Cahier de texte - Mathématique - MP2122

[294] - Séance du vendredi 2 avril 2022 (2h)

• Révisions
  • Définition des cofacteurs d'une matrice
  • Définition de la comatrice d'une matrice
  • Développement du déterminant d'une matrice suivant une ligne ou une colonne
  • Si \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \), alors \[ A \times \operatorname{Comm}(A)^{\top} = \det(A) \, I_n \;. \]
  • Formule de Cramer pour l'inverse d'une matrice inversible
  • L'application \[ \operatorname{inv} \quad \left|\; \begin{array}{ccc} \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) & \longrightarrow & \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) \\ A & \longmapsto & A^{-1} \;. \end{array} \right. \] est continue.
  • Étude d'une situation probabiliste avec deux jeux enchaînés où apparaît la loi de Pascal.
• Devoirs
  • Soit \(u\) un endomorphisme symétrique d'un espace euclidien \(E\). On suppose que, pour tout \( x \in E \), \( < u(x) , x > = 0\). Démontrer que \(u\) est l'endomorphisme nul de \(E\).
  • C18.60: Déterminant de l'exponentielle d'une matrice
  • C18.110: Résolution d'un système différentiel linéaire d'ordre 1 à coefficients constants avec second membre (format 2x2, cas diagonalisable sur \( \mathbb{R} \)).
  • C18.114: Résolution d'un système différentiel linéaire d'ordre 1 homogène à coefficients constants, (format 3x3, cas non diagonalisable sur \( \mathbb{R} \) mais diagonalisable sur \( \mathbb{C} \)).

[292] - Séance du jeudi 1^er avril 2022 (4h)

• Suite du chapitre 18 "Équations différentielles linéaires"
  • Méthode de la variation des constantes pour les EDL1 abstraites: calcul d'une solution particulière d'une EDL1 abstraite connaissant un système fondamental de solution pour l'EDL1 homogène associée.
  • Définition d'un système différentiel linéaire d'ordre 1 (SDL1), du SDL1 homogène associé, d'une solution d'un SDL1 et de l'ensemble solution d'un SDL1.
  • Définition d'un problème de Cauchy pour un SDL1
  • Théorème de Cauchy pour un SDL1
  • Structure de l'ensemble solution d'un SDL1 homogène
  • Structure de l'ensemble solution d'un SDL1
  • Résolution du système différentiel \[ \left\{ \begin{array}{rcl} x' & = & -x + 3 y + e^t \\ y' & = & -2x + 4y \end{array} \right. \] sur \( \mathbb{R} \).
  • Une norme d'algèbre sur \( \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \)
  • Définition de l'exponentielle d'une matrice
  • Exponentielle d'une matrice diagonale
  • Exponentielle d'une somme de matrices qui commutent
  • L'application \[ \exp \quad \left|\; \begin{array}{ccc} \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) & \longrightarrow & \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \\ A & \longmapsto & \displaystyle \sum_{p=0}^{+\infty} \dfrac{A^p}{p!} \;. \end{array} \right. \] est continue.
  • Si \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \) alors l'application \[ f \quad \left|\; \begin{array}{ccc} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \\ t & \longmapsto & \displaystyle \exp(tA) \;. \end{array} \right. \] est dérivable et vérifie, pour tout \( t \in \mathbb{R} \), \( f'(t) = A f(t) \).
  • Résolution d'un SDL1 homogène à coefficients constants grâce à une exponentielle de matrice
  • Résolution d'un SDL1 homogène à coefficients constants dans le cas diagonalisable
  • Résolution du système différentiel \[ \left\{ \begin{array}{rcl} x' & = & 4x - 2 y \\ y' & = & x + y \end{array} \right. \] sur \( \mathbb{R} \).

[288] - Séance du mercredi 30 mars 2022 (2h)

• Retour sur le devoir surveillé 7
  • Domaine de définition de la fonction \( \Gamma \colon x \longmapsto \displaystyle \int_0^{+\infty} t^{x-1} \, e^{-t} \; \operatorname{d} t \)
• Suite du chapitre 18 "Équations différentielles linéaires"
  • Correction de l'exercice: Résoudre l'équation différentielle \[ ( 1 - t ) \, y' - y = t \] sur \( \mathbb{R} \).
  • Définition d'une courbe intégrale d'une EDL1 scalaire
  • Les courbes intégrales d'une EDL1 scalaire ne se rencontrent pas
  • Définition d'un système fondamental d'EDL1 abstraite
  • Caractérisation d'un système fondamental d'EDL1 abstraite
  • Définition du Wronskien d'un système fondamental d'EDL1 abstraite
  • Le Wronskien d'un système fondamental d'EDL1 abstraite ne s'annule en aucun point

[286] - Séance du mardi 29 mars 2022 (2h)

• Complément sur le chapitre 17 "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien"
  • Correction de l'exercice: Démontrer que l'endomorphisme de \( \mathbb{R}^3 \) canoniquement associé à la matrice \[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \] est un endomorphisme orthogonal et préciser ses éléments caractéristiques.
• Suite du chapitre 18 "Équations différentielles linéaires"
  • Définition d'une EDL1 scalaire, de l'EDL1 scalaire homogène associée, d'une solution d'une EDL1 scalaire et de l'ensemble solution d'une EDL1 scalaire.
  • Définition d'un problème de Cauchy pour une EDL1 scalaire
  • Une EDL1 scalaire est un cas particulier d'une EDL1 abstraite
  • Théorème de Cauchy pour une EDL1 scalaire
  • Structure de l'ensemble solution d'une EDL1 homogène scalaire et expression d'un vecteur de base pour un tel.
  • Structure de l'ensemble solution d'une EDL1 scalaire et détermination d'une solution particulière par la méthode de variation de la constante
  • Résolution de l'équation différentielle \[ y' = x \, y - x \] sur \( \mathbb{R} \).
  • Résolution de l'équation différentielle \[ t \, x' = 2 \, x + t^3 \] sur \( \mathbb{R} \).
• Devoirs
  • Résoudre l'équation différentielle \[ ( 1 - t ) \, y' - y = t \] sur \( \mathbb{R} \).

[284] - Séance du lundi 28 mars 2022 (4h)

• Complément sur le chapitre 17 "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien"
  • Correction de l'exercice C17.69: Détermination des éléments caractéristiques d'une isométrie négative de l'espace
  • Correction de l'exercice suivant: Déterminer une matrice \( P \in \mathcal{O}_3(\mathbb{R}) \) telle que la matrice \[ P^{\top} \; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \; P \] est diagonale.
  • Correction de l'exercice suivante: Soit \( A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \). Démontrer \( \operatorname{Spec}_{\mathbb{R}}(A) \subset \mathbb{R}_{\geqslant 0} \) si et seulement si, pour tout \( X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \), \( X^{\top} A X \geqslant 0 \).
  • Soit \( A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \). Démontrer \( \operatorname{Spec}_{\mathbb{R}}(A) \subset \mathbb{R}_{\geqslant 0} \) si et seulement s'il existe \( M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \) tel que \( A = M^{\top} \, M \).
  • Correction de l'exercice C17.77: Si \( A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \) et s'il existe \( k \in \mathbb{N}^* \) tel que \( A^k = I_n \), alors \( A^2 = I_n \).
  • Correction de l'exercice C17.89: Si \( M = (m_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \) alors \[ \det(M) \leqslant \prod_{j=1}^m \sqrt{ \sum_{i=1}^n m_{i,j}^2 } \;. \]
• Début du chapitre 18 "Équations différentielles linéaires"
  • Définition d'une EDL1 abstraite, de l'EDL1 abstraite homogène associée, d'une solution d'une EDL1 abstraite et de l'ensemble solution d'une EDL1 abstraite.
  • Définition d'un problème de Cauchy pour une EDL1 abstraite
  • Théorème de Cauchy pour une EDL1 abstraite
  • Définition du flot d'une EDL1 abstraite en un temps \( t_0 \in I \)
  • Bijectivité du flot
  • Structure de l'ensemble solution d'une EDL1 abstraite homogène
  • Structure de l'ensemble solution d'une EDL1 abstraite
• Devoirs
  • Démontrer que l'endomorphisme de \( \mathbb{R}^3 \) canoniquement associé à la matrice \[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \] est un endomorphisme orthogonal et préciser ses éléments caractéristiques.
  • C17.70: Si \( E , < \,\cdot\,,\,\cdot\, >) \) est un espace euclidien muni de deux vecteurs unitaires \(a\) et \(b\) non colinéaires, étude de l'endomorphisme \[ \left|\; \begin{array}{ccc} E & \longrightarrow & E \\ x & \longmapsto & < a , x > \, a + < b , x > \, b \;. \end{array} \right. \]

[280] - Séance du vendredi 25 mars 2022 (2h)

• Fin du chapitre 17 "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien"
  • Correction de l'exercice C17.81: Si \( A = (a_{i,j}) \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R}) \) alors \[ \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} a_{i,j}^2 \leqslant n \qquad\text{et}\qquad \left| \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} a_{i,j} \right| \leqslant n \;. \]
  • Réduction d'une matrice orthogonale
  • Définition d'un endomorphisme symétrique
  • Un projecteur \(p\) est un projecteur orthogonal si et seulement si \(p\) est un endomorphisme symétrique.
  • Une symétrie \(s\) est une symétrique orthogonale si et seulement si \(s\) est un endomorphisme symétrique.
  • Structure de l'ensemble des endomorphismes symétriques d'un espace euclidien
  • Caractérisation matricielle des endomorphismes symétriques
  • \( \dim \left( \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \right) = \dfrac{n(n+1)}{2} \)
  • Si \(E\) est un espace euclidien de dimension \(n\) alors \( \dim \left( \mathcal{S}(E) \right) = \dfrac{n(n+1)}{2} \)
  • Un résultat de stabilité pour les endomorphismes symétriques
  • Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme symétrique est scindé sur \( \mathbb{R} \)
  • Théorème spectral pour les endomorphismes symétriques
  • Théorème spectral pour les matrices réelles symétriques
• Devoirs
  • Étudier la partie 5 "Éléments caractéristiques d'une isométrie négative de l'espace" du chapitre 17 "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien"
  • C17.69: Détermination des éléments caractéristiques d'une isométrie négative de l'espace
  • Déterminer une matrice \( P \in \mathcal{O}_3(\mathbb{R}) \) telle que la matrice \[ P^{\top} \; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \; P \] est diagonale.
  • Soit \( A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \). Démontrer \( \operatorname{Spec}_{\mathbb{R}}(A) \subset \mathbb{R}_{\geqslant 0} \) si et seulement si, pour tout \( X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \), \( X^{\top} A X \geqslant 0 \).
  • C17.77: Si \( A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \) et s'il existe \( k \in \mathbb{N}^* \) tel que \( A^k = I_n \), alors \( A^2 = I_n \).
  • C17.89: Si \( M = (m_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \) alors \[ \det(M) \leqslant \prod_{j=1}^m \sqrt{ \sum_{i=1}^n m_{i,j}^2 } \;. \]

[278] - Séance du jeudi 24 mars 2022 (2h)

• Suite du chapitre 17 "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien"
  • Déterminant d'un endomorphisme orthogonal
  • Groupe spécial orthogonal d'un espace euclidien
  • Définition d'une isométrie positive (resp. négative) d'un espace euclidien
  • Synthèse sur \( \mathcal{SO}_2(\mathbb{R}) \) et les matrices de rotation
  • Description géométrique d'une isométrie positive d'un plan euclidien
  • Synthèse sur \( \mathcal{O}_2(\mathbb{R}) \setminus \mathcal{SO}_2(\mathbb{R}) \)
  • Réduction d'une isométrie négative d'un plan euclidien
  • Existence d'une droite ou d'un plan stable par un endomorphisme d'un \( \mathbb{R} \)-espace vectoriel de dimension finie
  • Un résultat de stabilité pour les endomorphismes orthogonaux
  • Réduction des isométries d'un espace euclidien
• Devoirs
  • C17.81: Si \( A = (a_{i,j}) \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R}) \) alors \[ \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} a_{i,j}^2 \leqslant n \qquad\text{et}\qquad \left| \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} a_{i,j} \right| \leqslant n \;. \]

[276] - Séance du mercredi 23 mars 2022 (2h)

• Suite du chapitre 17 "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien"
  • Correction de l'exercice C17.68: Réduction de la matrice \( B \, A^{\top} + A \, B^{\top} \) où \( A,B \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \) sont linéairement indépendants
  • Deuxième caractérisation des matrices orthogonales
  • Définition d'un endomorphisme orthogonal
  • Définition d'une isométrie
  • Un endomorphisme est orthogonal si et seulement si c'est une isométrie
  • Une symétrie orthogonal est une isométrie
  • Groupe orthogonal d'un espace euclidien
  • Caractérisation des endomorphismes orthogonaux via les bases orthonormales
  • Caractérisation matricielle des endomorphismes orthogonaux

[274] - Séance du mardi 22 mars 2022 (2h)

• Complément sur le chapitre 16 "Fonction à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie"
  • Correction de l'exercice C16.73: Étude de la cycloïde
  • Correction de l'exercice C16.79: Si \( M \colon \mathbb{R} \longrightarrow \mathcal{M}_{2n+1}(\mathbb{R}) \) est une application de classe \( \mathcal{C}^1 \) telle que, pour tout \( t \in \mathbb{R} \), \( M(t) \in \mathcal{O}_{2n+1}(\mathbb{R}) \), alors, pour tout \( t \in \mathbb{R} \), \( M'(t) \) n'est pas inversible.
• Suite du chapitre 17 "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien"
  • Interprétation géométrique des matrices \( S_{\theta} \) et réduction sur \( \mathbb{R} \) d'icelles
  • Le groupe orthogonal \( \mathcal{O}_n(\mathbb{R}) \)
  • Exemple de matrices orthogonales définies par blocs
  • Le groupe spécial orthogonal \( \mathcal{SO}_n(\mathbb{R}) \)
  • Description du groupe \( \mathcal{SO}_2(\mathbb{R}) \)
  • Première caractérisation des matrices orthogonales
• Devoirs
  • C17.68: Réduction de la matrice \( B \, A^{\top} + A \, B^{\top} \) où \( A,B \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \) sont linéairement indépendants

[272] - Séance du lundi 21 mars 2022 (4h)

• Compléments sur le chapitre 15 "Probabilités"
  • Correction du problème Mines-MP-2021: théorème de Moivre-Laplace
• Fin du chapitre 16 "Fonction à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie"
  • Paramètre régulier d'un arc paramétré \( \mathcal{C}^1 \) et tangente
  • Tangente en un point associé à un paramètre régulier d'un arc paramétré \( \mathcal{C}^1 \)
  • Fonctions continues par morceaux sur un segment
  • Structure de l'ensemble des fonctions continues par morceaux sur un segment
  • Norme infinie sur l'ensemble des fonctions continues par morceaux sur un segment
  • Fonctions en escalier
  • Approximation uniforme d'une fonction continue par morceaux par des fonctions en escalier
  • Définition de l'intégrale d'une fonction en escalier et indépendance vis-à-vis de la subdivision adaptée
  • Propriétés de l'intégrale des fonctions en escalier
  • Défintion de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux
  • Propriétés de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux
  • Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral
  • Intégration par parties
  • Changement de variable
  • Inégalité des accroissements finis
  • Formule de Taylor avec reste intégral
  • Majoration du reste intégral
• Début du chapitre 17 "Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien"
  • Définition d'une matrice orthogonale
  • Exemple d'une matrice orthogonale \(2 \times 2\) et interprétation géométrique
  • Déterminant d'une matrice orthogonale
  • Description de l'ensemble des matrices orthogonales \(2 \times 2\)
  • Interprétation géométrique des matrices \( R_{\theta} \)
• Devoirs
  • C16.73: Étude de la cycloïde
  • C16.79: Si \( M \colon \mathbb{R} \longrightarrow \mathcal{M}_{2n+1}(\mathbb{R}) \) est une application de classe \( \mathcal{C}^1 \) telle que, pour tout \( t \in \mathbb{R} \), \( M(t) \in \mathcal{O}_{2n+1}(\mathbb{R}) \), alors, pour tout \( t \in \mathbb{R} \), \( M'(t) \) n'est pas inversible.

[268] - Séance du vendredi 18 mars 2022 (2h)

• Suite du chapitre 16 "Fonction à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie"
  • Correction de l'exercice C16.14: Soient \( ( E , < \,\cdot\, , \,\cdot\, > ) \) est un espace préhilbertien, \( I \) un intervalle de \( \mathbb{R} \), \( f \in \mathcal{C}^1(I,E) \), dérivabilité et dérivée de l'application \[ \left|\; \begin{array}{ccc} I & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ t & \longmapsto & < \,f(t)\, , \,f(t)\, > \end{array} \right. \]
  • Correction de l'exercice C16.15: Soient \( ( E , < \,\cdot\, , \,\cdot\, > ) \) est un espace préhilbertien, \( I \) un intervalle de \( \mathbb{R} \), \( f \in \mathcal{C}^1(I,E) \). Si, pour tout \( t \in I \), \( || f(t) || = 1 \) alors, pour tout \( t \in I \), \( f(t) \perp f'(t) \).
  • Dérivabilité et dérivée via les fonctions coordonnées
  • Caractérisation des fonctions constantes
  • Définition d'une fonction de classe \( \mathcal{C}^k \)
  • Caractère \( \mathcal{C}^k \) via les fonctions coordonnées
  • L'espace vectoriel des fonctions de classe \( \mathcal{C}^k \)
  • Formule de Leibniz
  • Dérivation d'une application composée
  • Arc paramétré \( \mathcal{C}^1 \) et support d'un tel
  • Étude de la cardioïde
• Devoirs
  • Problème Mines-MP-2021: théorème de Moivre-Laplace

[266] - Séance du jeudi 17 mars 2022 (2h)

• Début du chapitre 16 "Fonction à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie"
  • Définition d'une fonction dérivable en un point et vecteur dérivé
  • Dérivabilité en un point, vecteur dérivé et DL1
  • La dérivabilité implique la continuité.
  • Dérivabilité et dérivée sur un intervalle
  • Espace vectoriel des fonctions de classe \( \mathcal{C}^1 \)
  • Composition d'une application dérivable par une application linéaire
  • Composition de fonctions dérivables par une application bilinéaire
• Fin du chapitre 15 "Probabilités"
  • Correction de l'exercice C15.193: Conditionnement d'une loi de Poisson par une loi binomiale
  • Correction de l'exercice C15.184: Étude d'une loi de couple
• Devoirs
  • C16.14: Soient \( ( E , < \,\cdot\, , \,\cdot\, > ) \) est un espace préhilbertien, \( I \) un intervalle de \( \mathbb{R} \), \( f \in \mathcal{C}^1(I,E) \), dérivabilité et dérivée de l'application \[ \left|\; \begin{array}{ccc} I & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ t & \longmapsto & < \,f(t)\, , \,f(t)\, > \end{array} \right. \]
  • C16.15: Soient \( ( E , < \,\cdot\, , \,\cdot\, > ) \) est un espace préhilbertien, \( I \) un intervalle de \( \mathbb{R} \), \( f \in \mathcal{C}^1(I,E) \). Si, pour tout \( t \in I \), \( || f(t) || = 1 \) alors, pour tout \( t \in I \), \( f(t) \perp f'(t) \).

[264] - Séance du mercredi 16 mars 2022 (2h)

• Suite du chapitre 15 "Probabilités"
  • Correction de la deuxième partie du problème 2 du CCINP-PSI-2020: étude d'une chaîne de Markov
  • Espérance d'une variable aléatoire \( X \) à valeurs dans \( \mathbb{N} \) et série de terme général \( \mathbb{P}(X>n) \)
  • Correction de l'exercice C15.163: Formule de Wald
• Devoirs
  • C15.193: Conditionnement d'une loi de Poisson par une loi binomiale
  • C15.184: Étude d'une loi de couple
  • Étude du paragraphe 2 "Dérivée en un point, fonction de classe \( \mathcal{C}^1 \)" du chapitre 16 "Fonctions à valeurs dans un e.v.n. de dimension finie"

[264] - Séance du mardi 15 mars 2022 (2h)

• Suite du chapitre 15 "Probabilités"
  • La fonction génératrice d'une variable aléatoire discrète à valeurs dans \( \mathbb{N} \) détermine sa loi
  • Fonction génératrice de la somme de deux variables aléatoires discrètes à valeurs dans \( \mathbb{N} \) indépendantes
  • Fonction génératrice de la somme d'un nombre fini de variables aléatoires discrètes à valeurs dans \( \mathbb{N} \) mutuellement indépendantes
  • Nouvelle correction de l'exercice C15.171 (somme de deux variables aléatoires de loi binomiale indépendantes)
  • Nouvelle correction de l'exercice C15.102 (somme de deux variables aléatoires de loi de Poisson indépendantes)
  • C15.162: Détermination de la loi d'une variable aléatoire issue d'un modèle d'urne à l'aide des fonctions génératrices
  • Lien entre espérance, variance et fonction génératrice d'une variable aléatoire discrète à valeurs dans \( \mathbb{N} \)
• Devoirs
  • C15.163: Formule de Wald

[262] - Séance du lundi 14 mars 2022 (4h)

• Suite du chapitre 15 "Probabilités"
  • Correction de la première partie du problème 2 du CCINP-PSI-2020: réduction des matrices de Kac
  • Définition de la variance et de l'écart-type d'une variable aléatoire discrète \( \ell^2 \)
  • Formule de König-Huyghens
  • Variance d'une variable aléatoire suivant une loi usuelle
  • Effet d'une transformation affine sur la variance
  • Définition d'une variable aléatoire discrète réduite
  • Réduction et centrage d'une variable aléatoire discrète \( \ell^2 \)
  • Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
  • Variance d'une somme de variables aléatoires discrètes \( \ell^2 \)
  • Si \( X , Y \in \ell^2(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}) \), alors \( | \operatorname{Cov}(X,Y) | \leqslant \sqrt{ \mathbb{V}(X) \mathbb{V}(Y)} \).
  • Loi faible des grands nombres
  • Série génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans \( \mathbb{N} \)
  • Rayon de convergence de la série génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans \( \mathbb{N} \) et convergence normale sur \( \overline{D(0,1)} \)
  • Définition de la fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans \( \mathbb{N} \): elle est bien définie sur [-1,1], continue sur [-1,1] et vaut 1 en 1.
  • Fonction génératrice d'une variables aléatoire suivant une loi usuelle

[258] - Séance du vendredi 11 mars 2022 (2h)

• Suite du chapitre 15 "Probabilités"
  • Une variable aléatoire discrète bornée possède une espérance
  • Définition d'une variable aléatoire discrète centrée
  • Théorème de transfert (admis)
  • Positivité de l'espérance
  • \( \ell^1(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}) \) est un sous-espace vectoriel de \( \mathbf{R}^{\Omega} \).
  • Linéarité de l'espérance
  • Centrage d'une variable aléatoire discrète possédant une espérance
  • Inégalité de Markov
  • Espérance du produit de deux variables aléatoires discrètes \( \ell^1 \) indépendantes
  • Moments d'une variable aléatoire discrète
  • Une variable aléatoire discrète possédant un moment d'ordre 2 possède une espérance.
  • \( \ell^2(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}) \) est un sous-espace vectoriel de \( \ell^1(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}) \).
  • Inégalité de Cauchy-Schwarz
  • Définition de la covariance de deux variables aléatoires discrètes \( \ell^2 \)
  • La covariance est une forme bilinéaire symétrique et positive sur \( \ell^2(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}) \).
  • Calcul pratique de la covariance de deux variables aléatoires discrètes \( \ell^2 \)
• Devoirs
  • Problème 2 du CCINP-PSI-2020: réduction des matrices de Kac et application à une chaîne de Markov

[256] - Séance du jeudi 10 mars 2022 (2h)

• Suite du chapitre 15 "Probabilités"
  • Correction de l'exercice C15.102: Loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Poisson
  • Absence de mémoire et loi géométrique
  • Définition d'une variable aléatoire discrète admettant une espérance et de l'espérance d'une telle
  • Une variable aléatoire finie possède une espérance
  • Si \(X\) est une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble dénombrable \( \{ x_0,x_1,\ldots,x_n,\ldots \} \) alors \( X \) possède une espérance si et seulement si la série \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 0} x_n \, \mathbb{P}(X=x_n) \) est absolument convergente. Si tel est le cas \( \displaystyle \mathbb{E}(X) = \sum_{n=0}^{+\infty} x_n \, \mathbb{P}(X=x_n) \).
  • Théorème de domination pour l'espérance
  • Espérance d'une variable aléatoire suivant une loi usuelle

[254] - Séance du mercredi 9 mars 2022 (2h)

• Suite du chapitre 15 "Probabilités"
  • Rappel sur la formule de Vandermonde sur les coefficients binomiaux
  • Correction de l'exercice C15.171: Loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes de lois \( \mathcal{B}(n,p) \) et \( \mathcal{B}(m,p) \)
  • Correction de l'exercice C15.179: Durée de vie d'une bactérie et loi de Pascal
  • Situation de reconnaissance d'une loi de binomiale
  • Exemples de variables aléatoires suivant une loi binomiale
  • Définition d'une loi de Poisson
  • Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson
  • Définition d'une loi géométrique
  • Situation de reconnaissance d'une loi géométrique
  • Loi du minimum de deux variables indépendantes suivant une même loi géométrique: esquisse de solution
• Devoirs
  • C15.102: Loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Poisson
  • Q1 de l'exercice C15.175: Détermination de la loi d'une variable aléatoire liée à un modèle d'urne
  • C15.182: Loi du minimum de \(N\) variables mutuellement indépendantes suivant une même loi géométrique

[252] - Séance du mardi 8 mars 2022 (2h)

• Suite du chapitre 15 "Probabilités"
  • Correction de la question 1 de l'exercice C15.180: Calcul des lois marginales d'un couple de variables aléatoires discrètes à valeurs dans \(\mathbf{N}\) et indépendance.
  • Définition de l'indépendance de deux variables aléatoires
  • Critère fondamental d'indépendance pour deux variables aléatoires
  • Images de deux variables aléatoires indépendantes
  • Famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes
  • Lemme des coalition ou indépendance par paquets
  • Définition de la loi uniforme sur un ensemble fini
  • Situation de reconnaissance de la loi uniforme sur un ensemble fini
  • Exemples de variables aléatoires suivant une loi uniforme
  • Définition de la loi de Bernoulli
  • Vocabulaire lié à une loi de Bernoulli: succès et échec
  • Probabilité de l'échec pour une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli
  • Situation de reconnaissance d'une loi de Bernoulli
  • Exemples de variables aléatoires suivant une loi de Bernoulli
  • Si \( A \) est un événement d'un espace probabilisé \( (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}) \) alors \(\mathbb{1}_A\) est une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre \( p:= \mathbb{P}(A) \).
  • Si \( X \hookrightarrow \mathcal{B}(1/2) \) alors \(X\) et \(1-X\) ont même loi mais ne sont pas égales.
  • Paul fait une série de ricochets. Il réussit un ricochet avec probabilité \(p\). On suppose les lancers de Paul indépendants les uns des autres. Calcul de la loi de la variable aléatoire \(X\) qui égale 1 si Paul réussi au moins un ricochets lors de ses 100 premiers essais et 0 sinon.
  • Heuristique pour la loi binomiale
  • Définition de la loi binomiale
  • La loi binomiale permet de démontrer un cas particulier de la formule du binôme de Newton.
• Devoirs
  • C15.171: Loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes de lois \( \mathcal{B}(n,p) \) et \( \mathcal{B}(m,p) \)
  • C15.179: Durée de vie d'une bactérie et loi de Pascal

[250] - Séance du lundi 7 mars 2022 (4h)

• Suite du chapitre 15 "Probabilités"
  • Trois situations de dénombrement: uplets, arrangements et combinaisons.
  • Correction de l'exercice C15.54: Exemple d'une famille de trois événements deux-à-deux indépendants, mais non mutuellement indépendants.
  • Correction de l'exercice C15.168: On dispose de \(n\) boules numérotées de \(1\) à \(n\) et d'une boîte formée de trois compartiments identiques numérotées de 1 à 3 pouvant chacun contenir \(n\) boules. On lance simultanément les \(n\) boules. Elles viennent se ranger aléatoirement dans les 3 compartiments. On note \(X\) la variable aléatoire qui, à chaque expérience, associe le nombre de compartiments restés vides. Préciser les valeurs prises par \(X\), déterminer \(\mathbb{P}(X=2)\) puis donner la loi de \(X\).
  • Correction de l'exercice C15.170: On dispose de deux urnes \(U_{1}\) et \(U_{2}\). L'urne \(U_{1}\) contient 2 boules blanches et 3 boules noires. L'urne \(U_{2}\) contient 4 boules blanches et 3 boules noires. On effectue des tirages successifs dans les conditions suivantes: on choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l'urne choisie. On note sa couleur et on la remet dans l'urne d'où elle provient. Si la boule était blanche, le tirage suivant se fait dans l'urne \(U_{1}\). Sinon, le tirage se fait dans l'urne \(U_{2}\). Pour tout \( n \in \mathbf{N}^{*} \), on appelle \( B_{n} \) l'événement "la boule tirée au \(n\)-ème tirage est blanche" et on note \( p_{n}=\mathbb{P}(B_{n}) \). Calculer \(p_{1}\), démontrer que, pour tout \( n \in \mathbf{N}^{*} \), \[ \displaystyle{p_{n+1}=-\frac{6}{35}p_{n} + \frac{4}{7}} \] et en déduire la valeur de \(p_{n}\), pour tout \(n\in \mathbf{N}^{*}\).
  • Correction de l'exercice C15.65: Lois de la somme et du maximum des deux chiffres obtenus lors de deux lancers d'un dé non truqué à 4 faces numérotées de 1 à 4
  • \'Evénements \( (X < x) \), \( (X \leqslant x) \), \( (X > x) \),\( (X \geqslant x) \) associés à une variable aléatoire dicrète réelle \(X\)
  • La fonction de répartition d'une variable aléatoire entière est croissante et permet de retrouver la loi de \(X\)
  • Loi de l'image d'une variable aléatoire discrète
  • Loi conjointe et lois marginales de deux variables aléatoires discrètes
  • Correction de l'exercice C15.67: Loi du couple \( (S,M) \) où \(S\) (resp. \( M \) ) est la somme (resp. le maximum) des deux chiffres obtenus lors de deux lancers d'un dé non truqué à 4 faces numérotées de 1 à 4 et détermination des lois de \(S\) et \(M\) grâce à la loi du couple \( (S,M) \)
  • La loi conjointe d'un couple détermine les lois marginales.
  • Loi conditionnelle de \( Y \) sachant \( ( X \in A ) \)
  • C15.189: Loi conditionnelle de \(X\) sachant \( ( X+Y=n ) \) où \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires indépendantes, suivant la même loi de Poisson
• Devoirs
  • Q1 de l'exercice C15.180: Calcul des lois marginales d'un couple de variables aléatoires discrètes à valeurs dans \(\mathbf{N}\) et indépendance.

[246] - Séance du vendredi 4 mars 2022 (2h)

• Complément sur le chapitre 14 "Séries entières"
  • La fonction \( x \longmapsto \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n} \) est définie et continue sur [-1,1[.
• Suite du chapitre 15 "Probabilités"
  • Correction de l'exercice C15.48: Application de la formule des probabilités totales à une expérience aléatoire consistant en un enchaînement de deux jeux
  • Couples d'événements indépendants
  • Couples d'événements indépendants et événements contraires
  • \'Evénements mutuellement indépendants
  • Sous-famille d'événements mutuellement indépendants
  • \'Evénements mutuellement indépendants et événements contraires
  • Définition d'une variable aléatoire discrète
  • Loi d'une variable aléatoire discrète
• Devoirs
  • C15.54: Exemple d'une famille de trois événements deux-à-deux indépendants, mais non mutuellement indépendants.
  • C15.168: On dispose de \(n\) boules numérotées de \(1\) à \(n\) et d'une boîte formée de trois compartiments identiques numérotées de 1 à 3 pouvant chacun contenir \(n\) boules. On lance simultanément les \(n\) boules. Elles viennent se ranger aléatoirement dans les 3 compartiments. On note \(X\) la variable aléatoire qui, à chaque expérience, associe le nombre de compartiments restés vides. Préciser les valeurs prises par \(X\), déterminer \(\mathbb{P}(X=2)\) puis donner la loi de \(X\).
  • C15.170: On dispose de deux urnes \(U_{1}\) et \(U_{2}\). L'urne \(U_{1}\) contient 2 boules blanches et 3 boules noires. L'urne \(U_{2}\) contient 4 boules blanches et 3 boules noires. On effectue des tirages successifs dans les conditions suivantes: on choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l'urne choisie. On note sa couleur et on la remet dans l'urne d'où elle provient. Si la boule était blanche, le tirage suivant se fait dans l'urne \(U_{1}\). Sinon, le tirage se fait dans l'urne \(U_{2}\). Pour tout \( n \in \mathbf{N}^{*} \), on appelle \( B_{n} \) l'événement "la boule tirée au \(n\)-ème tirage est blanche" et on note \( p_{n}=\mathbb{P}(B_{n}) \). Calculer \(p_{1}\), démontrer que, pour tout \( n \in \mathbf{N}^{*} \), \[ \displaystyle{p_{n+1}=-\frac{6}{35}p_{n} + \frac{4}{7}} \] et en déduire la valeur de \(p_{n}\), pour tout \(n\in \mathbf{N}^{*}\).

[244] - Séance du jeudi 3 mars 2022 (2h)

• Suite du chapitre 15 "Probabilités"
  • Définition d'un système complet d'événements
  • Exemples de systèmes complets d'événements
  • Formules des probabilités totales
  • C15.47: Application de la formule des probabilités totales à une expérience aléatoire consistant en un enchaînement de deux jeux
  • Formule de Bayes
  • C15.50: Application de la formule de Bayes à des tests de détection d'une maladie
• Devoirs
  • C15.48: Application de la formule des probabilités totales à une expérience aléatoire consistant en un enchaînement de deux jeux
  • C15.65 et 15.67: Deux lancers d'un dé à 4 faces et introduction aux lois de couples

[242] - Séance du mercredi 2 mars 2022 (2h)

• Suite du chapitre 15 "Probabilités"
  • Correction de l'exercice C15.36: Lemme de Borel-Cantelli
  • Définitions d'un événement négligeable et d'un événement presque sûr
  • Une réunion dénombrable d'événements négligeables est négligeable et une intersection dénombrable d'événements presque sûrs est presque sûre.
  • Définition d'une probabilité conditionnelle
  • Justification de la définition de probabilité conditionnelle via une expérience aléatoire avec une situation d'équiprobabilité
  • Formule des probabilités composées
  • Arbre de probabilités versus formule des probabilités composées
• Devoirs
  • C15.43: Application de la formule des probabilités composées à une situation d'urne à composition variable

[240] - Séance du mardi 1^er mars 2022 (2h)

• Complément sur le chapitre 14 "Séries entières"
  • Correction de l'exercice C14.82: DSE de la fonction \( x \longmapsto \ln \left( \dfrac{1+x}{1-x} \right) \)
• Suite du chapitre 15 "Probabilités"
  • Correction de l'exercice C15.26: Calcul de \( \mathbb{P} \left(X \text{ est pair}\right) \) pour une variable aléatoire \(X\) suivant une loi géométrique
  • Majoration de la probabilité d'une réunion finie d'événements
  • Théorème de la limite monotone en probabilités
  • Probabilité d'une réunion/intersection dénombrable d'événements
  • Majoration de la probabilité d'une réunion dénombrable d'événements
  • Probabilité d'obtenir au moins un Pile lors d'une suite infinie de lancers d'une pièce équilibrée
• Devoirs
  • C15.36: Lemme de Borel-Cantelli

[238] - Séance du lundi 28 février 2022 (4h)

• Complément sur le chapitre 14 "Séries entières"
  • Correction de l'exercice C14.73 (c) et (d): DSE des fonctions \( x \longmapsto \dfrac{x}{(1-x) \, (1-2x)^2} \) et \( x \longmapsto \sqrt{ \dfrac{1+x}{1-x} } \)
  • Correction de l'exercice C14.74 (d): Convergence et valeur de la somme de \( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^{2n}}{4n^2-1} \)
  • Rappels sur les équations différentielles linéaires scalaires d'ordre 1: structure de l'ensemble solution dans le cas homogène, structure de l'ensemble solution dans le cas général, méthode de la variation de la constante pour déterminer une solution particulière
  • Correction de l'exercice C14.86: \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 0} d_n \, z^n \), où \( d_0=d_1=1 \) et, pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( d_{n+2} = (n+1) \, \left(d_n + d_{n+1} \right) \)
  • Correction de l'exercice C12.120: Formule de Cauchy et théorème de Liouville
• Suite du chapitre 15 "Probabilités"
  • Un mode de définition d'une probabilité sur un ensemble dénombrable muni de la tribu pleine, via une famille sommable de nombres réels positifs ou nuls dont la somme vaut 1
  • Calcul de \( \mathbb{P} \left(X \text{ est impair}\right) \) pour une variable aléatoire \(X\) suivant une loi de Poisson
  • Probabilité du vide, d'une réunion finie d'événements deux-à-deux incompatibles, d'un événement contraire
  • Croissance d'une probabilité
  • Probabilité de la réunion de deux événements
• Devoirs
  • C14.82: DSE de la fonction \( x \longmapsto \ln \left( \dfrac{1+x}{1-x} \right) \)
  • C15.26: Calcul de \( \mathbb{P} \left(X \text{ est pair}\right) \) pour une variable aléatoire \(X\) suivant une loi géométrique

[234] - Séance du vendredi 25 février 2022 (2h)

• Fin du chapitre 14 "Séries entières"
  • Correction de l'exercice C14.83: La fonction \[ \left| \begin{array}{ccc} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \left\{ \begin{array}{cl} 1 & \text{si } x = 0 \\ \cosh(\sqrt{x}) & \text{si } x > 0 \\ \cos(\sqrt{-x}) & \text{si } x < 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \] est de classe \( \mathcal{C}^{\infty} \) sur \( \mathbf{R} \).
  • Convergence et valeur de la somme de \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 0} \dfrac{n^3}{n!} \, x^n \) où \( x \in \mathbb{R} \)
• Début chapitre 15 "Probabilités"
  • Ensemble des parties d'un ensemble
  • \( \mathcal{P}(\emptyset) , \mathcal{P}(\{a\}) , \mathcal{P}(\{a,b\}) , \mathcal{P}(\{a,b,c,d\}) \)
  • Définition d'une tribu
  • Définition d'un espace probabilisable
  • Propriétés élémentaires d'une tribu
  • Tribu pleine, tribu minimale, tribu engendrée par une partie
  • Vocabulaire des probabilités: univers, événement, événement impossible, événement élémentaire, événement contraire, événements incompatibles
  • Tribu sur un ensemble au plus dénombrable
  • Définition d'une probabilité sur un espace probabilisable
• Devoirs
  • C14.73 (c) et (d): DSE des fonctions \( x \longmapsto \dfrac{x}{(1-x) \, (1-2x)^2} \) et \( x \longmapsto \sqrt{ \dfrac{1+x}{1-x} } \)
  • C14.74 (d): Convergence et valeur de la somme de \( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^{2n}}{4n^2-1} \)
  • C14.86: \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 0} d_n \, z^n \), où \( d_0=d_1=1 \) et, pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( d_{n+2} = (n+1) \, \left(d_n + d_{n+1} \right) \)
  • C14.108: Ensemble de définition et limite en \( 1^- \) de la fonction \( x \longmapsto \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} x^{n^2} \)
  • C12.120: Formule de Cauchy et théorème de Liouville

[232] - Séance du jeudi 24 février 2022 (4h)

• Suite du chapitre 14 "Séries entières"
  • Correction de l'exercice C14.72: DSE de \( x \longmapsto \ln^2(1+x) \)
  • DSE de la fonction arctangente
  • DSE de la fonction \( x \longmapsto (1+x)^{\alpha} \), où \( \alpha \in \mathbf{R} \), via une équation différentielle
  • Calcul des coefficients du DSE de la fonction \( x \longmapsto \sqrt{1+x} \)
  • Rappels sur la dérivabilité et la dérivée d'une bijection réciproque
  • Rappels sur la fonction arcsinus
  • Calcul des coefficients du DSE de la fonction \( x \longmapsto \dfrac{1}{\sqrt{1+x}} \)
  • DSE de la fonction arcsinus
  • Correction de l'exercice C14.27: Comparaison de \( \displaystyle R \left( \sum a_n \, z^{n} \right) \) , \( \displaystyle R \left( \sum a_{2n} \, z^{2n} \right) \) et \( \displaystyle R \left( \sum a_{2n+1} \, z^{2n+1} \right) \)
  • DSE des fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique
  • DSE des fonctions cosinus et sinus
  • Convergence et valeur de la somme de \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 0} \dfrac{x^n}{(n+1)(n+3)} \) où \( x \in ]-1,1[ \)
• Devoirs
  • C14.83: La fonction \[ \left| \begin{array}{ccc} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \left\{ \begin{array}{cl} 1 & \text{si } x = 0 \\ \cosh(\sqrt{x}) & \text{si } x > 0 \\ \cos(\sqrt{-x}) & \text{si } x < 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \] est de classe \( \mathcal{C}^{\infty} \) sur \( \mathbf{R} \).

[228] - Séance du mercredi 23 février 2022 (2h)

• Suite du chapitre 14 "Séries entières"
  • Correction de l'exercice C14.77: Rayons de convergence des séries entières \( \displaystyle \sum n^{\alpha} \; z^{n} \), où \( \alpha \in \mathbb{R} \), et \( \displaystyle \sum \cos\left(\dfrac{2n\pi}{3}\right) \; z^{n} \)
  • Coefficients d'une série entière versus dérivées itérées de sa somme évaluées en 0
  • Définition d'une fonction développable en série entière
  • Les fonctions \( x \longmapsto \exp(x) \), \( x \longmapsto \dfrac{1}{x} \), \( x \longmapsto \dfrac{1}{(1-x)^2} \), \( x \longmapsto \ln(1-x) \) et \( x \longmapsto \ln(1+x) \) sont développables en série entière.
  • La fonction valeur absolue n'est pas développable en série entière.
  • La fonction \[ \left| \begin{array}{ccc} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ t & \longmapsto & \left\{ \begin{array}{cl} \exp(-1/t) & \text{si } t > 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{array} \right. \end{array} \right. \] est de classe \( \mathcal{C}^{\infty} \) sur \( \mathbf{R} \) mais n'est pas développable en série entière.
  • Unicité du développement en série entière
  • Condition nécessaire pour qu'une fonction soit DSE et condition suffisante pour qu'une fonction soir DSE.
• Devoirs
  • C14.72: DSE de \( x \longmapsto \ln^2(1+x) \)
  • Démontrer que la fonction arctangente est développable en série entière.

[226] - Séance du mardi 22 février 2022 (2h)

• Suite du chapitre 14 "Séries entières"
  • Correction de l'exerice C14.53: Série entière \( \displaystyle \sum a_n \; z^{n} \) de rayon de convergence 1 telle que la série \( \displaystyle \sum a_n \) est absolument convergente (resp. convergente)
  • Rayons de convergence de la dérivée et d'une primitive d'une série entière
  • Dérivation terme-à-terme d'une série entière
  • DSE de la fonction \( x \longmapsto \dfrac{1}{(1-x)^2} \)
  • Pour tout \( x \in ]-1,1[ \), convergence et valeur de la somme de la série \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} n^2 \, x^n \)
  • Primitivation terme-à-terme d'une série entière
  • DSE des fonctions \( x \longmapsto -\ln(1-x) \) et \( x \longmapsto \ln(1+x) \)
• Devoirs
  • C14.77: Rayons de convergence des séries entières \( \displaystyle \sum n^{\alpha} \; z^{n} \), où \( \alpha \in \mathbb{R} \), et \( \displaystyle \sum \cos\left(\dfrac{2n\pi}{3}\right) \; z^{n} \)

[224] - Séance du lundi 21 février 2022 (4h)

• Compléments sur le chapitre 13 "Espaces préhilbertiens"
  • Correction de l'exercice C13.110: Distance d'une matrice de \( \mathcal{M}_2(\mathbf{R}) \), muni de son produit scalaire usuel, à l'espace des matrices triangulaires supérieures.
  • Correction de l'exercice C13.122: Matrice de Gram
• Suite du chapitre 14 "Séries entières"
  • Correction de l'exercice C14.18: Rayon de convergence de \( \displaystyle \sum \sqrt{n+2} \; z^{n} \)
  • Correction de l'exercice C14.19: Si \( P \in \mathbf{C}[X] \), rayon de convergence de \( \displaystyle \sum P(n) \, z^{n} \)
  • Correction de l'exercice C14.24: Si \( \displaystyle R:=R \left( \sum a_n \, z^{n} \right) > 0 \), rayon de convergence de \( \displaystyle \sum a_n \, z^{2n} \)
  • Correction de l'exercice C14.25: Si \( \displaystyle R:=R \left( \sum a_n \, z^{n} \right) > 0 \), rayon de convergence de \( \displaystyle \sum \dfrac{a_n}{n!} \, z^{n} \)
  • Définition du produit de Cauchy de deux séries entières
  • Théorème sur le produit de Cauchy de deux séries entières
  • Modes de convergence de suites et de séries de fonctions de la variable complexe à valeurs complexes
  • Continuité d'une fonction de la variable complexe à valeurs complexes
  • Limite uniforme et continuité
  • Convergence normale d'une série entière sur tout disque fermé inclus dans le disque ouvert de convergence
  • Si \( \displaystyle \sum a_n \; z^{n} \) est une série entière de rayon de convergence \( + \infty \) alors la série entière ne converge pas nécessairement uniformément sur \( \mathbf{C} \): contre-exemple.
  • Si \( \displaystyle \sum a_n \; z^{n} \) est une série entière de rayon de convergence \( 0 < R < + \infty\) alors la série entière ne converge pas nécessairement uniformément sur \( D(0,R) \): contre-exemple.
  • Continuité de la somme d'une série entière sur le disque ouvert de convergence
• Devoirs
  • C14.53: Série entière \( \displaystyle \sum a_n \; z^{n} \) de rayon de convergence 1 telle que la série \( \displaystyle \sum a_n \) est absolument convergente (resp. convergente)

[220] - Séance du vendredi 4 février 2022 (2h)

• Suite du chapitre 14 "Séries entières"
  • Caractérisation du rayon de convergence
  • Rayons de convergence de \( \displaystyle \sum z^n \) , \( \displaystyle \sum \dfrac{z^n}{n!} \) , \( \displaystyle \sum n!\,z^n \)
  • Attention du comportement au bord d'une série entière: étude des cas de \( \displaystyle \sum \dfrac{z^n}{n} \) et \( \displaystyle \sum \dfrac{z^n}{n^2} \)
  • Détermination du rayon de convergence à partir d'un point atypique
  • Rayons de convergence de \( \displaystyle \sum \cos(n) z^n \) , \( \displaystyle \sum z^{n^2} \) , \( \displaystyle \sum 2^n z^{2n} \)
  • Séries entières et relation O sur les coefficients
  • Séries entières dont les modules des coefficients sont équivalents
  • Rayons de convergence de \( \displaystyle \sum \dfrac{z^n}{n(n+1)} \) , \( \displaystyle \sum n^2 \, z^{n} \) , \( \displaystyle \sum z^{n!} \) , \( \displaystyle \sum_{n \text{ premier}} \dfrac{z^{n}}{3^n} \) , \( \displaystyle \sum \dfrac{\ln(n)}{n^2} \, z^n \)
  • Rayon de convergence de la somme de deux séries entières
• Devoirs
  • C13.110: Distance d'une matrice de \( \mathcal{M}_2(\mathbf{R}) \), muni de son produit scalaire usuel, à l'espace des matrices triangulaires supérieures.
  • C13.112: Projection orthogonale de \( \mathbf{R}^4 \), muni de son produit scalaire usuel, sur un sous-espace vectoriel engendré par deux vecteurs
  • C13.122: Matrice de Gram
  • C14.18: Rayon de convergence de \( \displaystyle \sum \sqrt{n+2} \; z^{n} \)
  • C14.19: Si \( P \in \mathbf{C}[X] \), rayon de convergence de \( \displaystyle \sum P(n) \, z^{n} \)
  • C14.24: Si \( \displaystyle R:=R \left( \sum a_n \, z^{n} \right) > 0 \), rayon de convergence de \( \displaystyle \sum a_n \, z^{2n} \)
  • C14.25: Si \( \displaystyle R:=R \left( \sum a_n \, z^{n} \right) > 0 \), rayon de convergence de \( \displaystyle \sum \dfrac{a_n}{n!} \, z^{n} \)
  • C14.27: Comparaison de \( \displaystyle R \left( \sum a_n \, z^{n} \right) \) , \( \displaystyle R \left( \sum a_{2n} \, z^{2n} \right) \) et \( \displaystyle R \left( \sum a_{2n+1} \, z^{2n+1} \right) \)
  • C14.30: Si \( \displaystyle R:=R \left( \sum a_n \, z^{n} \right) > 0 \), le rayon de convergence de \( \displaystyle \sum \left( \sum_{k=0}^n a_k \right) \, z^{n} \) est non nul.

[218] - Séance du jeudi 3 février 2022 (2h)

• Fin du chapitre 13 "Espaces préhilbertiens"
  • Correction de l'exercice C13.97: Calcul de \( \displaystyle \inf_{(a,b) \in \mathbf{R}^2} \int_0^{+\infty} e^{-t} \, \left( t^2 - (at+b) \right)^2 \,\operatorname{d}t \)
  • Théorème d'approximation dans un espace préhilbertien via une suite orthonormale totale (démonstration)
• Début du chapitre 14 "Séries entières"
  • Cercle, disque ouvert et disque fermé dans le plan complexe
  • Définition d'une série entière
  • Lemme d'Abel
  • Définition du rayon de convergence d'une série entière
  • Caractérisation du rayon de convergence d'une série entière (rayon du cercle délimitant la zone de convergence absolue et la zone de divergence grossière)
  • Rayon de convergence de la série entière \( \displaystyle \sum \dfrac{z^n}{n} \)

[216] - Séance du mercredi 2 février 2022 (2h)

• Compléments sur le chapitre 12 "Théorèmes de Lebesgue et intégrales à paramètre"
  • Rappel sur la décomposition en éléments simples dans \( \mathbf{R}[X] \)
  • Correction de l'exercice C12.76: Calcul de \( f \colon x \longmapsto \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{\arctan(xt)}{t \, \left( 1 + t^2 \right) } \operatorname{d} t \).
• Suite du chapitre 13 "Espaces préhilbertiens"
  • Correction de l'exercice C13.74: Application de l'algorithme d'orthonormalisation de Schmidt dans un espace euclidien de polynômes
  • Rappel sur les polynômes interpolateurs de Lagrange et deuxième solution de l'exercice C13.74
  • Inégalité de Bessel
  • Si \( \left( e_n \right)_{n \in \mathbf{N} } \) est une suite orthonormale d'un espace préhilbertien \( ( E , <\,\cdot\,,\,\cdot\,> ) \) et \(x \in E \) alors la série \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 0} < x , e_n >^2 \) converge.
  • Définition d'une suite totale dans un espace vectoriel normé
  • Dans \( \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \) muni de son produit scalaire usuel, la suite \[ \left( e_n \quad \left| \begin{array}{ccc} [0,1] & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & x^n \end{array} \right. \right)_{n \in \mathbf{N}} \] est une famille totale.
  • Théorème d'approximation dans un espace préhilbertien via une suite orthonormale totale (énoncé)
• Devoirs
  • C13.97: Calcul de \( \displaystyle \inf_{(a,b) \in \mathbf{R}^2} \int_0^{+\infty} e^{-t} \, \left( t^2 - (at+b) \right)^2 \,\operatorname{d}t \)

[214] - Séance du mardi 1^er février 2022 (2h)

• Suite du chapitre 13 "Espaces préhilbertiens"
  • Projeteur orthogonal d'un espace préhilbertien sur un sous-espace vectoriel de dimension finie
  • Calcul du projeté orthogonal de la matrice \(I_2\) sur \( \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbf{R}) \,:\; a+b+c+d=0 \right\} \) où \( \mathcal{M}_2(\mathbf{R}) \) est muni de son produit scalaire canonique.
  • Si \(F\) est un sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace préhilbertien \( ( E , <\,\cdot\,,\,\cdot\,> ) \) alors \( F \oplus F^{\perp} = E \).
  • Si \(F\) est un sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace préhilbertien \( ( E , <\,\cdot\,,\,\cdot\,> ) \) alors \( F = \left(F^{\perp}\right)^{\perp} \).
  • Si \( ( E , <\,\cdot\,,\,\cdot\,> ) \) est un espace euclidien, alors pour tout couple de sous-espaces vectoriels \( F_1,F_2\) de \(E\), \( F_1^{\perp} + F_2^{\perp} = (F_1 \cap F_2)^{\perp} \).
  • Distance \( \operatorname{d}(x,a) \) d'un vecteur \(x\) d'un espace vectoriel normé \( ( E , || \,\cdot\, || ) \) à une partie \(A\) non vide de \(E\)
  • L'application \( \operatorname{d}(\,\cdot\,,a) \colon ( E , || \,\cdot\, || ) \longrightarrow \mathbf{R} \) est 1-lipschitzienne.
  • Un vecteur \(x\) est adhérent à \( A \) si et seulement si \( \operatorname{d}(x,a)=0 \).
  • La distance \( \operatorname{d}(x,a) \) n'est pas nécessairement atteinte et si elle l'est, elle peut l'être une infinité de fois.
  • Distance d'un vecteur d'un espace préhilbertien \( ( E , <\,\cdot\,,\,\cdot\,> ) \) à un sous-espace vectoriel de dimension finie.
• Devoirs
  • C12.76: Calcul de \( f \colon x \longmapsto \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{\arctan(xt)}{t \, \left( 1 + t^2 \right) } \operatorname{d} t \).
  • C13.74: Application de l'algorithme d'orthonormalisation de Schmidt dans un espace euclidien de polynômes

[212] - Séance du lundi 31 janvier 2022 (4h)

• Suite du chapitre 13 "Espaces préhilbertiens"
  • Correction de l'exercice C13.58: Détermination de l'orthogonal de l'ensemble des matrices à coefficients diagonaux tous nuls dans \( \mathcal{M}_n(\mathbf{R})\) (muni de son produit scalaire usuel).
  • Correction de l'exercice C13.63: Somme et intersection de sous-espaces orthogonaux
  • Correction de l'exercice C13.64: Les sous-espaces \(F_1^{\perp} + F_2^{\perp}\) et \( (F_1 \cap F_2)^{\perp} \) ne sont pas nécessairement égaux.
  • Correction C13.113: Matrice de la projection orthogonale de \(\mathbf{R}^4\) (muni de son produit scalaire usuel) sur un sous-espace vectoriel ensemble solution d'un système linéaire à 2 équations dans la base canonique.
  • Algorithme d'orthonormalisation de Schmidt (démonstration)
  • Calcul d'une base orthonormale de \( \{ (x,y,z,t) \in \mathbf{R}^4 \;:\; x+y+z+t=0 \} \) où \( \mathbf{R}^4 \) est muni de son produit scalaire usuel
  • Propriétés de la matrice de passage d'une base \( \mathcal{B} \) d'un espace euclidien à la base orthonormale obtenue en appliquant l'algorithme de Schmidt à \( \mathcal{B} \)
  • Coordonnées d'un vecteur d'un espace euclidien dans une base orthonormale
  • Expression du produit scalaire et de la norme d'un vecteur d'un espace euclidien via ses coordonnées dans une base orthonormale
  • Si \( ( E , <\,\cdot\,,\,\cdot\,> ) \) est un espace euclien et \(u\) un endomorphisme de \(E\) alors dans toute base orthonormale \( (e_1,\ldots,e_n) \) de \(E\) alors \( \operatorname{Tr}(u) = \displaystyle \sum_{i=1}^n (u(e_i),e_i) \).
  • Projeté orthogonal d'un vecteur d'un espace préhilbertien sur un sous-espace vectoriel de dimension finie
  • Calcul du projeté orthogonal d'un vecteur de \( \mathbf{R}^4 \) sur un un sous-espace vectoriel ensemble solution d'un système linéaire à 2 équations

[212] - Séance du lundi 31 janvier 2022 (4h)

• Suite du chapitre 13 "Espaces préhilbertiens"
  • Correction de l'exercice C13.58: Détermination de l'orthogonal de l'ensemble des matrices à coefficients diagonaux tous nuls dans \( \mathcal{M}_n(\mathbf{R})\) (muni de son produit scalaire usuel).
  • Correction de l'exercice C13.63: Somme et intersection de sous-espaces orthogonaux
  • Correction de l'exercice C13.64: Les sous-espaces \(F_1^{\perp} + F_2^{\perp}\) et \( (F_1 \cap F_2)^{\perp} \) ne sont pas nécessairement égaux.
  • Correction C13.113: Matrice de la projection orthogonale de \(\mathbf{R}^4\) (muni de son produit scalaire usuel) sur un sous-espace vectoriel ensemble solution d'un système linéaire à 2 équations dans la base canonique.
  • Algorithme d'orthonormalisation de Schmidt (démonstration)
  • Calcul d'une base orthonormale de \( \{ (x,y,z,t) \in \mathbf{R}^4 \;:\; x+y+z+t=0 \} \) où \( \mathbf{R}^4 \) est muni de son produit scalaire usuel
  • Propriétés de la matrice de passage d'une base \( \mathcal{B} \) d'un espace euclidien à la base orthonormale obtenue en appliquant l'algorithme de Schmidt à \( \mathcal{B} \)
  • Coordonnées d'un vecteur d'un espace euclidien dans une base orthonormale
  • Expression du produit scalaire et de la norme d'un vecteur d'un espace euclidien via ses coordonnées dans une base orthonormale
  • Si \(E\) est un espace euclien et \(u\) un endomorphisme de \(E\) alors dans toute base orthonormale \( (e_1,\ldots,e_n) \) de \(E\) alors \( \operatorname{Tr}(u) = \displaystyle \sum_{i=1}^n < (u(e_i),e_i > \).
  • Projeté orthogonal d'un vecteur d'un espace préhilbertien sur un sous-espace vectoriel de dimension finie

[208] - Séance du vendredi 28 janvier 2022 (2h)

• Suite du chapitre 13 "Espaces préhilbertiens"
  • Correction de l'exercice C13.39: Dans \( \mathcal{C}^0([0,2\pi],\mathbf{R}) \) muni de son produit scalaire usuel, la famille \[ \left( c_n \quad \left| \begin{array}{ccc} [0,2\pi] & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \cos(nx) \end{array} \right. \right)_{n \in \mathbf{N}} \] est orthogonale.
  • Définition d'un projecteur orthogonal
  • Si \( ( E , <\,\cdot\,,\,\cdot\,> ) \) est un espace préhilbertien, \(F\) et \(G\) sont deux sous-espace vectoriels de \(E\) supplémentaires et orthogonaux, alors la projection de \(E\) sur \(F\) parallèlement à \(G\) est un projecteur orthogonal.
  • Si \( ( E , <\,\cdot\,,\,\cdot\,> ) \) est un espace préhilbertien et \(p\) est un projecteur de \(E\) alors \(p\) est un projecteur orthogonal si et seulement si \(p\) est une application 1-lipschitzienne.
  • Définition de l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel d'un espace préhilbertien
  • Orthogonal d'un sous-espace vectoriel et inclusion
  • Un vecteur appartient à l'orthogonal du sous-espace vectoriel engendré par \(x_1,\ldots,x_n\) si et seulement s'il est orthogonal à chacun des vecteurs \(x_1,\ldots,x_n\).
  • Calcul de l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel de \(\mathbf{R}^4\) (muni de son produit scalaire usuel) ensemble solution d'un système linéaire à 2 équations
  • Structure de l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel
  • Un sous-espace est inclus dans l'orthogonal de son orthogonal.
  • Un sous-espace n'est pas nécessairement égal à l'orthogonal de son orthogonal: contre-exemple dans un espace de fonctions en appliquant le théorème d'approximation polynomiale de Weierstraß
  • Définition d'un espace euclidien
  • Définition d'une base orthogonale (resp. orthonormale) d'un espace euclidien
  • Un espace euclidien possède une base orthonormale.
  • Algorithme d'orthonormalisation de Schmidt (énoncé)
• Devoirs
  • C13.58. Détermination de l'orthogonal de l'ensemble des matrices à coefficients diagonaux tous nuls dans \( \mathcal{M}_n(\mathbf{R})\) (muni de son produit scalaire usuel).
  • C13.63: Somme et intersection de sous-espaces orthogonaux
  • C13.64: Les sous-espaces \(F_1^{\perp} + F_2^{\perp}\) et \( (F_1 \cap F_2)^{\perp} \) ne sont pas nécessairement égaux.
  • C13.113: Matrice de la projection orthogonale de \(\mathbf{R}^4\) (muni de son produit scalaire usuel) sur un sous-espace vectoriel ensemble solution d'un système linéaire à 2 équations dans la base canonique.
  • C13.117: Autre démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz en développant un carré scalaire

[206] - Séance du jeudi 27 janvier 2022 (2h)

• Suite du chapitre 13 "Espaces préhilbertiens"
  • Correction de l'exercice C13.32: Caractérisation des normes associées à un produit scalaire par l'identité du parallélogramme.
  • Définition de l'orthogonalité pour des vecteurs
  • Définition d'une famille de vecteurs orthogonale (resp. orthonormale)
  • La base canonique de \( \mathbf{R}^n \) est orthonormale pour le produit scalaire usuel.
  • La base canonique de \( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \) est orthonormale pour le produit scalaire usuel.
  • Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
  • Théorème de Pythagore
  • Défintion de l'orthogonalité pour des sous-espaces vectoriels
  • Des sous-espaces vectoriels deux-à-deux orthogonaux sont en somme directe.
  • Dans \( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \) muni de son produit scalaire usuel, les sous-espaces \( \mathcal{S}_n \) et \( \mathcal{A}_n \) sont orthogonaux.
• Devoirs
  • C13.39: Dans \( \mathcal{C}^0([0,2\pi],\mathbf{R}) \) muni de son produit scalaire usuel, la famille \[ \left( c_n \quad \left| \begin{array}{ccc} [0,2\pi] & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \cos(nx) \end{array} \right. \right)_{n \in \mathbf{N}} \] est orthogonale.

[204] - Séance du mercredi 26 janvier 2022 (2h)

• Complément sur le chapitre 12 "Théorèmes de Lebesgue et intégrales à paramètre"
  • Correction de l'exercice C12.77: Une démonstration du théorème de d'Alembert-Gauß
• Suite du chapitre 13 "Espaces préhilbertiens"
  • Théorème de Minkowski
  • Si \( ( E , <\,\cdot\,,\,\cdot\,> ) \) est un espace préhilbertien, alors l'application \[ \left| \begin{array}{ccc} E \times E & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & || x || := \sqrt{<\,x\,,\,x\,>} \end{array} \right. \] définit une norme sur \( E \).
  • La norme d'un vecteur égale celle de son opposé.
  • Deuxième inégalité triangulaire dans un espace vectoriel normé.
  • Identité de polarisation
  • Identité du parallélogramme
• Devoirs
  • C13.32: Caractérisation des normes associées à un produit scalaire par l'identité du parallélogramme.

[202] - Séance du mardi 25 janvier 2022 (4h)

• Fin du chapitre 12 "Théorèmes de Lebesgue et intégrales à paramètre"
  • Correction de l'exercice C12.7: si \( a > 0 \), \( \displaystyle \int_0^{1} \dfrac{1}{1 + t^a} \;\operatorname{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{1+na} \) et \( \displaystyle \int_0^{1} \dfrac{t^{a-1}}{1 + t} \;\operatorname{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{n+a} \)
  • Correction de l'exercice C12.73: si \( x>0 \), calcul de \( \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{\sin(t)}{t} e^{- xt} \operatorname{d} t \)
  • Rappel sur la première formule de la moyenne
  • Énoncé de la deuxième formule de la moyenne
• Début du chapitre 13 "Espaces préhilbertiens"
  • Définition d'un produit scalaire sur un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel
  • Définition d'un espace préhilbertien
  • Carrés scalaires de sommes
  • Produit scalaire contre le vecteur nul
  • Produit scalaire canonique sur \(\mathbf{R}^n\)
  • Produit scalaire canonique sur \(\mathbf{R}[X]\)
  • Produit scalaire canonique sur \( \mathcal{M}_{p,n}(\mathbf{R})\)
  • Produit scalaire canonique sur \( \mathcal{C}^0([a,b],\mathbf{R})\)
  • Notation norme dans un espace préhilbertien
  • Carré de la norme d'une somme
  • Homogénéité de la norme
  • Théorème de Cauchy-Schwarz (inégalité et cas d'égalité)
  • Traduction de l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans \(\mathbf{R}^n\) muni de son produit scalaire canonique
  • Traduction de l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans \( \mathcal{M}_n(\mathbf{R})\) muni de son produit scalaire canonique
  • Traduction de l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans \( \mathcal{C}^0([a,b],\mathbf{R})\) muni de son produit scalaire canonique
  • Si \( x_{1}>0,\ldots,x_{n}>0 \) vérifient \( \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}x_{i}=1} \) alors \( \displaystyle n^{2} \leqslant \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}} \).
  • Si \( f \in \mathcal{C}^0([ 0 , 1 ], \mathbf{R}) \) une fonction telle que \( f>0 \) sur \( [0,1] \) et \( \displaystyle \int_{0}^{1}f(t) \operatorname{d} t =1 \) alors \( \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{f(t)} \operatorname{d} t \geqslant 1 \).
  • Calcul de \( \displaystyle \inf \left\{ \left( \int_a^b f(t) \operatorname{d} t \right) \; \left( \int_a^b \dfrac{1}{f(t)} \operatorname{d} t \right) \;:\; f \in \mathcal{C}^0 \left([ a,b ] , \mathbf{R}_{>0} \right) \right\} \)
• Devoirs
  • C12.77: Une démonstration du théorème de d'Alembert-Gauß

[198] - Séance du lundi 24 janvier 2022 (2h)

• Suite du chapitre 12 "Théorèmes de Lebesgue et intégrales à paramètre"
  • Correction de l'exercice C12.32: Calcul de l'intégrale de la Gaussienne à l'aide d'une équation différentielle
  • Correction de l'exercice C12.51: \( \Gamma'(1)=-\gamma \)

[196] - Séance du vendredi 21 janvier 2022 (4h)

• Suite du chapitre 12 "Théorèmes de Lebesgue et intégrales à paramètre"
  • Correction de l'exercice C12.13: \( \displaystyle \int_0^{1} \dfrac{\ln(t)}{1 + t^2} \;\operatorname{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{(2n+1)^2} \)
  • Correction de l'exercice C12.22: La fonction \[ \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R} & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-t x^2}}{1+t^3} \, \operatorname{d}t \end{array} \right. \] est bien définie et continue sur \( \mathbf{R} \).
  • Théorème de dérivabilité pour une intégrale à paramètre
  • La fonction \[ \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R} & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-t x^2}}{1+t^3} \, \operatorname{d}t \end{array} \right. \] est bien définie et de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur \( \mathbf{R} \).
  • Théorème sur les dérivées d'ordre supérieur pour les intégrales à paramètre
  • La fonction \( \Gamma \) d'Euler est de classe \( \mathcal{C}^{\infty} \) sur \( \mathbf{R}_{>0} \), expressions intégrales de ses dérivées itérées, convexité de \( \Gamma \).
  • Limite quand \( n \) tend vers \( + \infty \) de \( \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{x^n}{1+x^{n+2}} \;\operatorname{d}x \)
• Devoirs
  • C12.7: si \( a > 0 \), \( \displaystyle \int_0^{1} \dfrac{1}{1 + t^a} \;\operatorname{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{1+na} \) et \( \displaystyle \int_0^{1} \dfrac{t^{a-1}}{1 + t} \;\operatorname{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{n+a} \)
  • C12.32: Calcul de l'intégrale de la Gaussienne à l'aide d'une équation différentielle
  • C12.51: \( \Gamma'(1)=-\gamma \)
  • C12.73: si \( x>0 \), calcul de \( \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{\sin(t)}{t} e^{- xt} \operatorname{d} t \)

[192] - Séance du jeudi 20 janvier 2022 (2h)

• Suite du chapitre 12 "Théorèmes de Lebesgue et intégrales à paramètre"
  • Correction de l'exercice C12.13: \( \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{t}{e^t-1} \;\operatorname{d}t = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2} \)
  • Version continue du théorème de convergence dominée
  • Présentation de quelques problématiques sur les intégrales à paramètres
  • Exemples d'intégrales à paramètre: la fonction Gamma d'Euler, la transformée de Laplace, la transformée de Fourier
  • Critère de continuité pour les intégrales à paramètre
  • La fonction \[ \left| \begin{array}{ccc} [0 , + \infty[ & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{1}{x^3+t^3+1} \, \operatorname{d}t \end{array} \right. \] est bien définie et continue sur \( [0 , + \infty[ \).
• Devoirs
  • C12.13: \( \displaystyle \int_0^{1} \dfrac{\ln(t)}{1 + t^2} \;\operatorname{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{(2n+1)^2} \)
  • C12.22: La fonction \[ \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R} & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-t x^2}}{1+t^3} \, \operatorname{d}t \end{array} \right. \] est bien définie et continue sur \( \mathbf{R} \).

[190] - Séance du mercredi 19 janvier 2022 (2h)

• Compléments sur le chapitre 11 "Familles sommables"
  • Correction de l'exercice C11.111: Si \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 0} a_n \) est une série de nombres complexes absolument convergente, \( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n 2^k a_k = 2 \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \).
  • Correction de l'exercice C11.118: Si \( z \in \mathbf{C} \) vérifie \( |z| < 1 \), calcul de \( \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} d(n) z^n \), où pour tout \( n \in \mathbf{N}^* \), \( d(n) \) désigne le nombre de diviseurs positifs de \( n \)
• Suite du chapitre 12 "Théorèmes de Lebesgue et intégrales à paramètre"
  • Rappel sur les intégrales de Wallis
  • Correction de l'exercice C12.5: Calcul de la gaussienne.
  • Théorème d'intégration terme-à-terme de Lebesgue
• Devoirs
  • C12.13: \( \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{t}{e^t-1} \;\operatorname{d}t = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2} \)

[188] - Séance du mardi 18 janvier 2022 (2h)

• Fin du chapitre 11 "Familles sommables"
  • Correction de l'exercice C11.104: Si \( a> 1 \) et \( b > 1 \), sommabilité de la famille \( \left( \dfrac{1}{a^n + b^m} \right)_{(n,m) \in \mathbf{N}^2 } \).
  • Correction de l'exercice C11.105: Convergence et valeur de la somme de la série \( \displaystyle \sum_{p \geqslant 2} (\zeta(p)-1 ) \).
  • Correction de l'exercice C11.110: Propriété algébrique de l'exponentielle complexe
• Début du chapitre 12 "Théorèmes de Lebesgue et intégrales à paramètre"
  • Théorème de convergence dominée
  • Limite quand \( n \) tend vers \( + \infty \) de \( \displaystyle \int_0^{\pi/4} \tan^n(x) \;\operatorname{d}x \)
  • Limite quand \( n \) tend vers \( + \infty \) de \( \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{1}{x^n + e^x} \;\operatorname{d}x \)
• Devoirs
  • C11.111: Si \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 0} a_n \) est une série de nombres complexes absolument convergente, \( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n 2^k a_k = 2 \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \).
  • C11.118: Si \( z \in \mathbf{C} \) vérifie \( |z| < 1 \), calcul de \( \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} d(n) z^n \), où pour tout \( n \in \mathbf{N}^* \), \( d(n) \) désigne le nombre de diviseurs positifs de \( n \)
  • C12.5: Calcul de la gaussienne.

[186] - Séance du lundi 17 janvier 2022 (4h)

• Suite du chapitre 11 "Familles sommables"
  • Correction de l'exercice C11.84: Théorème de convergence commutative pour une série de réels positifs
  • Correction de l'exercice C11.87: Modification de l'ordre des termes de la série harmonique alternée
  • Théorème de commutative convergence
  • Théorème de Fubini
  • Correction de l'exercice C11.93: \( \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \; \sum_{\substack{m=1 \\ m\not=n}}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2-m^2} \quad\not=\quad \sum_{m=1}^{+\infty} \; \sum_{\substack{n=1 \\ n\not=m}}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2-m^2} \)
  • Pour tout \( a \in \mathbf{C} \) tel que \( |a|<1 \), \( \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{a^n}{1-a^{2n}} = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{a^{2n-1}}{1-a^{2n-1}} \)
  • Définition du produit de Cauchy de deux séries complexes
  • Théorème sur le produit de Cauchy de deux séries complexes absolument convergentes
• Devoirs
  • C11.104: Si \( a> 1 \) et \( b > 1 \), sommabilité de la famille \( \left( \dfrac{1}{a^n + b^m} \right)_{(n,m) \in \mathbf{N}^2 } \).
  • C11.105: Convergence et valeur de la somme de la série \( \displaystyle \sum_{p \geqslant 2} (\zeta(p)-1 ) \).
  • C11.110: Propriété algébrique de l'exponentielle complexe

[182] - Séance du vendredi 14 janvier 2022 (2h)

• Suite du chapitre 11 "Familles sommables"
  • Lemme de domination pour les familles de réels positifs
  • Correction de l'exercice: Soit \( \alpha \) un réel strictement positif. Déterminer une CNS pour que la famille \( \left( \dfrac{1}{(n+m)^{\alpha}} \right)_{(n,m) \in \mathbf{N}^* \times \mathbf{N}^*} \) soit sommable.
  • Correction de l'exercice: Soit \( \alpha \) un réel strictement positif. Déterminer une CNS pour que la famille \( \left( \dfrac{1}{n^{\alpha} + m^{\alpha}} \right)_{(n,m) \in \mathbf{N}^* \times \mathbf{N}^*} \) soit sommable.
  • Définition d'une famille sommable de complexes
  • Caractérisation de la sommabilité d'une famille de réels via les parties positives et négatives
  • Définition de la somme d'une famille sommable de réels
  • Caractérisation de la sommabilité d'une famille de sommable de complexes via les parties réelles et imaginaires
  • Définition de la somme d'une famille sommable de complexes
  • Familles sommables de nombres complexes indexées par \( \mathbf{N} \) et séries absolument convergentes
  • Si \( s \in \mathbf{C} \), étude de la sommabilité de la famille \( \left( \dfrac{1}{n^s} \right)_{n \in \mathbf{N}^*}\)
  • Sommabilité d'une sous-famille d'une famille sommable de complexes
  • Calcul pratique de la somme d'une famille sommable de complexes via une suite exhaustive
  • \( \ell^1(I, \mathbf{C}) \) est un sous-espace vectoriel de \( \mathbf{C}^I \)
  • L'application \[ \left| \begin{array}{ccc} \ell^1(I, \mathbf{C}) & \longrightarrow & \mathbf{C} \\ ( a_i )_{i \in I} & \longmapsto & \displaystyle \sum_{i \in I} a_i \end{array} \right. \] est une forme linéaire.
  • Théorème de sommation par paquets pour les familles sommables de complexes
• Devoirs
  • C11.84: Théorème de convergence commutative pour une série de réels positifs
  • C11.87: Modification de l'ordre des termes de la série harmonique alternée
  • C11.93: \( \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \; \sum_{\substack{m=1 \\ m\not=n}}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2-m^2} \quad\not=\quad \sum_{m=1}^{+\infty} \; \sum_{\substack{n=1 \\ n\not=m}}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2-m^2} \)

[180] - Séance du jeudi 13 janvier 2022 (2h)

• Suite du chapitre 11 "Familles sommables"
  • Correction de l'exercice: Soient \(a\) et \(b\) des réels strictement positifs. Déterminer une CNS pour que la famille \( \left( a^n b^m \right)_{(n,m) \in \mathbf{N}^2} \) soit sommable et calculer sa somme le cas échéant.
  • Correction de l'exercice: Démontrer que la famille \( \left( \dfrac{1}{n^2+m^2} \right)_{(n,m) \in \mathbf{N}^* \times \mathbf{N}^*} \) n'est pas sommable.
  • Sommabilité d'une sous-famille d'une famille sommable de nombres réels positifs ou nuls
  • Définition d'une partition d'un ensemble
  • Partitions horizontales, verticales et diagonales de \( \mathbf{N}^2 \)
  • Théorème de sommation par paquets pour les familles de nombres réels positifs ou nuls
  • Si \( q > 0\) alors la famille \( \left( \dfrac{1}{q^n} \right)_{n \in \mathbf{Z}}\) n'est pas sommable.
• Devoirs
  • Exercice: Soit \( \alpha \) un réel strictement positif. Déterminer une CNS pour que la famille \( \left( \dfrac{1}{(n+m)^{\alpha}} \right)_{(n,m) \in \mathbf{N}^* \times \mathbf{N}^*} \) soit sommable.
  • Exercice: Soit \( \alpha \) un réel strictement positif. Déterminer une CNS pour que la famille \( \left( \dfrac{1}{n^{\alpha} + m^{\alpha}} \right)_{(n,m) \in \mathbf{N}^* \times \mathbf{N}^*} \) soit sommable.

[178] - Séance du mercredi 12 janvier 2022 (2h)

• Suite du chapitre 11 "Familles sommables"
  • Correction de l'exercice: Démontrer que \( \mathbf{R} \setminus \mathbf{Q} \) n'est pas dénombrable.
  • Correction de l'exercice: Démontrer que la famille \( \left( \dfrac{1}{2^n 3^m} \right)_{(n,m) \in \mathbf{N}^2} \) est sommable et calculer sa somme.
  • La famille \( \left( \dfrac{2^n}{3^m} \right)_{(n,m) \in \mathbf{N}^2} \) n'est pas sommable.
  • Définition d'une suite exhaustive de parties d'un ensemble dénombrable
  • \( \left( \{0,...,n\} \right)_{n \in \mathbf{N}} \) est une suite exhaustive de parties de \( \mathbf{N} \).
  • \( \left( \{-n,...,n\} \right)_{n \in \mathbf{N}} \) est une suite exhaustive de parties de \( \mathbf{Z} \).
  • \( \left( \{0,...,n\}^2 \right)_{n \in \mathbf{N}} \) est une suite exhaustive de parties de \( \mathbf{N}^2 \).
  • Théorème de sommabilité pour une famille \( \left( a_i \right)_{i \in I} \in \left(\mathbf{R}_{\geqslant 0}\right)^I \) via la donnée d'une suite exhaustive de parties de \(I\) : réduction à l'étude d'une suite de sommes finies
  • Si \( q > 0 \) alors la famille \( \left( q^n \right)_{n \in \mathbf{Z}} \) n'est pas sommable.
  • Lien fondamental entre familles sommables de réels positifs ou nuls indexées par \( \mathbf{N} \) et séries.
• Devoirs
  • Exercice: Soient \(a\) et \(b\) des réels strictement positifs. Déterminer une CNS pour que la famille \( \left( a^n b^m \right)_{(n,m) \in \mathbf{N}^2} \) soit sommable et calculer sa somme le cas échéant.
  • Exercice: Démontrer que la famille \( \left( \dfrac{1}{n^2+m^2} \right)_{(n,m) \in \mathbf{N}^* \times \mathbf{N}^*} \) n'est pas sommable.

[176] - Séance du mardi 11 janvier 2022 (2h)

• Complément sur le chapitre 10 "Convexité"
  • Correction de l'exercice C10.73: Une fonction convexe de \( \mathbf{R} \) dans \( \mathbf{R} \) qui a une limite nulle en \( + \infty \) est positive ou nulle.
• Suite du chapitre 11 "Familles sommables"
  • \( \mathbf{N}^2 \) est dénombrable.
  • Le produit d'un nombre fini d'ensembles dénombrables est dénombrable.
  • Les ensembles \( \mathbf{N}^4 \) et \( \mathbf{N}^* \times \mathbf{Z} \) sont dénombrables.
  • Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est dénombrable.
  • \( \mathbf{Q} \) est dénombrable.
  • Définition d'une famille sommable de réels positifs ou nuls
  • Définition de la somme d'une famille sommable de réels positifs ou nuls
• Devoirs
  • Exercice: Démontrer que \( \mathbf{R} \setminus \mathbf{Q} \) n'est pas dénombrable.
  • Exercice: Démontrer que la famille \( \left( \dfrac{1}{2^n 3^m} \right)_{(n,m) \in \mathbf{N}^2} \) est sommable et calculer sa somme.

[174] - Séance du lundi 10 janvier 2022 (4h)

• Suite et fin du chapitre 10 "Convexité"
  • Correction de l'exercice C10.40: Antécédents du minimum d'une fonction convexe et continue sur un segment
  • Rappels sur les sommes de Riemann
  • Correction de l'exercice C10.55: Inégalité de Jensen
  • Correction de l'exercice C10.59: Matrice bistochastique
  • Correction de l'exercice C10.69: Pour tout \(x>1\), \(y>1\), \( \displaystyle \sqrt{ \ln(x) \ln(y) } \leqslant \ln \left( \dfrac{x+y}{2} \right) \)
  • Correction de l'exercice C10.71: Convexité de la fonction \( x \longmapsto \ln \left( 1 + e^x \right) \) et conséquences.
  • Correction de l'exercice C10.76: Si \( f \colon \mathbf{R}_{\geqslant 0} \longrightarrow \mathbf{R} \) est convexe, alors la limite \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} \) existe dans \( \overline{\mathbf{R}} \).
  • Inégalité de Hölder
  • Inégalité de Minkowski
• Début du chapitre 11 "Familles sommables"
  • Définition d'un ensemble fini
  • Soient \( n \) et \( m \) deux entiers naturels non nuls, et s'il existe une bijection de \( \{1,...,n\} \) dans \( \{1,...,m\} \), alors \( n= m \).
  • Définition du cardinal d'un ensemble fini
  • Définition d'un ensemble dénombrable
  • Les ensembles \( \mathbf{N} \) et \( \mathbf{N}^* \) sont dénombrables.
  • Toute partie infinie de \( \mathbf{N} \) est dénombrable.
  • Un ensemble est fini ou dénombrable si et seulement s'il est en bijection avec \( \mathbf{N} \).
  • \( \mathbf{Z} \) est dénombrable.
• Devoirs
  • C10.73: Une fonction convexe de \( \mathbf{R} \) dans \( \mathbf{R} \) qui a une limite nulle en \( + \infty \) est positive ou nulle.

[170] - Séance du vendredi 7 janvier 2022 (2h)

• Suite du chapitre 10 "Convexité"
  • Correction de l'exercice C10.43: Fonction de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) convexe et majorée
  • Correction de l'exercice C10.45: Dérivabilité à droite et à gauche en un point intérieur d'une fonction convexe et continuité
  • Le graphe d'une fonction convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes.
  • Pour tout \( x \in \mathbf{R}, \quad e^x \geqslant x+1 \)
  • Pour tout \( x > -1, \quad \ln(1+x) \leqslant x \)
  • Pour tout \( x \in \left[ 0 , \dfrac{\pi}{2} \right], \quad \dfrac{2}{\pi} x \leqslant \sin(x) \leqslant x \)
  • Inégalité arithmético-géométrique
  • Inégalité de Young
• Devoirs
  • C10.40: Antécédents du minimum d'une fonction convexe et continue sur un segment
  • C10.55: Inégalité de Jensen
  • C10.59: Matrice bistochastique
  • C10.69: Pour tout \(x>1\), \(y>1\), \( \displaystyle \sqrt{ \ln(x) \ln(y) } \leqslant \ln \left( \dfrac{x+y}{2} \right) \)
  • C10.71: Convexité de la fonction \( x \longmapsto \ln \left( 1 + e^x \right) \) et conséquences.
  • C10.76: Si \( f \colon \mathbf{R}_{\geqslant 0} \longrightarrow \mathbf{R} \) est convexe, alors la limite \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} \) existe dans \( \overline{\mathbf{R}} \).

[170] - Séance du jeudi 6 janvier 2022 (2h)

• Suite du chapitre 10 "Convexité"
  • Correction de l'exercice C10.30: La fonction inverse est convexe sur \( \mathbf{R}_{>0} \), sans utilisation de critère différentiel.
  • Inégalité de convexité généralisée
  • Pour tout \( (x_1,\ldots,x_n) \in \mathbf{R}^n\), \( \displaystyle \left( \sum_{i=1}^n x_i \right)^2 \leqslant n \; \sum_{i=1}^n x_i^2 \): une première preuve avec la convexité de la fonction carrée, une seconde avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
  • Pour tout \( x_1 > 0, \ldots , x_n >0 \), \( \displaystyle \left( \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{x_i} \right) \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \geqslant n^2 \): une première preuve avec la convexité de la fonction inverse sur \( \mathbf{R}_{>0} \), une seconde avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
  • Inégalité des trois pentes
  • Si \(f\) est une fonction convexe sur un intervalle \(I\) et \(x_0\) est un point de \(I\), alors la fonction « taux d'acroissement de \(f\) en \(x_0\) » est croissante sur \( I \setminus \{x_0\} \).
  • Une fonction convexe sur un intervalle \(I\) n'est pas nécessairement continue sur \(I\).
  • Une fonction convexe et continue sur un intervalle \(I\) n'est pas nécessairement dérivable sur \(I\).
  • Rappel: un nombre dérivé est une limite de taux d'accroissement.
  • Rappel: théorème des accroissements finis
  • Caractérisation des fonctions convexes dérivables
  • Caractérisation des fonctions convexes deux fois dérivables
  • La fonction \(\exp\) est convexe sur \(\mathbf{R}\).
  • La fonction \(\ln\) est concave sur \(\mathbf{R}_{>0}\).
  • La fonction \(\sin\) est concave sur \( \left[ 0 , \dfrac{\pi}{2} \right] \).
• Devoirs
  • C10.43: Fonction de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) convexe et majorée
  • C10.45: Dérivabilité à droite et à gauche en un point intérieur d'une fonction convexe et continuité

[168] - Séance du mercredi 5 janvier 2022 (2h)

• Suite du chapitre 10 "Convexité"
  • Correction de l'exercice C10.23: Enveloppe convexe d'un nombre fini de points et d'une sphère dans un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel normé
  • Pour tout \( \lambda_1 \geqslant 0, \ldots , \lambda_n \geqslant 0\) tels que \( \displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1 \), pour tout \( ( x_1 , \ldots , x_n) \in \mathbf{R}^n \), \( \displaystyle \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \right)^2 \leqslant \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2 \): une première preuve avec la convexité de la fonction carrée, une seconde avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
  • Définition d'une fonction convexe (resp. concave, strictement convexe, strictement concave).
  • Une fonction \( f \) est convexe si et seulement si la courbe représentative de \( f \) est au-dessous de chacune de ses tangentes.
  • \(f\) est concave si et seulement si \(-f\) est convexe.
  • Exemple graphique d'une fonction non convexe et non concave.
  • Définition de l'épigraphe d'une fonction.
  • Lien entre les deux notions de convexité (géométrique et fonctionnelle): une fonction est convexe si et seulement si son épigraphe est une partie convexe de \( \mathbf{R}^2 \).
• Devoirs
  • C10.30: La fonction inverse est convexe sur \( \mathbf{R}_{>0} \), sans utilisation de critère différentiel.

[166] - Séance du mardi 4 janvier 2022 (2h)

• Suite du chapitre 10 "Convexité"
  • Définition d'un segment d'un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel
  • Définition d'une partie convexe d'un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel
  • Exemples de parties convexes et non convexes de \(\mathbf{R}^2\)
  • Une partie \( C \) de \( \mathbf{R} \) est convexe si et seulement \( C \) est un intervalle.
  • L'épigraphe de la fonction carrée est une partie convexe de \(\mathbf{R}^2\).
  • Dans un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel normé, les boules sont convexes.
  • Dans un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel normé, l'adhérence d'un convexe est convexe.
  • Définition du barycentre d'un système pondéré d'un \(n\)-uplet de points d'un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel.
  • Définition de l'isobarycentre d'un \(n\)-uplet de points d'un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel.
  • Le segment \([x,y]\) est l'ensemble des barycentres de \((x,y)\) à poids positifs.
  • Associativité des barycentres
  • Caractérisation de la convexité à l'aide des barycentres à poids positifs
• Devoirs
  • C10.23: Enveloppe convexe d'un nombre fini de points et d'une sphère dans un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel normé
  • Étudier la partie 2.1 (Définition de la convexité d'une fonction via des inégalités) du polycopié du chapitre 10 "Convexité".

[164] - Séance du lundi 3 janvier 2022 (4h)

• Suite et fin du chapitre 9 "Suites et séries de fonctions"
  • Correction de l'exercice C9.58: Pour tout \( k \in \mathbf{N}^* \), pour tout $\( x \in [0,1[ \), calcul de \( \displaystyle \sum_{n=k}^{+\infty} \dfrac{n!}{(n-k)!} \; x^n \) puis calcul de \( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n^2}{2^n} \).
  • Correction de l'exercice C9.59: Pour tout \( r \in [0,1[ \), pour tout \( t \in \mathbf{R} \), \( \displaystyle \arctan\left( \dfrac{r\sin(t)}{1-r\cos(t)} \right) = \sum_{n=1}^{+\infty} r^n \dfrac{\sin(nt)}{n}. \)
  • Correction de l'exercie C9.99: La fonction \[ \zeta \quad \left| \begin{array}{ccc} ]1,+\infty[ & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^x} \end{array} \right. \] est \( \mathcal{C}^{\infty} \) sur \( ] 1 , + \infty [ \) et expressions de ses dérivées itérées sous forme de séries.
  • Lemme de Riemann-Lebesgue: cas d'une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) sur un segment, cas d'une fonction en escalier sur un segment, cas d'une fonction continue sur un segment.
  • Théorème d'approximation de Weierstraß
  • Correction de l'exercice C9.65: Théorème des moments.
• Début du chapitre 10 "Convexité"
  • Segments de \( \mathbf{R} \): deux descriptions
• Devoirs
  • Étudier les parties 1.1 (Segment d'un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel) et 1.2 (Partie convexe d'un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel) du polycopié du chapitre 10 "Convexité".

[160] - Séance du mercredi 15 décembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 9 "Suites et séries de fonctions"
  • Soient \( P \in \mathbf{R}_n[X] \) et \( f \colon \mathbf{R} \longrightarrow \mathbf{R} \) la fonction définie par, pour tout \( x \in \mathbf{R} \), \( f(x) = P(x) \exp(x)\). Alors il existe un unique \( Q \in \mathbf{R}_n[X] \) tel que la fonction \( g \colon \mathbf{R} \longrightarrow \mathbf{R} \) définie par, pour tout \( x \in \mathbf{R} \), \( g(x) = Q(x) \exp(x)\) est une primitive de \( f \).
  • Correction de l'exercice C9.70: \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \left( x^2 + 1 \right) \dfrac{n e^x + x e^{-x} }{n+x} \operatorname{d} x \;. \)
  • Correction de l'exercice C9.76: La fonction \[ S \quad \left| \begin{array}{ccc} [0,1] & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \ln\left( 1 + \dfrac{x}{n} \right) - \dfrac{x}{n} \end{array} \right. \] est dérivable sur \( [0,1] \) et calcil de \( S'(1) \).
  • Correction de l'exercice C9.95: Étude de la fonction \[ f \colon x \longmapsto \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{1+x^n} \]
  • Rappels sur les fonctions en escaliers
  • Toute fonction continue sur un segment est limite uniforme d'une suite de fonctions en escaliers
• Devoirs
  • C9.58: Pour tout \( k \in \mathbf{N}^* \), pour tout $\( x \in [0,1[ \), calcul de \( \displaystyle \sum_{n=k}^{+\infty} \dfrac{n!}{(n-k)!} \; x^n \) puis calcul de \( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n^2}{2^n} \).
  • C9.59: Pour tout \( r \in [0,1[ \), pour tout \( t \in \mathbf{R} \), \( \displaystyle \arctan\left( \dfrac{r\sin(t)}{1-r\cos(t)} \right) = \sum_{n=1}^{+\infty} r^n \dfrac{\sin(nt)}{n}. \)
  • Déduire du théorème de Weierstraß (C9.63) le théorème des moments (C9.65).
  • C9.99: La fonction \[ \zeta \quad \left| \begin{array}{ccc} ]1,+\infty[ & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^x} \end{array} \right. \] est \( \mathcal{C}^{\infty} \) sur \( ] 1 , + \infty [ \) et expressions de ses dérivées itérées sous forme de séries.

[158] - Séance du mardi 14 décembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 9 "Suites et séries de fonctions"
  • Correction de l'exercice C9.53: Si \( r \in [0,1[ \), convergence et valeur de \( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} r^n \, n \, \cos(nt) \).
  • Primitivation d'une somme de série de fonctions terme-à-terme sous CUK
  • Critère \( \mathcal{C}^1 \) pour une limite de fonctions sous CS et CUK
  • Critère \( \mathcal{C}^1 \) pour une somme de séries de fonctions sous CS et CUK
  • Critère \( \mathcal{C}^k \) pour une limite de fonctions sous CS et CUK
  • Critère \( \mathcal{C}^k \) pour une somme de séries de fonctions sous CS et CUK
  • La fonction \[ \zeta \quad \left| \begin{array}{ccc} ]1,+\infty[ & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^x} \end{array} \right. \] est \( \mathcal{C}^1 \) sur \( ] 1 , + \infty [ \) et pour tout \( x > 1 \), \[ \zeta'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} - \dfrac{\ln(n)}{n^x} \;. \]
• Devoirs
  • C9.70: \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \left( x^2 + 1 \right) \dfrac{n e^x + x e^{-x} }{n+x} \operatorname{d} x \;. \)
  • C9.76: La fonction \[ S \quad \left| \begin{array}{ccc} [0,1] & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \ln\left( 1 + \dfrac{x}{n} \right) - \dfrac{x}{n} \end{array} \right. \] est dérivable sur \( [0,1] \) et calcil de \( S'(1) \).
  • C9.95: Étude de la fonction \[ f \colon x \longmapsto \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{1+x^n} \]

[156] - Séance du lundi 13 décembre 2021 (4h)

• Suite du chapitre 9 "Suites et séries de fonctions"
  • Correction de l'exercice C9.69: Modes de convergence de la suite de fonctions \[ \left( f_n \quad \left| \begin{array}{ccc} I & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{n}{\sqrt{\pi}} e^{- n^2 x^2 } \end{array} \right. \right)_{ n \in \mathbb{N}^* } \] pour différents intervalles \( I \) de \( \mathbf{R} \).
  • Correction de l'exercice C9.73: Une limite uniforme de fonctions bornées est bornée.
  • Correction de l'exercice C9.82: La fonction \[ f \quad \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R}_{>0} & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{\operatorname{ch}(nx)} \end{array} \right. \] est bien définie et continue sur \(\mathbf{R}_{>0}\) et détermination d'un équivalent de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( 0^+ \)
  • Une limite simple d'une suite de fonctions continues n'est pas nécessairement continue, cf. les "arcs" sur \( [0,1] \).
  • Critère de continuité pour une somme de série de fonctions continues sous CUK
  • Théorème de la double limite en un point du bord de l'intervalle de définition
  • La fonction \[ \zeta \quad \left| \begin{array}{ccc} ]1,+\infty[ & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^x} \end{array} \right. \] est continue sur \( ]1,+\infty[ \) et a pour limite 1 en \( + \infty \).
  • Intégration d'une limite de suite de fonctions continues sur un segment sous CU
  • \( \displaystyle \int_0^1 (1-x)^n \sin(x) \operatorname{d} x \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0 \)
  • Primitivation d'une limite de suite de fonctions continues sous CUK
  • Primitivation terme-à-terme d'une somme de série de fonctions continues sous CUK
  • Dérivation de la limite d'une suite de fonctions de classe \( \mathcal{C}^1 \) sous CS et CUK
• Devoirs
  • C9.53: Si \( r \in [0,1[ \), convergence et valeur de \( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} r^n \, n \, \cos(nt) \).

[152] - Séance du vendredi 10 décembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 9 "Suites et séries de fonctions"
  • Un critère de non convergence uniforme
  • Définition de la convergence simple d'une série de fonctions
  • Définition de la convergence uniforme d'une série de fonctions
  • Définition de la convergence normale d'une série de fonctions bornées
  • Si pour tout \( n \in \mathbf{N}^* \), on définit la fonction \( f_n \) par: \[ f_n \quad \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R} & \longrightarrow & \mathbf{C} \\ x & \longmapsto & \dfrac{e^{i n x }}{n^2} \end{array} \right. \] alors la série \( \displaystyle \sum f_n \) converge normalement sur \( \mathbf{R} \).
  • La convergence normale d'une série de fonctions bornées implique sa convergence simple.
  • La convergence normale d'une série de fonctions bornées implique sa convergence uniforme.
  • Si pour tout \( n \in \mathbf{N}^* \), on définit la fonction \( f_n \) par: \[ f_n \quad \left| \begin{array}{ccc} [0,1] & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{ (-1)^n x^n}{n} \end{array} \right. \] alors la série \( \displaystyle \sum f_n \) converge uniformément, mais pas normalement sur \( [0,1] \).
  • Définition de la convergence uniforme sur tout segment d'une suite de fonctions
  • Définition de la convergence uniforme sur tout segment d'une série de fonctions
  • Définition de la convergence normale sur tout segment d'une suite de fonctions
  • Théorème de le double limite en un point de l'intervalle
  • Une limite uniforme de fonctions continues est continue.
• Devoirs
  • C9.69: Modes de convergence de la suite de fonctions \[ \left( f_n \quad \left| \begin{array}{ccc} I & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{n}{\sqrt{\pi}} e^{- n^2 x^2 } \end{array} \right. \right)_{ n \in \mathbb{N}^* } \] pour différents intervalles \( I \) de \( \mathbf{R} \).
  • C9.73: Une limite uniforme de fonctions bornées est bornée.
  • C9.80: Un théorème de Dini.
  • C9.82: La fonction \[ f \quad \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R}_{>0} & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{\operatorname{ch}(nx)} \end{array} \right. \] est bien définie et continue sur \(\mathbf{R}_{>0}\) et détermination d'un équivalent de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( 0^+ \)

[150] - Séance du jeudi 9 décembre 2021 (2h)

• Compléments sur le chapitre 8 "Réduction des endomorphimes et des matrices"
  • Correction de l'exercice C8.173: Une matrice \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \) est nilpotente si et seulement si \( \operatorname{Tr}\left(A\right)=\operatorname{Tr}\left(A^2\right)=\ldots=\operatorname{Tr}\left(A^n\right)=0\).
• Suite du chapitre 9 "Suites et séries de fonctions"
  • L'ensemble \( \mathcal{B}(I,\mathbf{C}) \) des fonctions bornées sur \( I \) est un sous-espace vectoriel de l'espace \( \mathcal{F}(I,\mathbf{C}) \) des fonctions de \( I \) dans \( \mathbf{C} \).
  • Rappel sur la norme \( || \cdot ||_{\infty} \) sur \( \mathcal{B}(I,\mathbf{C}) \)
  • Si \( f , g \in \mathcal{B}(I,\mathbf{C}) \) et \( \varepsilon > 0 \), illustration géométrique de l'inégalité \( || f - g ||_{\infty} \leqslant \varepsilon \)
  • Expression de la convergence uniforme d'une suite de fonctions via la norme \( || \cdot ||_{\infty} \) sur \( \mathcal{B}(I,\mathbf{C}) \)
  • Les suites de fonctions des "arcs" et des "bosses translatées" convergent simplement, mais pas uniformément.
  • La suite de fonctions \( (f_n)_{n\in\mathbf{N}^*} \) définie par, pour tout \( n\in\mathbf{N}^* \) \[ f_n \quad \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R} & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{\cos(x)}{n} \end{array} \right. \] converge uniformément vers la fonction nulle sur \( \mathbf{R} \).
  • La suite de fonctions \( (f_n)_{n\in\mathbf{N}^*} \) définie par, pour tout \( n\in\mathbf{N}^* \) \[ f_n \quad \left| \begin{array}{ccc} [0,1[ & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & x^n \end{array} \right. \] converge simplement, mais pas uniformément vers la fonction nulle sur \( [0,1[ \).
  • La suite de fonctions \( (f_n)_{n\in\mathbf{N}^*} \) définie par, pour tout \( n\in\mathbf{N}^* \) \[ f_n \quad \left| \begin{array}{ccc} \left[ 0 , \dfrac{1}{2} \right] & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & x^n \end{array} \right. \] converge uniformément vers la fonction nulle sur \( \left[ 0 , \dfrac{1}{2} \right] \).
  • La suite de fonctions \( (f_n)_{n\in\mathbf{N}^*} \) définie par, pour tout \( n\in\mathbf{N}^* \) \[ f_n \quad \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R}_+ & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \left( 1 - \dfrac{x}{n} \right)^n \mathbb{1}_{[0,n]}(x) \end{array} \right. \] converge simplement sur \( \mathbf{R}_+ \).
  • La convergence simple implique la convergence uniforme.
  • Définition de la convergence simple et de la convergence uniforme d'une série de fonctions
• Devoirs
  • C9.14: Convergence uniforme de la suite de fonctions \( (f_n)_{n\in\mathbf{N}^*} \) définie par, pour tout \( n\in\mathbf{N}^* \) \[ f_n \quad \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R}_+ & \longrightarrow & \mathbf{R} \\ x & \longmapsto & \left( 1 - \dfrac{x}{n} \right)^n \mathbb{1}_{[0,n]}(x) \end{array} \right. \] sur \( \mathbf{R}_+ \).

[148] - Séance du mercredi 8 décembre 2021 (2h)

• Compléments sur le chapitre 8 "Réduction des endomorphimes et des matrices"
  • Correction de l'exercice C8.144: Diagonalisabilité d'une matrice vs. diagonalisabilité de son carré.
  • Correction de l'exercice C8.152: Si \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \) est de trace 1 et de rang 1, alors \( A^2 = A \).
• Suite du chapitre 9 "Suites et séries de fonctions"
  • Trois études de convergence simple: les "arcs", les "bosses translatées", les "échelles adossées à un mur".
  • Définition de la convergence uniforme pour une suite de fonctions
  • Comparaison des définitions formelles de la convergence simple et de la convergence uniforme

[146] - Séance du mardi 7 décembre 2021 (4h)

• Début du chapitre 9 "Suites et séries de fonctions"
  • Définition de la convergence simple d'une suite de fonctions
• Fin du chapitre 8 "Réduction des endomorphimes et des matrices"
  • Correction de l'exercice C8.105: Détermination des endomorphismes \( u \) de \( \mathbf{R}^n \) tels que \( u^3 - 4 u^2 + 4 u = 0 \) et \( \operatorname{Tr}(u)=0 \).
  • Correction de l'exercice C8.109: Réduction et valeurs propres d'un endomorphisme \( u \) de \( \mathbf{C}^n \) tel que \( u^p = \operatorname{id} \), où \( p \in \mathbf{N}^* \).
  • Critères polynomiaux pour la nilpotence
  • Polynôme minimal d'un endomorphisme induit
  • La diagonalisabilité d'un endomorphisme implique celle de tout endomorphisme induit.
  • Réduction d'un endomorphisme trigonalisable à l'aide des sous-espaces caractéristiques
  • Un pas vers la réduction de Jordan
• Devoirs
  • C8.144: Diagonalisabilité d'une matrice vs. diagonalisabilité de son carré.
  • C8.152: Si \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \) est de trace 1 et de rang 1, alors \( A^2 = A \).
  • C8.173: Une matrice \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \) est nilpotente si et seulement si \( \operatorname{Tr}\left(A\right)=\operatorname{Tr}\left(A^2\right)=\ldots=\operatorname{Tr}\left(A^n\right)=0\).

[144] - Séance du lundi 6 décembre 2021 (4h)

• Rappels de MPSI sur les formes linéaires et les hyperplans
  • Définition d'une forme linéaire
  • Définition d'un hyperplan
  • Si \(E\) est un \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel et \( H \) est un hyperplan de \( E \), alors pour tout \( x \in E \setminus H \), \( H \oplus \operatorname{Vect}(x) = E \).
  • Le noyau d'une forme linéaire non nulle est un hyperplan.
  • Si \(E\) est un \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel de dimension \( 1 \leqslant n < \infty \) et \( H \) est un sous-espace vectoriel de \(E\), alors \( H \) est un hyperplan de \( E \) si et seulement si \( \dim(H) = n - 1 \).
  • Si \(E\) est un \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel de dimension \( 1 \leqslant n < \infty \) et \( H \) est un hyperplan de \( E \), alors il existe une forme linéaire non nulle \( \varphi \) sur \( E \) telle que \( \operatorname{Ker}(\varphi) = H \).
• Suite du chapitre 8 "Réduction des endomorphimes et des matrices"
  • Correction de l'exercice C8.88: Trigonalisation dans \( \mathcal{M}_3(\mathbf{R}) \) de \( \begin{pmatrix} -3 & -3 & 2 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 4 & -4 \end{pmatrix} \)
  • Correction de l'exercice C8.101: Si \( u \) est un endomorphisme d'un \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel \( E \) de dimension \( 1 \leqslant n < \infty \), description de la sous-\( \mathbf{K} \)-algèbre de \( \mathcal{L}(E) \) engendrée par \(u\).
  • Correction de l'exercice C8.119: Commutant de \( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \) dans \( \mathcal{M}_2(\mathbf{R}) \)
  • Correction de l'exercice C8.156: si \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \) est de trace non nulle, détermination des éléments propres de \[ \left| \begin{array}{ccc} \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) & \longrightarrow & \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \\ M & \longmapsto & \operatorname{Tr}(A) M - \operatorname{Tr}(M) A \end{array} \right. \]
  • Lemme des noyaux (démonstration)
  • Lemme des noyaux généralisés
  • Critères polynomiaux pour la diagonalisabilité
  • Critères polynomiaux pour la trigonalisabilité
• Devoirs
  • C8.105: Détermination des endomorphismes \( u \) de \( \mathbf{R}^n \) tels que \( u^3 - 4 u^2 + 4 u = 0 \) et \( \operatorname{Tr}(u)=0 \).
  • C8.109: Réduction et valeurs propres d'un endomorphisme \( u \) de \( \mathbf{C}^n \) tel que \( u^p = \operatorname{id} \), où \( p \in \mathbf{N}^* \).

[140] - Séance du vendredi 3 décembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 8 "Réduction des endomorphimes et des matrices"
  • Définition d'un polynôme d'endomorphisme
  • Si \( u \) est un endomorphisme d'un \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel \( E \), l'application \[ \left| \begin{array}{ccc} (\mathbf{K}[X],+,.,\times) & \longrightarrow & (\mathcal{L}(E),+,.,\circ) \\ P & \longmapsto & P(u) \end{array} \right. \] est un morphisme de \( \mathbf{K} \)-algèbres.
  • Deux polynômes d'un même endomorphisme commutent.
  • Définitions et propriétés des polynômes de matrices
  • Définition d'un polynôme annulateur d'un endomorphime (resp. d'une matrice)
  • Le spectre d'un endomorphisme (resp. d'une matrice) annulé (resp. annulée) par un polynôme \(P\) est inclus dans le spectre de \( P \).
  • La matrice \( I_2 \) est annulée par \( X(X-1)(X+7) \) et \( \operatorname{Spec}_{\mathbf{R}}(I_2)=\{1 \} \subset \operatorname{Spec}_{\mathbf{R}}(P) = \{ -7,0,1 \} \). L'inclusion est stricte.
  • Théorème de Cayley-Hamilton (énoncé et preuve pour une matrice diagonalisable).
  • Définition de l'idéal annulateur d'un endomorphisme (resp. d'une matrice)
  • Définition du polynôme minimal d'un endomorphisme d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie (resp. d'une matrice).
  • Reformulation du théorème de Cayley-Hamilton: le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique.
  • Lemme des noyaux (énoncé)
  • Un exemple d'application du lemme des noyaux: décomposition de l'espace associée à un projecteur.
• Devoirs
  • C8.88: Trigonalisation dans \( \mathcal{M}_3(\mathbf{R}) \) de \( \begin{pmatrix} -3 & -3 & 2 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 4 & -4 \end{pmatrix} \)
  • C8.101: Si \( u \) est un endomorphisme d'un \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel \( E \) de dimension \( 1 \leqslant n < \infty \), description de la sous-\( \mathbf{K} \)-algèbre de \( \mathcal{L}(E) \) engendrée par \(u\).
  • C8.119: Commutant de \( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \) dans \( \mathcal{M}_2(\mathbf{R}) \)
  • C8.156: si \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \) est de trace non nulle, détermination des éléments propres de \[ \left| \begin{array}{ccc} \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) & \longrightarrow & \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \\ M & \longmapsto & \operatorname{Tr}(A) M - \operatorname{Tr}(M) A \end{array} \right. \]

[138] - Séance du jeudi 2 décembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 8 "Réduction des endomorphimes et des matrices"
  • Correction de l'exercice sur le calcul des puissances de la matrice \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \), en appliquant la formule du binôme de Newton.
  • La matrice \( \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) est n'est pas diagonalisable sur \(\mathbf{R}\), mais elle est diagonalisable sur \( \mathbf{C} \).
  • Une matrice triangulaire supérieure est semblable à une matrice triangulaire inférieure et réciproquement.
  • Définition d'une matrice trigonalisable
  • Définition d'un endomorphisme trigonalisable
  • Un endomorphisme \( u \) d'un \(\mathbf{K} \)-espace vectoriel \( E \) de dimension \( 1 \leqslant n < \infty \) est trigonalisable si et seulement si pour toute base \( \mathcal{B} \) de \( E \) la matrice \( \operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(u) \) est trigonalisable sur \(\mathbf{K} \).
  • Un endomorphisme (resp. une matrice) est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur le corps de base.
  • Toute matrice de \( \mathcal{M}_n(\mathbf{C}) \) est trigonalisable sur \( \mathbf{C} \).
  • Formules pour la trace et le déterminant d'une matrice de \( \mathcal{M}_n(\mathbf{C}) \)
  • Méthodes pratiques pour trigonaliser une matrice de \( \mathcal{M}_2(\mathbf{K}) \) trigonalisable sur \( \mathbf{K} \).
  • Trigonalisation dans \( \mathcal{M}_2(\mathbf{R}) \) de \( \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
• Devoirs
  • Démontrer la propriété suivante: un endomorphisme \( u \) d'un \(\mathbf{K} \)-espace vectoriel \( E \) de dimension \( 1 \leqslant n < \infty \) est trigonalisable si et seulement si pour toute base \( \mathcal{B} \) de \( E \) la matrice \( \operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(u) \) est trigonalisable sur \(\mathbf{K} \).

[136] - Séance du mercredi 1^er décembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 8 "Réduction des endomorphimes et des matrices"
  • Correction de l'exercice C8.52: Éléments propres d'une matrice inversible vs. éléments propres de sa matrice inverse
  • Correction de l'exercice C8.61: Diagonalisabilité des projecteurs et des symétries
  • Correction de l'exercice C8.73: Calcul des puissances de la matrice \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \), en diagonalisant.
  • Caractérisation de la diagonalisabilité via le polynôme caractéristique et les ordres de multiplicité
  • Formules pour la trace et le déterminant d'un endomorphisme diagonalisable
• Devoirs
  • Calcul des puissances de la matrice \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \), en appliquant la formule du binôme de Newton.

[134] - Séance du mardi 30 novembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 8 "Réduction des endomorphimes et des matrices"
  • Correction de l'exercice C8.53: Si \( A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \) alors \( \chi_{AB} = \chi_{BA} \)
  • Si une matrice \( M \in \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \) est diagonalisable sur \(\mathbf{K} \), alors \( \chi_M \) est scindé sur \(\mathbf{K} \).
  • La réciproque de l'implication ci-dessus est fausse, cf. \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \).
  • Définition d'un endomorphisme diagonalisable
  • Un endomorphisme \( u \) d'un \(\mathbf{K} \)-espace vectoriel \( E \) de dimension \( 1 \leqslant n < \infty \) est diagonalisable si et seulement si pour toute base \( \mathcal{B} \) de \( E \) la matrice \( \operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(u) \) est diagonalisable sur \(\mathbf{K} \).
  • Caractérisation de la diagonalisation d'un endomorphisme via la décomposition de l'espace en somme directe des sous-espaces propres
  • Caractérisation de la diagonalisation d'un endomorphisme via la somme des dimension des sous-espaces propres
  • Si un endomorphisme \( u \) d'un \(\mathbf{K} \)-espace vectoriel \( E \) de dimension \( 1 \leqslant n < \infty \) possède \( n \) valeurs propres deux-à-deux discintes alors il est diagonalisable.
  • La réciproque de l'implication ci-dessus est fausse, cf. endormophisme/matrice identité.
  • La matrice \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \) est diagonalisable sur \(\mathbf{R} \).
• Devoirs
  • C8.52: Éléments propres d'une matrice inversible vs. éléments propres de sa matrice inverse
  • C8.61: Diagonalisabilité des projecteurs et des symétries
  • C8.73: Calcul des puissances de la matrice \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \), en diagonalisant.

[132] - Séance du lundi 29 novembre 2021 (4h)

• Suite du chapitre 8 "Réduction des endomorphimes et des matrices"
  • Correction de l'exercice C8.122: résolution d'un système différentiel à coefficients constants \( 3 \times 3 \) dans le cas diagonalisable.
  • Correction de l'exercice C8.135: droites de \( \mathbf{R}^3 \) stables par l'endomorphisme de \( \mathbf{R}^3 \) canoniquement associé à la matrice \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}\).
  • Calcul du polynôme caractéristique d'une matrice compagnon
  • Correction de l'exercice C8.138: endomorphismes cycliques.
  • Spectre de deux matrices semblables
  • Nombre maximal de valeurs propres d'un endomorphisme d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie (resp. d'une matrice carrée).
  • Polynôme caractéristique et spectre d'une matrice triangulaire
  • Éléments propres de l'endomorphisme \[ \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{K}_n[X] & \longrightarrow & \mathbf{K}_n[X] \\ P & \longmapsto & P+P' \end{array} \right. \]
  • Polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit (résultat de factorisation)
  • Définition de l'ordre de multiplicité d'une valeur propre
  • Multiplicité d'une valeur propre versus dimension du sous-espace propre
  • Définition d'une matrice diagonalisable
  • Si \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \) possède une unique valeur propre \( \lambda \) alors \( A = \lambda.I_n \).
  • Éléments propres d'une matrice nilpotente
  • La seule matrice nilpotente et diagonalisable est la matrice nulle.
• Devoirs
  • C8.49: calcul du polynôme caractéristique de quatre matrices carrées
  • C8.53: Si \( A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \) alors \( \chi_{AB} = \chi_{BA} \)

[128] - Séance du vendredi 26 novembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 8 "Réduction des endomorphimes et des matrices"
  • Correction de l'exercice sur les éléments propres de la matrice \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}\)
  • Les sous-espaces propres sont en somme directe.
  • Éléments propres d'un endomorphisme vs. éléments propres d'une matrice.
  • Stabilité d'un sous-espace propre et endomorphisme induit sur un sous-espace propre.
  • Définition du polynôme caractéristique d'une matrice de \( \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \)
  • Propriétés du polynôme caractéristique d'une matrice de \( \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \): \( \chi_M \) est unitaire, \( \deg(\chi_M) = n\), \( [ \chi_M ]_{n-1} = - \operatorname{Tr}(M) \), \( [\chi_M ]_{0} = (-1)^n \det(M) \).
  • Si deux matrices sont semblables alors elles ont même polynôme caractéristique, mais la réciproque est fausse, cf. \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) et \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \).
• Devoirs
  • C8.122: résolution d'un système différentiel à coefficients constants \( 3 \times 3 \) dans le cas diagonalisable.
  • C8.130: éléments propres de \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{C}) \) vs. éléments propres de \[ \left| \begin{array}{ccc} \mathcal{M}_n(\mathbf{C}) & \longrightarrow & \mathcal{M}_n(\mathbf{C}) \\ M & \longmapsto & AM \end{array} \right. \]
  • C8.135: droites de \( \mathbf{R}^3 \) stables par l'endomorphisme de \( \mathbf{R}^3 \) canoniquement associé à la matrice \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}\).
  • C8.138: endomorphismes cycliques.

[126] - Séance du jeudi 25 novembre 2021 (2h)

• Fin du chapitre 7 "Sous-espaces stables et matrices par blocs"
  • Correction de l'exercice C7.55: Si \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{C}) \) alors \( \begin{pmatrix} I_n & A \\ A & I_n \end{pmatrix} \) est inversible si et seulement si \( I_n - A \) et \( I_n + A \) le sont.
  • Toute matrice de \( \mathcal{M}_n(\mathbf{C}) \) est trigonalisable
  • Un endomorphisme nilpotent d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie est trigonalisable.
  • Toute matrice carrée nilpotente de \( \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \) est trigonalisable sur \( \mathbf{K} \).
  • La matrice \( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\) est nilpotente, mais non triangulaire supérieure stricte.
• Début du chapitre 8 "Réduction des endomorphimes et des matrices"
  • Définition d'une valeur propre (resp. du spectre, d'un vecteur propre, d'un sous-espace propre) d'un endomorphisme
  • Un sous-espace propre d'un endomorphime d'un \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
  • Un scalaire \(\lambda\) est valeur propre d'un endomorphisme \(u\) d'un \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel \(E\) si et seulement si l'endomorphisme \( u - \lambda.\operatorname{id}_E \) est non injectif.
  • Définition d'une valeur propre (resp. du spectre, d'un vecteur propre, d'un sous-espace propre) d'une matrice carrée.
  • Un sous-espace propre d'une matrice \( M \in \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \) est un sous-espace vectoriel de \( \mathcal{M}_{n,1}(\mathbf{K}) \).
• Devoirs
  • Éléments propres de la matrice \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}\)

[124] - Séance du mercredi 24 novembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 7 "Sous-espaces stables et matrices par blocs"
  • Correction de l'exercice C7.34: Spectre et droites stables de l'endomorphisme de \( \mathbf{R}^3 \) canoniquement associé à la matrice \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \).
  • Un endomorphisme d'un espace vectoriel stabilise une droite si et seulement s'il possède une valeur propre.
  • Un endomorphisme d'un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie impaire stabilise une droite.
  • Un endomorphisme d'un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie non nulle stabilise une droite ou un plan.
  • Définition d'un endomorphisme diagonalisable
  • Un endomorphisme \(u\) d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie non nulle est diagonalisable si et seulement si \(E\) se décompose en somme directe de droites stables par \(u\).
  • Définition d'un endomorphisme trigonalisable
  • Tout endomorphisme d'un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel de dimension finie non nulle est trigonalisable.
• Devoirs
  • C7.55: Si \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{C}) \) alors \( \begin{pmatrix} I_n & A \\ A & I_n \end{pmatrix} \) est inversible si et seulement si \( I_n - A \) et \( I_n + A \) le sont.

[122] - Séance du mardi 23 novembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 7 "Sous-espaces stables et matrices par blocs"
  • Correction de l'exercice C7.15: Des droites de \( \mathbf{R}^2 \) stables par l'application \[ \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R}^2 \\ (x,y) & \longmapsto & (x,x+y) \end{array} \right. \]
  • Définition d'une valeur propre et d'un vecteur propre d'un endomorphisme
  • Définition du spectre d'un endomorphisme
  • Spectre et droites stables de l'opérateur de dérivation sur \( \mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R}) \)
  • Spectre et droites stables de l'opérateur de dérivation sur \( \mathbf{K}[X] \)
  • Rappel sur la définition du déterminant d'un endomorphisme
  • Si \(E\) est un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel, si \(u \in \mathcal{L}(E) \), si \( \lambda \in \mathbf{K} \), alors \(\lambda\) est valeur propre de \(u\) si et seulement si \( \det \left( \lambda.\operatorname{id}_E - u \right) = 0 \)
  • Si \( \mathbf{K} \) est un corps infini, alors l'application \[ \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{K}[X] & \longrightarrow & \mathcal{F}(\mathbf{K},\mathbf{K}) \\ P & \longmapsto & [\widetilde{P} \colon \mathbf{K} \to \mathbf{K} \colon x \mapsto P(x)] \end{array} \right. \] est injective.
  • Si \( \mathbf{K} = \mathbf{Z}/3\mathbf{Z} \), alors \( \widetilde{X} = \widetilde{X^3} \) dans \( \mathcal{F}(\mathbf{Z}/3\mathbf{Z} ,\mathbf{Z}/3\mathbf{Z} ) \).
  • Si \(E\) est un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie non nulle, si \(u \in \mathcal{L}(E) \), définition du polynôme caractéristique \( \chi_u \) de \( u \).
• Devoirs
  • C7.34: Spectre et droites stables de l'endomorphisme de \( \mathbf{R}^3 \) canoniquement associé à la matrice \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \).

[120] - Séance du lundi 22 novembre 2021 (4h)

• Complément sur le chapitre 6 "Polynômes"
  • Correction de l'exercice sur la décomposition de \( X^6 - 1 + \sqrt{3} \) en produit d'irréductibles dans \( \mathbf{R}[X] \)
  • Correction de l'exercice C6.134: Factorisation de \( X^{2n} - 2 \cos(na) X^n + 1 \) dans \( \mathbf{C}[X] \) (resp. dans \( \mathbf{R}[X] \)), où \( a \in ]0,\pi[ \) et \( n \in \mathbf{N}^* \).
  • Correction de l'exercice C6.139: La famille \( \left( X^k (1-X)^{n-k} \right)_{ 0 \leqslant k \leqslant n} \) est une base de \( \mathbf{K}_n[X] \).
• Suite du chapitre 7 "Sous-espaces stables et matrices par blocs"
  • Somme et produit de matrices définies par blocs
  • Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs
  • Définition d'un sous-espace stable par un endomorphisme
  • Définition d'un endomorphisme induit
  • Exemple d'un plan de \( \mathbf{R}^3 \) stable par un endomorphisme et calcul de l'endomorphisme induit
  • Définition d'une base adaptée à un sous-espace vectoriel
  • Existence d'une base adaptée à un sous-espace vectoriel
  • Définition d'une base adaptée à une décomposition en somme directe
  • Existence d'une base adaptée à une décomposition en somme directe
  • Matrice d'un endomorphisme dans une base adaptée à un sous-espace vectoriel (resp. à une décomposition en somme directe)
  • CNS pour qu'une droite soit stable
  • Une méthode pour rechercher d'éventuelles droites stables, via une équation linéaire à paramètre
• Devoirs
  • C7.15: Des droites de \( \mathbf{R}^2 \) stables par l'application \[ \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R}^2 & \longrightarrow & \mathbf{R}^2 \\ (x,y) & \longmapsto & (x,x+y) \end{array} \right. \]

[116] - Séance du vendredi 19 novembre 2021 (2h)

• "Méthode de Newton": Si \( f \) est une fonction de classe \( \mathcal{C}^2 \) sur un segment \( [a,b] \) vérifie \( f(a)<0 \), \( f(b)>0 \), \( f'>0 \), \( f''>0 \), alors:
  • l'équation \( f(x)=0 \) possède une unique solution \( \alpha \) dans \( [a,b] \)
  • pour tout \( x \in [a,b] \), \(x - \dfrac{f(x)}{f'(x)} \in [a,b] \)
  • la suite \( (u_n )_{n \in \mathbf{N}} \in [a,b]^{\mathbf{N}} \) définie par \( u_0 \in [\alpha,b] \) et, pour tout \( n \in \mathbf{N} \), \( u_{n+1} = u_n - \dfrac{f(u_n)}{f'(u_n)} \) converge vers \( \alpha \)
  • il existe une constante \( C>0 \), indépendante de \( u_0 \in [\alpha,b] \) telle que, pour tout \( n \in \mathbf{N} \) \[ | u_n - \alpha | \leqslant \left( C \, | u_0 - \alpha | \right)^{2^n} \;. \]
• Fin du chapitre 6 "Polynômes"
  • Correction de l'exercice C6.117: Si \( n \geqslant 2 \) est un entier, décomposition de \( X^n - 1 \) en produit d'irréductibles dans \( \mathbf{C}[X] \) (resp. en produit d'irréductibles dans \( \mathbf{R}[X] \).
  • Si \( n \geqslant 2 \) est un entier, somme et produit des racines \(n\)-ièmes de l'unité.
• Début du chapitre 7 "Sous-espaces stables et matrices par blocs"
  • Somme et produit de matrices définies par blocs
  • Puissances d'une matrice diagonale par blocs
  • Inversibilité et inverse de \( \begin{pmatrix} 1 & L \\ 0 & M \end{pmatrix} \) où \( L \in \mathcal{M}_{1,n}( \mathbf{K}) \) et \( M \in \operatorname{GL}_{n}( \mathbf{K}) \)
• Devoirs
  • C6.134: Factorisation de \( X^{2n} - 2 \cos(na) X^n + 1 \) dans \( \mathbf{C}[X] \) (resp. dans \( \mathbf{R}[X] \)), où \( a \in ]0,\pi[ \) et \( n \in \mathbf{N}^* \).
  • C6.137: Polynômes de Legendre
  • C6.139: La famille \( \left( X^k (1-X)^{n-k} \right)_{ 0 \leqslant k \leqslant n} \) est une base de \( \mathbf{K}_n[X] \).
  • C6.146: Si \( \displaystyle P = \sum_{k=0}^n a_k X^n \in \mathbf{C}[X] \) alors pour tout \( k \in \{0,\ldots,n\}\), \( \displaystyle |a_k| \leqslant \sup_{|z|=1} |P(z)| \).
  • C7.9: Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs

[114] - Séance du jeudi 18 novembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 6 "Polynômes"
  • Correction de Q2 de C6.107: Démontrer qu'un polynôme \( P \in \mathbf{K}[X] \) de degré 3 est irréductible sur \( \mathbf{K} \) si et seulement s'il ne possède pas de racine dans \( \mathbf{K} \).
  • Correction de Q3 de C6.107: Démontrer qu'un polynôme \( P \in \mathbf{R}[X] \) de degré impair supérieur ou égal à 3 est réductible sur \( \mathbf{R} \).
  • Description des irréductibles de \( \mathbf{C}[X] \)
  • Description des irréductibles de \( \mathbf{R}[X] \)
  • Décomposition d'un polynôme de \( \mathbf{C}[X] \) en produit d'irréductibles sur \( \mathbf{C} \).
  • Décomposition d'un polynôme de \( \mathbf{R}[X] \) en produit d'irréductibles sur \( \mathbf{R} \).
  • Rappel sur les racines complexes \(p\)-ièmes d'un nombre complexe donné sous forme trigonométrique, où \( p \geqslant 2 \) est un entier.
  • Décomposition de \( X^4 + 16 \) en produit d'irréductibles dans \( \mathbf{C}[X] \) (resp. en produit d'irréductibles dans \( \mathbf{R}[X] \)).
• Devoirs
  • Décomposition de \( X^6 - 1 + \sqrt{3} \) en produit d'irréductibles dans \( \mathbf{R}[X] \)
  • C6.117: Si \( n \geqslant 2 \) est un entier, décomposition de \( X^n - 1 \) en produit d'irréductibles dans \( \mathbf{C}[X] \) (resp. en produit d'irréductibles dans \( \mathbf{R}[X] \)).

[112] - Séance du mercredi 17 novembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 6 "Polynômes"
  • Correction de l'exercice C6.71: Si \( A,B \in \mathbf{K}[X] \) alors \( A\mathbf{K}[X] = B\mathbf{K}[X] \) si et seulement si \(A\) et \(B\) sont associés.
  • Correction de l'exercice C6.88: Si \(A,B \in \mathbf{K}[X]\) sont premiers entre eux, alors pour tout \(n,m\in\mathbf{N}\), \(A^n \wedge B^n = 1 \).
  • Si \( A,B \in \mathbf{K}[X] \) sont premiers entre eux, présentation d'une méthode pour résoudre l'équation \( AU+BV = 1 \) d'inconnue \( (U,V) \in \mathbf{K}[X] \times \mathbf{K}[X] \).
  • Correction de l'exercice C6.101: Résolution de l'équation \( U \left( X^4 + X + 1 \right) + V \left( X^3 + 3 \right) = 1 \) d'inconnue \( (U,V) \in \mathbf{K}[X] \times \mathbf{K}[X] \).
  • Rappels sur l'arithmétique dans \( \mathbf{Z} \): définition d'un nombre premier, théorème fondamental de l'arithmétique.
  • Définition d'un polynôme de \( \mathbf{K}[X] \) irréductible sur \( \mathbf{K} \).
  • Le polynôme \( X^2+1 \) est réductible sur \( \mathbf{C} \), mais irréductible sur \( \mathbf{R} \).
  • Tout polynôme de \( \mathbf{K}[X] \) de degré 1 possède une racine dans \( \mathbf{K} \)
  • Un polynôme de \( \mathbf{K}[X] \) de degré 1 est irréductible sur \( \mathbf{K} \).
  • Si \( P \in \mathbf{K}[X] \) est de degré 2, alors \( P \) est irréductible sur \( \mathbf{K} \) si et seulement s'il ne possède pas de racine dans \( \mathbf{K} \).
  • Le polynôme \( \left( X^2+1 \right)^2 \) est réductible sur \( \mathbf{R} \) mais ne possède aucune racine dans \( \mathbf{R} \).
  • Tout polynôme unitaire de \( \mathbf{K}[X] \) possède une décomposition en produit de polynômes irréductibles sur \( \mathbf{K} \) et unitaires. Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.
• Devoirs
  • Q2 de C6.107: Démontrer qu'un polynôme \( P \in \mathbf{K}[X] \) de degré 3 est irréductible sur \( \mathbf{K} \) si et seulement s'il ne possède pas de racine dans \( \mathbf{K} \).
  • Q3 de C6.107: Démontrer qu'un polynôme \( P \in \mathbf{R}[X] \) de degré impair supérieur ou égal à 3 est réductible sur \( \mathbf{R} \).

[110] - Séance du mardi 16 novembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 6 "Polynômes"
  • Correction de l'exercice C6.99: PGCD de \(X^5+3X^4+X^3+3X^2+X+1\) et de \(X^4+3X^3+3X^2+1\)
  • PGCD de \(X^3+X\) et de \(X^2+3X+2\) et détermination d'une relation de Bézout
  • Si \(A,B,D \in \mathbf{K}[X]\) sont non nuls et s'il existe \(U,V \in \mathbf{K}[X]\) tels que \(AU+BV=D\) alors \(D\) n'est pas nécessairement égal à \(A \wedge B\).
  • Si \(a,b\) sont deux éléments de \(\mathbf{K}\) alors \((X-a)\wedge(X-b)=1\).
  • Réduction d'un PGCD quelconque à un PGCD égal à 1
  • Théorème de Gauss
  • Rappel sur la formule d'inversion pour les sommes triangulaires
  • Correction de l'exercice C6.138: Étude de l'application \[ \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R}[X] & \longrightarrow & \mathbf{R}[X] \\ P & \longmapsto & P(X+1)-P(X) \end{array} \right. \] et calculs des sommes de Newton
• Devoirs
  • C6.88: Si \(A,B \in \mathbf{K}[X]\) sont premiers entre eux, alors pour tout \(n,m\in\mathbf{N}\), \(A^n \wedge B^n = 1 \).
  • C6.91: démonstration de "la" relation liant PGCD et PPCM, dans le cas où les deux polynômes sont premiers entre eux
  • C6.101: Résolution de l'équation \( U \left( X^4 + X + 1 \right) + V \left( X^3 + 3 \right) = 1 \) d'inconnue \( (U,V) \in \mathbf{K}[X] \times \mathbf{K}[X] \).

[108] - Séance du lundi 15 novembre 2021 (4h)

• Suite du chapitre 6 "Polynômes"
  • Correction de l'exercice C6.54: CNS pour qu'un polynôme de degré 2 de \( \mathbf{K}[X] \) soit scindé sur \( \mathbf{K} \)
  • Rappels sur les racines carrées complexes d'un nombre complexe non nul
  • Correction de l'exercice C6.64: Scindage de \( \displaystyle \sum_{k=0}^n X^k \) dans \( \mathbf{C}[X] \) et calcul de \( \displaystyle \prod_{k=1}^n \sin\left(\dfrac{k \pi}{n+1} \right) \), où \( n \in \mathbf{N}^* \)
  • Correction de l'exercice C6.61: Conjugué d'une racine complexe d'un polynôme de \( \mathbf{R}[X] \) et mutliplicité
  • Correction de l'exercice C6.62: Deux relations coefficients-racines pour un polynôme de \( \mathbf{K}[X] \) scindé sur \( \mathbf{K} \)
  • Intersection et somme d'un nombre fini d'idéaux
  • Si \( A \in \mathbf{K}[X] \), alors l'ensemble \( A\mathbf{K}[X] \) des multiples de \(A\) est un idéal de \( \mathbf{K}[X] \).
  • Si \( A,B \in \mathbf{K}[X] \) alors \( A\mathbf{K}[X] \subset B\mathbf{K}[X] \) si et seulement si \(B\) divise \(A\).
  • Description des idéaux de \( \mathbf{K}[X] \)
  • Unique générateur unitaire de l'idéal \( \left\{ P \in \mathbf{K}[X] \;:\; P(0)=P(1)=0 \right\} \)
  • Définition du PGCD et du PPCM de deux polynômes non nuls, via les idéaux
  • Le PGCD de deux polynômes non nuls est le plus grand polynôme (au sens de la relation de divisibilité) qui divise les deux polynômes.
  • Lemme clé pour l'algorithme d'Euclide dans \( \mathbf{K}[X] \)
  • Calcul du PGCD de deux polynômes via l'algorithme d'Euclide dans \( \mathbf{K}[X] \)
  • PGCD de \(X^3+3X+8\) et de \(X^4-X^3+X^2-X+1\)
  • Définition de deux polynômes premiers entre eux
  • Théorème de Bézout
• Devoirs
  • C6.71: Si \( A,B \in \mathbf{K}[X] \) alors \( A\mathbf{K}[X] = B\mathbf{K}[X] \) si et seulement si \(A\) et \(B\) sont associés.
  • C6.99: PGCD de \(X^5+3X^4+X^3+3X^2+X+1\) et de \(X^4+3X^3+3X^2+1\)

[104] - Séance du vendredi 12 novembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 6 "Polynômes"
  • Correction de l'exercice C6.28: Reste de la division euclidienne d'un polynôme par \( X-a \) et reste de la division euclidienne d'un polynôme par \( (X-a)(X-b) \), où \( a,b \) sont deux éléments distincts de \( \mathbf{K} \)
  • Définition d'une racine d'un polynôme de \( \mathbf{K}[X] \)
  • Définition du spectre dans \( \mathbf{K} \) d'un polynôme de \( \mathbf{K}[X] \)
  • Rappels sur les racines complexes de l'unité
  • Spectre dans \( \mathbf{C} \) de \( \displaystyle \sum_{k=0}^n X^k \)
  • Spectre dans \( \mathbf{R} \) de \( \displaystyle \sum_{k=0}^n X^k \)
  • Critère pour être une racine via une propriété de divisibilité
  • Factorisation d'un polynôme possédant \( n \) racines deux-à-deux distincts
  • Nombre maximal de racines d'un polynôme non nul
  • Critère de nullité pour un polynôme
  • Définition d'un polynôme de \( \mathbf{K}[X] \) scindé sur \( \mathbf{K} \)
  • Le polynôme \( X^2 + 1 \) est scindé sur \( \mathbf{C} \) mais pas sur \( \mathbf{R} \)
  • Théorème de d'Alembert-Gauss
  • Tout polynôme de \( \mathbf{C}[X] \) scindé sur \( \mathbf{C} \): deux écritures factorisées d'un polynôme de \( \mathbf{C}[X] \)
  • Définition de l'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme
  • Caractérisation de l'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme via les polynômes dérivés itérés
  • Définition d'un idéal d'un anneau commutatif
  • Caractérisation d'un idéal d'un anneau commutatif
• Devoirs
  • C6.54: CNS pour qu'un polynôme de degré 2 de \( \mathbf{K}[X] \) soit scindé sur \( \mathbf{K} \)
  • C6.64: Scindage de \( \displaystyle \sum_{k=0}^n X^k \) dans \( \mathbf{C}[X] \) et calcul de \( \displaystyle \prod_{k=1}^n \sin\left(\dfrac{k \pi}{n+1} \right) \), où \( n \in \mathbf{N}^* \)
  • C6.61: Conjugué d'une racine complexe d'un polynôme de \( \mathbf{R}[X] \) et mutliplicité
  • C6.62: Deux relations coefficients-racines pour un polynôme de \( \mathbf{K}[X] \) scindé sur \( \mathbf{K} \)
  • C6.138: Étude de l'application \[ \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{R}[X] & \longrightarrow & \mathbf{R}[X] \\ P & \longmapsto & P(X+1)-P(X) \end{array} \right. \] et calculs des sommes de Newton

[102] - Séance du mercredi 10 novembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 6 "Polynômes"
  • Correction de l'exercice C6.19: \( \displaystyle \mathbf{K}[X] = \bigcup_{n \in \mathbf{N} } \mathbf{K}_n[X] \) n'est pas un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie.
  • Correction de l'exercice C6.20: Version forte du théorème des degré échelonnés
  • Correction de l'exercice C6.29: Étude de l'application \[ \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{K}[X] & \longrightarrow & \mathbf{K}_{n-1}[X] \\ P & \longmapsto & \text{reste de la division euclidienne de \(P\) par \(B\)} \end{array} \right. \] où \(B\) est un polynôme de degré \( n \in \mathbf{N}^* \).
  • Définition de la relation de divisibilité dans \( \mathbf{K}[X] \)
  • Critère de divisibilité via la division euclidienne
  • CNS sur \( \alpha \in \mathbf{K} \) pour que \( X^2 + X + 1 \) divise \( X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X + \alpha \) dans \( \mathbf{K}[X] \)
  • Définition du polynôme dérivé d'un polynôme
  • Degré du polynôme dérivé
  • Linéarité de la dérivation des polynômes
  • Dérivation d'un produit de polynômes et formule de Leibniz
  • Dérivées itérées du polynôme \( (X - a )^n \)
  • Formule de Taylor exacte dans \( \mathbf{K}[X] \)
• Devoirs
  • C6.28: Reste de la division euclidienne d'un polynôme par \( X-a \) et reste de la division euclidienne d'un polynôme par \( (X-a)(X-b) \), où \( a,b \) sont deux éléments distincts de \( \mathbf{K} \)

[100] - Séance du mardi 9 novembre 2021 (2h)

• Début du chapitre 6 "Polynômes"
  • Structure de \( \mathbf{K} \)-algèbre de \( \mathbf{K}[X] \)
  • La multiplication de \( \mathbf{K}[X] \) est commutative
  • Formule du binôme de Newton dans \( \mathbf{K}[X] \)
  • Coefficients binomiaux étendus
  • \( \displaystyle ( 1 + X )^n = \sum_{k=0}^{+\infty} \binom{n}{k} X^k \)
  • Démonstration polynomiale de la formule des comités: pour tout \( a , b , n \in \mathbf{N}^* \) \[ \binom{a+b}{n} = \sum_{k=0}^n \binom{a}{k} \binom{b}{n-k} \;. \]
  • Un cas particulier de la formule des comités: pour tout \( n \in \mathbf{N}^* \) \[ \binom{2n}{n} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 \;. \]
  • Définition du degré d'un polynôme
  • Définition d'un polynôme unitaire
  • Polynôme normalisé d'un polynôme non nul
  • Propriétés algébriques du degré d'un polynôme
  • \( \left( \mathbf{K}[X] , + , \times \right) \) est un anneau intègre.
  • Coefficient dominant du produit de deux polynômes non nuls
  • Résolution de l'équation \( P^2 = X \, Q^2 \) d'inconnue \( (P,Q) \in \mathbf{K}[X] \times \mathbf{K}[X] \)
  • Existence et unicité de la division euclidienne d'un polynôme par un polynôme non nul
  • Division euclidienne de \( X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 \) par \( X^2 + X + 1 \)
  • Nouvelle démonstration de l'identité \[ X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 = \left( X^2+X+1 \right) \left( X^3 + 1 \right) \] via la formule de factorisation de \( A^n - B^n \) par \( A - B \), où \(A,B\) sont des polynômes et \( n \) est un entier naturel.
  • L'anneau \( \left( \mathbf{K}[X] , + , \times \right) \) est intègre donc régulier.
• Devoirs
  • C6.19: \( \displaystyle \mathbf{K}[X] = \bigcup_{n \in \mathbf{N} } \mathbf{K}_n[X] \) n'est pas un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie.
  • C6.20: Version forte du théorème des degré échelonnés
  • C6.29: Étude de l'application \[ \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{K}[X] & \longrightarrow & \mathbf{K}_{n-1}[X] \\ P & \longmapsto & \text{reste de la division euclidienne de \(P\) par \(B\)} \end{array} \right. \] où \(B\) est un polynôme de degré \( n \in \mathbf{N}^* \).

[98] - Séance du lundi 8 novembre 2021 (4h)

• Fin du chapitre 5 "Intégration sur un intervalle quelconque"
  • Correction de l'exercice C5.50: Convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_{0}^{1} t \, \ln(t) \operatorname{d} t \)
  • Correction de l'exercice C5.66: Convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\ln(t)}{1+t^2} \operatorname{d} t \)
  • Pour tout réel \( x > 0 \), l'intégrale \( \displaystyle \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} \operatorname{d}t \) est convergente.
  • Correction de l'exercice C5.72: Pour tout \( n \in \mathbf{N} \), convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_{0}^{+\infty} t^n \, e^{-t} \operatorname{d} t \)
  • Correction de l'exercice C5.73: Intégrales de Riemann translatées
  • Correction de l'exercice C5.84: Pour tout \( n \in \mathbf{N} \), convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}{x^2} \operatorname{d} x \)
  • Correction de l'exercice C5.90: Convergences et valeurs des intégrales \( \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin(t)) \operatorname{d} t \) et \( \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos(t)) \operatorname{d} t \)
  • Correction de l'exercice C5.91: Convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{t^2+at+b} \operatorname{d} t \) où \(a,b\) sont des réels tels que \(a^2-4b<0\)
  • Intégrales de Bertrand
• Quelques rappels de combinatoire
  • Nombre de parties à \(p \in \mathbf{N} \) éléments d'un ensemble fini à \(N \in \mathbf{N} \) éléments: \( \displaystyle \binom{N}{p} \)
  • Cardinal d'une réunion finie disjointe d'ensembles finis
  • Cardinal du produit cartésien de deux ensembles finis
  • Deux ensembles finis en bijection ont le même cardinal
  • Démonstration combinatoire de la formule des comités: pour tout \( a , b , n \in \mathbf{N}^* \) \[ \binom{a+b}{n} = \sum_{k=0}^n \binom{a}{k} \binom{b}{n-k} \;. \]
• Devoirs
  • Étudier les sections 1--4 du chapitre 6 "Polynômes"

[94] - Séance du vendredi 22 octobre 2021 (4h)

• Suite du chapitre 5 "Intégration sur un intervalle quelconque"
  • Théorème d'intégration des \( \operatorname{o} \) sur un intervalle semi-ouvert
  • Théorème d'intégration des \( \operatorname{O} \) sur un intervalle semi-ouvert
  • Théorème d'intégration des équivalents sur un intervalle semi-ouvert
  • Corretion de l'exercice C5.77: Natures de douze intégrales généralisées
  • Convergence de l'intégrale \( \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \operatorname{d} t \)
  • Intégrale faussement impropre sur un intervalle semi-ouvert: existence d'un prolongement par continuité
  • Convergence de l'intégrale \( \displaystyle \int_0^1 \dfrac{\sin(t)}{t} \operatorname{d} t \)
  • Définition d'une intégrale convergente sur un intervalle ouvert
  • Divergence de l'intégrale \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} t \operatorname{d} t \)
  • Convergence de l'intégrale \( \displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{1-\cos(t)}{t^2} \operatorname{d} t \)
  • Propriétés élémentaires des intégrales convergentes sur un intervalle ouvert: linéarité, positivité et croissance
  • Théorème de domination pour les intégrales de fonctions positives sur un intervalle ouvert
  • Définition d'une fonction intégrable sur un intervalle ouvert
  • Sur un intervalle ouvert, la convergence absolue d'une intégrale implique sa convergence
  • La fonction \( f \colon ]0,1[ \longrightarrow \mathbf{R} \) définie par, pour tout \( t \in ]0,1[ \) \[ f(t) = \dfrac{1}{\sqrt{t(1-t)}} \] est intégrable sur \( ]0,1[ \)
  • Théorème de changement de variable sur un intervalle ouvert
  • Convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\ln(t)}{t^2} \operatorname{d} t \)
• Devoirs
  • C5.50: Convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_{0}^{1} t \, \ln(t) \operatorname{d} t \)
  • C5.66: Convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\ln(t)}{1+t^2} \operatorname{d} t \)
  • C5.72: Pour tout \( n \in \mathbf{N} \), convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_{0}^{+\infty} t^n \, e^{-t} \operatorname{d} t \)
  • C5.73: Intégrales de Riemann translatées
  • C5.84: Pour tout \( n \in \mathbf{N} \), convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}{x^2} \operatorname{d} x \)
  • C5.90: Convergences et valeurs des intégrales \( \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin(t)) \operatorname{d} t \) et \( \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos(t)) \operatorname{d} t \)
  • C5.91: Convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{t^2+at+b} \operatorname{d} t \) où \(a,b\) sont des réels tels que \(a^2-4b<0\)

[90] - Séance du jeudi 21 octobre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 5 "Intégration sur un intervalle quelconque"
  • Correction de l'exercice C5.16: Convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_0^{+\infty} t \, e^{- \frac{t^2}{2} } \operatorname{d} t \).
  • Correction de l'exercice C5.23: Si \( f \in \mathcal{CM}([0,+\infty[,\mathbf{R}) \), si \( \displaystyle \int_0^{+\infty} f(t) \operatorname{d} t \) converge et s'il existe \( \ell \in \mathbf{R} \) tel que \( f(t) \xrightarrow[t \to +\infty]{} \ell \), alors \( \ell=0 \).
  • La fonction \( f \colon \mathbf{R} \longrightarrow \mathbf{R} \) définie par, pour tout \( x \in \mathbf{R} \) \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{cl} -1 & \text{ si } x<0 \\ 1 & \text{ si } x \geqslant 0 \end{array} \right. \] est continue par morceaux sur \( \mathbf{R} \) et la fonction \( F \colon \mathbf{R} \longrightarrow \mathbf{R} \) définie par, pour tout \( x \in \mathbf{R} \) \[ F(x) = \int_0^x f(t) \operatorname{d} t \] n'est pas une primitive de \( f \) sur \( \mathbf{R} \). En effet \( F \) est la fonction valeur absolue, qui n'est pas dérivable en 0.
  • Critère de convergence pour une intégrale d'une fonction positive sur un intervalle semi-ouvert
  • Théorème de domination pour les fonctions à valeurs positives
  • Contraposée du théorème de domination pour les fonctions à valeurs positives
  • Convergence de l'intégrale \( \displaystyle \int_1^{+\infty} \dfrac{e^t}{t} \operatorname{d} t \)
  • Définition d'une fonction intégrable sur un intervalle semi-ouvert
  • Sur un intervalle semi-ouvert, la convergence absolue d'une intégrale implique sa convergence
  • Convergence de l'intégrale \( \displaystyle \int_1^{+\infty} \dfrac{\sin(t)}{t^2} \operatorname{d} t \)
  • Absolue convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_0^{+\infty} \sin(t) \, e^{-t} \operatorname{d} t \)
  • L'intégrale \( \displaystyle \int_1^{+\infty} \dfrac{\sin(t)}{t} \operatorname{d} t \) est convergente, mais non absolument convergente
• Devoirs
  • Etudier les théorèmes C5.41, C5.42 et C5.43 portant sur l'intégration des \( \operatorname{o} \), \( \operatorname{O} \) et \( \operatorname{\sim} \) pour les fonctions positives.
  • C5.77: Natures de douze intégrales généralisées

[88] - Séance du mercredi 20 octobre 2021 (2h)

• Complément sur le chapitre 4 "Espaces vectoriels normés"
  • Correction de l'exercice C4.169: Exemple d'une série absolument convergente qui diverge dans \( \left( \mathbf{R}[X] , || \cdot ||_{\infty} \right) \)
• Suite du chapitre 5 "Intégration sur un intervalle quelconque"
  • Théorème sur les opérations sur les fonctions continues par morceaux sur un intervalle quelconque
  • Définition de la convergence d'une intégrale sur un intervalles semi-ouvert
  • Si \( \lambda > 0 \), convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-\lambda t} \operatorname{d} t \)
  • Convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_0^{1} \ln(t) \operatorname{d} t \)
  • Synthèse sur la fonction Arctangente
  • Convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_1^{+\infty} \dfrac{1}{1+t^2} \operatorname{d} t \)
  • Théorème sur les intégrales de Riemann
  • Relation de Chasles sur un intervalle semi-ouvert
  • Si \( f \in \mathcal{CM}([0,+\infty[,\mathbf{R}) \) et si \( \displaystyle \int_0^{+\infty} f(t) \operatorname{d} t \) converge alors \( f(t) \) ne tend pas nécessairement vers 0 lorsque \( t \) tend vers \( + \infty \): contre-exemple avec une « chaîne de montagnes »
  • Propriétés élémentaires des intégrales convergentes sur un intervalle semi-ouvert: linéarité, positivité, croissance, dérivation
• Devoirs
  • C5.16: Convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_0^{+\infty} t \, e^{- \frac{t^2}{2} } \operatorname{d} t \)
  • C5.23: Si \( f \in \mathcal{CM}([0,+\infty[,\mathbf{R}) \), si \( \displaystyle \int_0^{+\infty} f(t) \operatorname{d} t \) converge et s'il existe \( \ell \in \mathbf{R} \) tel que \( f(t) \xrightarrow[t \to +\infty]{} \ell \), alors \( \ell=0 \)

[86] - Séance du mardi 19 octobre 2021 (2h)

• Fin du chapitre 4 "Espaces vectoriels normés"
  • Correction de la question Q2 de C4.154: Le groupe spécial linéaire \( \operatorname{SL}_n(\mathbf{R}) := \left\{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \;:\; \det(M)=1 \right\} \) est une partie fermée, non compacte, de \( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \)
  • Si \( x \in \mathbf{R} \) alors la série \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 0} \dfrac{x^n}{n!} \) converge et \( \displaystyle e^x = \sum_{n = 0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n!} \) (démonstration avec la formule de Taylor avec reste intégral)
  • Définition de l'exponentielle d'une matrice
  • Calcul de \( \exp(A) \) où \( A = 2 \, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} - I_2 \) via la formule du binôme de Newton
• Début du chapitre 5 "Intégration sur un intervalle quelconque"
  • Rappel de la définition d'une fonction continue par morceaux sur un segment
  • Rappel de la définition de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment
  • Définition d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle
  • La fonction \( f \colon \mathbf{R} \longrightarrow \mathbf{R} \) définie par, pour tout \( x \in \mathbf{R} \) \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \text{ si } x<0 \\ e^{-x} & \text{ si } x \geqslant 0 \end{array} \right. \] est continue par morceaux sur \( \mathbf{R} \)
  • La fonction \( f \colon \mathbf{R} \longrightarrow \mathbf{R} \) définie par, pour tout \( x \in \mathbf{R} \) \[ f(x) = \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \text{ si } x=0 \\ \dfrac{1}{x} & \text{ si } x \not= 0 \end{array} \right. \] n'est pas continue par morceaux sur \( \mathbf{R} \)
• Devoirs
  • C4.169: Exemple d'une série absolument convergente qui diverge dans \( \left( \mathbf{R}[X] , || \cdot ||_{\infty} \right) \)

[84] - Séance du lundi 18 octobre 2021 (4h)

• Suite du chapitre 4 "Espaces vectoriels normés"
  • Correction de la question Q2 de C4.81: Densité des nombres dyadiques dans \( \mathbf{R} \)
  • Correction de l'exercice C4.193: De la convergence des suites dans \( \left( \ell^{\infty} , || \cdot ||_{\infty} \right) \)
  • Correction de la question Q1 de C4.133: Dans \( \left( \mathbf{R}[X] , || \cdot ||_{\infty} \right) \), démontrer que la suite \( \left( X^n \right)_{n \in \mathbf{N}} \) n'a pas valeur d'adhérence pour en déduire que la boule unité fermée n'est pas compacte
  • Correction de la question Q1 de C4.202: Image continue d'un compact
  • Correction de l'exerice C4.205: De la continuité d'une application entre deux espaces vectoriels normés de fonctions
  • Correction de l'exercice C4.212: De la continuité d'une application entre deux espaces vectoriels normés de suites
  • Rédaction d'une synthèse sur les propriétés remarquables des \(\mathbf{R}-\) ou \(\mathbf{C}\)-espaces vectoriels de dimension finie
  • Rappels sur le produit scalaire usuel et sur une norme d'algèbre sur \( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \)
  • Le groupe orthogonal \( \mathcal{O}_n(\mathbf{R}) := \left\{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \;:\; M^{\top} \times M = I_n \right\} \) est une partie compacte de \( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \)
  • L'ensemble \( \mathcal{S}_n(\mathbf{R}) := \left\{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \;:\; M^{\top} = M \right\} \) est une partie fermée de \( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \)
  • Continuité du déterminant \( \det \colon \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \longrightarrow \mathbf{R}\)
  • Introduction du polynôme caractéristique d'une matrice
  • Rappel sur la formule exprimant le déterminant comme une somme sur le groupe symétrique: si \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \), alors \[ \det(A) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{k=1}^n [A]_{k,\sigma(k)} \]
  • Si \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \), alors \( \chi_A \) est de degré \(n\)
  • Le groupe \( \operatorname{GL}_n(\mathbf{R}) \) est un ouvert dense de \( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \)
  • Définition d'une série convergente, dans le contexte des espaces vectoriels normés
  • Dans le contexte des espaces vectoriels normés, le terme général d'une série convergente converge vers le vecteur nul
  • Définition d'une série absolument convergente dans le contexte des espaces vectoriels normés
  • Dans un \(\mathbf{R}-\) ou \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel de dimension finie, une série absolument convergente converge
• Devoirs
  • Q2 de C4.154: Le groupe spécial linéaire \( \operatorname{SL}_n(\mathbf{R}) := \left\{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \;:\; \det(M)=1 \right\} \) est une partie fermée, non compacte, de \( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \)

[80] - Séance du vendredi 15 octobre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 4 "Espaces vectoriels normés"
  • Caractérisation des applications bilinéaires continues
  • Définition d'une partie d'un espace vectoriel normé vérifiant la propriété de Bolzano-Weierstraß
  • Définition d'un compact dans un espace vectoriel normé
  • Un segment de \( \mathbf{R} \) est une partie compacte de \( \mathbf{R} \)
  • Un compact est un fermé borné, mais un fermé borné n'est pas nécessairement compact
  • Une partie d'un compacte est elle-même compacte si et seulement si elle est fermée
  • Un produit d'un nombre fini de compacts est compact
  • Une partie de \( \left( \mathbf{R}^n , || \cdot ||_{\infty} \right) \) est compacte si et seulement si elle est fermée bornée
  • Théorème des bornes atteintes
  • Rappel de la définition d'une application uniformément continue
  • Théorème de Heine
• Devoirs
  • Démontrer que l'application \[ \left| \begin{array}{ccc} \left( \mathbf{R}^2 , || \cdot ||_{\infty} \right) & \longrightarrow & \left( \mathbf{R} , | \cdot | \right) \\ (x,y) & \longmapsto & \sin(x) \, e^y + \dfrac{x \, \cos(y)}{x^2+y^2+1} \end{array} \right. \] est bornée et atteint ses bornes sur \( [-1,3] \times [4,13] \)
  • Q1 de C4.133: Dans \( \left( \mathbf{R}[X] , || \cdot ||_{\infty} \right) \), démontrer que la suite \( \left( X^n \right)_{n \in \mathbf{N}} \) n'a pas valeur d'adhérence pour en déduire que la boule unité fermée n'est pas compacte
  • Q1 de C4.202: Image continue d'un compact
  • C4.205: De la continuité d'une application entre deux espaces vectoriels normés de fonctions
  • C4.212: De la continuité d'une application entre deux espaces vectoriels normés de suites

[78] - Séance du jeudi 14 octobre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 4 "Espaces vectoriels normés"
  • Correction de l'exercice: Dans \( \left( \mathbf{R}^2 , || \cdot ||_{\infty} \right) \), détermination de l'adhérence de l'ensemble \( \left\{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \;:\; 1 \leqslant x < 2 \right\} \).
  • C4.98: Dans \( \left( \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) , || \cdot ||_1 \right) \), densité de l'ensemble des fonctions continues sur \( [0,1] \) nulles en 0
  • Caractérisation des applications linéaires continues
  • Tout endomorphisme de \( \left( \mathbf{R}^n , || \cdot ||_{\infty} \right) \) est continu
  • L'application \( ev \) de \( \left( \mathbf{R}[X] , || \cdot ||_1 \right) \) dans \( \left( \mathbf{R} , | \cdot | \right) \) est continue définie par, pour tout \( P \in \mathbf{R}[X] \), \( ev(P)=P(2) \) n'est pas continue
  • Deux normes sont équivalentes si et seulement si elles donnent les mêmes notions d'ouverts
  • L'espace vectoriel des applications linéaires continues
  • Composition d'applications linéaires continues
  • L'application \( || \cdot || \) définie par, pour tout \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \), \( \displaystyle || A || = \sup_{1 \leqslant j \leqslant n} \sum_{i=1}^n \left| [A]_{i,j} \right| \), est une norme sur \( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \) qui vérifie, pour tout \( (A,B) \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \times \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \), \( || A \times B || \leqslant || A || \times || B || \)
• Devoirs
  • Q2 de l'exercice C4.203: De la continuité de l'application \[ \left| \begin{array}{ccc} \left( \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) , || \cdot ||_{\infty} \right) & \longrightarrow & \left( \mathbf{R} , | \cdot | \right) \\ f & \longmapsto & \displaystyle \int_0^1 f \end{array} \right. \]
  • Exercice C4.206: De la continuité des applications \[ \left| \begin{array}{ccc} \left( \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) , || \cdot ||_{\infty} \right) & \longrightarrow & \left( \mathbf{R} , | \cdot | \right) \\ f & \longmapsto & f(1) - f(0) \end{array} \right. \quad\quad\text{et}\quad\quad \left| \begin{array}{ccc} \left( \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) , || \cdot ||_{1} \right) & \longrightarrow & \left( \mathbf{R} , | \cdot | \right) \\ f & \longmapsto & f(1) - f(0) \end{array} \right. \]

[76] - Séance du mercredi 13 octobre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 4 "Espaces vectoriels normés"
  • Correction de l'exercice: Dans \( \left( \mathbf{R}^2 , || \cdot ||_{\infty} \right) \), l'ensemble \( \left\{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \;:\; 3x^2 + y^2 \leqslant 13 \right\} \) est fermé et l'ensemble \( \left\{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \;:\; \exp(x) > y \right\} \) est un ouvert.
  • Caractérisation séquentielle de la densité
  • Limite d'une application dans le contexte des espaces
  • Unicité de la limite d'une application dans le contexte des espaces vectoriels normés
  • Définition d'une application continue dans le contexte des espaces vectoriels normés
  • Composition de limites d'applications dans le contexte des espaces vectoriels normés
  • Caractérisation séquentielle de la limite dans le contexte des espaces vectoriels normés
  • Dans le contexte des espaces vectoriels normés, une combinaison linéaire d'applications continues est continue
  • Prolongement d'une identité sur une partie dense grâce à la continuité
  • Caractérisation des applications continues via les ouverts
• Devoirs
  • Dans \( \left( \mathbf{R}^2 , || \cdot ||_{\infty} \right) \), détermination de l'adhérence de l'ensemble \( \left\{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \;:\; 1 \leqslant x < 2 \right\} \).
  • Q2 de C4.81: Densité des nombres dyadiques dans \( \mathbf{R} \)
  • C4.98: Dans \( \left( \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) , || \cdot ||_1 \right) \), densité de l'ensemble des fonctions continues sur \( [0,1] \) nulles en 0

[74] - Séance du mardi 12 octobre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 4 "Espaces vectoriels normés"
  • Correction de l'exercice C4.76: Calculs de \( \displaystyle \bigcap_{n \in \mathbf{N}^* } \left] - \dfrac{1}{n} , \dfrac{1}{n} \right[ \) et \( \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbf{N}^* } \left[ -1 + \dfrac{1}{n} , 1 - \dfrac{1}{n} \right] \)
  • Définition d'une partie dense dans un espace vectoriel normé
  • \( \mathbf{Q} \) est dense dans \( \left( \mathbf{R} , | \cdot | \right) \)
  • Caractérisation des fermés via l'adhérence
  • Caractérisation séquentielle de l'adhérence
  • L'ensemble \( \left\{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \;:\; y \geqslant x^2 \right\} \) est un fermé de \( \left( \mathbf{R}^2 , || \cdot ||_{\infty} \right) \)
• Devoirs
  • Dans \( \left( \mathbf{R}^2 , || \cdot ||_{\infty} \right) \), l'ensemble \( \left\{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \;:\; 3x^2 + y^2 \leqslant 13 \right\} \) est fermé et l'ensemble \( \left\{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \;:\; \exp(x) > y \right\} \) est un ouvert.

[72] - Séance du lundi 11 octobre 2021 (4h)

• Suite du chapitre 4 "Espaces vectoriels normés"
  • Correction de l'exercice C4.49: Normes non équivalentes sur \( \mathbf{K}[X] \) et sur \( \mathcal{C}^0([a,b],\mathbf{R}) \)
  • Correction de l'exercice C4.186: Comparaison de deux normes sur \( \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \)
  • Correction de l'exercice C4.188: Comparaison de deux normes sur \( \mathbf{R}[X] \)
  • Deux suites de fonctions: la suites des arcs et la suite des échelles glissantes
  • Dans un espace vectoriel normé, une boule ouverte est un ouvert et une boule fermée est un fermé
  • Opérations sur les ouverts dans un espace vectoriel normé
  • Opérations sur les fermés dans un espace vectoriel normé
  • Définition d'un point adhérent à une partie non vide d'un espace vectoriel normé
  • Une partie d'un espace vectoriel normé est contenue dans son adhérence
  • Dans un espace vectoriel normé, l'adhérence d'une boule ouverte est la boule fermée de même centre et rayon
• Devoirs
  • C4.76: Calculs de \( \displaystyle \bigcap_{n \in \mathbf{N}^* } \left] - \dfrac{1}{n} , \dfrac{1}{n} \right[ \) et \( \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbf{N}^* } \left[ -1 + \dfrac{1}{n} , 1 - \dfrac{1}{n} \right] \)

[68] - Séance du vendredi 8 octobre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 4 "Espaces vectoriels normés"
  • Correction de l'exercice C4.34: Si \( \left( E , < \cdot , \cdot > \right) \) est un espace préhilbertien alors pour tout \( x \in E \), \( \displaystyle || x || = \sup_{||y||=1} < x,y > \)
  • Critère séquentiel de comparaison de normes
  • Convergence et équivalence de normes
  • Sur \( \mathbf{K}[X] \), les normes \( || \cdot ||_1 \) et \( || \cdot ||_{\infty} \) ne sont pas équivalentes
  • Sur \( \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \), les normes \( || \cdot ||_1 \) et \( || \cdot ||_{\infty} \) ne sont pas équivalentes
  • Espace vectoriel normé des suites bornées
  • Convergence d'une suite dans un espace vectoriel normé produit
  • Définition d'une suite extraite dans le contexte des espaces vectoriels normés
  • Définition d'une valeur d'adhérence de suite dans le contexte des espaces vectoriels normés
  • Une suite qui converge dans un espace vectoriel normé possède une unique valeur d'adhérence
  • Définition d'une partie ouverte (resp. fermée) dans un espace vectoriel normé
• Devoirs
  • C4.49: Normes non équivalentes sur \( \mathbf{K}[X] \) et sur \( \mathcal{C}^0([a,b],\mathbf{R}) \)
  • C4.63: Exemple d'une suite de fonctions qui converge simplement, mais non uniformément sur un segment
  • C4.186: Comparaison de deux normes sur \( \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \)
  • Q1 et Q2 de C4.188: Comparaison de deux normes sur \( \mathbf{R}[X] \)
  • C4.193: De la convergence des suites dans \( \left( \ell^{\infty} , || \cdot ||_{\infty} \right) \)

[66] - Séance du jeudi 7 octobre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 4 "Espaces vectoriels normés"
  • Correction de l'exercice C4.25: Diamètre d'une boule ouverte
  • Rappel sur le produit scalaire usuel sur \( \mathcal{M}_{p,n}(\mathbf{R}) \)
  • Définition d'une application lipschitzienne
  • La norme est une application lipschitzienne (reformulation de la seconde inégalité triangulaire)
  • L'application distance à une partie non vide d'un espace vectoriel normé est 1-lipschitzienne
  • Caractérisation de l'équivalence entre normes via l'application identité
  • Produit d'un nombre fini d'espaces vectoriels normés
  • Définition d'une suite convergente dans un espace vectoriel normé
  • Illustration graphique d'une suite convergente dans un espace vectoriel normé
  • Unicité de la limite d'une suite convergente dans un espace vectoriel normé
  • Une suite convergente d'un espace vectoriel normé est bornée
  • L'espace vectoriel des suites convergentes dans un espace vectoriel normé
• Devoirs
  • C4.34: Si \( \left( E , < \cdot , \cdot > \right) \) est un espace préhilbertien alors pour tout \( x \in E \), \( \displaystyle || x || = \sup_{||y||=1} < x,y > \)

[64] - Séance du mercredi 6 octobre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 4 "Espaces vectoriels normés"
  • Rappel sur le produit scalaire usuel sur \( \mathcal{C}^0([a,b],\mathbf{R}) \)
  • Correction de l'exercice C4.9: Les normes \( || \cdot ||_1 \), \( || \cdot ||_2 \) et \( || \cdot ||_{\infty} \) sur \( \mathcal{C}^0([a,b],\mathbf{R}) \) sont des normes
  • Représentation graphique d'une boule dans l'espace \( \left( \mathcal{C}^0([a,b],\mathbf{R}) , || \cdot ||_{\infty} \right) \)
  • Correction de l'exercice C4.20: Sur \( \mathbf{R}^n \), \( || \cdot ||_{\infty} \leqslant || \cdot ||_1 \leqslant n \, || \cdot ||_{\infty} \) et \( || \cdot ||_{\infty} \leqslant || \cdot ||_2 \leqslant \sqrt{n} \, || \cdot ||_{\infty} \)
  • Critère d'équivalence entre normes via des inclusions entre boules
  • Définition d'une partie d'un espace vectoriel normé qui est bornée
  • Définition d'une fonction bornée d'un ensemble \( X \) non vide, dans un espace vectoriel normé
  • L'espace vectoriel normé \( \left( \mathcal{B}(X,E) , || \cdot ||_{\infty} \right) \) des fonctions bornées, où \( X \) est un ensemble non vide et \( ( E , || \cdot || ) \) un espace vectoriel normé
• Devoirs
  • C4.25: Diamètre d'une boule ouverte
  • L'application \( < \cdot , \cdot > \) de \( \mathcal{M}_{p,n}(\mathbf{R}) \times \mathcal{M}_{p,n}(\mathbf{R}) \) dans \( \mathbf{R} \) définie par, pour tout \( (A,B) \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbf{R}) \times \mathcal{M}_{p,n}(\mathbf{R}) \), \( < A , B > = \operatorname{Tr} \left( A^{\top} \times B \right) \) définit un produit scalaire sur \( \mathcal{M}_{p,n}(\mathbf{R}) \)

[62] - Séance du mardi 5 octobre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 4 "Espaces vectoriels normés"
  • Correction de l'exercice C4.7: Démontrer que la norme \( || \cdot ||_1 \) sur \( \mathbf{R}^n \) est une norme
  • La norme \( || \cdot ||_{\infty} \) sur \( \mathbf{R}^n \) est une norme
  • Les normes \( || \cdot ||_1 \), \( || \cdot ||_2 \) et \( || \cdot ||_{\infty} \) sur \( \mathbf{R}[X] \) sont des normes
  • Rappel sur le produit scalaire usuel sur \( \mathbf{R}[X] \)
  • Distance associée à une norme
  • Définition d'une boule ouverte (resp. fermée)
  • Boules dans \( \mathbf{R} \) muni de la valeur absolue
  • Boules unité dans \( \mathbf{R}^2 \) pour les normes \( || \cdot ||_1 \), \( || \cdot ||_2 \) et \( || \cdot ||_{\infty} \)
  • Vecteur unitaire
  • Définition de deux normes équivalentes
  • L'équivalence entre normes est une relation d'équivalence
  • Sur \( \mathbf{R}^n \), \( || \cdot ||_2 \leqslant || \cdot ||_1 \leqslant \sqrt{n} \, || \cdot ||_2 \)
• Devoirs
  • C4.9: Les normes \( || \cdot ||_1 \), \( || \cdot ||_2 \) et \( || \cdot ||_{\infty} \) sur \( \mathcal{C}^0([a,b],\mathbf{R}) \) sont des normes
  • C4.20: Sur \( \mathbf{R}^n \), \( || \cdot ||_{\infty} \leqslant || \cdot ||_1 \leqslant n \, || \cdot ||_{\infty} \) et \( || \cdot ||_{\infty} \leqslant || \cdot ||_2 \leqslant \sqrt{n} \, || \cdot ||_{\infty} \)

[60] - Séance du lundi 4 octobre 2021 (4h)

• Compléments sur le chapitre 3 "Révisions d'algèbre linéaire"
  • Correction de l'exercice C3.263: Encadrement de \( \operatorname{Rg}(u+v) \)
  • Correction de l'exercice C3.147: Diagonalisation guidée d'une matrice \( 3 \times 3 \)
  • Correction de l'exercice C3.158: Produit de deux matrices de la base canonique de \( \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \)
  • Correction de l'exercice C3.278: Coefficients diagonaux d'un produit de deux matrices triangulaires supérieures
  • Correction de l'exercice C3.279: Commutant de \( \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \)
• Début du chapitre 4 "Espaces vectoriels normés"
  • Définition d'une norme sur un espace vectoriel
  • Deuxième inégalité triangulaire
  • Rappel sur la notion de produit scalaire sur un \( \mathbf{R} \)-espace vectoriel
  • Rappel sur l'inégalité de Cauchy-Schwarz (énoncé et démonstration)
  • La norme associée à un produit scalaire est une norme
  • Rappel sur le produit scalaire usuel sur \( \mathbf{R}^n \)
  • La norme \( || \cdot ||_2 \) sur \( \mathbf{R}^n \) est une norme
• Devoirs
  • C4.7: Démontrer que la norme \( || \cdot ||_1 \) sur \( \mathbf{R}^n \) est une norme

[56] - Séance du vendredi 1^er octobre 2021 (2h)

• Fin du chapitre 3 "Révisions d'algèbre linéaire"
  • Synthèse sur l'étude de l'inversibilité d'une matrice et le calcul éventuel de sa matrice inverse
  • Correction de l'exercice C3.280: Inversibilité et inverse d'une matrice \( 3 \times 3 \)
  • Théorème de changement de base pour les vecteurs
  • Théorème de changement de base pour les applications linéaires
  • Opérations . , + et \( \times \) sur les matrices
  • Formule du binôme de Newton pour deux matrices qui commutent
  • Factorisation de la différence de deux puissances de matrices qui commutent
  • Inverse d'une matrice carrée inversible
  • Inversibilité et inverse du produit de deux matrices inversibles
  • Définition de la trace d'une matrice carrée
  • La trace est linéaire
  • Trace d'un produit de deux matrices
  • Définition de la trace d'un endomorphisme d'un espace de dimension finie (indépendance relativement à la base choisie).
  • Définition de la transposée d'une matrice
  • La transposée est linéaire
  • Transposée d'un produit de deux matrices
• Devoirs
  • C3.147: Diagonalisation guidée d'une matrice \( 3 \times 3 \)
  • C3.158: Produit de deux matrices de la base canonique de \( \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \)
  • C3.278: Coefficients diagonaux d'un produit de deux matrices triangulaires supérieures
  • C3.279: Commutant de \( \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \)

[54] - Séance du jeudi 30 septembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 3 "Révisions d'algèbre linéaire"
  • Matrice de l'opérateur de dérivation sur \( \mathbf{K}_n[X] \) dans la base canonique
  • Lien fondamental entre composition d'applications linéaires et produit matriciel
  • Application linéaire canoniquement associée à une matrice
  • Noyau d'une matrice
  • Image d'une matrice
  • Rang d'une matrice
  • Le rang d'une matrice est la dimension de l'espace engendré par ses vecteurs colonnes
  • Synthèse sur les matrices inversibles
  • Une matrice carrée est inversible si et seulement si elle est inversible à droite
  • Une matrice carrée est inversible si et seulement si elle est inversible à gauche
  • Une matrice carrée est inversible si et seulement son déterminant est non nul
  • Une matrice carrée est inversible si et seulement son rang est maximal
  • Une matrice carrée est inversible si et seulement son noyau est le singleton contenant le vecteur nul
  • Une matrice carrée est inversible si et seulement l'application linéaire canoniquement associée est bijective
  • Définition et propriété d'une matrice de passage
  • Calcul du déterminant de la matrice \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \)
• Devoirs
  • C3.280: Inversibilité et inverse d'une matrice \( 3 \times 3 \)

[52] - Séance du mercredi 29 septembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 3 "Révisions d'algèbre linéaire"
  • Correction de l'exercice C3.253: Décomposition associée à un projecteur
  • Diagonalisation d'un projecteur d'un espace vectoriel de dimension finie
  • Correction de l'exercice C3.254: Décomposition associée à une symétrie
  • Diagonalisation d'une symétrie d'un espace vectoriel de dimension finie
  • Critères d'isomorphie pour une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension finie
  • Coordonnées d'un vecteur dans une base
  • Matrice d'une application linéaire relativement à des bases de son source et de son but
  • La matrice d'une application linéaire \(f\) relativement relativement à des bases de son source et de son but permet de retrouver intégralement \(f\)
  • Obtention de la \(j\)-ième colonne d'une matrice via un produit matriciel
• Devoirs
  • C3.263: Encadrement de \( \operatorname{Rg}(u+v) \)

[50] - Séance du mardi 28 septembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 3 "Révisions d'algèbre linéaire"
  • Correction de l'exercice: Supplémentaire de \( \left\{ (x,y,z,t) \in \mathbf{R}^4 \;:\; x+y+z+t=0 \text{ et } x-y+z-t=0 \right\} \) dans \( \mathbf{R}^4 \)
  • Correction de l'exerice C3.100: Intersection d'hyperplans distincts
  • Définition du rang d'une application linéaire
  • Calcul du noyau et de l'image de l'application linéaire \( f \colon \mathbf{C}_2[X] \longrightarrow \mathbf{C}^3 \;;\; P \longmapsto (P(0),P(1),P(2)) \)
  • Rappels sur les polynômes d'interpolation de Lagrange
  • Si \( f \colon E \longrightarrow F \) est une application linéaire injective et si \( (e_1,\ldots,e_n) \) est une famille libre de vecteurs de \(E\) alors \( (f(e_1),\ldots,f(e_n)) \) est une famille libre.
  • Si \( f \colon E \longrightarrow F \) est une application linéaire surjective et si \( (e_1,\ldots,e_n) \) est une famille génératrice de \(E\) alors \( (f(e_1),\ldots,f(e_n)) \) est une famille génératrice de \(F\).
  • Si \( f \colon E \longrightarrow F \) est un isomorphisme et si \( (e_1,\ldots,e_n) \) est une base de \(E\) alors \( (f(e_1),\ldots,f(e_n)) \) est une base de \(F\).
  • Théorème du rang
• Devoirs
  • C3.253: Décomposition associée à un projecteur
  • C3.254: Décomposition associée à une symétrie

[48] - Séance du lundi 27 septembre 2021 (4h)

• Suite du chapitre 3 "Révisions d'algèbre linéaire"
  • Correction de l'exercice C3.48: Comparaison de sous-espaces vectoriels de \( \mathbf{K}^n \)
  • Correction de l'exercice C3.208: Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux-à-deux distinctes est libre
  • Correction de l'exercice C3.210: Une base de l'espace des matrices diagonales formée de puissances d'une matrice diagonale
  • Correction de l'exercice C3.219: Bases et supplémentaires de sous-espaces vectoriels de \( \mathbf{K}^n \)
  • Base de \( \left\{ (x,y,z) \in \mathbf{R}^3\;:\; \lambda x+y+z=0 \;;\; x+ \lambda y+z=0 \;;\; x+y+\lambda z=0 \right\} \) où \( \lambda \in \mathbf{R}\)
  • Base de \( \left\{ P\in \mathbf{C}_3[X] \;:\; P(-1)=P(1)=0 \right\} \)
  • Définition d'une application linéaire
  • Image du vecteur nul par une application linéaire
  • Structure de \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel sur \(\mathcal{L}(E,F)\)
  • Définition d'un endomorphisme, d'un isomorphisme et d'un automorphisme
  • La bijection réciproque d'un isomorphisme est un isomorphisme
  • Image directe et image réciproque d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire
  • Définition de l'image et du noyau d'une application linéaire
  • Structure de l'image et du noyau d'une application linéaire
  • Détermination de l'image d'une application linéaire à partir d'une famille génératrice de la source
  • Noyau et image de l'application linéaire \( f \colon \mathbf{R}^3 \longrightarrow \mathbf{R}^2 \;;\; (x,y,z) \longmapsto (x-y,y-z) \)
  • Construction d'une application linéaire de \(E\) dans \(F\) en assignant des valeurs aux vecteurs d'une base de \(E\)
• Devoirs
  • Démonstration(s) de la formule de Vandermonde
  • Supplémentaire de \( \left\{ (x,y,z,t) \in \mathbf{R}^4 \;:\; x+y+z+t=0 \text{ et } x-y+z-t=0 \right\} \) dans \( \mathbf{R}^4 \)
  • C3.100: Intersection d'hyperplans distincts

Devoir surveillé n°2 du samedi 25 septembre 2021 (4h)

• Règle de Raabe-Duhamel
• Familles libres
• Valeurs approchées de \( \ln(2) \)
• Point(s) fixe(s) d'une fonction
• Modification de l'ordre des termes de la série harmonique alternée

[44] - Séance du vendredi 24 septembre 2021 (2h)

• Compléments sur les développements limités
  • Correction du calcul du DL à l'ordre 3 en 0 de la fonction \( x \longmapsto \ln \left( \dfrac{\sin(x)}{x} \right) \)
• Suite du chapitre 3 "Révisions d'algèbre linéaire"
  • Construction de bases adaptées à une décomposition en somme directe
  • Définition d'un espace vectoriel de dimension finie
  • Lemme clé pour le théorème de la base extraite
  • Théorème de la base extraite
  • Un espace vectoriel de dimension finie possède une base
  • Lemme clé pour le théorème de la base incomplète
  • Théorème de la base incomplète
  • Lemme clé sur les cardinaux des familles remarquables
  • Théorème sur le cardinal des bases
  • Définition de la dimension d'un espace vectoriel de dimension finie
  • Dimensions de quelques espaces vectoriels de dimension finie usuels: \( \mathbf{K}^n \), \( \mathbf{K}_n[X] \), \( \mathcal{M}_{p,n}(\mathbf{K}) \), \( \mathcal{S}_{n}(\mathbf{K}) \)
  • Dimension et cardinaux des familles remarquables
  • Dimension et sous-espace vectoriel
• Devoirs
  • C3.48: Comparaison de sous-espaces vectoriels de \( \mathbf{K}^n \)
  • C3.208: Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux-à-deux distinctes est libre
  • C3.210: Une base de l'espace des matrices diagonales formée de puissances d'une matrice diagonale
  • C3.211: Une base de \( \mathbf{K}[X] \)
  • C3.219: Bases et supplémentaires de sous-espaces vectoriels de \( \mathbf{K}^n \)
  • C3.233: Bases et dimensions de sous-espaces vectoriels de \( \mathbf{K}^n \)

[42] - Séance du jeudi 23 septembre 2021 (2h)

• Compléments sur le chapitre 2 "Séries numériques"
  • Nature de la série de terme général \( \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^{n} \)
  • Nature de la série de terme général \( \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^{n^2} \)
• Suite du chapitre 3 "Révisions d'algèbre linéaire"
  • Correction de l'exercice C3.35: Somme de trois sous-espaces vectoriels de \( \mathbf{R}^3 \)
  • Définition d'une famille génératrice d'un espace vetoriel
  • Détermination d'une famille génératrice d'un sous-espace vectoriel de \( \mathbf{R}^4 \) ensemble solution d'un système linéaire homogène
  • Famille génératrice de \( \mathbf{K}_n[X] \)
  • Une sur-famille d'une famille génératrice est génératrice
  • Définition d'une famille libre
  • Une famille est liée si et seulement si un de ses vecteurs est combinaison linéaire des autres
  • Théorème des degrés échelonnés
  • Définition d'une base
  • Bases canoniques de \( \mathbf{K}_n \), \( \mathbf{K}_n[X] \), \( \mathcal{M}_{n,p}(\mathbf{K}) \)
  • Coordonnées d'un vecteur relativement à une base
  • Détermination d'une base de \( \mathcal{S}_n(\mathbf{K}) \)
• Devoirs
  • Calculer le DL à l'ordre 3 en 0 de la fonction \( x \longmapsto \ln \left( \dfrac{\sin(x)}{x} \right) \)
  • Étudier C3.83, C3.84 (énoncé et démonstration), C3.85 (énoncé), C3.86 (énoncé et démonstration), C3.87 (énoncé), C3.89 (énoncé et démonstration), C3.90 (énoncé), C3.91, C3.93 (énoncé et démonstration), C3.94 (énoncé et démonstration), C3.97 (énoncé et démonstration), C3.98 (énoncé et démonstration), C3.99 (énoncé), C3.101 (énoncé et démonstration).

[40] - Séance du mercredi 22 septembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 3 "Révisions d'algèbre linéaire"
  • Correction de l'exercice C3.26: Calcul de la somme de deux sous-espaces vectoriels de \( \mathbf{R}^3 \)
  • Définition de deux sous-espaces vectoriels en somme directe
  • Critère pour que deux sous-espaces vectoriels soient en somme directe
  • Définition de deux sous-espaces supplémentaires
  • Description de tous les sous-espaces vectoriels supplémentaires d'une droite vectorielle de \( \mathbf{R}^2 \)
  • Définition de la somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels
  • Structure d'une somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels
  • Définition d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels en somme directe
  • Critère pour qu'un nombre fini de sous-espaces vectoriels soient en somme directe
  • Définition du sous-espace vectoriel engendré par une partie
  • Description du sous-espace vectoriel engendré par une partie finie
• Devoirs
  • Exercice C3.35: Somme de trois sous-espaces vectoriels de \( \mathbf{R}^3 \)
  • Exercice C3.228: Les sous-espaces propres sont en somme directe

[38] - Séance du mardi 21 septembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 3 "Révisions d'algèbre linéaire"
  • Correction de l'exercice C3.193: Parties de \( \mathbf{R}^n \) qui sont des sous-espaces vectoriels (ou qui n'en sont pas)
  • Correction de l'exercice C3.196: Parties \( \mathbf{R}^{\mathbf{R}} \) qui sont des sous-espaces vectoriels (ou qui n'en sont pas)
  • L'ensemble \( F:= \{ \left( u_n \right)_{ n \in \mathbf{N} } \in \mathbf{R}^{\mathbf{N}} \;:\; \forall \, n \in \mathbf{N}, \; u_{n+2}=u_{n+1}+u_n \} \) est un sous-espace vectoriel de \( \mathbf{R}^{\mathbf{N}} \) et détermination d'une base de \( F \) grâce au cours de MPSI sur les suites récurrentes linéaires d'ordre 2
  • Structure de l'ensemble solution d'une équation linéaire homogène
  • Description géométrique de tous les sous-espaces vectoriels de \( \mathbf{R}^2 \)
  • Une intersection de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel
  • Une réunion de deux sous-espaces vectoriels n'est pas nécessairement un sous-espace vectoriel: contre-exemple dans \( \mathbf{R}^2 \)
  • Structure de l'ensemble solution d'un système linéaire homogène
  • Somme de deux sous-espaces vectoriels
• Devoirs
  • C3.26: Calcul de la somme de deux sous-espaces vectoriels de \( \mathbf{R}^3 \)

[36] - Séance du lundi 20 septembre 2021 (4h)

• Fin du chapitre 2 "Séries numériques"
  • Correction de l'exerice C2.22: Équivalent de la fonction \(\zeta\) en \(1^+\)
  • Correction de l'exercice C2.34: Règle de Raabe-Duhamel
  • Correction de l'exercice C2.60: Nature de la série \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} ( 1 - \tanh(n) ) \)
  • Correction de l'exercice C2.74: Nature de la série \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 0} \sin \left( 2 \pi e \, n! \right) \)
  • Correction de l'exercice C2.78: Convergence et somme de la série \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \dfrac{1}{1^2+2^2+\ldots+n^2} \)
  • Correcion de l'exercice C2.85: Équivalent de \( \displaystyle \sum_{k=1}^n \ln^2(k) \)
  • Correction de l'exercice C2.105: Si \( \left( u_n \right)_{n \in \mathbf{N} } \) est une suite de réels positifs décroissante telle que la série de terme général \( u_n \) converge, alors \( u_n = \operatorname{o}\left(\dfrac{1}{n}\right) \)
• Début du chapitre 3 "Révisions d'algèbre linéaire"
  • Définition d'un K-espace vectoriel
  • K-espaces vectoriels usuels
  • Définition d'un sous-espace vectoriel
  • Critère pour être un sous-espace vectoriel (non vide et stable par combinaison linéaire)
  • Un sous-espace vectoriel possède une structure naturelle de K-espace vectoriel
  • L'ensemble \( \{ (x,y,z) \in \mathbf{R}^3 \;:\; x - y + 2z = 0 \} \) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbf{R}^3\)
• Devoirs
  • C3.193: Parties de \( \mathbf{R}^n \) qui sont des sous-espaces vectoriels (ou qui n'en sont pas)
  • C3.196: Parties \( \mathbf{R}^{\mathbf{R}} \) qui sont des sous-espaces vectoriels (ou qui n'en sont pas)

[32] - Séance du vendredi 17 septembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 2 "Séries numériques"
  • Correction de l'exercice C2.66: Nature de la série \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 2} \dfrac{(-1)^n}{ \sqrt{ n^{\alpha} + (-1)^n }} \) où \( \alpha > 0 \)
  • Détermination d'un équivalent d'une somme partielle de série de Riemann divergente
  • Correction de l'exercice C2.58: \( \displaystyle \sum_{k=1}^{2n} \dfrac{1}{\sqrt{k}} \sim 2 \, \sqrt{2} \, \sqrt{n} \)
  • Définition d'une série absolument convergente
  • Une série absolument convergente est convergente
  • La série harmonique alternée est convergente, mais non absolument convergente
  • Nature de la série \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 2} \dfrac{1}{\sqrt{n^2-1}} - \dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}} \)
  • Nature de la série \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \dfrac{(-1)^{E(\sqrt{n})}}{n} \)
• Devoirs
  • C2.22: Équivalent de la fonction \(\zeta\) en \(1^+\)
  • C2.34: Règle de Raabe-Duhamel
  • C2.60: Nature de la série \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} ( 1 - \tanh(n) ) \)
  • C2.74: Nature de la série \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 0} \sin \left( 2 \pi e \, n! \right) \)
  • C2.78: Convergence et somme de la série \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \dfrac{1}{1^2+2^2+\ldots+n^2} \)
  • C2.85: Équivalent de \( \displaystyle \sum_{k=1}^n \ln^2(k) \)
  • C2.105: Si \( \left( u_n \right)_{n \in \mathbf{N} } \) est une suite de réels positifs décroissante telle que la série de terme général \( u_n \) converge, alors \( u_n = \operatorname{o}\left(\dfrac{1}{n}\right) \)

[30] - Séance du jeudi 16 septembre 2021 (4h)

• Suite du chapitre 2 "Séries numériques"
  • Correction de l'exercice C2.49: Natures de douze séries numériques
  • Théorème de sommation des o et des O pour les séries numériques
  • Théorème de sommation des équivalents pour les séries numériques
  • Critère spécial des séries alternées
  • Natures des séries \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \) et \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \dfrac{1}{n} \) dont les termes généraux sont équivalents
  • Nature de la série \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 0} \ln\left( 1 + \dfrac{(-1)^n}{n+1} \right) \)
• Devoirs
  • C2.66: Nature de la série \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 2} \dfrac{(-1)^n}{ \sqrt{ n^{\alpha} + (-1)^n }} \) où \( \alpha > 0 \)

[26] - Séance du mercredi 15 septembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 2 "Séries numériques"
  • Correction de l'exercice C2.19: Nature d'une série de Bertrand
  • C2.32: Étude des natures de sept séries numériques grâce au théorème de domination pour les séries à termes positifs
  • Critère de d'Alembert
  • Nature des séries \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \dfrac{x^n}{n^2} \) et \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 0} \dfrac{x^n}{n!} \), pour \( x \in \mathbf{R} \)
• Devoirs
  • C2.49: Natures de douze séries numériques

[24] - Séance du mardi 14 septembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 2 "Séries numériques"
  • Correction de l'exercice: Soient \(a\) et \(b\) des réels tels que \(a < b\). Soit \( k \in [0,1[ \). Soit \( f \colon [a,b] \longrightarrow [a,b] \) une fonction \(k\)-lipschitzienne. On considère la suite \( (x_n)_{n\in\mathbf{N}} \) définie par \( x_0 \in [a,b] \) et, pour tout \( n \in \mathbf{N} \), \( x_{n+1} = f(x_n) \). Démontrer que la suite \( (x_n)_{n\in\mathbf{N}} \) converge vers un point fixe de \(f\).
  • Nature d'une série de Riemann
  • Équivalent du reste d'une série de Riemann convergente
  • Critère de convergence pour une série de nombres réels positifs ou nuls
  • Théorème de domination pour les séries à termes positifs
  • Nature de la série \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 2} \dfrac{1}{\sqrt{n} \, \ln(n)} \)
• Devoirs
  • C2.19: Nature d'une série de Bertrand

[22] - Séance du lundi 13 septembre 2021 (4h)

• Complément sur le chapitre 1 "Suites numériques"
  • Correction de l'exercice C1.93: Suite récurrente linéaire d'ordre 1 et fonction lipschitzienne
  • Une fonction lipschitzienne est uniformément continue donc continue
  • Une fonction de classe \( \mathcal{C}^1 \) sur un segment à valeurs réelles est lipschitzienne sur ce segment
  • Si une fonction définie et continue sur un segment stabilise ce segment, alors est possède un point fixe (cf. théorème des valeurs intermédiaires)
• Début du chapitre 2 "Séries numériques"
  • Correction de l'exercice C2.26: Convergence et somme de la série harmonique alternée
  • Correction de l'exercice C2.50: Convergence et somme de la série \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 2} \dfrac{1}{n^2-1} \)
  • Définition d'une série convergente et de la somme d'une telle
  • Condition nécessaire, non suffisante, pour qu'une série converge
  • La série harmonique diverge
  • Une série dont le terme général tend vers 0 n'est pas nécessairement convergente (cf. série harmonique)
  • Comportement asymptotique d'une série géométrique et somme d'une série géométrique convergente
  • Résultat sur les séries télescopique (ou comment ramener l'étude d'une suite à celle d'une série)
  • Combinaison linéaire de deux séries convergentes
  • Nature de la somme d'une série convergente et d'une série divergente
  • Définition du reste d'une série convergente
  • Calcul du reste d'une série géométrique convergente
  • La suite des restes d'une série convergente converge vers 0
  • Théorème de comparaison série-intégrale
• Devoirs
  • Soient \(a\) et \(b\) des réels tels que \(a < b\). Soit \( k \in [0,1[ \). Soit \( f \colon [a,b] \longrightarrow [a,b] \) une fonction \(k\)-lipschitzienne. On considère la suite \( (x_n)_{n\in\mathbf{N}} \) définie par \( x_0 \in [a,b] \) et, pour tout \( n \in \mathbf{N} \), \( x_{n+1} = f(x_n) \). Démontrer que la suite \( (x_n)_{n\in\mathbf{N}} \) converge vers un point fixe de \(f\).

Devoir surveillé n°1 du samedi 11 septembre 2021 (4h)

• Sommes trigonométriques, sommes de Riemann et formule de Taylor avec reste intégral
• Théorème de Cesàro et étude d'une suite récurrente
• Développement asymptotique de la série harmonique
• Développement asymptotique d'une suite définie de manière implicite
• Limite supérieure d'une suite bornée et théorème de Bolzano-Weierstraß
• Sous-espaces supplémentaires dans R³ (resp. dans un espace de fonctions)
• Étude d'une projection de R³

[18] - Séance du vendredi 10 septembre 2021 (2h)

• Fin du chapitre 1 "Suites numériques"
  • Correction de l'exercice C1.53: Toute suite réelle bornée ayant une unique valeur d'adhérence converge
  • Correction de l'exercice C1.96: Suite \( (x_n)_{n\in\mathbf{N}} \) où, pour tout \( n \in \mathbf{N} \), \( x_n \) est l'unique solution de l'équation \( x^n - nx + 1 = 0 \) sur \( ]0,1[ \)
• Devoirs
  • C1.93: Suite récurrente linéaire d'ordre 1 et fonction lipschitzienne
  • C2.26: Convergence et somme de la série harmonique alternée
  • C2.50: Convergence et somme de la série \( \displaystyle \sum_{n \geqslant 2} \dfrac{1}{n^2-1} \)
  • C2.58: \( \displaystyle \sum_{k=1}^{2n} \dfrac{1}{\sqrt{k}} \sim 2 \, \sqrt{2} \, \sqrt{n} \)

[16] - Séance du jeudi 9 septembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 1 "Suites numériques"
  • Théorème de Bolzano-Weierstraß (démonstration à l'aide d'un raisonnement par dichotomie)
  • Comportement asymptotique de la suite \( \left( q^n \right)_{n\in\mathbf{N}} \), pour \(q\) complexe
• Devoirs
  • C1.96: Suite \( (x_n)_{n\in\mathbf{N}} \) où, pour tout \( n \in \mathbf{N} \), \( x_n \) est l'unique solution de l'équation \( x^n - nx + 1 = 0 \) sur \( ]0,1[ \)

[14] - Séance du mercredi 8 septembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 1 "Suites numériques"
  • Correction de l'exercice C1.69: Irrationalité de \(e\) via des suites adjacentes
  • Correction de l'exercice C1.90: Suite \( (x_n)_{n\in\mathbf{N}} \) où, pour tout \( n \in \mathbf{N} \), \( x_n \) est l'unique solution de l'équation \( \tan \left( \dfrac{\pi x}{2} \right) = \dfrac{ \pi }{2 n x} \) sur \( ]0,1[ \)
  • Une suite réelle ayant une unique valeur d'adhérence est-elle nécessairement convergente ?
  • Une suite réelle possède-t-elle toujours une valeur d'adhérence ?
  • Si \( (u_n)_{n\in\mathbf{N}} \) est une suite réelle, si \( \varphi \colon \mathbf{N} \longrightarrow \mathbf{N} \) et \( \psi \colon \mathbf{N} \longrightarrow \mathbf{N} \) sont deux applications strictement croissantes, alors \( (u_{\varphi(\psi(n))})_{n\in\mathbf{N}} \) est une suite extraite de \( (u_{\varphi(n)})_{n\in\mathbf{N}} \)
• Devoirs
  • C1.53: Toute suite réelle bornée ayant une unique valeur d'adhérence converge

[12] - Séance du mardi 7 septembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 1 "Suites numériques"
  • Correction de l'exercice C1.87: Suite récurrente vérifiant \( u_n = \dfrac{1}{u_n} + u_n^2 \)
  • Rappel sur le théorème de Césàro
  • Définition d'une valeur d'adhérence d'une suite réelle
  • Si \( \varphi \colon \mathbf{N} \longrightarrow \mathbf{N} \) est une application strictement croissante, alors pour tout \( n \in \mathbf{N} \), \( \varphi(n) \geqslant n \)
  • Une suite convergente possède une unique valeur d'adhérence, sa limite
  • Si une suite possède au moins deux valeurs d'adhérence, alors elle n'admet aucune limite
  • Deux critères pour être valeur d'adhérence d'une suite
• Devoirs
  • C1.45: Suite extraite des termes d'indices pairs et suite extraite des termes d'indices impairs
  • C1.90: Suite \( (x_n)_{n\in\mathbf{N}} \) où, pour tout \( n \in \mathbf{N} \), \( x_n \) est l'unique solution de l'équation \( \tan \left( \dfrac{\pi x}{2} \right) = \dfrac{ \pi }{2 n x} \) sur \( ]0,1[ \)

[10] - Séance du lundi 6 septembre 2021 (4h)

• Suite du chapitre 1 "Suites numériques"
  • Correction de l'exercice C1.72: Suite arithmético-géométrique
  • Correction de l'exercice C1.75: Suites d'entiers qui converge
  • Correction de l'exercice C1.84: \( \displaystyle \sum_{k=1}^n \sin \left(\dfrac{k \pi}{n} \right) \sim \dfrac{2 n}{\pi} \)
  • Rappels sur les sommes de termes en progression géométrique
  • Rappel sur les formules d'Euler
  • Rappels sur la factorisation par l'angle de la demie-somme
  • Rappels sur les sommes de Riemann
  • \( \displaystyle \sum_{k=0}^n k! \sim n! \)
  • Théorème de la limite monotone
  • Théorème des suites adjacentes
  • Comportement asymptotique de la suite \( \left( q^n \right)_{n\in\mathbf{N}} \), pour \(q\) réel
  • \(\limsup\) et \(\liminf\) d'une suite réelle bornée
  • Si \(( u_n )_{n\in\mathbf{N}}\) est une suite réelle convergence, alors \(\limsup u_n\ = \liminf u_n \)
  • Comportement asymptotique de la suite \( \left( \left( 1 + \dfrac{x}{n} \right)^n \right)_{n\in\mathbf{N}^*}\) où \(x\) est réel
• Devoirs
  • C1.69: Irrationalité de \(e\) via des suites adjacentes

[6] - Séance du vendredi 3 septembre 2021 (2h)

• Suite du chapitre 1 "Suites numériques"
  • Rappels sur la structure de \(\mathbf{R}\)-algèbre de \(\mathbf{R}^{\mathbf{N}}\), qui n'est pas intègre
  • Opérations algébriques sur les suites convergentes
  • Convergence du carré d'une suite versus convergence d'elle même
  • Si \((a_n)_{n\in\mathbf{N}}\) et \((b_n)_{n\in\mathbf{N}}\) sont des suites telles que \( a_n - b_n \xrightarrow[]{} 0\), peut-on affirmer \(\lim a_n = \lim b_n\) ?
  • Théorème de passage à la limite dans une inégalité large
  • Si \((a_n)_{n\in\mathbf{N}}\) et \((b_n)_{n\in\mathbf{N}}\) sont des suites réelles convergentes telle que \(a_n < b_n\) à partir d'un certain rang, alors a-t-on nécessairement \(\lim a_n<\lim b_n\) ?
  • Théorème d'encadrement
  • Comportement asymptotique de la suite \((a_n b_n)_{n\in\mathbf{N}}\) où la suite \((a_n)_{n\in\mathbf{N}}\) est bornée et la suite \((b_n)_{n\in\mathbf{N}}\) converge vers 0
  • Comportement asymptotique de la suite \((\sin(n))_{n\in\mathbf{N}}\)
  • Définition d'une suite divergeant vers \(-\infty\) (resp. vers \(+\infty\))
  • Théorème de domination pour la divergence en \(-\infty\) (resp. vers \(+\infty\))
  • \(n! \xrightarrow[]{} +\infty\)
  • Rappel de la formule de Stirling: \( n! \sim \sqrt{2 \pi n} \, \left( \dfrac{n}{e} \right)^n \)
• Devoirs
  • C1.72: Suite arithmético-géométrique
  • C1.75: Suites d'entiers qui converge
  • C1.84: \( \displaystyle \sum_{k=1}^n \sin\left(\dfrac{k \pi}{n} \right) \sim \dfrac{2 n}{\pi} \)
  • C1.87: Suite récurrente vérifiant \( u_n = \dfrac{1}{u_n} + u_n^2 \)

[4] - Séance du jeudi 2 septembre 2021 (4h)

• Présentation de l'enseignement de mathématiques en MP
• Rappels sur le critère d'injectivité pour les applications linéaires et sur le théorème de Rolle
• Début du chapitre 1 "Suites numériques"
  • Définition d'une suite réelle convergente
  • Unicité de la limite d'une suite réelle convergente
  • Convergente \(\Longrightarrow\) bornée
  • Une suite réelle bornée est-elle nécessairement convergente ?
  • Signe asymptotique d'une suite réelle convergeant vers un réel strictement positif
  • Une suite réelle convergente est-elle nécessairement monotone à partir d'un certain rang ?
  • Une suite de réels strictement positifs, convergente, de limite nulle est-elle nécessairement décroissante à partir d'un certain rang ?
  • Ecriture formelle de les assertions "\((u_n)_{n\in\mathbf{N}}\) ne converge pas vers \(\ell\)" et "\((u_n)_{n\in\mathbf{N}}\) n'admet pas de limite finie".
• Devoirs: C1.16 - Comportement asymptotique de la suite \((\sin(n))_{n\in\mathbf{N}}\).