a_j $.
Exercice 16 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" : expression de l'espérance à l'aide de la queue de loi
Exercice 25 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" : loi du cardinal de l'intersection (resp. réunion) de deux parties tirées aléatoirement

Algèbre linéaire de MP2I

Définition d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel
Propriété d'intégrité mixte dans un $\mathbf{K}$-espace vectoriel
Les $\mathbf{K}$-espaces vectoriels usuels
Définition d'un sous-espace vectoriel
Sous-espaces vectoriels triviaux
Description géométrique des sous-espaces vectoriels de $\mathbf{R}^2$ et $\mathbf{R}^3$
Critère pour être un sous-espace vectoriel
Étude d'une partie de $\mathbf{R}^3$ qui est un sous-espace vectoriel
Études de parties de $\mathbf{R}^{\mathbf{R}}$ qui sont ou non des sous-espaces vectoriels
L'ensemble des suites arithmétiques est un sous-espace vectoriel de $\mathbf{R}^{\mathbf{N}}$, contrairement à l'ensemble des suites géométriques.
Le complémentaire d'un sous-espace vectoriel non trivial augmenté du vecteur nul n'est pas un sous-espace vectoriel.
Un sous-espace vectoriel possède une structure naturelle de $\mathbf{K}$-espace vectoriel

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier et apprendre la partie 1 et les sous-parties 2.1, 2.2 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I".
Exercice 20 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - lois binomiales et asymptotique
Exercice 29 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - $n$-listes de $\{0,1\}$ sans 1 consécutifs
Questions 3,5,6 de l'exercice 17 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" - études de parties de $\mathbf{R}^{\mathbf{R}}$ qui sont ou non des sous-espaces vectoriels

[11] - Cours du vendredi 6 septembre (2h)

Probabilités de MP2I

Exercice 3 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Deux séries d'appels téléphoniques et conditionnement binomial/binomial
Exercice 9 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Formule des colonnes pour les coefficients binomiaux
Exercice 10 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Loi hypergéométrique avec application de la formule de Vandermonde
Exercice 17 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Espérance et variance de la v.a. égale au nombre de points fixes d'une permutation
Exercice 18 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Modèle d'urne avec application de la formule des colonnes

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Apprendre le cours "Dénombrement" et la synthèse "Probabilités de MP2I" : interrogation de cours
Exercice 16 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" : expression de l'espérance à l'aide de la queue de loi
Exercice 25 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" : loi du cardinal de l'intersection (resp. réunion) de deux parties tirées aléatoirement

[9] - TD du jeudi 5 septembre (2h)

Dénombrement et probabilités de MP2I

Exercice 40 du polycopié de cours "Dénombrement" : théorème de Lagrange sur les groupes finis
Exercice 1 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Dénombrement de couples/triplets de parties d'un ensemble fini vérifiant certaines propriétés
Exercice 3 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Deux séries d'appels téléphoniques et conditionnement binomial/binomial
Exercice 4 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Application de l'inégalité de Biénaymé-Tchebychev pour obtenir un intervalle de confiance asymptotique
Exercice 7 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Modèle d'urne et suite arithmético-géométrique
Exercice 11 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Formule du multinôme
Exercice 12 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Inversion de Pascal et nombre de surjections
Exercice 10 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Loi hypergéométrique
Exercice 17 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Espérance et variance de la v.a. égale au nombre de points fixes d'une permutation
Exercice 18 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" -Modèle d'urne avec application de la formule des colonnes

[7] - Cours du jeudi 5 septembre (2h)

Dénombrement

Pierre angulaire du cours sur les ensembles finis : CNS d'existence d'une injection entre $\{ 1,..., n \}$ et $\{ 1,..., m \}$, où $n$ et $m$ sont deux entiers naturels non nuls.
Démonstration combinatoire de la formule du binôme de Newton
Démonstration combinatoire de la relation de Pascal sur les coefficients binomiaux
Calcul de la somme $ \displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} $, où $ k \in \mathbf{N}^* $ : une solution combinatoire et une autre algébrique
Calcul de la somme $ \displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k \, \binom{n}{k} $, où $ k \in \mathbf{N}^* $
Formule de Vandermonde ou des comités : une solution combinatoire et une autre algébrique
Formule des colonnes pour les coefficients binomiaux : $ \displaystyle \sum_{k=n}^m \binom{k}{n} = \binom{m+1}{n+1} $, où $n,m$ sont des entiers tels que $ 0 \leqslant n \leqslant m $

[5] - Cours du mercredi 4 septembre (2h)

Dénombrement

Racines carrées de $ 2 - 3i $
Deux études de bijectivité dans le contexte de l'algèbre linéaire
Injectivité et inversibilité à gauche, surjectivité et inversibilité à droite
Définition de deux ensembles équipotents
Les ensembles $ \mathbf{N} $, $ \mathbf{N}^* $, $ \mathbf{Z} $ et $ \mathbf{N}^2 $ sont équipotents.
Théorème de Cantor : un ensemble et l'ensemble de ses parties ne sont pas équipotents.
Les ensembles $ \mathbf{N} $ et $ \mathcal{P}(\mathbf{N}) $ ne sont pas équipotents.
Les ensembles $ \mathbf{N} $ et $ \mathbf{R} $ ne sont pas équipotents.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier les énoncés et les démonstrations de la partie 3 "Ensembles finis" du polycopié de cours "Dénombrement", en comprenant bien les constructions de bijections.
Apprendre la partie 4 "Synthèse des résultats sur les ensembles finis" du polycopié de cours "Dénombrement".
Exercice 40 du polycopié de cours "Dénombrement" : théorème de Lagrange sur les groupes finis

[3] - Cours du lundi 2 septembre (3h)

Dénombrement

Définition d'une application
Définition d'une application injective (resp. surjective, bijective)
Définition de l'application réciproque d'une application bijective
Propriétés de la réciproque d'une application bijective
Étude de l'injectivité (resp. surjectivité) de l'application $ f \colon \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{C} \;;\; z \mapsto z^2 $
Racines carrées de $ -1+i $ : formes exponentielle et algébrique
Fonction argch et application au calcul de $ \displaystyle \int_2^5 \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}} \;\text{d}x $

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Apprendre le cours du jour
Question 4 de l'exercice 8 du polycopié de cours "Dénombrement" : racines carrées de $ 2 - 3i $
Exercice 10 et 11 du polycopié de cours "Dénombrement" : deux études de bijectivité dans le contexte de l'algèbre linéaire
Étudier les propositions 13 et 14 du polycopié de cours "Dénombrement" : composée d'applications injectives (resp. surjectives, bijectives) et réciproque d'une composée d'applications bijectives

Cahier de texte - Mathématique - MPI-MPI* - 2024-2025

[273] - TD du jeudi 27 mars (2h)

Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens

Calcul différentiel 2

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

[271] - Cours du jeudi 27 mars (2h)

Calcul différentiel 2

[269] - Cours du mercredi 26 mars (2h)

Calcul différentiel 2

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

[267] - Cours du mardi 25 mars (2h)

Calcul différentiel 2

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

[265] - Cours du lundi 24 mars (4h)

Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

Calcul différentiel 2

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

[261] - Cours du vendredi 21 mars (2h)

Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

[259] - Cours du jeudi 20 mars (2h)

Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

[259] - Cours du jeudi 20 mars (2h)

Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

[257] - Cours du mercredi 19 mars (2h)

Probabilités 2

Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

[255] - Cours du lundi 17 mars (4h)

Probabilités 2

Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

[251] - Cours du vendredi 14 mars (2h)

Probabilités 2

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

[249] - TD du jeudi 13 mars (2h)

Équations différentielles linéaires

Probabilités 2

[247] - Cours du jeudi 13 mars (2h)

Probabilités 2

[245] - Cours du mercredi 13 mars (2h)

Équations différentielles linéaires

Probabilités 2

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

[243] - Cours du lundi 10 mars (4h)

Équations différentielles linéaires

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

[239] - Cours du vendredi 7 mars (2h)

Équations différentielles linéaires

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

[241] - TD du jeudi 6 mars (2h)

Espaces préhilbertiens réels

Équations différentielles linéaires

[239] - Cours du jeudi 6 mars (2h)

Équations différentielles linéaires

[237] - Cours du mercredi 5 mars (2h)

Équations différentielles linéaires

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

[235] - Cours du lundi 3 mars (4h)

Révisions sur les espaces préhilbertiens réels

Équations différentielles linéaires

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

[231] - Cours du samedi 1er mars (2h)

Révisions sur les espaces préhilbertiens réels

Intégrales à paramètre

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

[229] - Cours du vendredi 28 février (2h)

Intégrales à paramètre

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

[227] - TD du jeudi 27 février (2h)

Intégrales à paramètre

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

[225] - Cours du jeudi 27 février (2h)

Intégrales à paramètre

[223] - Cours du mercredi 26 février (4h)

Intégrales à paramètre

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

[219] - Cours du vendredi 7 février (2h)

Séries entières

[231] - Cours du samedi 1^er mars (2h)