Cahier de texte - Mathématique - MPI-MPI* - 2024-2025

[273]  -  TD du jeudi 27 mars (2h)

Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens

• Exercice 25 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : décomposition polaire.

Calcul différentiel 2

• Étude des extrema de la fonction $$f|\begin{array}{ccc}{\mathbf{R}}^2& ⟶& \mathbf{R}\\ (x,y)& ⟼& x^4+y^4-2(x-y{)}^2\end{array}$$
• Révisions sur les fonctions coercives
• Étude des extrema de la fonction $$f|\begin{array}{ccc}{\mathbf{R}}^2& ⟶& \mathbf{R}\\ (x,y)& ⟼& x^4+y^4-2(x-y{)}^2\end{array}$$
• Étude des extrema de la fonction $$f|\begin{array}{ccc}]0,+\mathrm{\infty }[{}^n& ⟶& \mathbf{R}\\ (x_1,\dots ,x_n)& ⟼& {\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i\ln (x_i)}\end{array}$$ sur ${\displaystyle \mathrm{\Sigma }=\{(x_1,\dots ,x_n)\in ]0,+\mathrm{\infty }[{}^n:{\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i=a}\}}$ où $a$ est un réel fixé

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Revoir les deux chapitres "Révisions sur les espaces préhilbertiens" et "Endomorphismes remarquables des espaces euclidiens"

[271]  -  Cours du jeudi 27 mars (2h)

Calcul différentiel 2

• Condition suffisante d’existence d’un extremum local strict sur un ouvert de ${\mathbf{R}}^n$, à l’ordre 2 (démonstration)
• Condition suffisante d’existence d’un extremum local strict sur un ouvert de ${\mathbf{R}}^2$
• Étude des extrema de la fonction : $$f|\begin{array}{ccc}{\mathbf{R}}^2& ⟶& \mathbf{R}\\ (x,y)& ⟼& 4x^2+12xy-y^2\end{array}$$ sur le cercle de centre $(0,0)$ et de rayon $\sqrt{13}$
• Amorce d'une démonstration du théorème spectral à l'aide du calcul différentiel
• Étude des extrema de la fonction $$f|\begin{array}{ccc}{\mathbf{R}}^2& ⟶& \mathbf{R}\\ (x,y)& ⟼& x^3-3x+x{y}^2\end{array}$$

[269]  -  Cours du mercredi 26 mars (2h)

Calcul différentiel 2

• Un critère de colinéarité de deux formes linéaires
• Théorème des multiplicateurs de Lagrange ou condition nécessaire d’existence d’un extremum local sur une ligne de niveau, à l’ordre 1
• Théorème des multiplicateurs de Lagrange sur un ouvert de ${\mathbf{R}}^n$
• Étude des extrema de la fonction : $$f|\begin{array}{ccc}{\mathbf{R}}^2& ⟶& \mathbf{R}\\ (x,y)& ⟼& xy\end{array}$$ sur le cercle unité.
• Définition de la matrice Hessienne en un point d’une fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un ouvert de ${\mathbf{R}}^n$
• La matrice Hessienne est une matrice symétrique à coefficients réels
• Calcul de la matrice Hessienne de la fonction : $$f|\begin{array}{ccc}{\mathbf{R}}^3& ⟶& \mathbf{R}\\ (x,y,z)& ⟼& x^2{y}^3{z}^5\end{array}$$ en un point de ${\mathbf{R}}^3$
• Formule de Taylor-Young à l'ordre 2
• Condition nécessaire d’existence d’un extremum local sur un ouvert de ${\mathbf{R}}^n$, à l’ordre 2
• Définition d’un extremum local strict pour une fonction numérique
• Condition suffisante d’existence d’un extremum local strict sur un ouvert de ${\mathbf{R}}^n$, à l’ordre 2 (énoncé)

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Apprendre l'intégralité du chapitre "Calcul différentiel 2"
• Étudier la démonstration du théorème 32 du polycopié de cours "Calcul différentiel 2" : condition suffisante d’existence d’un extremum local strict sur un ouvert de ${\mathbf{R}}^n$, à l’ordre 2
• Exercice 23 du polycopié de cours "Calcul différentiel 2" : étude guidée des extrema de la fonction : $$f|\begin{array}{ccc}{\mathbf{R}}^2& ⟶& \mathbf{R}\\ (x,y)& ⟼& 4x^2+12xy-y^2\end{array}$$ sur le cercle de centre $(0,0)$ et de rayon $\sqrt{13}$
• Exercice 25 du polycopié de cours "Calcul différentiel 2" : amorce d'une démonstration du théorème spectral à l'aide du calcul différentiel
• Exercice 34 du polycopié de cours "Calcul différentiel 2" : étude des extrema de la fonction $$f|\begin{array}{ccc}{\mathbf{R}}^2& ⟶& \mathbf{R}\\ (x,y)& ⟼& x^3-3x+x{y}^2\end{array}$$ à l'aide du théorème 32 ou du théorème 33.
• Exercice 25 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : décomposition polaire (la question 1 a déjà été résolue en classe).

[267]  -  Cours du mardi 25 mars (2h)

Calcul différentiel 2

• Exercice 10 du polycopié de cours "Calcul différentiel 2" : plan tangent à un point d'un ellipsoïde plongé dans ${\mathbf{R}}^3$
• Définition d’un extremum local pour une fonction numérique
• Condition nécessaire d’existence d’un extremum local pour une fonction réelle (rappel de MP2I)
• Point critique d’une application différentiable
• Calcul des points critiques de l'application $$f|\begin{array}{ccc}{\mathbf{R}}^2& ⟶& \mathbf{R}\\ (x,y)& ⟼& x^3-3x+x{y}^2\end{array}$$
• Condition nécessaire d’existence d’un extremum local sur un ouvert, à l’ordre 1
• Étude des extrema locaux/globaux de la fonction $$f|\begin{array}{ccc}]0,+\mathrm{\infty }[\times ]0,+\mathrm{\infty }[& ⟶& \mathbf{R}\\ (x,y)& ⟼& xy+{\displaystyle \frac{4}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{y}}\end{array}$$
• Condition nécessaire d’existence d’un extremum local sous contrainte, à l’ordre 1

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Apprendre le cours du jour et revoir la démonstration du théorème 18 "Condition nécessaire d’existence d’un extremum local sous contrainte, à l’ordre 1" à l'aide du polycopié de cours.
• Exercice 17 du polycopié de cours "Calcul différentiel 2" : généralisation du théorème de Rolle pour la boule unité fermée de ${\mathbf{R}}^n$
• Démontrer le lemme 19 : colinéarité de deux formes linéaires

[265]  -  Cours du lundi 24 mars (4h)

Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

• Théorème de réduction d'une isométrie directe d'un espace euclidien de dimension 3
• Interprétation géométrique d'une isométrie directe d'un espace euclidien de dimension 3
• Une méthode pour étudier une isométrie directe d'un espace euclidien de dimension 3
• Exercice 72 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : éléments caractéristiques de la rotation axiale de ${\mathbf{R}}^3$, dont la matrice dans la base canonique est $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$
• Exercice 14 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : les sous-espaces propres d'un endomorphisme autoadjoint sont deux à deux orthogonaux (sans appliquer le théorème spectral).
• Exercice 74 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : $a,b$ étant des vecteurs non colinéaires d'un espace euclidien $E$, étude de l'endomorphisme : $$u|\begin{array}{ccc}E& ⟶& E\\ x& ⟼& (x,a)b+(x,b)a\end{array}$$
• Exercice 86 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : matrices de ${\mathcal{S}}_n(\mathbf{R})$ dont une puissance vaut $I_n$
• Exercice 89 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : racine carrée d'un endomorphisme autoadjoint positif (existence et unicité)
• Exercice 94 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : une inégalité entre le déterminant et la trace d'une matrice de ${\mathcal{S}}_n(\mathbf{R})$ positive

Calcul différentiel 2

• Définition d’un vecteur tangent à une partie d’un espace vectoriel de dimension finie $E$
• Le vecteur $0_E$ est toujours dans l'espace tangent $T_{x}X$.
• Si $v\in T_{x}X$ alors $\mathrm{Vect}(v)\subset T_{x}X$.
• Rappels sur les sous-espaces affines d'un espace vectoriels
• Vecteurs tangents à sous-espace affine
• Vecteurs tangents à une sphère d’un espace euclidien
• Vecteurs tangents au graphe d’une fonction numérique différentiable sur un ouvert de ${\mathbf{R}}^2$
• Vecteurs tangents à un diviseur à croisement normal (HP)
• Vecteurs tangents à une ligne de niveau
• Vecteurs tangents à un point d'un parabolloïde plongé dans ${\mathbf{R}}^3$

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 10 du polycopié de cours "Calcul différentiel 2" : plan tangent à un point d'un ellipsoïde plongé dans ${\mathbf{R}}^3$

[261]  -  Cours du vendredi 21 mars (2h)

Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

• Théorème de réduction des isométries vectorielles (démonstration)
• Théorème de réduction des matrices orthogonales
• Définition d'un endomorphismes autoadjoint
• Si $a,b$ sont des vecteurs d'un espace euclidien $E$, l'endomorphisme : $$u|\begin{array}{ccc}E& ⟶& E\\ x& ⟼& (x,a)b+(x,b)a\end{array}$$ est autoadjoint.
• Stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable par un endomorphisme autoadjoint
• Caractérisation des endomorphismes autoadjoints
• Structure de l'ensemble des endomorphismes autoadjoints d'un espace euclidien
• Caractérisation des projecteurs orthogonaux
• Un endomorphisme autoadjoint possède une valeur propre réelle
• Théorème spectral pour les endomorphismes autoadjoints
• Théorème spectral pour les matrices symétriques à coefficients réels
• La matrice $\left(\begin{array}{cc}1& i\\ i& -1\end{array}\right)$ est symétrique mais non diagonalisable.
• Définition d'un endomorphisme autoadjoint positif, défini positif
• Définition de ${\mathcal{S}}^{+}(E)$ et ${\mathcal{S}}^{++}(E)$ pour un espace euclidien $E$
• Caractérisation spectrale des endomorphismes autoadjoints positifs, définis positifs
• Définition d'une matrice de ${\mathcal{S}}_n(\mathbf{R})$ positive, définie positive
• Définition de ${\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbf{R})$ et ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbf{R})$
• Endomorphismes autoadjoints positifs, définis positifs versus matrices de ${\mathcal{S}}_n(\mathbf{R})$ positives, définies positives
• Caractérisation spectrale des matrices de ${\mathcal{S}}_n(\mathbf{R})$ positives, définies positives

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Étudier la partie 6.1 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : théorème de réduction d'une isométrie directe d'un espace euclidien de dimension 3
• Étudier la partie 6.2 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : interprétation géométrique d'une isométrie directe d'un espace euclidien de dimension 3
• Étudier la partie 6.3 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : une méthode pour étudier une isométrie directe d'un espace euclidien de dimension 3
• Exercice 72 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : éléments caractéristiques de la rotation axiale de ${\mathbf{R}}^3$, dont la matrice dans la base canonique est $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$
• Exercice 14 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : les sous-espaces propres d'un endomorphisme autoadjoint sont deux à deux orthogonaux (sans appliquer le théorème spectral).
• Exercice 74 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : $a,b$ étant des vecteurs non colinéaires d'un espace euclidien $E$, étude de l'endomorphisme : $$u|\begin{array}{ccc}E& ⟶& E\\ x& ⟼& (x,a)a+(x,b)b\end{array}$$
• Exercice 86 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : matrices de ${\mathcal{S}}_n(\mathbf{R})$ dont une puissance vaut $I_n$
• Exercice 89 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : racine carrée d'un endomorphisme autoadjoint positif (existence et unicité)
• Exercice 94 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : une inégalité entre le déterminant et la trace d'une matrice de ${\mathcal{S}}_n(\mathbf{R})$ positive
• Revoir le chapitre "Calcul différentiel 1"

[259]  -  Cours du jeudi 20 mars (2h)

Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

• Si $A\in {\mathbf{O}}_n(\mathbf{R})$, alors ${\displaystyle \sum _{1⩽i,j⩽n}[A{]}_{i,j}^2=n}$ et ${\displaystyle |\sum _{1⩽i,j⩽n}[A{]}_{i,j}|⩽n}$.
• Exercice 1 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : les déterminants d'un endomorphisme et de son adjoint sont égaux.
• Exercice 3 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : pour $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbf{R})$ fixée, adjoint de l'endomorphisme de $M⟼AM$ de ${\mathcal{M}}_n(\mathbf{R})$ muni de son produit scalaire usuel
• Exercice 4 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : noyaux et images d'un endomorphisme et de son adjoint
• Exercice 11 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : décomposition QR et inégalité d'Hadamard
• Énoncé du théorème spectrale pour les matrices symétriques à coefficients réels
• Caractérisation spectrale des matrices symétriques à coefficients réels qui sont positives
• Exercice 15 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : si $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbf{R})$, alors la somme des carrés des coefficients de $A$ est égale à la somme des carrés des valeurs propres comptées avec leurs multiplicités
• Exercice 18 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : valeurs propres de $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbf{R})$ et valeurs propres de sa partie symétrique
• Exercice 19 de la feuille d'exercices "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : norme matricielle subordonnée et rayon spectral

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Étudier et apprendre l'énoncé et la démonstration du théorème 68 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : réduction d'une isométrie vectorielle.
• Étudier et apprendre l'énoncé et la démonstration du corollaire 69 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : réduction d'une matrice orthogonale.

[259]  -  Cours du jeudi 20 mars (2h)

Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

• Définition d'une symétrie orthogonale
• Une symétrie orthogonale est une isométrie.
• Constructions géométriques de symétries orthogonales
• Un projecteur orthogonal distinct de l'identité n'est pas une isométrie.
• Définition d'une réflexion
• Formule pour l'image d'un vecteur par une réflexion, à partir d'un vecteur unitaire dirigeant l'orthogonal de l'hyperplan
• Calcul de la réflexion de ${\mathbf{R}}^3$, muni de son produit scalaire usuel, par rapport au plan d'équation $x+2y+3z=0$, puis calcul de sa matrice dans la base canonique de ${\mathbf{R}}^3$, qui est orthogonale.
• Caractérisation des isométries
• Groupe orthogonal d'un espace euclidien
• Le déterminant d'une isométrie vaut $\pm 1$.
• Définition d'une isométrie directe, indirecte, d'un espace euclidien
• Groupe spécial orthogonal d'un espace euclidien
• Description des matrices de ${\mathbf{O}}_2(\mathbf{R})$
• Le morphisme de groupe canonique de $(\mathbf{R},+)$ dans $({\mathbf{SO}}_2(\mathbf{R}),\times )$
• Les groupes $(\mathbf{U},\times )$ et $({\mathbf{SO}}_2(\mathbf{R}),\times )$ sont isomorphes.
• Le groupe $({\mathbf{SO}}_2(\mathbf{R}),\times )$ est abélien.
• Une isométrie directe d'un plan euclidien est une rotation.
• Une isométrie indirecte d'un plan euclidien est une symétrie axiale.
• Description géométrique des isométries d'un espace euclidien
• Existence d'une droite ou d'un plan stable
• Si une isométrie stabilise un sous-espace vectoriel, alors elle stabilise également l'orthogonal de ce sous espace vectoriel.
• Théorème de réduction des isométries vectorielles (énoncé)

[257]  -  Cours du mercredi 19 mars (2h)

Probabilités 2

• Exercice 6 du polycopié de cours "Probabilités 2" : formule de Wald

Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

• Définition d'une matrice orthogonale
• Si $\theta \in \mathbf{R}$ alors $\left(\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right)$ est une matrice orthogonale.
• Une matrice de permutation est une matrice orthogonale.
• Caractérisation des matrices orthogonales
• Matrice orthogonale versus matrice de changement de base orthonormée
• Le groupe orthogonal ${\mathbf{O}}_n(\mathbf{R})$
• Si $\theta \in \mathbf{R}$ alors les matrices $\left(\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{cc}\cos (\theta )& \sin (\theta )\\ \sin (\theta )& -\cos (\theta )\end{array}\right)$ appartiennent à ${\mathbf{O}}_2(\mathbf{R})$.
• Construction par blocs de matrices orthogonales
• Les valeurs propres complexes d'une matrice orthogonale sont de module 1.
• ${\mathbf{O}}_n(\mathbf{R})$ est une partie compacte de ${\mathcal{M}}_n(\mathbf{R})$.
• Définition de deux matrices orthogonalement semblables
• « être orthogonalement semblable » est une relation d'équivalence sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbf{R})$.
• Le groupe spécial orthogonal ${\mathbf{SO}}_n(\mathbf{R})$
• ${\mathbf{SO}}_n(\mathbf{R})$ est une partie compacte de ${\mathcal{M}}_n(\mathbf{R})$.
• Le déterminant d'une matrice orthogonale vaut $\pm 1$.
• La matrice $\mathrm{diag}(2,1/2,1,\dots ,1)$ vaut 1, mais cette matrice n'est pas orthogonale.
• Définition d'une matrice orthogonale positive ou directe, d'une matrice orthogonale négative ou indirecte.
• Orientation d'un $\mathbf{R}$-espace vectoriel
• Base directe, base indirecte d'un $\mathbf{R}$-espace vectoriel orienté
• Forme volume sur un espace euclidien orienté par une base orthonormée
• Définition d'une isométrie vectorielle

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Étudier et apprendre la section 2 "Matrices orthogonales " du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien", avec votre prise de notes du jour.
• Exercice 14 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : si $A\in {\mathbf{O}}_n(\mathbf{R})$, alors ${\displaystyle |\sum _{1⩽i,j⩽n}[A{]}_{i,j}|⩽n}$.
• Démontrer le théorème 44 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : caractérisation des isométries vectorielles.
• Étudier et apprendre l'énoncé et la démonstration du théorème 65 du polycopié de cours "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien" : existence d'une droite ou d'un plan stable.

[255]  -  Cours du lundi 17 mars (4h)

Probabilités 2

• Exercice 7 du polycopié de cours "Probabilités 2" : inégalité de Paley-Zygmund
• Exercice 8 du polycopié de cours "Probabilités 2" : temps nécessaire pour obtenir deux Pile consécutifs
• Propriétés de la fonction génératrice
• La fonction génératrice détermine la loi
• Si deux variables aléatoires ont même fonction génératrice, alors elles sont égales en loi.
• Fonctions génératrices d'une variable aléatoire suivant une loi usuelle
• Fonction génératrice et espérance
• Fonction génératrice d'une somme de variables aléatoires indépendantes

Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien

• Théorème de Riesz sur la représentabilité des formes linéaires sur un espace euclidien
• Définition de l'adjoint d'un endomorphisme d'un espace euclidien
• Propriétés de l'adjoint
• Matrice de l'adjoint dans une base orthonormée
• Une propriété de stabilité de l'adjoint

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Étudier et apprendre le cours sur l'adjoint, en particulier la propriété essentielle qui le caractérise : si $u$ est un endormorphisme d'un espace euclidien $(E,<\cdot ,\cdot >)$, alors $u^{\ast }$ est l'unique endomorphisme de $E$ tel que : $$\mathrm{\forall }(x,y)\in E^2<u(x),y>=<x,u^{\ast }(y)>$$
• Exercice 6 du polycopié de cours "Probabilités 2" : formule de Wald

[251]  -  Cours du vendredi 14 mars (2h)

Probabilités 2

• Formule de König-Huyghens pour la variance
• formule du capitaine et du vice-capitaine
• Variance d'une variable aléatoire suivant une loi usuelle
• Effet d'une transformation affine sur la variance
• Centrage et réduction d'une variable aléatoire $L^2$
• Covariance de deux variables aléatoires $L^2$
• Coefficient de corrélation linéaire : encadrement et cas où il vaut $\pm 1$
• Formule de König-Huyghens pour la covariance
• L'indépendance implique la décorrélation.
• Exemple de deux variables aléatoires décorrélées mais non indépendantes
• Variance d'une somme de variables aléatoires
• Inégalité de Markov
• Inégalité de Biénaymé-Tchebychev pour une variable $L^2$
• Loi faible des grands nombres pour une variable $L^2$
• Définition de la série génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbf{N}$
• Le rayon de convergence d'une série génératrice est supérieur ou égal à 1
• Une série génératrice converge normalement sur $\overline{D(0,1)}$
• Définition de la fonction génératrice

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 7 du polycopié de cours "Probabilités 2" : inégalité de Paley-Zygmund
• Exercice 8 du polycopié de cours "Probabilités 2" : temps nécessaire pour obtenir deux Pile consécutifs

[249]  -  TD du jeudi 13 mars (2h)

Équations différentielles linéaires

• Exercice 64 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : étude qualitative d'une EDLS2
• Exercice 71 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : étude d'une EDLS2 non normalisée
• Exercice 15 de la feuille d'exercices "Équations différentielles linéaires" : étude qualitative d'une EDLS2

Probabilités 2

• Exercice 100 de la banque CCINP : espérance et variance d'une distribution de probabilités sur ${\mathbf{N}}^{\ast }$
• Exercice 4 de la feuille d'exercice "Probabilités 2" : fonction caractéristique d'une variable $L^2$
• Exercice 5 de la feuille d'exercice "Probabilités 2" : modélisation, loi de Pascal et espérance d'une telle

[247]  -  Cours du jeudi 13 mars (2h)

Probabilités 2

• Définition de $L^1$
• Stabilité de $L^1$ par combinaisons linéaires
• Linéarité de l'espérance
• Théorème de domination pour l'espérance
• Positivité, croissance et inégalité triangulaire pour l'espérance
• Espérance du produit de deux variables indépendantes
• Espérance du produit d'un nombre fini de variables mutuellement indépendantes
• Définition de $L^2$
• $L^2$ est inclus dans $L^1$
• Le produit de deux variables $L^2$ est $L^1$.
• Stabilité de $L^2$ par combinaisons linéaires
• Inégalité de Cauchy-Schwarz
• Définition de la variance et de l'écart-type
• Une variable aléatoire de variance nulle est presque sûrement égale à sa moyenne.
• Définition d'une variable aléatoire réduite.

[245]  -  Cours du mercredi 13 mars (2h)

Équations différentielles linéaires

• Méthode de variation des constantes pour une EDLS2 (démonstration)
• Exercice 66 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution de l'équation différentielle : $$y^{″}+y={\sin }^2(t),\text{d'inconnue }y\in {\mathcal{C}}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})$$ en appliquant la méthode de variation des constantes pour calculer une solution particulière.

Probabilités 2

• Définition de l'espérance d'une variable aléatoire positive
• Formule pour l'espérance d'une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbf{N}$
• Espérance d'une variable aléatoire de loi géométrique
• Définition d'une variable aléatoire d'espérance finie et de son espérance
• Une variable aléatoire finie (resp. bornée) possède une espérance.
• Définition d'une variable aléatoire centrée
• Une variable aléatoire de loi $\mathcal{U}(\{-1,1\})$ est centrée.
• Formule du capitaine
• Espérance d'une variable aléatoire suivant une loi usuelle
• Formule de transfert

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 64 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : étude qualitative d'une EDLS2
• Exercice 71 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : étude d'une EDLS2 non normalisée
• Exercice 15 de la feuille d'exercices "Équations différentielles linéaires" : étude qualitative d'une EDLS2

[243]  -  Cours du lundi 10 mars (4h)

Équations différentielles linéaires

• Exercice 50 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'un SDL1 homogène à coefficients constants dans le cas où la matrice est triangulaire supérieure.
• Exercice 51 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'un SDL1 homogène à coefficients constants à l'aide du polynôme caractéristique.
• Exercice 53 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'un SDL1 homogène à coefficients constants dans le cas où la matrice est diagonalisable.
• Exercice 55 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'un SDL1 à coefficients constants dans le cas où la matrice est diagonalisable, en appliquant la méthode de variation des constantes pour déterminer une solution particulière.
• Exercice 11 de la feuille d'exercices "Équations différentielles linéaires" : SDL1 homogène à coefficients constants dont toutes les solutions sont polynomiales.
• Définition du Wronskien d'un couple de solution d'une EDLS2 homogène
• Caractérisation des bases de l'ensemble solution d'une EDLS2 homogène
• Méthode du Wronskien pour une EDLS2 homogène
• Méthode de la variation de la constante ou de l'abaissement de l'ordre pour une EDLS2 homogène
• Résolution de l'EDLS2 homogène : $$x^{″}-{\displaystyle \frac{3}{t}}{x}^{\prime }+{\displaystyle \frac{4}{t^2}}x=0,\text{d'inconnue }x\in {\mathcal{C}}^2(]0,+\mathrm{\infty }[,\mathbf{R})$$
• Méthode de variation des constantes pour une EDLS2 (énoncé)

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Résoudre de nouveau tous les exercices étudiés en classe.
• Étudier la méthode de variation des constantes pour une EDLS2 : proposition 65 et méthode qui suit dans le polycopié de cours "Équations différentielles linéaires"
• Exercice 66 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution de l'équation différentielle : $$y^{″}+y={\sin }^2(t),\text{d'inconnue }y\in {\mathcal{C}}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})$$ en appliquant la méthode de variation des constantes pour calculer une solution particulière.
• Exercice 67 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution de l'équation différentielle : $$x^{″}-{\displaystyle \frac{3}{t}}{x}^{\prime }+{\displaystyle \frac{4}{t^2}}x=\ln (t),\text{d'inconnue }x\in {\mathcal{C}}^2(]0,+\mathrm{\infty }[,\mathbf{R})$$ en appliquant la méthode de variation des constantes pour calculer une solution particulière.

[239]  -  Cours du vendredi 7 mars (2h)

Équations différentielles linéaires

• Continuité de l'exponentielle matricielle
• Pour une matrice $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbf{K})$, dérivabilité et dérivée de la fonction vectorielle $t⟼\exp (tA)$
• Résolution d'un SDL1 homogène à coefficients constants à l'aide d'une exponentielle de matrice
• Résolution d'un SDL1 homogène à coefficients constants dans le cas où la matrice est diagonalisable
• Méthode de variation des constantes pour obtenir une solution particulière d'un SDL1, connaissant une base de l'ensemble solution du système différentiel homogène associé

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 50 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'un SDL1 homogène à coefficients constants dans le cas où la matrice est triangulaire supérieure.
• Exercice 51 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'un SDL1 homogène à coefficients constants à l'aide du polynôme caractéristique.
• Exercice 53 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'un SDL1 homogène à coefficients constants dans le cas où la matrice est diagonalisable.
• Exercice 55 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'un SDL1 à coefficients constants dans le cas où la matrice est diagonalisable, en appliquant la méthode de variation des constantes pour déterminer une solution particulière.
• Exercice 11 de la feuille d'exercices "Équations différentielles linéaires" : SDL1 homogène à coefficients constants dont toutes les solutions sont polynomiales.

[241]  -  TD du jeudi 6 mars (2h)

Espaces préhilbertiens réels

• Exercice 5 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens" : polynômes de Legendre et orthogonalité.
• Exercice 9 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens" : inégalité de Bessel et formule de Parseval dans un espace préhilbertien réel muni d'une suite orthonormale totale.

Équations différentielles linéaires

• SDL1 dont la résolution est équivalente à celle de l'EDLS4 $$x^{(4)}=x+1,\text{d'inconnue }x\in {\mathcal{C}}^4(\mathbf{R},\mathbf{C})$$
• Si $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbf{C})$, $\lambda$ est une valeur propre de $A$ et $V$ est un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $\lambda$ alors la fonction : $$|\begin{array}{ccc}\mathbf{R}& ⟶& {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbf{C})\\ t& ⟼& e^{\lambda t}V\end{array}$$ est solution du SDL1 homogène : $$X^{\prime }=AX,\text{d'inconnue }X\in {\mathcal{C}}^1(\mathbf{R},{\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbf{C}))$$
• Exercice 35 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution guidée d'un SDL1 homogène $(3,3)$ à coefficients constants, dans le cas où la matrice est diagonalisable.
• Exercice 4 de la feuille d'exercices "Équations différentielles linéaires" : condition suffisante pour que toutes les solutions d'une EDLS1 homogène soit bornée.
• Exercice 5 de la feuille d'exercices "Équations différentielles linéaires" : si $f\in {\mathcal{C}}^1(\mathbf{R},\mathbf{R})$ est telle que $f+f^{\prime }$ a pour limite $0$ en $+\mathrm{\infty }$, alors $f$ a pour limite $0$ en $+\mathrm{\infty }$.
• Exercice 13 de la feuille d'exercices "Équations différentielles linéaires" : recherche d'une solution développable en série entière d'une EDLS2 homogène.

[239]  -  Cours du jeudi 6 mars (2h)

Équations différentielles linéaires

• Réduction de l'étude d'une EDLS$n$ à celle d'un SDL1
• SDL1 dont la résolution est équivalente à celle de l'EDLS3 $$x^{‴}+\ln (t)x^{″}-{\displaystyle \frac{3}{t}}{x}^{\prime }+{\displaystyle \frac{4}{t^2}}x=t,\text{d'inconnue }x\in {\mathcal{C}}^3(]0,+\mathrm{\infty }[,\mathbf{R})$$
• Mise sous forme intégrale d'un problème de Cauchy pour une EDL1
• Mise sous forme intégrale d'un problème de Cauchy pour un SDL1
• Principe de superposition pour une EDL1
• Si une EDL1 possède une solution particulière $x_p$, alors toute solution est obtenue en ajoutant à $x_p$ une solution de l'EDL1 homogène associée.
• Stratégie de résolution d'une EDL1
• Principe de superposition pour un SDL1
• Si un SDL1 possède une solution particulière $X_p$, alors toute solution est obtenue en ajoutant à $X_p$ une solution du SDL1 homogène associé.
• Stratégie de résolution d'un SDL1
• Principe de superposition pour une EDLS$n$
• Si une EDLS$n$ possède une solution particulière $x_p$, alors toute solution est obtenue en ajoutant à $x_p$ une solution de l'EDLS$n$ homogène associée.
• Stratégie de résolution d'une EDLS$n$
• Théorème de Cauchy linéaire pour une EDL1
• Structure et dimension de l'ensemble solution d'une EDL1 homogène
• Structure et dimension de l'ensemble solution d'une EDL1
• Théorème de Cauchy linéaire pour un SDL1
• Structure et dimension de l'ensemble solution d'un SDL1 homogène
• Structure et dimension de l'ensemble solution d'un SDL1
• Théorème de Cauchy linéaire pour une EDLS$n$
• Structure et dimension de l'ensemble solution d'une EDLS$n$ homogène
• Structure et dimension de l'ensemble solution d'une EDLS$n$
• Résolution de l'EDLS4 $$x^{(4)}=x+1,\text{d'inconnue }x\in {\mathcal{C}}^4(\mathbf{R},\mathbf{C})$$

[237]  -  Cours du mercredi 5 mars (2h)

Équations différentielles linéaires

• Exercice 2 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution de l'équation différentielle $$|t|x^{\prime }+x=t^2,\text{d'inconnue }x\in {\mathcal{C}}^1(\mathbf{R},\mathbf{R})$$ où le raccordement en 0 est guidé.
• Exercice 10 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution du système différentiel $$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),\text{d'inconnue }\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\in {\mathcal{C}}^1(\mathbf{R},{\mathcal{M}}_{2,1}\left(\mathbf{R}\right))$$ en réduisant la matrice $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$.
• Exercice 11 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'une EDLS2 à coefficients constants, avec second membre « polynôme-exponentielle »
• Exercice 12 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'une EDLS2 à coefficients constants, avec second membre « polynôme-exponentielle »
• Définition d'une EDLS$n$
• Définition d'une EDLS$n$ homogène
• Définition d'une solution d'une EDLS$n$
• Définition de l'EDLS$n$ homogène associée à une EDLS$n$
• Définition d'un problème de Cauchy associé à une EDLS$n$
• Définition d'une solution d'un problème de Cauchy associé à une EDLS$n$
• Exemple d'une EDLS3, à partir de quatre fonctions $a_0,a_1,a_2,b$ continues de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$
• Réduction de l'étude d'une EDL1 à celle d'un SDL1
• Réduction de l'étude d'un SDL1 à celle d'une EDL1

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Apprendre la définition 13 (EDLS$n$), l'énoncé de la proposition 15 (d'une EDL1 à un SDL1), l'énoncé de la proposition 16 (d'un SDL1 à une EDL1) et l'énoncé de la proposition 17 (d'une EDLS$n$ à un SDL1) du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires".
• Démontrer la proposition 17 (d'une EDLS$n$ à un SDL1) du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires".
• Exercice 5 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens" : polynômes de Legendre et orthogonalité.
• Exercice 9 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens" : inégalité de Bessel et formule de Parseval dans un espace préhilbertien réel muni d'une suite orthonormale totale.

[235]  -  Cours du lundi 3 mars (4h)

Révisions sur les espaces préhilbertiens réels

• Rappel sur les coordonnées d'un vecteur d'un espace euclidien muni d'une base orthonormée
• Exercice 1 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens réels : orthonormalisation de Gram-Schmidt dans ${\mathbf{R}}^3$ muni de son produit scalaire usuel.
• Exercice 2 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens réels : polynômes de Lagrange et orthogonalité.
• Exercice 4 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens réels : polynômes de Tchebychev et orthogonalité.
• Exercice 8 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens réels : caractérisation des projecteurs orthogonaux.

Équations différentielles linéaires

• Résolution de l'équation différentielle : $$x^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{t}}x+t^2,\text{d'inconnue }x\in {\mathcal{C}}^1(]0,+\mathrm{\infty }[,\mathbf{R})$$ L'ensemble solution est une droite affine de ${\mathcal{C}}^1(]0,+\mathrm{\infty }[,\mathbf{R})$, dirigée par une fonction non nulle qui est solution de l'équation différentielle homogène associée : $$x^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{t}}x,\text{d'inconnue }x\in {\mathcal{C}}^1(]0,+\mathrm{\infty }[,\mathbf{R})$$
• Résolution de l'équation différentielle : $$x^{\prime }=0,\text{d'inconnue }x\in {\mathcal{C}}^1(\mathbf{R},\mathbf{R})$$
• Résolution de l'équation différentielle : $$x^{\prime }=0,\text{d'inconnue }x\in {\mathcal{C}}^1({\mathbf{R}}^{\ast },\mathbf{R})$$
• Résolution de l'équation différentielle : $$x^{\prime }=0,\text{d'inconnue }x\in {\mathcal{C}}^1(\mathbf{R}\setminus \mathbf{Z},\mathbf{R})$$
• Définition d'une EDL1
• Définition d'une EDL1 homogène
• Définition d'une solution d'une EDL1
• Définition de l'EDL1 homogène associée à une EDL1
• Définition d'un problème de Cauchy associé à une EDL1
• Définition d'une solution d'un problème de Cauchy associé à une EDL1
• Exemple d'EDL1, à partir d'une fonction continue $a:\mathbf{R}⟶\mathcal{L}\left({\mathbf{R}}^3\right)$ et d'une fonction continue $b:\mathbf{R}⟶{\mathbf{R}}^3$
• Les EDL1 de MPI généralisent les EDL1 scalaires étudiées en MP2I.
• Définition d'un SDL1
• Définition d'un SDL1 homogène
• Définition d'une solution d'un SDL1
• Définition du SDL1 homogène associé à un SDL1
• Définition d'un problème de Cauchy associé à un SDL1
• Définition d'une solution d'un problème de Cauchy associé à un SDL1
• Exemple de SDL1, à partir d'une fonction continue $A:\mathbf{R}⟶{\mathcal{M}}_3\left(\mathbf{R}\right)$ et d'une fonction continue $B:\mathbf{R}⟶{\mathcal{M}}_{3,1}\left(\mathbf{R}\right)$
• Le système différentiel : $$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),\text{d'inconnue }\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\in {\mathcal{C}}^1(\mathbf{R},{\mathcal{M}}_{2,1}\left(\mathbf{R}\right))$$ est un SDL1 homogène.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Apprendre le début du cours sur les équations différentielles linéaires, en particulier les définitions 4 (EDL1) et 7 (SDL1) du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires".
• Exercice 2 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution de l'équation différentielle $$|t|x^{\prime }+x=t^2,\text{d'inconnue }x\in {\mathcal{C}}^1(\mathbf{R},\mathbf{R})$$ où le raccordement en 0 est guidé.
• Exercice 10 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution du système différentiel $$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),\text{d'inconnue }\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\in {\mathcal{C}}^1(\mathbf{R},{\mathcal{M}}_{2,1}\left(\mathbf{R}\right))$$ en réduisant la matrice $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$.
• Exercice 11 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'une EDLS2 à coefficients constants, avec second membre « polynôme-exponentielle »
• Exercice 12 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : résolution d'une EDLS2 à coefficients constants, avec second membre « polynôme-exponentielle »
• Étudier la section 2 du polycopié de cours "Équations différentielles linéaires" : champs de vecteurs d'un SDL1 d'inconnue $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\in {\mathcal{C}}^1(\mathbf{R},{\mathcal{M}}_{2,1}\left(\mathbf{R}\right))$, en s'attachant à bien comprendre que les trajectoires des solutions épousent le champ de vecteurs.

[231]  -  Cours du samedi 1^er mars (2h)

Révisions sur les espaces préhilbertiens réels

• Si $I$ est un intervalle d'intérieur non vide, alors $L^2(I)=\{f\in {\mathcal{C}}^0(I,\mathbf{R}):f^2\text{ est intégrable sur }I\}$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{C}}^0(I,\mathbf{R})$ et : $$<\cdot ,\cdot >|\begin{array}{ccc}{L}^2(I)\times L^2(I)& ⟶& \mathbf{R}\\ (f,g)& ⟼& {\displaystyle {\int }_{I}fg}\end{array}$$ est un produit scalaire sur $L^2(I)$.
• Si $I$ est un intervalle d'intérieur non vide et $\omega$ est une fonction de ${\mathcal{C}}^0(I,\mathbf{R})$ strictement positive, alors $L_{\omega }^2(I)=\{f\in {\mathcal{C}}^0(I,\mathbf{R}):f^2\omega \text{ est intégrable sur }I\}$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{C}}^0(I,\mathbf{R})$ et : $$<\cdot ,\cdot >|\begin{array}{ccc}{L}_{\omega }^2(I)\times L_{\omega }^2(I)& ⟶& \mathbf{R}\\ (f,g)& ⟼& {\displaystyle {\int }_{I}fg\omega }\end{array}$$ est un produit scalaire sur $L_{\omega }^2(I)$.
• Exercice 3 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens réels" : projection/symétrie orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie

Intégrales à paramètre

• Suite de l'étude approfondie de la fonction $\mathrm{\Gamma }$ d'Euler sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ : relation fonctionnelle, calcul des valeurs de $\mathrm{\Gamma }$ aux entiers naturels non nuls, calcul de $\mathrm{\Gamma }\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$, calcul de $\mathrm{\Gamma }\left({\displaystyle \frac{11}{2}}\right)$, annulation de ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ en un unique point compris entre 1 et 2, sens de variation de $\mathrm{\Gamma }$.
• Développement asymptotique de $a_n={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{1+x^n}}\mathrm{d}x}$ avec une précision en $\mathrm{o}\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)$

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Revoir le chapitre 11 "Équations différentielles linéaires" de MP2I
• Exercice 1 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens réels : orthonormalisation de Gram-Schmidt dans ${\mathbf{R}}^3$ muni de son produit scalaire usuel.
• Exercice 2 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens réels : polynômes de Lagrange et orthogonalité.
• Exercice 4 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens réels : polynômes de Tchebychev et orthogonalité.
• Exercice 8 de la feuille d'exercices "Révisions sur les espaces préhilbertiens réels : caractérisation des projecteurs orthogonaux.

[229]  -  Cours du vendredi 28 février (2h)

Intégrales à paramètre

• Exercice 27 de la feuille d'exercices "Intégrales à paramètre" : une démonstration du théorème de d'Alembert-Gauß (fin de la résolution).
• Théorème sur les dérivées d'ordre supérieur d'une intégrale à paramètre
• Calcul de l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1-\cos (tx)}{t^2}}{e}^{-t}\mathrm{d}t}$, pour tout $x\in \mathbf{R}$, en dérivant deux fois une intégrale à paramètre
• Début de l'étude approfondie de la fonction $\mathrm{\Gamma }$ d'Euler sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ : stricte positivité, caractère ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$, convexité

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Questions 4, 5, 6, 7, 8, 9 de l'exercice 53 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : sens de variation de la fonction $\mathrm{\Gamma }$, calcul de $\mathrm{\Gamma }\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$, $\log$-convexité de la fonction $\mathrm{\Gamma }$, relation fonctionnelle de la fonction $\mathrm{\Gamma }$, calcul de $\mathrm{\Gamma }\left({\displaystyle \frac{11}{2}}\right)$, équivalent de $\mathrm{\Gamma }(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$
• Exercice 7 de la feuille d'exercices "Intégrales à paramètre" : développement asymptotique de $a_n={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{1+x^n}}\mathrm{d}x}$ avec une précision en $\mathrm{o}\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)$
• Apprendre le polycopié de cours "Révisions sur les espaces préhilbertiens"

[227]  -  TD du jeudi 27 février (2h)

Intégrales à paramètre

• Prolongement par continuité en $0$ de la transformée de Laplace de la fonction sinus cardinal et calcul de l'intégrale de Dirichlet
• Exercice 25 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{1+t^a}}\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{na+1}}}$. On appliquera le pis-aller 24.
• Exercice 19 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : ${\displaystyle {\int }_2^{+\mathrm{\infty }}\zeta (x)-1\mathrm{d}x=\sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^2\ln (n)}}}$.
• Exercice 38 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : définition et continuité de la fonction ${\displaystyle x⟼{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\sqrt{x+\cos (t)}{e}^{-t}\mathrm{d}t}$ sur $[1,+\mathrm{\infty }[$.
• Exercice 5 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n}}{\mathbf{1}}_{[0,n]}(x)\mathrm{d}x\ne {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{n}}{\mathbf{1}}_{[0,n]}(x)\mathrm{d}x}$
• Exercice 2 de la feuille d'exercices "Intégrales à paramètre" : limite éventuelle de ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^n}{x^{2n}+1}}\mathrm{d}x}$ lorsque $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$
• Exercice 14 de la feuille d'exercices "Intégrales à paramètre" : ${\displaystyle {\int }_0^1{x}^{-x}\mathrm{d}x=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{n}^{-n}}$
• Exercice 17 de la feuille d'exercices "Intégrales à paramètre" : calcul de ${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{t-1}{\ln (t)}}{t}^x\mathrm{d}t}$, pour tout $x>-1$
• Exercice 20 de la feuille d'exercices "Intégrales à paramètre" : calcul de ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\arctan (xt)}{t(1+t^2)}}\mathrm{d}t}$, pour tout $x\in \mathbf{R}$
• Exercice 27 de la feuille d'exercices "Intégrales à paramètre" : une démonstration du théorème de d'Alembert-Gauß (début de la résolution)

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Étudier le théorème 49 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : dérivée d'ordre supérieur d'une intégrale à paramètre
• Question 2 de l'exercice 53 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : caractère ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ de la fonction $\mathrm{\Gamma }$ d'Euler sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

[225]  -  Cours du jeudi 27 février (2h)

Intégrales à paramètre

• Théorème sur la dérivée d'une intégrale à paramètre
• Calcul de l'intégrale de Gauß, en dérivant une intégrale à paramètre
• Calcul de la transformée de Laplace de la fonction sinus cardinal, en dérivant une intégrale à paramètre

[223]  -  Cours du mercredi 26 février (4h)

Intégrales à paramètre

• Exercice 6 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : limite éventuelle de ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{1+t^2+t^n{e}^{-t}}}\mathrm{d}t}$ lorsque $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$
• Exercice 7 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : nature de la série numérique ${\displaystyle \sum (-1{)}^n{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{{(1+t^2)}^n}}\mathrm{d}t}$
• Limite éventuelle de ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}nf(t)e^{-nt}\mathrm{d}t}$ lorsque $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, où $f$ est une fonction continue et bornée sur ${\mathbf{R}}_{+}$
• Version continue du théorème de convergence dominée.
• Domaine de définition et continuité de la fonction ${\displaystyle x⟼{\int }_0^{\pi /2}(\sin (t){)}^x\mathrm{d}t}$
• Théorème d'intégration terme à terme de Lebesgue : cas positif.
• ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{t}{e^t-1}}\mathrm{d}t=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}}$
• Calcul de ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\ln (t)}{1-t}}\mathrm{d}t}$
• Théorème d'intégration terme à terme de Lebesgue : cas général.
• ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\cos (\sqrt{x})e^{-x}\mathrm{d}x=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{\displaystyle \frac{n!}{(2n)!}}}$
• Problématique des intégrales à paramètre
• Exemples d'intégrales à paramètre : fonction $\mathrm{\Gamma }$ d'Euler, transformée de Laplace, transformée de Fourier
• Théorème de continuité d'une intégrale à paramètre.
• Définition et continuité de la fonction ${\displaystyle x⟼{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{1+t^3+x^3}}\mathrm{d}t}$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.
• Définition et continuité de la fonction ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }:x⟼{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Apprendre par coeur les énoncés des théorèmes suivants, qui seront intensément travaillés demain, notamment durant le TD.
  • Théorème de convergence dominée.
  • Version continue du théorème de convergence dominée.
  • Théorème d'intégration terme à terme de Lebesgue : cas positif.
  • Théorème d'intégration terme à terme de Lebesgue : cas général.
  • Théorème de continuité d'une intégrale à paramètre.
• Étudier le pis-aller 24 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : intégration terme à terme, en appliquant le théorème de convergence dominée aux sommes partielles.
• Exercice 25 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{1+t^a}}\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{na+1}}}$. On appliquera le pis-aller 24.
• Exercice 19 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : ${\displaystyle {\int }_2^{+\mathrm{\infty }}\zeta (x)-1\mathrm{d}x=\sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^2\ln (n)}}}$.
• Exercice 38 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : définition et continuité de la fonction ${\displaystyle x⟼{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\sqrt{x+\cos (t)}{e}^{-t}\mathrm{d}t}$ sur $[1,+\mathrm{\infty }[$.
• Étudier le théorème 41 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : dérivée d'une intégrale à paramètre

[219]  -  Cours du vendredi 7 février (2h)

Séries entières

• Exercice 16 de la feuille d'exercices "Séries entières" : calcul du nombre de dérangements
• Développement en série entière de la fonction $x⟼{\displaystyle \frac{1}{(x+2)(x-1)}}$ au voisinage de 0.

Intégrales à paramètre

• Théorème de convergence dominée
• Limite éventuelle de ${\displaystyle {\int }_0^{\pi /4}{\tan }^n(t)\mathrm{d}t}$ lorsque $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$
• Limite éventuelle de ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^n+e^x}}\mathrm{d}x}$ lorsque $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$
• Calcul de l'intégrale de Gauß en appliquant le théorème de convergence dominée et l'équivalent des intégrales de Wallis

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Apprendre l'énoncé du théorème de convergence dominée (théorème 1 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre").
• Exercice 5 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n}}{\mathbf{1}}_{[0,n]}(x)\mathrm{d}x\ne {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{n}}{\mathbf{1}}_{[0,n]}(x)\mathrm{d}x}$
• Exercice 6 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : limite éventuelle de ${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{1+t^2+t^n{e}^{-t}}}\mathrm{d}t}$ lorsque $n$ tend vers $+\mathrm{\infty }$
• Exercice 7 du polycopié de cours "Intégrales à paramètre" : nature de la série numérique ${\displaystyle \sum (-1{)}^n{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{{(1+t^2)}^n}}\mathrm{d}t}$

[217]  -  TD du jeudi 6 février (2h)

Séries entières

• Rayon de convergence et calcul de la somme de la série entière ${\displaystyle \sum ({\displaystyle \frac{1}{2^n}}+{\displaystyle \frac{1}{3^n}})z^n}$
• Rayon de convergence de la série entière ${\displaystyle \sum \ln (1+{\displaystyle \frac{1}{n}})z^n}$
• Exercice 24 de la banque CCINP : démonstration du caractère ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ d'une fonction, en établissant qu'elle est somme d'une série entière
• Exercice 5 de la feuille d'exercices "Séries entières" : rayon de convergence et calcul de la somme de la série entière ${\displaystyle \sum _{n⩾1}(-1{)}^n{\displaystyle \frac{x^{2n}}{2n(2n-1)}}}$
• Exercice 6 de la feuille d'exercices "Séries entières" : rayon de convergence et calcul de la somme de la série entière ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{4n{x}^n}{(2n-1)(n+1)}}}$
• Exercice 7 de la feuille d'exercices "Séries entières" : rayon de convergence et calcul de la somme de la série entière ${\displaystyle \sum _{n⩾1}{\displaystyle \frac{n^2-5n+1}{n!}}{x}^n}$
• Exercice 14 de la feuille d'exercices "Séries entières" : formule de Cauchy et théorème de Liouville
• Exercice 17 de la feuille d'exercices "Séries entières" : calcul du nombre d'involutions

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 16 de la feuille d'exercices "Séries entières" : calcul du nombre de dérangements

[215]  -  Cours du jeudi 6 février (2h)

Séries entières

• Coefficients d'une série entière de rayon de convergence non nul versus nombres dérivées itérées en 0 de sa somme
• Unicité des coefficients d'une série entière de rayon de convergence non nul
• Exemple d'une fonction de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $\mathbf{R}$, non développable en série entière au voisinage de $0$
• Si une fonction est développable en série entière au voisinage de $0$, alors elle est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ au voisinage de $0$.
• Si une fonction est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ au voisinage de $0$ et que ses dérivées itérées vérifient les estimées de Cauchy, alors elle est développable en série entière au voisinage de $0$.
• Exemple de calcul d'un développement en série entière par dérivation terme à terme : $x⟼{\displaystyle \frac{1}{(1-x{)}^2}}$
• Exemple de calcul d'un développement en série entière par primitivation terme à terme : $x⟼\ln (1+x)$
• Exemple de calcul d'un développement en série entière par produit de Cauchy : $x⟼{\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{1-x}}$
• Exemple de calcul d'un développement en série entière en résolvant une équation différentielle $x⟼(1+x{)}^{\alpha }$, où $\alpha \in \mathbf{R}$
• Développement en série entière de la fonction $x⟼{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$

[213]  -  Cours du mercredi 5 février (2h)

Algèbre linéaire

• Si $n$ est un entier naturel non nul et $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbf{K})$ alors la formule du rang pour la matrice $A$ s'énonce comme suit $$\dim (\mathrm{Ker}(A))+\mathrm{Rg}(A)=n$$ car il s'agit d'une reformulation de la formule du rang pour l'application linéaire $${\phi }_A|\begin{array}{ccc}{\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbf{K})& ⟶& {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbf{K})\\ X& ⟼& AX\end{array}$$

Séries entières

• Si $\theta \in ]0,\pi [$ alors la série numérique ${\displaystyle \sum {\displaystyle \frac{\sin (n\theta )}{n}}}$ converge et ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sin (n\theta )}{n}}={\displaystyle \frac{\pi -\theta }{2}}}$
• Rayon de convergence de la série entière ${\displaystyle \sum _{n\text{ premier}}{\displaystyle \frac{z^n}{3^n}}}$
• Rayon de convergence de la série entière ${\displaystyle \sum n^{(-1{)}^n}{z}^n}$
• $R\left({\displaystyle \sum a_n{z}^n}\right)$ versus $R\left({\displaystyle \sum a_n{z}^{2n}}\right)$
• $R\left({\displaystyle \sum a_n{z}^n}\right)$ versus $R\left({\displaystyle \sum {\displaystyle \frac{a_n}{n!}}{z}^n}\right)$
• La fonction $\exp :\mathbf{C}⟼\mathbf{C}$, définie comme la somme de la série entière ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{\displaystyle \frac{z^n}{n!}}}$ sur $\mathbf{C}$, est continue sur $\mathbf{C}$.
• Calcul de la somme de la série harmonique alternée à l'aide du théorème d'Abel radial
• Caractère ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ de la somme d'une série entière sur son intervalle ouvert de convergence
• La fonction $\exp :\mathbf{R}⟼\mathbf{R}$, définie comme la somme de la série entière ${\displaystyle \sum _{n⩾0}{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}}$ sur $\mathbf{R}$, est de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$ sur $\mathbf{R}$ et toutes ses dérivées itérées lui sont égales.
• Convergence et calcul de la somme de la série ${\displaystyle \sum _{n⩾1}n{x}^n}$ où $x\in ]-1,1[$
• Primitivation terme à terme de la somme d'une série entière sur son intervalle ouvert de convergence
• Développement en série entière de la fonction $x⟼\ln (1+x)$ sur $]-1,1[$
• Développement en série entière de la fonction arctan sur $]-1,1[$

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Apprendre le cours sur les "Séries entières" : de la partie 1 à la partie 7.2 incluse, ainsi que le tableau des 9 développements en série entière usuels avec les rayons de convergence (page 18)
• Étudier les exercices 19, 20, 21, 22, 23, 24, 47 de la banque d'exercices CCINP [PDF]

[211]  -  Cours du lundi 3 février (4h)

Séries entières

• Rayons de convergence des séries entières ${\displaystyle \sum {\displaystyle \frac{z^n}{2^n}}}$, ${\displaystyle \sum \ln (n)z^n}$, ${\displaystyle \sum n!z^n}$, ${\displaystyle \sum n^{\alpha }{z}^n}$ où $\alpha >0$, ${\displaystyle \sum {\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{2n+1}}{z}^{2n+1}}$
• Définition du disque ouvert de convergence, de l'intervalle ouvert de convergence
• Transformation d'Abel et nature de la série entière ${\displaystyle \sum {\displaystyle \frac{z^n}{n}}}$ sur le bord de son disque de convergence
• Détermination du rayon de convergence à partir d'un point atypique
• Règle de d'Alembert pour les séries entières
• La règle de d'Alembert pour les séries entières ne s'applique pas pour les séries lacunaires.
• La règle de d'Alembert pour les séries entières ne peut pas s'appliquer pour déterminer le rayon de convergence de la série entière ${\displaystyle \sum n^{(-1{)}^n}{z}^n}$.
• Rayon de convergence de la série entière ${\displaystyle \sum 2^n{z}^{2n}}$
• Relations de comparaison et rayons de convergence
• Si ${\displaystyle \sum a_n{z}^n}$ est une série entière et $\alpha \in \mathbf{R}$, alors $$R\left({\displaystyle \sum a_n{z}^n}\right)=R\left({\displaystyle \sum n^{\alpha }{a}_n{z}^n}\right)$$
• Rayons de convergence des séries entières ${\displaystyle \sum {\displaystyle \frac{z^n}{n(n+1)}}}$, ${\displaystyle \sum \sqrt{n+2}{z}^n}$, ${\displaystyle \sum P(n)z^n}$ où $P\in \mathbf{C}[X]$, ${\displaystyle \sum {\displaystyle \frac{\ln (n)}{n^2}}{z}^n}$
• Rayon de convergence de la somme de deux séries entières
• Développements en série entière des fonctions cosinus hyperbolique et sinus
• Définition du produit de Cauchy de deux séries entières
• Rayon de convergence du produit de Cauchy de deux séries entières et résultat sur la somme d'icelui
• Définition de la continuité d'une fonction de la variable complexe à valeurs complexes
• Convergence normale sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence
• Continuité de la somme d'une série entière sur le disque ouvert de convergence
• La fonction exponentielle est continue sur $\mathbb{C}$
• Théorème d'Abel radial : énoncé et démonstration avec une transformation d'Abel
• Si $\theta \in ]0,\pi [$ alors la série numérique ${\displaystyle \sum {\displaystyle \frac{\sin (n\theta )}{n}}}$ converge : une autre application de la transformée d'Abel

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Achever la résolution de l'exercice 51 du polycopié de cours "Séries entières" : calcul de la somme ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sin (n\theta )}{n}}}$, où $\theta \in ]0,\pi [$. Les questions 1 et 2 ont été résolues en classe, reste la question 3 à étudier.
• Exercice 25 du polycopié de cours "Séries entières" : rayon de convergence de la série entière ${\displaystyle \sum _{n\text{ premier}}{\displaystyle \frac{z^n}{3^n}}}$
• Exercice 27 du polycopié de cours "Séries entières" : rayon de convergence de la série entière ${\displaystyle \sum n^{(-1{)}^n}{z}^n}$
• Exercice 29 du polycopié de cours "Séries entières" : $R\left({\displaystyle \sum a_n{z}^n}\right)$ versus $R\left({\displaystyle \sum a_n{z}^{2n}}\right)$
• Exercice 30 du polycopié de cours "Séries entières" : $R\left({\displaystyle \sum a_n{z}^n}\right)$ versus $R\left({\displaystyle \sum {\displaystyle \frac{a_n}{n!}}{z}^n}\right)$

[207]  -  Cours du vendredi 31 janvier (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 2

• Si $u$ est un endomorphisme d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel et $P\in \mathbf{K}[X]$, alors $P(u)$ est inversible si et seulement si $P\wedge {\pi }_u=1$.
• Un représentant remarquable dans la classe de similitude d'une matrice à polynôme caractéristique scindé sur $\mathbf{K}$

Séries entières

• Notion de série entière et problématique
• Lemme d'Abel
• Définition du rayon de convergence d'une série entière
• Rayons de convergence des séries entières ${\displaystyle \sum z^n}$, ${\displaystyle \sum {\displaystyle \frac{z^n}{n!}}}$, ${\displaystyle \sum {\displaystyle \frac{z^n}{n^2}}}$
• Caractérisation du rayon de convergence

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercices 8--12 du polycopié de cours "Séries entières" : rayons de convergence des séries entières ${\displaystyle \sum {\displaystyle \frac{z^n}{2^n}}}$, ${\displaystyle \sum \ln (n)z^n}$, ${\displaystyle \sum n!z^n}$, ${\displaystyle \sum n^{\alpha }{z}^n}$ où $\alpha >0$, ${\displaystyle \sum {\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{2n+1}}{z}^{2n+1}}$

[205]  -  TD du jeudi 30 janvier (2h)

Structures algébriques

• Exercice 3 du DM9 : groupe d'ordre $pq$ où $p,q$ sont des premiers distincts
• Exercice 4 du DM9 : Cors de rupture d'un polynôme de degré 3 irréductible sur $\mathbf{Q}$

Réduction des endomorphismes et des matrices 2

• Exercice 93 de la banque CCINP : endomorphisme d'un $\mathbf{R}$-espace vectoriel de dimension finie annulé par $X^3+X^2+X$
• Exercice 1 de la feuille d'exercices "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : matrices ${\mathcal{M}}_n\left(\mathbf{R}\right)$ annulée par $X^2+1$
• Exercice 4 de la feuille d'exercices "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : matrice de ${\mathbf{GL}}_5\left(\mathbf{R}\right)$ de trace 2 et annulée par $X^3+X^2-2X$
• Exercice 8 de la feuille d'exercices "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : diagonalisabilité du crochet de Lie contre une symétrie vectorielle
• Exercice 9 de la feuille d'exercices "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : matrices ${\mathcal{M}}_n\left(\mathbf{R}\right)$ annulée par $X^3-3X+4X$
• Exercice 12 de la feuille d'exercices "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : polynôme minimal d'un endomorphisme $u$ versus polynôme minimal de l'endomorphisme $u$ évalué en un vecteur

[203]  -  Cours du jeudi 30 janvier (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 2

• Endomorphismes $u$ de ${\mathbf{R}}^n$ tels que $u^3-4u^2+4u=0$ et $\mathrm{tr}(u)=0$.
• Théorème de Cayley-Hamilton
• Polynôme minimal de la matrice $$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$
• Caractérisations algébriques de la diagonalisabilité
• Endomorphismes $u$ de ${\mathbf{R}}^n$ vérifiant $u^p=\mathrm{id}$, où $p$ est un entier
• Polynôme minimal et diagonalisabilité d'un endomorphisme induit
• Caractérisations algébriques de la trigonalisabilité
• Décomposition de l'espace en somme directe de sous-espaces caractéristiques, dans le cas où le polynôme caractéristique est scindé

[201]  -  Cours du mercredi 29 janvier (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 2

• Polynôme caractéristique d'une matrice compagnon
• Théorème de Cayley-Hamilton pour un endomorphisme cyclique
• Polynôme minimal et commutant d'un endomorphisme cyclique.
• Une matrice carrée $A$ à coefficients réels telle que $A^3+A^2+A=0$ possède une trace entière négative.
• Résultat de stabilité pour le noyau, l'image, d'un polynôme d'endomorphisme
• Deux résultats de primalité relative pour les polynômes
• Lemme des noyaux

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Étudier l'exemple 27 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : Une matrice carrée $A$ à coefficients réels telle que $A^3+A^2+A=0$ possède un rang pair.
• Étudier la proposition 38 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : polynôme caractéristique d'une matrice compagnon [énoncé et démonstration]
• Étudier le théorème 40 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : théorème de Cayley-Hamilton pour les endomorphismes cycliques [énoncé et démonstration]
• Étudier le théorème 41 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : théorème de Cayley-Hamilton [énoncé et démonstration]
• Exercice 37 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : Endomorphismes $u$ de ${\mathbf{R}}^n$ tels que $u^3-4u^2+4u=0$ et $\mathrm{tr}(u)=0$.

[199]  -  Cours du lundi 27 janvier (2h)

Suites et séries de fonctions 2

• Existence et valeur de la somme ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{r}^n{\displaystyle \frac{\sin (nt)}{n}}}$, où $(r,t)\in [0,1[\times \mathbf{R}$.
• Heuristique pour l'existence et le calcul de la somme ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sin (n)}{n}}}$ à l'aide d'une transformée d'Abel et du lemme d'Abel radial pour les séries entières.

Réduction des endomorphismes et des matrices 2

• Si $E$ est un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie, $\mathcal{B}$ est une base de $E$, $u\in \mathcal{L}(E)$, $P\in \mathbf{K}[X]$ alors $${\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(P(u))=P({\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(u))$$
• Calcul de $P(u)$ où $u$ est un endomorphisme d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel et $P\in \mathbf{K}[X]$ est scindé sur $\mathbf{K}$.
• $\mathbf{K}$-algèbre engendrée par un endomorphisme, une matrice
• $\mathbf{K}$-algèbre engendrée par un projecteur
• $\mathbf{K}$-algèbre engendrée par une matrice $(2,2)$
• $\mathbf{K}$-algèbre engendrée par une matrice $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& j& 0\\ 0& 0& j^2\end{array}\right)$
• Idéal annulateur d'un endomorphisme, d'une matrice
• Idéal annulateur de $$V|\begin{array}{ccc}{\mathbf{R}}^{\mathbf{N}}& ⟶& {\mathbf{R}}^{\mathbf{N}}\\ (u_n{)}_{n\in \mathbf{N}}& ⟼& (u_{n+1}{)}_{n\in \mathbf{N}}\end{array}$$
• Idéal annulateur de $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$
• Rappels sur les matrices de permutations
• Polynôme minimal d'un endomorphisme d'un espace de dimension finie, d'une matrice
• Calcul du polynôme minimal d'un endomorphisme diagonalisable
• Valeurs propres et polynômes annulateurs d'un endomorphisme, d'une matrice
• Valeurs propres possibles d'une matrice $A$ telle que $A^3+A^2+A+I_n=0$
• Les racines du polynôme minimal sont les valeurs propres pour un endomorphisme, une matrice.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 22 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : polynôme minimal et commutant d'un endomorphisme cyclique.
• Exercice 29 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 2" : non diagonalisabilité, polynôme minimal et calcul des puissances de la matrices $\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -1\\ -1& 3& -1\\ -1& 2& 0\end{array}\right)$.

[197]  -  Cours du vendredi 24 janvier (2h)

Suites et séries de fonctions 2

• Si $p\in ]0,1[$, calcul de la somme ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{n}^{2}p(1-p{)}^{n-1}}$
• Calcul de la somme ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{n^2}{2^n}}}$
• Étude de la fonction $\zeta$ de Riemann sur $]1,+\mathrm{\infty }[$

Réduction des endomorphismes et des matrices 2

• Définition d'un polynôme d'endomorphisme, de matrice
• Le morphisme de $\mathbf{K}$-algèbres de $\mathbf{K}[X]$ dans $\mathcal{L}(E)$ associé à un endomorphisme $u$ d'un endomorphisme d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel $E$
• Le morphisme de $\mathbf{K}$-algèbres de $\mathbf{K}[X]$ dans ${\mathcal{M}}_n(\mathbf{K})$ associé à une matrice $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbf{K})$
• Deux polynômes d'un même endomorphisme, d'une même matrice, commutent.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Revoir le chapitre «, Réduction des endomorphismes et des matrices 1 »
• Exercice 27 polycopié de cours "Suites et séries de fonctions 2" : existence et valeur de la somme ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{r}^n{\displaystyle \frac{\sin (nt)}{n}}}$, où $(r,t)\in [0,1[\times \mathbf{R}$
• Soient $E$ un $\mathbf{K}$-espace vectoriel, $u$ un endomorphisme de $E$ et $P\in \mathbf{K}[X]$ tel que $P(u)=0_{\mathcal{L}(E)}$. Démontrer que toute valeur propre de $u$ est racine du polynôme $P$.

[195]  -  TD du jeudi 23 janvier (2h)

Suites et séries de fonctions 2

• Exercice 22 polycopié de cours "Suites et séries de fonctions 2" : convergence et somme de la série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{r}^{n}n\cos (nt)}$, où $(r,t)\in [0,1[\times \mathbf{R}$.
• Exercice 2 de la feuille d'exercices "Suites et séries de fonctions 2" : étude de la fonction $$f|\begin{array}{ccc}[0,+\mathrm{\infty }[& ⟶& \mathbf{R}\\ x& ⟼& {\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{e^{-nx}}{1+n^2}}}\end{array}$$
• Exercice 6 de la feuille d'exercices "Suites et séries de fonctions 2" : si $x>0$, existence et valeur de la somme ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}n{e}^{-nx}}$
• Exercice 8 de la feuille d'exercices "Suites et séries de fonctions 2" : étude de la fonction $$f|\begin{array}{ccc}]-1,1[& ⟶& \mathbf{R}\\ x& ⟼& {\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^n}{1+x^n}}}\end{array}$$
• Exercice 9 de la feuille d'exercices "Suites et séries de fonctions 2" : étude de la fonction $$f|\begin{array}{ccc}\mathbf{R}\setminus \mathbf{Z}& ⟶& \mathbf{R}\\ x& ⟼& {\displaystyle \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\prod _{k=0}^n{\displaystyle \frac{1}{x+k}}}\end{array}$$

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 31 polycopié de cours "Suites et séries de fonctions 2" : étude de la fonction $\zeta$ de Riemann sur $]1,+\mathrm{\infty }[$

[193]  -  Cours du jeudi 23 janvier (2h)

Suites et séries de fonctions 2

• La suite de fonctions de terme général $$f_n|\begin{array}{ccc}[0,1]& ⟶& \mathbf{R}\\ x& ⟼& (1-x{)}^n\sin (x)\end{array}$$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers la fonction identiquement nulle sur $[0,1]$.
• Primitivation d'une limite uniforme d'une suite de fonctions continues.
• Primitivation terme à terme d'une série de fonctions uniformément convergente de fonctions continues.
• Critère ${\mathcal{C}}^1$ pour les suites de fonctions
• Critère ${\mathcal{C}}^1$ pour les séries de fonctions
• La fonction $$f|\begin{array}{ccc}[0,1]& ⟶& \mathbf{R}\\ x& ⟼& {\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\ln (1+{\displaystyle \frac{x}{n}})-{\displaystyle \frac{x}{n}}}\end{array}$$ est bien définie et de classe ${\mathcal{C}}^1$.
• Critère ${\mathcal{C}}^k$ pour les suites de fonctions, où $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$
• Critère ${\mathcal{C}}^k$ pour les séries de fonctions, où $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$
• Si $x\in [0,1[$ alors la série ${\displaystyle \sum {\displaystyle \frac{x}{n}}}$ converge et ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x}{n}}=-\ln (1-x)}$.